Thế biểu thức (2) vào (1), đơn giản ta được: ˆ λ 2M + λB + C ) q = ( (3) ˆ Để cho phần tử vectơ q khơng đồng thời triệt tiêu thì: P (λ ) = det ( λ M + λ B + C ) = (4) Phương trình (4) gọi phương trình đặc trưng Khi M ma trận qui: det ( M ) = , P(λ) đa thức bậc 2n λ Giải phương trình (4) ta 2n nghiệm thực phức liên hợp 105 Ta xét trường hợp, phương trình đặc trưng (4) có nghiệm dạng: λk = −δ k + i ωk , λk + n = −δ k − i ωk , k = → n Thì trường hợp gọi trường hợp cản yếu Ta đặt: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ q k = u k + i vk , q k + n = u k − i vk , Nghiệm tương ứng với cặp trị riêng λk λk+n có dạng: ˆ ˆ ˆ ˆ q k ( t ) = C k e λk t ( u k + i v k ) + D k e λk + n t ( u k − i v k ) (5) Với C k , D k số phức 106 Nếu ta đưa vào số tích phân mới: Ck = Ck + Dk , Dk = i ( Ck − Dk ) Thì biểu thức (5) có dạng: ˆ ˆ ˆ ˆ qk (t ) = e −δ k t [ (Ck uk + Dk vk )cosωk t + ( Dk uk − Ck vk ) sin ωk t ] Nghiệm tổng quát phương trình (1) có dạng: n q (t ) = ∑ qk (t ) k =1 Chú ý: uk , vk nói chung không tỷ lệ với nên ˆ ˆ toạ độ véctơ qk có pha khác 107 b Phương pháp ma trận dạng riêng Trong vài tốn kỹ thuật, ma trận B biểu diễn dạng: B =αM +δC (1) Trong α δ số Ma trận B có dạng (1) gọi ma trận cản Rayleigh Biểu thức (1) có viết dạng: β B = αω M + C ω Trong ω tần số qui chiếu tuỳ ý đưa vào để α β đại lượng không thứ nguyên 108 Bằng phép biến đổi q = V p, với V ma trận dạng riêng, ta đưa phương trình (1) dạng: & μi &&i + βi pi + γ i pi = 0; p i =1→ n (2) Trong đó: μi = viT Mvi ; βi = viT Bvi ; γ i = viT Cvi Nghiệm phương trình (2) khảo sát chương 109 §4 Dao động cưỡng a Phương pháp giải trực tiếp b Phương pháp ma trận dạng riêng 110 a Phương pháp giải trực tiếp Dao động cưỡng khơng cản chịu kích động điều hồ Dao động cưỡng có cản chịu kích động tuần hồn 111 Dao động cưỡng khơng cản chịu kích động điều hồ Dao động tuyến tính cưỡng khơng cản hệ n bậc tự chịu kích động điều hồ có dạng: ˆ && M q + C q = f sin Ωt (1) Ở chế độ chuyển động bình ổn, ta tìm nghiệm phương trình (1) dạng: q(t ) = u sin Ωt (2) 112 Thế (2) vào (1) ta có: ( −Ω M + C) u = fˆ ⇒ u = H(Ω) fˆ (3) Trong đó: H (Ω) = ( −Ω M + C ) −1 gọi ma trận truyền 113 Giải hệ phương trình (3), ta được: Δk (Ω) uk (Ω) = Δ(Ω) (4) Δ (Ω) = det(−Ω M + C ) (5) Trong đó: ˆ Δ k (Ω) có cách thay f vào cột thứ k Δ Ta thấy Δ (Ω) = Ω = ω j , j = → n 114 Các trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Δ(Ω) = 0, Δk (Ω) ≠ Khi tần số lực kích động Ω trùng với tần số dao động riêng Biên độ dao động tăng lên vô Trường hợp gọi trường hợp cộng hưởng 115 Trường hợp 2: Δ(Ω) = 0, Ω = ω j Δ k (Ω) = ∀k , lim Ω→ω j Δ k (Ω)