Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 1 KHAI THÁC KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ LỒI, LÕM ĐỂ ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC 1. Cơ sở lí thuyết. a. Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục [ ; ] a b và có đồ thị là (C). Khi đó ta có hai điểm ( ; ( )), ( ; ( )) A a f a B b f b nằm trên đồ thị (C). i) Đồ thị (C) gọi là lồi trên ( ; ) a b nếu tiếp tuyến tại mọi điểm nằm trên cung AB luôn nằm phía trên đồ thị (C). ii) Đồ thị (C) gọi là lõm trên ( ; ) a b nếu tiếp tuyến tại mọi điểm nằm trên cung AB luôn nằm phía dưới đồ thị (C). b. Dấu hiệu đồ thị lồi Định lí 1: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm cấp hai liên tục trên ( ) ; a b * Nếu ( ) ''( ) 0 ; f x x a b > " Î thì đồ thị hàm số lõm trên ( ; ) a b * Nếu ( ) ''( ) 0 ; f x x a b < " Î thì đồ thị hàm số lồi trên ( ) ; a b c. Ứng dụng Từ hình ảnh trực quan của định nghĩa cho ta một phương pháp giải các bài toán BĐT và cực trị sau : Đồ thị hàm lõ m _ x _ y a _ b _ 1 Đồ thị hàm số lồi _ x _ y _ b _ a Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 2 Định lí 2: (Bất đẳng thức tiếp tuyến) Cho hàm số ( ) y f x = liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên [a;b] . i) Nếu ''( ) 0 [ ; ] f x x a b ³ " Î thì 0 0 0 0 ( ) '( )( ) ( ) [ ; ] f x f x x x f x x a b ³ - + " Î ii) Nếu ''( ) 0 [ ; ] f x x a b £ " Î thì 0 0 0 0 ( ) '( )( ) ( ) [ ; ] f x f x x x f x x a b £ - + " Î Đẳng thức trong hai Bất đẳng thức trên xảy ra 0 x x Û = . Ta có thể chứng minh định lí trên như sau i) Xét hàm số 0 0 0 ( ) ( ) '( )( ) ( ) g x f x f x x x f x = - - - , [ ; ] x a b Î Ta có : 0 '( ) '( ) '( ) ''( ) ''( ) 0 [ ; ] g x f x f x g x f x x a b = - Þ = ³ " Î 0 '( ) 0 g x x x Þ = Û = và '( ) g x đổi dấu từ - sang + khi x qua 0 x nên ta có : 0 ( ) ( ) 0 [ ; ] g x g x x a b ³ = " Î . ii) Chứng minh tương tự. Định lí 3: (Bất đẳng thức cát tuyến) Cho hàm số ( ) y f x = liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên [a;b] . i) Nếu ''( ) 0 [ ; ] f x x a b ³ " Î thì 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ; ] f a f b f x x a f a x a b a b - ³ - + " Î - ii) Nếu ''( ) 0 [ ; ] f x x a b £ " Î thì 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ; ] f a f b f x x a f a x a b a b - £ - + " Î - . Đẳng thức trong các BĐT trên có khi và chỉ khi x a = hoặc x b = . 2. Nội dung, biện pháp thực hiện giải pháp của đề tài: Ví dụ 1: Cho các số thực dương , , a b c thỏa 1 a b c + + = . Chứng minh rằng 2 2 2 3 10 1 1 1 a b c a b c + + £ + + + . Giải: Xét hàm số 2 ( ) 1 x f x x = + với (0;1) x Î . Ta có: 2 3 2 5 1 3 '( ) ''( ) 0 (0;1) ( 1) ( 1) x f x f x x x x = Þ = - < " Î + + Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 3 Nên ta có: 1 1 1 ( ) '( )( ) ( ) 3 3 3 f a f a f £ - + 1 1 1 ( ) '( )( ) ( ) 3 3 3 f b f b f £ - + 1 1 1 ( ) '( )( ) ( ) 3 3 3 f c f c f £ - + Suy ra : ( ) 1 1 3 ( ) ( ) ( ) ' 1 3 ( ) 3 3 10 f a f b f c f a b c f æ ö + + £ + + - + = ç ÷ è ø Đẳng thức xảy ra 1 3 a b c Û = = = . Ví dụ 2 : Cho các số thực dương , , a b c thỏa : 2 2 2 3 a b c + + = . Chứng minh 1 1 1 1 1 8 1 8 1 8 a b b + + ³ + + + . Giải : Xét hàm số : 1 ( ) 1 8 f x a = + , 0 3 a < £ . Ta có : 3 5 4 48 1 '( ) "( ) 0 ( ; 3] 8 (1 8 ) (1 8 ) f x f x x x x = - Þ = > " Î - + + Nên ta có : ( ) '(1)( 1) (1) f a f a f ³ - + ( ) '(1)( 1) (1) f b f b f ³ - + ( ) '(1)( 1) (1) f c f c f ³ - + ( ) ( ) ( ) '(1)( 3) 3 (1) f a f b f c f a b c f Þ + + ³ + + - + (*) Mặt khác : 2 2 2 2 ( ) 3( ) 9 a b c a b c + + £ + + = 3 3 3 0 a b c a b c Þ - £ + + £ Þ + + - £ và 4 '(1) 0 27 f = - < nên từ (*) Ta suy ra : ( ) ( ) ( ) 3 (1) 1 f a f b f c f + + ³ = . Nhận xét : Dấu hiệu giúp chúng ta nhận ra phương pháp trên là BĐT cần chứng minh có dạng 1 2 ( ) ( ) ( ) n f a f a f a k + + + ³ hoặc 1 2 ( ) ( ) ( ) n f a f a f a k + + + £ , trong đó ( 1, , ) i a i n = là các số thực cho trước. Trong một số trường hợp BĐT chưa có dạng trên, ta phải thực Nguyn Tt Thu Trng Lờ hng Phong Biờn Hũa 4 hin mt s phộp bin i mi a v dng trờn.Chỳng ta cn chỳ ý mt s du hiu sau. ã Nu BT cú dng 1 2 ( ). ( ) ( ) n f a f a f a k thỡ ta ly loganepe hai v ã Nu BT cn chng minh ng bc thỡ ta cú th chun húa. Tựy thuc vo tng bi toỏn m ta la chn cỏch chun húa phự hp. Vớ d 3 : Cho cỏc s thc dng , , a b c tha : 3 a b c + + = . Tỡm GTLN ca biu thc : 2 2 2 1 1 1 b c a P a a b b c c ổ ử ổ ử ổ ử = + + + + + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ . Gii : Ta cú : 2 2 2 ln ln( 1 ) ln 1 ln 1 P b a a c b b a c c ổ ử ổ ử = + + + + + + + + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Xột hm s : 2 ( ) ln 1 , 0 1 f x x x x ổ ử = + + < < ỗ ữ ố ứ . Ta cú : 2 2 3 1 '( ) ''( ) 0 1 (1 ) x f x f x x x - = ị = < + + (0;1) x " ẻ Suy ra : ( ) ( ) '(1) 1 (1) '(1) (1) '(1) f a f a f f a f fÊ - + = + - ( ) '(1) (1) '(1) bf a f ab f f b ộ ự ị Ê + - ở ỷ ( ) '(1) (1) '(1) cf b f cb f f c ộ ự Ê + - ở ỷ ( ) '(1) (1) '(1) af c f ac f f a ộ ự Ê + - ở ỷ . ( ) ln '(1) ( ) (1)( ) 3 ln(1 2) P f ab bc ca a b c f a b cị Ê + + - + + + + + Ê + (Do 3 ab bc ca a b c + + Ê = + + ) Nờn 3 ln 3 ln(1 2) (1 2) P P ị Ê + ị Ê + . ng thc xy ra 1 a b c = = = . Vy GTLN ca 3 (1 2) P = + . Vớ d 4 : Cho , 0 x y > tha 1 x y z + + = . Tỡm GTNN ca biu thc Nguyn Tt Thu Trng Lờ hng Phong Biờn Hũa 5 y z x P x y z - - - = + + . Gii : p dng BT Cụ si, ta cú : 3 3 . . y z x P x y z t . . ln ln ln ln y z x A x y z A y x z y x z = ị = + + . Vỡ hm s ( ) ln f t t = cú 2 1 ''( ) 0 f t t = - < 1 1 1 ln ' ( ) 3 1 ln 3 3 3 3 x f x f x ổ ử ổ ử ị Ê - + = - - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ln (3 1 ln 3) (3 1 ln 3) (3 1 ln 3) A y x z y x z ị Ê - - + - - + - - 2 3( ) 1 3 ln 3 ( ) 1 3 ln 3 3 ln 3 xy yz zx x y z = + + - - Ê + + - - = - 3 1 3 3 3 A Pị Ê ị . ng thc xy ra 1 3 x y z = = = . Vy GTNN ca 3 3 3 P = . Vớ d 5 : Cho 1 , , 2 a b c tha 2 a b c + + = . Tỡm GTNN ca biu thc a b c P a b c = + + . Gii : Xột hm s 1 ( ) , 1 2 t f t t t = Ê Ê . Ta cú : ln ( ) ln f t t t = ly o hm hai v ta c ( ) '( ) (1 ln ) ( ) ln '( ) ln ( ) ln ln 1 f t t f t f t f t t = + ị = + + ''( ) '( ) 1 1 1 ln '( ) ( ) (ln 1) (ln 1) f t f t t f t f t t t t t ị = + = + + + + 1 1 ''( ) (1 ln ) ( ) 1 ln 0 [ ;1] (1 ln ) 2 f t t f t t t t t ộ ự ị = + + + > " ẻ ờ ỳ + ở ỷ Vỡ 1 , , ;1 2 a b c ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ nờn ỏp dng BT tip tuyn, ta cú : 2 2 2 ( ) '( )( ) ( ) 3 3 3 f a f a f - + 2 2 2 ( ) '( )( ) ( ) 3 3 3 f b f b f - + Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 6 2 2 2 ( ) '( )( ) ( ) 3 3 3 f c f c f ³ - + Cộng ba BĐT trên ta có : ( ) 3 2 2 4 ( ) ( ) ( ) '( ) 2 3 ( ) 3 3 3 9 f a f b f c f a b c f+ + ³ + + - + = . Vậy GTNN của 3 4 3 9 P = đạt được 2 3 a b c Û = = = . Ví dụ 6 : Cho , , 0 a b c > . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 ( )( ) 3 3 a b c a b c a b c a b c + + + + + ³ + + + + + . (Trích đề thi Albania 2002) Lời giải. Vì BĐT đã cho thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh Bđt đúng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn 2 2 2 1 a b c + + = , khi đó bđt cần chứng minh trở thành: ( ) ( ) ( ) 1 f a f b f c + + ³ trong đó: 1 3 1 ( ) . 3 3 f x x x + = - với 0 1 x < < . Dễ thấy hàm số f có ''( ) 0 (0;1) f x x > " Î Nên theo BĐT tiếp tuyến ta có : 1 1 ( ) ( ) ( ) ' ( 3) 3 3 3 f a f b f c f a b c f æ ö æ ö + + ³ + + - + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Do 2 2 2 1 ' 0 1 ( ) ( ) ( ) 3 1 3 3 3( ) 3 f f a f b f c f a b c a b c ì æ ö < ï ç ÷ æ ö ï ç ÷ Þ + + ³ = è ø ç ÷ í ç ÷ è ø ï + + £ + + = ï î . Ví dụ 7: Cho n số thực 1 2 , , , n x x x thuộc khoảng (0; ) 2 p thỏa : 1 2 tan tan tan n x x x n + + + £ .Chứng minh : 1 2 1 sin . sin sin 2 n n x x x £ . Giải : Đặt tan ( 1, 2, , ) i i a x i n = = 0 1,2, , i a i n Þ > = và 1 n i i a n = £ å Nguyn Tt Thu Trng Lờ hng Phong Biờn Hũa 7 Ta cn chng minh : 2 1 1 1 2 n i n i i a a = Ê + ế (1). Xột hm s 2 ( ) , 0 1 x f x x x = > + cú 2 3 1 '( ) (1 ) f x x = + ''( ) 0 0 f x x ị < " > . 3 1 1 1 ( ) '(1)( 1) (1) ( 1) ( 1) 2 2 2 2 f x f x f x x ị Ê - + = - + = + . 1 2 1 1 1 ( 1) 1 1 2 1 ( ) ( 1) 1 8 8 8 2 n n i n n n n i i i i n n n n i i i i a a f a a n a = = = = ổ ử ỗ ữ + ỗ ữ ị = Ê + Ê Ê = ỗ ữ ỗ ữ + ỗ ữ ố ứ ồ ế ế ế ng thc xy ra 1 2 1 2 1 tan tan tan 1 n n a a a x x x = = = = = = = = 1 2 4 n x x x p = = = = . Nhn xột : Qua cỏc vớ d trờn, ta cú c kt qu tng quỏt sau nh lớ 4 : Cho hm s ( ) y f x = cú o hm cp hai trờn ; a b ộ ự ở ỷ v n s 1 2 , , , n a a a nm trong on ; a b ộ ự ở ỷ tha món : 1 , n i i a k na k nb = = Ê Ê ồ . ã Nu ''( ) 0 ; f x x a b ộ ự > " ẻ ở ỷ thỡ ta cú : 1 ( ) ( ) n i i k f a nf n = ồ ã Nu ''( ) 0 ; f x x a b ộ ự < " ẻ ở ỷ thỡ ta cú : 1 1 ( ) ( ) n i i k f a f n n = Ê ồ . Nguyn Tt Thu Trng Lờ hng Phong Biờn Hũa 8 Vớ d 8. Cho tam giỏc ABC cú mt gúc khụng nh hn 2 3 p . Chng minh rng : tan tan tan 4 3 2 2 2 A B C + + - . Li gii. Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s 2 3 6 A B C C p p > ị Ê . Hm s ( ) tan f x x = , 0; 3 x p ổ ử ẻ ỗ ữ ố ứ cú ''( ) 0 0; 3 f x x p ổ ử > " ẻ ỗ ữ ố ứ . p dng BT tip tuyn, ta cú ( ) '( )( ) ( ) 2 3 2 3 3 A A f f f p p p - + ( ) '( )( ) ( ) 2 12 2 12 12 B B f f f p p p - + ( ) '( )( ) ( ) 2 12 2 12 12 C C f f f p p p - + . 2 '( ) '( ) '( ) 2 2 2 3 12 2 3 12 2 2 A B C A A B C f f f f f f p p p p p ổ ử ổ ử ổ ử ộ ự ổ ử ổ ử + + ị + + - - + - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ờ ỳ ố ứ ố ứ ố ứ ở ỷ ố ứ ố ứ 2 3 12 f f p p ổ ử ổ ử + + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Do ' ' 0; 0 3 12 2 3 A f f p p p ổ ử ổ ử - > - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ v 2 2 A B C p + + = nờn ta cú : 2 4 3 2 2 2 3 12 A B C f f f f f p p ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử + + + = - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ pcm. ng thc xy ra 2 ; 3 6 A B C p p = = = v cỏc hoỏn v. Vớ d 9. Cho cỏc s thc khụng õm , , a b c tha 3 max{ , , } 4 a b c v 1 a b c + + = . Tỡm GTNN ca biu thc : 3 3 3 2 2 2 1 3 1 3 1 3 P a b c = + + + + + . Li gii. Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s 3 1 max { , , } , 4 8 a a b c a c = ị Ê . Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 9 Xét hàm số ( ) 3 2 ( ) 1 3 , 0;1 f x x x= + Î có 2 2 3 2 '( ) (1 3 ) x f x x = + 2 2 5 3 2 2 ''( ) 0 (0;1) (1 3 ) x f x x x - Þ = > " Î + . Áp dụng BĐT tiếp tuyến, ta có : 3 3 3 ( ) '( )( ) ( ) 4 4 4 f a f a f ³ - + ; 1 1 1 ( ) '( )( ) ( ) 8 8 8 f b f b f ³ - + ; 1 1 1 ( ) '( )( ) ( ) 8 8 8 f c f c f ³ - + 3 3 3 1 3 3 1 3 1 172 2 67 ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 4 8 4 4 8 4 8 4 f a f b f c f f x f f f f é ù + Þ + + ³ - - + + ³ + = ê ú ë û . Đẳng thức xảy ra 3 1 ; 4 8 a b c Û = = = và các hoán vị. Vậy 3 3 172 2 67 min 4 P + = . Nhận xét : Trong một số trường hợp đồ thị hàm số ( ) y f x = có khoảng lồi, lõm trên ; a b é ù ë û nhưng ta vẫn có được đánh giá : 0 0 0 0 ( ) '( )( ) ( ) , ( ; ) f x f x x x f x x a b ³ - + Î . Chẳng hạn các bạn xem đồ thị minh họa dưới đây. Ví dụ 10: Cho , , a b c Î ¡ và 6 a b c + + = . Chứng minh rằng : 4 4 4 3 3 3 2( ) a b c a b c + + ³ + + . Lời giải: _ x _ y x 0 a _ O b Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 10 BĐT đã cho 4 3 4 3 4 3 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 a a b b c c f a f b f c Û - + - + - ³ Û + + ³ Trong đó 4 3 ( ) 2 f x x x = - . Ta thấy 2 ''( ) 12 12 f x x x = - nên đồ thị hàm số f có khoảng lồi và khoảng lõm do đó ta không thể áp dụng BĐT tiếp tuyến được. Tuy nhiên ta vẫn có thể đánh giá được ( ) f x qua tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ 2 x = (vì đẳng thức xảy ra khi 2 a b c = = = ) Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại ( ) y f x = điểm có hoành độ 2 x = là: 8 16 y x = - . 4 3 2 2 ( ) (8 16) 2 8 16 ( 2) ( 2 4) 0 f x x x x x x x x x - - = - - + = - - + ³ " Î ¡ . ( ) ( ) ( ) 8( ) 48 0 f a f b f c a b c Þ + + ³ + + - = (đpcm). Chú ý. Vì 8 16 y x = - là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 3 ( ) 2 f x x x = - tại điểm có hoành độ 2 x = nên ta có sự phân tích: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 16 2 k f x x x g x - - = - với 2 k ³ và (2) 0 g ¹ . Ví dụ 11: Cho 3 , , 4 a b c ³ - và 1 a b c + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 9 10 1 1 1 a b c a b c + + £ + + + . ( Vô địch Toán Ba Lan 1996) Lời giải. Ta thấy đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c = = = và Bđt đã cho có dạng: 9 ( ) ( ) ( ) 10 f a f b f c+ + £ trong đó 2 ( ) 1 x f x x = + với 3 5 [ ; ] 4 2 x Î - . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) y f x = tại điểm có hoành độ 1 3 x = là : 36 3 50 x y + = . Ta có: 2 2 2 (3 1) (4 3) 36 3 36 3 3 5 ( ) 0 [ ; ] 50 50 4 2 1 50( 1) x x x x x f x x x x - + + + - = - = ³ " Î - + + Vậy : 2 2 2 36( ) 9 9 50 10 1 1 1 a b c a b c a b c + + + + + £ = + + + đpcm. Ví dụ 12 : Cho các số thực , , 0 a b c > thoả mãn 1 a b c + + = . Chứng minh : . Biên Hòa 1 KHAI THÁC KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ LỒI, LÕM ĐỂ ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC 1. Cơ sở lí thuyết. a. Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục [ ; ] a b và có đồ thị là (C) dưới đồ thị (C). b. Dấu hiệu đồ thị lồi Định lí 1: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm cấp hai liên tục trên ( ) ; a b * Nếu ( ) ''( ) 0 ; f x x a b > " Î thì đồ thị hàm. trị sau : Đồ thị hàm lõ m _ x _ y a _ b _ 1 Đồ thị hàm số lồi _ x _ y _ b _ a Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 2 Định lí 2: (Bất đẳng thức tiếp