Giới hạn: chương này, xét hệ học chịu liên kết hôlônôm, lý tưởng; hệ n bậc tự cần n toạ độ suy rộng độc lập Hệ dao động hệ n phương trình vi phân cấp hệ số số 79 §1 Thành lập phương trình VPCĐ A Sử dụng phương trình Lagrange II Đối với hệ Hơlơnơm, có n bậc tự do, xác định toạ độ suy rộng độc lập q1, q2, , qn, phương trình Lagrange II có dạng: d ⎛ ∂T ⎜ & dt ⎝ ∂ qi ⎞ ∂T = Qi ; i = → n ⎟− ⎠ ∂ qi 80 Nếu lực tác dụng lên hệ lực có thế: d ⎛ ∂L ⎞ ∂L = 0; ⎜ ⎟− & dt ⎝ ∂qi ⎠ ∂qi i = 1→ n L hàm Lagrange : L = T − Π 81 Nếu lực tác dụng lên hệ bao gồm lực lực cản nhớt: d ⎛ ∂T ⎜ & dt ⎝ ∂qi Trong đó: ⎞ ∂T ∂Π ∂Φ π φ = Qi + Qi = − − ; i =1→ n ⎟− & ∂qi ∂qi ⎠ ∂qi Π - Là năng; Φ - Là hàm hao tán Phương trình cịn có dạng: d ⎛ ∂L ⎜ & dt ⎝ ∂ q i ⎞ ∂ L ∂Φ + = 0; i = → n ⎟− & ⎠ ∂ qi ∂ qi 82 Nếu lực tác dụng lên hệ lực lực cản nhớt cịn có ngoại lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t: ∂Π ∂Φ d ⎛ ∂T ⎞ ∂T − =− − + QiP ; i = → n ⎜ ⎟ & & dt ⎝ ∂qi ⎠ ∂qi ∂qi ∂qi QiP : Là lực suy rộng ứng với lực hoạt động 83 B Sử dụng phương pháp lực (ĐS) Phương pháp thường sử dụng để lập phương trình vi phân chuyển động cho hệ học có dạng dầm, khung,… 84 §2 Dao động tự khơng cản a Các tần số riêng dạng dao động riêng b Tính chất trực giao véctơ riêng c Các toạ độ d Các toạ độ chuẩn 85 a Các tần số riêng dạng dao động riêng Phương trình vi phân mơ tả dao động tự không cản hệ n bậc tự có dạng: && Mq + Cq = (1) Trong M C ma trận vng cấp n có phần tử số M ma trận khối lượng; C ma trận độ cứng 86 Ta tìm nghiệm phương trình (1) dạng: q = a sin(ωt + α ) (2) Thế (2) vào (1), biến đổi ta nhận phương trình: (C − ω M ) a = (3) Để cho phương trình ĐSTT (3) có nghiệm khơng tầm thường, điều kiện cần là: C −ω M = (4) 87 Phương trình (4) phương trình đại số bậc n ω2 gọi phương trình tần số phương trình đặc trưng Các nghiệm ωk (k = 1, 2,…n) phương trình đặc trưng gọi tần số riêng Thay giá trị ωk (k = 1, 2,…n) vào phương trình (3) ta nhận hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định thành phần vectơ ak C − ωk2 M ) ak = ( (5) Các vectơ ak gọi vectơ riêng 88 Chú ý: Các thành phần vectơ ak xác định sai khác số nhân Chẳng hạn ta chọn a1k cách tuỳ ý Ta đưa vào ký hiệu: aik vik = a1k v (k ) i (k ) i (k ) a = a với i, k = → n 89 Lần lượt thay ω1, ω2, , ωn vào phương trình (5), ta xác định ma trận: ⎡v11 v12 ⎢v v ⎢ 21 22 V= ⎢ ⎢ ⎣vn1 vn2 v1n ⎤ ⎥ v2n ⎥ ⎥ ⎥ vnn ⎦ Mỗi vectơ cột ma trận V: vk = [ v1k v2 k vnk ] = ⎡v ⎣ T (k ) (k ) v (k ) T n v ⎤ ⎦ Cho ta biết dạng dao động riêng hệ dao động Ma trận V gọi ma trận dạng riêng (Modalmatrix) 90 Xét trường hợp hệ hai bậc tự Khi PTVP dao động tự khơng cản có dạng: && ⎡m11 m12 ⎤ ⎡ q1 ⎤ ⎡c11 c12 ⎤ ⎡ q1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢m m ⎥ ⎢q ⎥ + ⎢c c ⎥ ⎢q ⎥ = ⎢0⎥ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣&&2 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (6) Phương trình đặc trưng: c11 − ω m11 c 21 − ω m 21 c12 − ω m12 =0 c 22 − ω m 22 (7) 91 ... ⎛ ∂T ⎜ & dt ⎝ ∂qi Trong đó: ⎞ ∂T ∂Π ∂Φ π φ = Qi + Qi = − − ; i =1→ n ⎟− & ∂qi ∂qi ⎠ ∂qi Π - Là năng; Φ - Là hàm hao tán Phương trình cịn có dạng: d ⎛ ∂L ⎜ & dt ⎝ ∂ q i ⎞ ∂ L ∂Φ + = 0; i = → n... phương pháp lực (ĐS) Phương pháp thường sử dụng để lập phương trình vi phân chuyển động cho hệ học có dạng dầm, khung,… 84 §2 Dao động tự không cản a Các tần số riêng dạng dao động riêng b Tính... = (3) Để cho phương trình ĐSTT (3) có nghiệm khơng tầm thường, điều kiện cần là: C −ω M = (4) 87 Phương trình (4) phương trình đại số bậc n ω2 gọi phương trình tần số phương trình đặc trưng Các