Chương DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 1.1 Dao động tự không cản 1.2 Dao động tự có cản 1.3 Dao động cưỡng hệ chịu kích động điều hịa 1.4 Dao động cưỡng hệ chịu kích động đa tần chịu kích động tuần hồn 1.5 Dao động cưỡng hệ chịu kích động 14 §1 Dao động tự khơng cản 1.1 Một số ví dụ Thí dụ 1: Dao động vật nặng treo vào lị xo Phương trình dao động: mx + cx = && (1) c Vị trí cb tĩnh x m 15 Thí dụ 2: Dao động lắc tốn học O Phương trình dao động: φ g ϕ + sin ϕ = && l L Xét dao động nhỏ: g ϕ + ϕ =0 && l m (2) Thí dụ 3: Dao động lắc vật lý Phương trình dao động: O mga && + ϕ sin ϕ = Jo φ Xét dao động nhỏ: mga && ϕ+ ϕ =0 Jo a C m, Jo (3) 16 Thí dụ 4: Dao động xoắn trục mang đĩa trịn Phương trình dao động: && ϕ+ c ϕ =0 J φ (4) C J Kết luận: Dạng phương trình dao động tự hệ bậc tự có dạng chung là: && m q + cq = (5) Trong q tọa độ suy rộng 17 1.2 Tính tốn dao động tự khơng cản Phương trình vi phân chuyển động hệ bậc tự khơng cản có dạng: && m q + cq = Hay: && q+ω q = o (6) Trong ωo tần số dao động riêng Điều kiện đầu: to= : q (t0 ) = q o & & q (t0 ) = q o (7) 18 Nghiệm phương trình vi phân (6) có dạng: q = C1cosωo t + C2 sin ωo t (8) Trong C1 C2 số tuỳ ý, xác định từ điều kiện đầu (7) Cho nghiệm (8) thoả mãn điều kiện đầu (7), ta xác định được: & qo C1 = qo , C = Vậy : q = qo cosωo t + & qo ωo ωo sin ωo t (9) 19 Nghiệm (9) cịn viết dạng: q = A s i n (ω o t + α ) (10) Trong đó: ⎛ qo ⎞ & A= C +C = q +⎜ ⎟ ⎝ ωo ⎠ 2 2 o (11) qo C1 = ωo tgα = & C2 qo 20 Từ biểu thức (10) ta thấy: dao động tự không cản hệ bậc tự mô tả hàm điều hồ Vì vậy, dao động tự khơng cản cịn gọi dao động điều hoà Đặc trưng: A :được gọi biên độ dao động ωo :được gọi tần số riêng ωot + α :được gọi pha dao động α :được gọi pha ban đầu T = 2п/ωo :được gọi chu kì dao động 21 Tính chất chuyển động: Tần số riêng chu kì dao động khơng phụ thuộc vào điều kiện đầu mà phụ thuộc vào tham số hệ Biên độ dao động số Biên độ dao động pha ban đầu dao động tự không cản phụ thuộc vào điều kiện đầu tham số hệ Chú ý: Việc xác định tần số dao động riêng nhiệm vụ quan trọng toán dao động tự 22 §2 Dao động tự có cản Trong phần khảo sát dao động tự hệ có xét đến ảnh hưởng lực cản Lực cản xét lực cản nhớt tỷ lệ bậc với vận tốc 23 Xét dao động hệ mơ tả hình vẽ Phương trình vi phân chuyển động hệ có dạng: (1) && & mq+bq+cq = M Nếu đưa vào ký hiệu: c b ω = , 2δ = m m o q (2) c b Thì phương trình (1) có dạng: && + 2δ q + ω o2 q = & q (3) Đây phương trình vi phân cấp hệ số số 24 Phương trình vi phân (3) có phương trình đặc trưng: λ + 2δ λ + ω = 2 o (4) Tuỳ theo quan hệ δ ωo, xảy trường hợp sau: δ < ωo (lực cản nhỏ) : λ1, = −δ ± i ω − δ o δ ≥ ωo (lực cản lớn) : λ1, = −δ ± δ − ωo2 Sau ta khảo sát trường hợp 25 trường hợp thứ : δ < ωo (lực cản nhỏ) : Nghiệm tổng qt phương trình vi phân dao động (3) có dạng: q (t ) = e −δ t (C1cosωt + C2 sin ωt ) (5) Trong đó: ω = ωo2 − δ (6) Các số C1 C2 xác định từ điều kiện đầu: & & t = : q (0) = qo , q (0) = qo 26 ... , 2? ? = m m o q (2) c b Thì phương trình (1) có dạng: && + 2? ? q + ω o2 q = & q (3) Đây phương trình vi phân cấp hệ số số 24 Phương trình vi phân (3) có phương trình đặc trưng: λ + 2? ? λ + ω = 2. .. quan trọng toán dao động tự 22 ? ?2 Dao động tự có cản Trong phần khảo sát dao động tự hệ có xét đến ảnh hưởng lực cản Lực cản xét lực cản nhớt tỷ lệ bậc với vận tốc 23 Xét dao động hệ mơ tả hình... dạng: q = A s i n (ω o t + α ) (10) Trong đó: ⎛ qo ⎞ & A= C +C = q +⎜ ⎟ ⎝ ωo ⎠ 2 2 o (11) qo C1 = ωo tgα = & C2 qo 20 Từ biểu thức (10) ta thấy: dao động tự không cản hệ bậc tự mơ tả hàm điều hồ