Khai triển định thức cấp hai (7) ta có: (c11 − ω m11 )(c22 − ω m22 ) − 2 − (c12 − ω2m12 )(c21 − ω2m21 ) = Đưa vào ký hiệu : vi ( = a2i ) / a1(i ) Thì ta có: (c11 − ω m11 ) + vi (c12 − ω m12 ) = 0; i = 1, Hoặc (c21 − ω m21 ) + vi (c22 − ω m22 ) = 0; i = 1, 2 Ta được: ⎡1 ⎤ V =⎢ ⎥ ⎣v1 v2 ⎦ 92 b Tính chất trực giao vectơ riêng Xét phương trình dao động tự khơng cản hệ n bậc tự do: && Mq + Cq = Nếu ma trận khối lượng M ma trận độ cứng C ma trận thực, đối xứng vectơ riêng vk tương ứng với tần số riêng ωk trực giao với ma trận khối lượng M ma trận độ cứng C Ta có: v M v i = 0; v C v i = 0; k h i ω i ≠ ω T j T j j 93 c Các toạ độ Mục đích: Sử dụng toạ độ để thu phương trình dao động hệ có dạng đơn giản Phương trình vi phân dao động hệ n bậc tự có dạng: && M q + C q = (1) Đây hệ n phương trình vi phân cấp mà toạ độ suy rộng có liên kết với (các phương trình hồn tồn không độc lập với nhau) Để hệ dao động đơn giản hơn, người ta thường thay toạ độ suy rộng q toạ độ suy rộng p, chẳng hạn cho hệ phương trình vi phân chuyển động toạ độ p gồm n phương trình vi phân độc lập hồn tồn Trường hợp này, p gọi toạ độ hệ 94 Thực phép đổi biến: q = Vp (2) Thế (2) vào (1) ta có: M V && + C V p = p Nhân hai vế phương trình với VT ta được: V T M V && + V T C V p = p (3) 95 Do tính chất trực giao, nên: ⎡ μ1 ⎢0 VTM V = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 μ2 0 0⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ μn ⎦ ⎡γ ⎢0 V TCV = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 γ2 0 0⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ γn⎦ Do phương trình (3) có dạng: μi &&i +γi pi = ; p i =1 →n (4) Trong đó: μi = viT M vi ; γ i = viT C vi ; i = → n Nếu đặt: ω i γi = μi Thì phương trình (4) đưa dạng: &&i + ωi2 pi = 0; p i =1→ n (5) 96 Ví dụ 1: Cho hệ hình vẽ, biết m1= m2=m; c1= c2= c3= c q1 c1 q2 m1 c2 m2 c3 Thành lập phương trình vi phân chuyển động Tìm tần số dao động riêng ma trận dạng riêng V Tìm quy luật chuyển động hệ 97 Ví dụ 1: Một hệ hai lắc có chiều dài l, khối lượng vật điểm m Hai nối với lị xo có hệ số cứng c, vị trí cách trục quay đoạn d Độ dài lò xo trạng thái không biến dạng khoảng hai trục lắc Bỏ qua khối lượng thanh, lò xo bỏ qua lực cản a Xác định toạ độ hệ b Xác định dao động tự hệ với điều kiện đầu: ϕ1 (0) = ϕ0 , ϕ (0) = & & ϕ1 (0) = 0, ϕ2 (0) = d φ1 φ2 l 98 Ví dụ 2: Mơ hình dao động ngang nhà tầng Xem khối lượng tầng m1 = m2 = m3 = m = 262,69.103 kg Độ cứng uốn tường tầng c1 = 3c, c2 = 2c, c3 = c = 88,56.10 N/m Xác định tần số riêng dạng dao động riêng hệ x C3/2 x2 C3/2 C2/2 x1 C2/2 C1/2 C1/2 99 d Các toạ độ chuẩn Như biết, phép q = V p ( V ma trận dạng riêng, p vectơ toạ độ chính) ta đưa phương trình vi phân dao động : && Mq + Cq = dạng vế tách rời nhau: μ i &&i + γ i p i = ; i = → n p Trong đó: μ i = v M vi ; γ i = v C vi T i T i 100 Do phần tử vectơ vi ma trận V xác định sai khác số nhân, ta chọn vectơ vi cách thích hợp cho: ⎡1 0⎤ ⎢0 0⎥ ⎥=E VTM V = ⎢ ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ Ma trận dạng riêng chọn gọi ma trận dạng riêng chuẩn Ta ký hiệu ma trận dạng riêng chuẩn Vn Ta có: ⎡ω12 ⎤ ⎢ ⎥ ω ⎥ T T ⎢ Vn M Vn = E Vn C Vn = Dω = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 ⎥ 2⎥ ω n ⎥ ⎦ 101 Bằng phép q = Vn p ta đưa phương trình dao động ban đầu về: E && + Dω p = p Các toạ độ p = [p1, p2, , pn]T phép thế: q = Vn p gọi toạ độ chuẩn Toạ độ chuẩn toạ độ đặc biệt Nếu ta biết ma trận dạng riêng: V = [ v , v , , v n ] T Thì ma trận dạng riêng chuẩn xác định bởi: Vn = [ Trong đó: α i α v1, = ± μ i α v , , = ± α v n ]T n v iT M v i 102 §3 Dao động tự có cản a Phương pháp trực tiếp b Phương pháp ma trận dạng riêng 103 a Phương pháp trực tiếp Phương trình vi phân dao động tự có lực cản tỷ lệ với vận tốc hệ n bậc tự có dạng: && & M q + Bq + Cq = (1) Ta tìm nghiệm phương trình (1) dạng: ˆ q (t ) = q eλ t (2) ˆ q Là vectơ 104 ... 0, ϕ2 (0) = d φ1 φ2 l 98 Ví dụ 2: Mơ hình dao động ngang nhà tầng Xem khối lượng tầng m1 = m2 = m3 = m = 262,69.103 kg Độ cứng uốn tường tầng c1 = 3c, c2 = 2c, c3 = c = 88 ,56.10 N/m Xác định tần