Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập toán cao cấp
NGUYˆE˜N THUY’THANHB`AI TˆA.PTO´AN CAO CˆA´PTˆa.p1Da.isˆo´tuyˆe´n t´ınhv`a H`ınh ho.c gia’it´ıchNH`AXUˆA´TBA’NDA.IHO.CQUˆO´C GIA H`ANˆO.IH`a Nˆo.i – 2006 Mu.clu.cL`o.in´oidˆa`u 41Sˆo´ph´u.c61.1 D-i.nh ngh˜ıa sˆo´ph´u.c 61.2 Da.ng da.isˆo´cu’asˆo´ph´u.c . 81.3 Biˆe’udiˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen . . . . . . . . 131.4 Biˆe’udiˆe˜nsˆo´ph´u.cdu.´o.ida.ng lu.o ng gi´ac . . . . . . . . 232D-ath´u.c v`a h`am h˜u.uty’442.1 D-ath´u.c 442.1.1 D-ath´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ph´u.c C . 452.1.2 D-ath´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´thu c R . 462.2 Phˆan th´u.ch˜u.uty’ . 553 Ma trˆa.n. D-i.nh th´u.c663.1 Ma trˆa.n 673.1.1 D-i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n 673.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n . 693.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n 713.1.4 Ph´ep chuyˆe’nvi.ma trˆa.n . 723.2 D-i.nh th´u.c . 853.2.1 Nghi.ch thˆe´ . 853.2.2 D-i.nh th´u.c . 853.2.3 T´ınh chˆa´tcu’adi.nh th´u.c . 88 2MU.CLU.C3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´u.c . 893.3 Ha.ng cu’a ma trˆa.n . 1093.3.1 D-i.nhngh˜ıa 1093.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n 1093.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 1183.4.1 D-i.nhngh˜ıa 1183.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o .1194Hˆe.phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´nt´ınh 1324.1 Hˆe.n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’nc´odi.nh th´u.c kh´ac 0 . . . . 1324.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n 1334.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 1344.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 1344.2 Hˆe.t`uy ´y c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . 1434.3 Hˆe.phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t . 1655 Khˆong gian EuclideRn1775.1 D-i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe`u v`a mˆo.tsˆo´kh´ai niˆe.mco.ba’nvˆe`vecto .1775.2 Co.so.’.D-ˆo’ico.so.’ . 1885.3 Khˆong gian vecto.Euclid. Co.so.’tru cchuˆa’n 2015.4 Ph´ep biˆe´ndˆo’i tuyˆe´nt´ınh . 2135.4.1 D-i.nhngh˜ıa 2135.4.2 Ma trˆa.ncu’a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 2135.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.4.4 Vecto.riˆeng v`a gi´a tri.riˆeng . . . . . . . . . . . . 2166Da.ng to`an phu.o.ng v`a ´u.ng du.ng dˆe’nhˆa.nda.ng du.`o.ngv`a m˘a.tbˆa.c hai 2366.1 Da.ng to`an phu.o.ng 2366.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 2376.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241 MU.CLU.C36.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´ndˆo’i tru c giao . . . . . . . . . 2446.2 D-u.aphu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’adu.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.tbˆa.c hai vˆe`da.ng ch´ınh t˘a´c 263 L`o.i n´oi dˆa`uGi´ao tr`ınh B`ai tˆa.p to´an cao cˆa´p n`ay du.o c biˆen soa.n theo Chu.o.ngtr`ınh To´an cao cˆa´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.cTu nhiˆen cu’aDa.iho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.iv`ad˜a d u.o cDa.iho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆongqua v`a ban h`anh.Mu.cd´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o.sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.cTu nhiˆen n˘a´mv˜u.ng v`a vˆa.ndu.ng du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an caocˆa´p. Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´tdi.nh to`an bˆo.cˆa´utr´uc cu’a gi´ao tr`ınh. Trongmˆo˜imu.c, dˆa`u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´tnh˜u.ng co.so.’l´y thuyˆe´tv`a liˆe.tkˆenh˜u.ng cˆong th´u.ccˆa`n thiˆe´t. Tiˆe´pd´o, trong phˆa`n C´ac v´ı du.ch´ung tˆoi quan tˆam d˘a.cbiˆe.tt´o.iviˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜ub˘a`ng c´achvˆa.ndu.ng c´ac kiˆe´nth´u.cl´y thuyˆe´td˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa`n B`aitˆa.p.O.’dˆay, c´ac b`ai tˆa.pdu.o cgˆo.p th`anh t`u.ng nh´om theo t`u.ng chu’dˆe`v`a du.o cs˘a´pxˆe´p theo th´u.tu t˘ang dˆa`nvˆe`dˆo.kh´o v`a mˆo˜i nh´om dˆe`uc´o nh˜u.ng chı’dˆa˜nvˆe`phu.o.ng ph´ap gia’i. Ch´ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.cl`am quen v´o.il`o.i gia’i chi tiˆe´t trong phˆa`n C´ac v´ı du.s˜e gi´up ngu.`o.iho.cn˘a´mdu.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co.ba’n.Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa.p n`ay c´o thˆe’su.’du.ng du.´o.isu hu.´o.ng dˆa˜ncu’agi´ao viˆen ho˘a.ctu m`ınh nghiˆen c´u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.pdˆe`uc´od´ap sˆo´,mˆo.tsˆo´c´o chı’dˆa˜n v`a tru.´o.c khi gia’i c´ac b`ai tˆa.pn`ayd˜a c´o phˆa`n C´ac v´ı du.tr`ınh b`ay nh˜u.ng chı’dˆa˜nvˆe`m˘a.tphu.o.ng ph´ap gia’i to´an.T´ac gia’gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’mo.n c´ac thˆa`y gi´ao: TS. Lˆe D`ınhPh`ung v`a PGS. TS. Nguyˆe˜n Minh Tuˆa´nd˜ado.ck˜yba’n tha’ov`ad´ong Co.so.’l´y thuyˆe´t h`am biˆe´nph´u.c5g´op nhiˆe`u´ykiˆe´n qu´y b´au vˆe`cˆa´utr´uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´acgia’vˆe`nh˜u.ng thiˆe´u s´ot cu’aba’n tha’o gi´ao tr`ınh.M´o.i xuˆa´tba’nlˆa`ndˆa`u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot. Ch´ungtˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o cba.ndo.c vui l`ong chı’ba’o cho nh˜u.ngthiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’gi´ao tr`ınh ng`ay du.o c ho`an thiˆe.nho.n.H`a Nˆo.i, M`ua thu 2004T´ac gia’ Chu.o.ng 1Sˆo´ph´u.c1.1 D-i.nh ngh˜ıa sˆo´ph´u.c 61.2 Da.ng da.isˆo´cu’asˆo´ph´u.c . 81.3 Biˆe’udiˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen . 131.4 Biˆe’udiˆe˜nsˆo´ph´u.cdu.´o.ida.ng lu.o ng gi´ac . 231.1 D-i.nh ngh˜ıa sˆo´ph´u.cMˆo˜ic˘a.psˆo´thu c c´o th´u.tu (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o cgo.i l`a mˆo.tsˆo´ph´u.cnˆe´u trˆen tˆa.pho p c´ac c˘a.pd´o quan hˆe.b˘a`ng nhau, ph´ep cˆo.ng v`aph´ep nhˆan du.o cdu.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay:(I) Quan hˆe.b˘a`ng nhau(a1,b1)=(a2,b2) ⇐⇒a1= a2,b1= b2.(II) Ph´ep cˆo.ng 1.1. D-i.nh ngh˜ıa sˆo´ph´u.c 7(a1,b1)+(a2,b2)def=(a1+ a2,b1+ b2).1(III) Ph´ep nhˆan(a1,b1)(a2,b2)def=(a1a2− b1b2,a1b2+ a2b1).Tˆa.pho psˆo´ph´u.cdu.o ck´yhiˆe.ul`aC. Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan(III) trong C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´tho p, liˆen hˆe.v´o.i nhau bo.’iluˆa.t phˆan bˆo´v`a mo.i phˆa`ntu.’=(0, 0) dˆe`u c´o phˆa`ntu.’nghi.ch da’o.Tˆa.pho p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ph´u.c) v´o.i phˆa`ntu.’khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆa`ntu.’do.nvi.l`a c˘a.p (1; 0).´Ap du.ng quyt˘a´c (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe´uk´yhiˆe.u i =(0, 1) th`ıi2= −1Dˆo´iv´o.i c´ac c˘a.pda.ng d˘a.cbiˆe.t(a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) tac´o(a, 0) + (b, 0)=(a + b, 0),(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).T`u.d´ovˆe`m˘a.tda.isˆo´c´ac c˘a.pda.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.tv´o.isˆo´thu c R:v`ıch´ung du.o ccˆo.ng v`a nhˆan nhu.nh˜u.ng sˆo´thu c. Dovˆa.y ta c´o thˆe’dˆo`ng nhˆa´t c´ac c˘a.pda.ng (a; 0) v´o.isˆo´thu c a:(a;0)≡ a ∀ a ∈ R.D˘a.cbiˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.Dˆo´iv´o.isˆo´ph´u.c z =(a, b):1+Sˆo´thu c a du.o cgo.i l`a phˆa`n thu c a =Rez,sˆo´thu c b go.i l`a phˆa`na’ov`ak´yhiˆe.ul`ab =Imz.2+Sˆo´ph´u.cz =(a,−b)go.il`asˆo´ph´u.c liˆen ho pv´o.isˆo´ph´u.c z1def. l`a c´ach viˆe´tt˘a´tcu’at`u.tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa) 8Chu.o.ng 1. Sˆo´ph´u.c1.2 Da.ng da.isˆo´cu’asˆo´ph´u.cMo.isˆo´ph´u.c z =(a; b) ∈ C dˆe`u c´o thˆe’viˆe´tdu.´o.ida.ngz = a + ib. (1.1)Thˆa.tvˆa.y, z =(a, b)=(a, 0) + (0,b)=(a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ibBiˆe’uth´u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.isˆo´cu’asˆo´ph´u.c z =(a, b). T`u.(1.1)v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ph´u.c liˆen ho p ta c´oz = a − ib.Du.´o.ida.ng da.isˆo´c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.pho psˆo´ph´u.cdu.o c thu chiˆe.n theo c´ac quy t˘a´c sau.Gia’su.’z1= a1+ ib1, z2= a2+ ib2. Khi d´o(I) Ph´ep cˆo.ng: z1± z2=(a1± a2)+i(b1± b2).(II) Ph´ep nhˆan: z1z2=(a1a2− b1b2)+i(a1b2+ a2b1).(III) Ph´ep chia:z2z1=a1a2+ b1b2a21+ b21+ ia1b2− a2b1a21+ b21·C´AC V´IDU.V´ı d u.1. 1+T´ınh in.T`u.d´och´u.ng minh r˘a`nga) in+ in+1+ in+2+ in+3=0;b) i · i2···i99· i100= −1.2+T`ım sˆo´nguyˆen n nˆe´u:a) (1 + i)n=(1− i)n;b)1+i√2n+1 − i√2n=0.Gia’i. 1+Ta c´o i0=1,i1= i, i2= −1, i3= −i, i4=1,i5= i v`agi´a tri.l˜uy th`u.ab˘a´tdˆa`ul˘a.pla.i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia’su.’n ∈ Z v`an =4k + r, r ∈ Z,0 r 3. Khi d´oin= i4k+r= i4k· ir=(i4)kir= ir 1.2. Da.ng d a.isˆo´cu’asˆo´ph´u.c 9(v`ı i4= i). T`u.d´o, theo kˆe´t qua’trˆen ta c´oin=1nˆe´u n =4k,i nˆe´u n =4k +1,−1nˆe´u n =4k +2,−i nˆe´u n =4k +3.(1.2)T`u.(1.2) dˆe˜d`ang suy ra a) v`a b).2+a) T`u.hˆe.th´u.c(1+i)n=(1− i)nsuy ra1+i1 − in=1.Nhu.ng1+i1 − i= i nˆen1+i1 − in= in=1⇒ n =4k, k ∈ Z.b) T`u.d˘a’ng th´u.c1+i√2n+1 − i√2n= 0 suy r˘a`ng1+i1 − in= −1v`a do d´o in= −1 ⇒ n =4k +2,k ∈ Z. V´ı d u.2. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u n l`a bˆo.icu’a3th`ı−1+i√32n+−1 − i√32n=2v`a nˆe´u n khˆong chia hˆe´t cho 3 th`ı−1+i√32n+−1 − i√32n= −1.Gia’i. 1+Nˆe´u n =3m th`ıS =−1+i√323m+−1 − i√323m=−1+3i√3+9− 3i√38m+−1 − 3i√3+9+3i√38m=1m+1m=2. [...]... sˆo ´ ph´u . csaud ˆay du . ´o . ida . ng m˜u: 1) z = (− √ 3+i) cos π 12 − i sin π 12 1 − i · 2) z = √ 3+i. L`o . i n´oi d ˆa ` u Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa . p to´an cao cˆa ´ p n`ay du . o . . c biˆen soa . n theo Chu . o . ng tr`ınh To´an cao cˆa ´ p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho . cTu . . nhiˆen cu ’ a D a . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . iv`ad˜a d u . o . . cD a . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . i... q 1 ) λ 1 × × (x 2 + p 2 x + q 2 ) λ 2 ···(x 2 + p n x + q b ) λ n . (2.5) D - i . nh l´y 2.1.3. Nˆe ´ ud ath´u . c Q(x)=x n + a 1 x n−1 + ···+ a n−1 x + a n v´o . ihˆe . sˆo ´ nguyˆen v`a v´o . ihˆe . sˆo ´ cao nhˆa ´ tb˘a ` ng 1 c´o nghiˆe . mh˜u . uty ’ th`ı nghiˆe . md ´o l`a sˆo ´ nguyˆen. D ˆo ´ iv´o . id ath´u . cv´o . ihˆe . sˆo ´ h˜u . uty ’ ta c´o D - i . nh l´y 2.1.4. Nˆe ´ u phˆan sˆo ´ tˆo ´ i... nghiˆe . m h˜u . uty ’ cu ’ a phu . o . ng tr`ınh v´o . ihˆe . sˆo ´ h˜u . uty ’ a 0 x n +a 1 x n−1 +···+a n−1 x+ a n =0th`ı l`a u . ´o . ccu ’ asˆo ´ ha . ng tu . . do a n v`a m l`a u . ´o . ccu ’ ahˆe . sˆo ´ cao nhˆa ´ t a 0 . C ´ AC V ´ IDU . V´ı d u . 1. Gia ’ su . ’ P (z)=a 0 z n + a 1 z n−1 + ···+ a n−1 z + a n .Ch´u . ng minh r˘a ` ng: 1 + Nˆe ´ u P (z) ∈ C[z]th`ıP (z)=P (z). 2 + Nˆe ´ u P (z) ∈ R[z]th`ıP... mˆo . tsˆo ´ lˆa ` nb˘a ` ng bˆo . icu ’ an´o,t´u . cl`a Q(x)=a 0 (z − α 1 ) m 1 (z − α 2 ) m 2 ···(z − α k ) m k , (2.2) trong d ´o α i = α j ∀ i = j v`a m 1 + m 2 + ···+ m k = n. D ath´u . c (2.1) v´o . ihˆe . sˆo ´ cao nhˆa ´ t a 0 =1du . o . . cgo . il`ad ath´u . c thu go . n. 2 + Nˆe ´ u z 0 l`a nghiˆe . mbˆo . i m cu ’ adath´u . c Q(z)th`ısˆo ´ ph´u . cliˆen ho . . p v´o . in´o z 0 l`a nghiˆe . mbˆo . i m cu ’ adath´u . c... v`a ban h`anh. Mu . cd ´ıch cu ’ a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o . sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho . c Tu . . nhiˆen n˘a ´ mv˜u . ng v`a vˆa . ndu . ng d u . o . . c c´ac phu . o . ng ph´ap gia ’ i to´an cao cˆa ´ p. Mu . c tiˆeu n`ay quyˆe ´ td i . nh to`an bˆo . cˆa ´ utr´uc cu ’ a gi´ao tr`ınh. Trong mˆo ˜ imu . c, d ˆa ` u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a ´ tnh˜u . ng co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t v`a . 263 L`o.i n´oi dˆa`uGi´ao tr`ınh B`ai tˆa.p to´an cao cˆa´p n`ay du.o..c biˆen soa.n theo Chu.o.ngtr`ınh To´an cao cˆa´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.cTu..nhiˆen. NGUYˆE˜N THUY’THANHB`AI TˆA.PTO´AN CAO CˆA´PTˆa.p1Da.isˆo´tuyˆe´n t´ınhv`a H`ınh ho.c gia’it´ıchNH`AXUˆA´TBA’NDA.IHO.CQUˆO´C
