Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghóa PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ Hình học phẳng trong đề thi ĐH 2003-2010 các ban A-B-D www.saosangsong.com.vn 2 2 LTĐH: Chuyên đề HÌNH HỌC PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ PHẲNG §1.ĐƯƠNG THẲNG 1. Phương trình của đường thẳng qua M 0 ( x 0 ; y 0 ) và có VTPT n G = (a ; b) là : a(x – x 0 ) + b(y –y 0 ) • Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : ax + by + c = 0 trong đó = (a ; b) là một VTPT . n G • ∆ qua A(a ; 0) và B(0 ; b) Ù ∆ : xy +=1 ab • Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k : y = kx + m với k = tanφ là góc hợp bởi tia Mt của ∆ ở phía trên Ox và tia Mx. • Phương trình đường thẳng AB : AA BA B A x - x yy x- x yy − = − 2. Khỏang cách từ M (x o ; y o ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 là : )Δ= = 0o 22 |ax +by +c| d(M, MH a+b 3.Góc ( không tù ) tạo bởi ∆ 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 và ∆ 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 là : cos(∆ 1 ; ∆ 2 ) = 12 12 222 1122 |aa +b b | a+b a+b 2 ∆ 1 ┴ ∆ 2 Ù a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0 4.Phương trình tham số của đường thẳng • Phương trình tham số của đường thẳng qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP a G = (a 1 ; a 2 ) là : o1 o2 xx ta yy ta =+ ⎧ ⎨ =+ ⎩ • Phương trình chính tắc của đường thẳng qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP a G = (a 1 ; a 2 ) là : oo 12 xx yy aa −− = ( a 1 ≠ 0 và a 2 ≠ 0) G • Nếu = (a; b) là VTPT của ∆ thì = (b ; - a) hay ( - b ; a) là một VTCP của ∆ . n a G § 2. ĐƯỜNG TRÒN 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phương trình đường tròn tâmI(h ; k) bán kính R là : (x – h) 2 + (y – k) 2 = R 2 . • Phương trình đường tròn (O, R) là : x 2 + y 2 = R 2 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mọi phương trình có dạng : x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 với a 2 + b 2 – c > 0 là phương trình đường tròn : tâm I( a ; b), bán kính R = 22 abc+− 3. Tiếp tuyến với đường tròn • (x – h) 2 + (y – k) 2 = R 2 tại tiếp điểm T(x 0 ; y 0 ) là : đường thẳng qua T và vuông góc )ky;hx(IT 00 −−= có phương trình : (x 0 – h)(x – x 0 ) + (y 0 – k)(y – y 0 ) = 0 n G a G ∆ φ M M ∆ H x y I O I T R ∆ 3 3 • Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (I, R) Ù d(I, ∆) = R &3. CÔNIC y 1. Elip x M F K O y a. Định nghĩa . Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với 12 2FF c = và một độ dài không đổi 2a ( a > c). Elip là tập hợp những điểm M sao cho : M x F 1 M + F 2 M = 2a F 1 , F 2 : tiêu điểm , F 1 F 2 : tiêu cự , O A 1 A 2 B 1 B 2 F 1 F 2 F 1 M , F 2 M : bán kính qua tiêu ; e = c/a : tâm sai. 2. Phương trình chính tắc . Với F 1 ( - c ; 0) , F 2 (c ; 0) : M(x ; y) ∈ (E) Ù 22 22 xy += ab 1 với b 2 = a 2 - c 2 . * Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x = ± a , y = ± b gọi là hình chữ nhật cơ sở của hypebol. F 1 M = a + a cx M = a + ex M ; F 2 M = a cx a M − = a - ex M 2. Hypebol a. Định nghĩa .Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với 12 2FF c = và một độ dài không đổi 2a ( a > c) . Hypebol là tập hợp những điểm M sao cho : F F A 1 A 2 12 FM-FM =2a F 1 , F 2 : tiêu điểm ; F 1 F 2 : tiêu cự . F 1 M , F 2 M : bán kính qua tiêu; e = c/a : tâm sai. b. Phương trình chính tắc Với F 1 ( - c ; 0) , F 2 (c ; 0) : M(x ; y) ∈ (H) Ù 22 22 xy -= ab 1 với b 2 = c 2 - a 2 * Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x = ± a , y = ± b gọi là hình chữ nhật cơ sở của hypebol. * Đường thẳng y = ± b x a gọi là hai tiệm cận . * M 1M M c x a ,M nhaùnh phaûi a FM ex a c x a , M nhaùnh traûi a ⎧ +∈ ⎪ ⎪ =+= ⎨ ⎪ −− ∈ ⎪ ⎩ * M 2M M c x a ,M nhaùnh phaûi a FM ex a c x a , M nhaùnh traùi a ⎧ −∈ ⎪ ⎪ =−= ⎨ ⎪ −+∈ ⎪ ⎩ 3. Parabol a. Định nghĩa : Cho điểm F và đường thẳng (∆) không chứa F . Parabol là tập hợp các điểm M sao cho : MF = d(M , (∆)) F : tiêu điểm; (∆) : đường chuẩn của parabol p = d(F, Δ ) : tham số tiêu b. Phương trình chính tắc của parabol . Với F( ;0) 2 p và ∆ : x = - 2 p . M(x ; y) ∈ (P) Ù y 2 = 2px FM = p/2 + x M PHÂN TÍCH CÁC DẠNG TOÁN HÌNH PHẲNG: 4 4 Phương pháp Thông thường ta gặp các dạng sau khi giải một đề thi đại học môn hình phẳng : Dạng 1: Tìm toạ độ một điểm thỏa các tính chất cho trước Dạng 2 : Viết phương trình đường thẳng , đường tròn hay một cônic thỏa một tính chất cho trước Dạng 1: Tìm toạ độ một điểm thỏa các tính chất cho trước Có 2 cách:  Cách 1: Sử dụng công thức toạ độ trung điểm , trọng tâm, điều kiện bằng nhau, cùng phương, vuông góc của hai vectơ để tìm toạ độ của điểm cần tìm một cách trực tiếp.  Cách 2: Từ tính chất của điểm , ta thiết lập phương trình (có ẩn là hoành độ, tung độ ) hay hệ phương trình (có ẩn là toạ độ của điểm cần tìm). Giải phương trình hay hệ phương trình, ta được toạ độ điểm cần tìm. Các công thức về toạ độ, điều kiện cùng phương, vuông góc, khoảng cách , phương trình các đường chứa điểm ấy . . . cung cấp cho ta những phương trình xác định. 1. D2004. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(- 1; 0), B(4; 0) và C(0, m). Xác định m để tam giác GAB vuông tại G với G là trọng tâm của tam giác ABC. Giải Ta thiết lập phương trình ẩn m để tìm m. Tính chất là GA J JJG và GB J JJG vuông góc . Phương trình là điều kiện vuông góc của hai vectơ. Tọa độ G: 1 3 33 ABc G ABc G xxx x yyy m y ++ ⎧ == ⎪ ⎪ ⎨ ++ ⎪ == ⎪ ⎩ => = (- 2; - m/3); GA JJJG GB J JJG JJJG JJJG = (3 ; - m/3) Tam giác GAB vuông tại G Ù GA . GB = 0 Ù - 6 + m 2 /9 = 0 Ù m = 36± . 2. B2003. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M(1; - 1) là trung điểm BC và G(2/3; 0) là trọng tâm ABC. Tình toạ độ A, B, C. Giải Theo tính chất trọng tâm: 3. M J AMG= JJG JJJJG 13.(1/3) 13.(1) A A x y −= − ⎧ ⎨ += ⎩ (1;3)MA =− G A B C G M Ù => A= (0; 2) B, C đều nằm trên đường thẳng qua M(1 ; - 1) và vuông góc JJJ có phương trình : - 1(x – 1) + 3(y + 1) = 0 Ù - x + 3y + 4 = 0 (1) Mặt khác MB = MC = MA = 10 , nên toạ độ của B, C là nghiệm của hệ: ⎨ 22 (1) (1)(1)1(2 xy ⎧ )−++= ⎩ Giải hệ này ta được toạ độ B và C là (4 ; 0) và (-2 ; - 2). 9 Cách khác: Nếu nhớ được tính chất sau thì ta không cần phải giải hệ để tìm toạ độ B, C. 5 5 “Cho u và là hai vectơ G v G vuông góc , có độ dài bằng nhau thế thì nếu (; )uAB= G thì . Qui tắc này rút ra từ liên hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng .” (; ) ( ; )v B A hay v B A=− =− GG Vì ; M BMC JJJG JJJJG vuông góc và có độ dài bằng MA do đó: (1;3)MA =− JJJG (3;1); ( 3; 1) ( 3; 1); (3;1) MB MC MB MC ⎡ = =− − ⎢ =− − = ⎢ ⎣ J JJG JJJJG JJJG JJJJG Từ đó ta tính ngay được toạ độ B và C. 3. D2009. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ©: (x – 1) 2 + y 2 = 1 Gọi I là tâm của (C) . Xác định toạ độ điểm M thuôc (C) sao cho thuộc sao cho góc IMO=30 0 . Giải Nếu bạn nhận ra là đường tròn có tâm I(1 ; 0), bán kính R = 1, và qua gôc O thì việc giải sẽ dễ dàng. O M I Vì góc IMO = 30 0 nên góc IOM = 30 0 (tam giác IOM cân tại I), suy ra đường thẳng OM có hệ số góc là 0 1 tan 30 3 ±=±. Do đó phương trình đường thẳng OM là y = 3 x ± . Thế vào phương trình đường tròn, ta được phương trình tính hoành độ điểm I. Cách khác: Dùng định lí hàm cosin trong tam giác OIM: OM 2 = IO 2 + IM 2 – 2.IO. IM.cos120 0 Mà IO = IM = 1, ta suy ra : OM 2 = 3 => OM = 3 Ù x 2 + y 2 = 3 (x; y) là toạ độ của M. M lại thuộc đường tròn , do đó ta có hệ phương trình tính toạ độ điểm M. 4. D2006. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). Giải M thuộc d: x – y + 3 = 0 => M = (x ; x + 3). (C) có tâm I(1 ; 1), bán kính R = 1. Đường tròn tâm M có bán kính R’ = 2. (C) và (M) tiếp xúc ngoài Ù IM = R + R’= 3 Ù (x – 1) 2 + (x + 2) 2 = 9 Ù 2x 2 + 2x – 4 = 0 Ù x = 1 hay x = - 2 . Vậy M(1 ; 4) hay M(- 2; 1). 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác cân ABC, cân tại A(0 ; - 3), có trọng tâm G thuộc đường thẳng x + 2y = 0 và đường thẳng BC qua điểm D(1 ; 2). Tìm toạ độ trung điểm M của BC. Giải A B C G Gọi (x; y) là toạ độ điểm M. Ta sẽ thiết lập hệ phương trình ẩn x, y bằng cách khai thác hai tính chất của điểm M. M D 6 6 • Trước hết vì tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AM cũng là đường cao. Suy ra: . 0 ( 0)( 1) ( 3)( 2) 0AM DM x x y y= <=> − − + + − = JJJJG JJJJG (1) 22 60xyxy<=> + − + − = • Trọng tâm G có toạ độ : 2 33 32 33 ABC G ABC G xxx x x yyy y y ++ ⎧ == ⎪ ⎪ ⎨ ++ −+ ⎪ == ⎪ ⎩ G thuộc đường thẳng x + 2y = 0 Ù 232 2. 0 2 3 0 33 xy xy − + + =<=>+ −= (2) • Giải hệ (2) và (3) ta được toạ độ điểm M. Từ (2): x = - 2y + 3. Thế vào (1): (-2y + 3) 2 + y 2 – (- 2y + 3) + y – 6 = 0 Ù 5y 2 – 10y = 0 Ù y = 0 ; y = 2. • y = 0 => x = 3 ; y = 2 => x = - 1. Vậy M(3 ; 0) hay M(- 1; 2). Nếu phải tính toạ độ nhiều điểm (các đỉnh của tam giác , tứ giác) thì thường ta chọn toạ độ một điểm làm ẩn số, nếu được . Từ giả thiết của bài toán, ta sẽ tìm toạ độ các điểm còn lại theo ẩn số đó và lập phương trình hay hệ phương trình để tìm các ẩn số đó. 6.A2005. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d 1: x- y = 0 và d 2 : 2x + y - 1 = 0, tìm các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d 1 , C thuộc d 2 và B, D thuộc Ox. Giải (Hình vẽ chỉ có tính tương đối) A B D C Vì A thuộc d 1 : x – y = 0 nên có toạ độ (a; a). Do A, C đối xứng qua BD mà B, D thuộc Ox nên A, C đối xứng qua Ox. Suy ra C = (a ; - a). Mà C thuộc d 2 : 2x + y – 1 = 0 nên 2a + ( - a) – 1 = 0 Ù a = 1. Vậy A(1 ; 1 ), C(1 ; - 1). Suy ra toạ độ trung I của tâm hình vuông là (1 ; 0). Do IB = ID = 1 , ta được B(0; 0) và D(2 ; 0) hay ngược lại. Trong ví dụ sau, ta phải đặt 2 ẩn số là hoành độ của B và C. Từ giả thiết ta sẽ lập hệ phương trình theo 2 ẩn số đã chọn. d 1 d 2 I 7. B2007. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng: d 1 : x + y – 2 = 0, d 2 : x + y – 8 = 0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d 1 và d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Giải B thuộc d 1 :x + y – 2 = 0 => B = (b; 2 – b) => (2;) A Bb b = −− J JJG A B C C thuộc d 2 : x + y – 8 = 0 => C = (c ; 8 – c) => (2;6) A Cc c = −− J JJG (1) 7 7 Vì ; A BAC JJJG JJJG là hai vectơ vuông góc và có độ dài bằng nhau mà (2;) A Bb b = −− J JJG nên (2) . Từ (1) và (2) suy ra: (; 2) (;2 ) bb AC bb − ⎡ = ⎢ −− ⎣ JJJG 2 26 2 26 bc bc bc bc ⎡=− ⎧ ⎨ ⎢ − =− ⎩ ⎢ ⎢ −=− ⎢ − =− ⎢ ⎢ ⎣ Giải hệ này ta được : . 3; 5 1; 3 bc bc == ⎡ ⎢ =− = ⎣ Vậy B(- 1; 3), C(3 ; 5) hay B(3 ; - 1), C(5 ; 3) . Nhận xét: Trong cách giải này ta sử dụng qui tắc toạ độ của hai vectơ vuông góc và có độ dài bằng nhau, lấy từ qui tắc toạ độ của hai vectơ pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng Ax + By + C = 0, khi đó G là vectơ pháp tuyến thì uB(; )nAB= (; ) ( ;)AhayBA=− − G là vectơ chỉ phương. Nếu không thì ta sẽ ải hệ như sau: gi Đặt (;); ( ';') A BXYACXY== JJJ JJJG G ) , ta có: 22 2 2 |||| ''(1 ''0(2) .0 AB AC XY XY XX YY AB AC ⎧ = ⎧ += + ⎪ <=> ⎨⎨ += = ⎪ ⎩ ⎩ JJJGJJJG JJJG JJJG Từ (2): Y’ = - XX’/Y. Thế vào (1): X 2 + Y 2 = X’ 2 + (XX’) 2 /Y 2 Ù (X 2 + Y 2 )Y 2 = X’ 2 (X 2 + Y 2 ) Ù X’ 2 = Y 2 Ù X’ = Y hay X’ = -Y. * X’ = Y => Y’ = - X * X’ = - Y => Y’ = X. Ta tìm lại qui tắc trên. 8. B2008. Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(- 1; -1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x - y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0 Giải Đây là bài khó vì ta phải lần lượt tìm toạ độ những điểm trung gian mới đến được toạ độ điểm C cần tìm. Bài toán giải theo từng nước như một ván cờ. A B C H(-1;-1) d: x-y+2=0 d’ : 4x+3 y -1=0 K • Trước hết ta tìm được toạ độ điểm K, đối xứng của H qua phân giác d qua A: Phương trình HK qua H(- 1; - 1) và vuông góc d: x – y + 2 = 0 là: (x + 1) + (y + 1) = 0 Ù x + y + 2 = 0 . => K = (x ; - x – 2) => toạ độ trung điểm của HK là ( x 13 ; 22 x−−− ). Điểm này thuộc d nên : 13 20 22 xx−−− −+= Ù x = - 3 => K(- 3; 1). • Tiếp theo ta viết phương trình AC qua K(- 3; 1) và vuông góc d’ : 4x + 3y – 1 = 0 là : 3(x + 3) – 4(y – 1) = 0 Ù 3x – 4y + 13 = 0 . 8 8 Suy ra toạ độ A là nghiệm của hệ : 20 34130 xy xy −+= ⎧ ⎨ − += ⎩ Ù A(5; 7) . • Nhờ đó ta viết được phương trình CH qua H(- 1; -1) và vuông góc (6; 8)HA = J JJG là : 6(x + 1) + 8(y + 1) = 0 Ù 3x + 4y + 7 = 0. • Từ đó ta tìm được toạ độ C, giao điểm của đường thẳng CH và AC, là nghiệm của hệ : Ù C = (- 10/3 ; ¾). 3470 3413 xy xy ++= ⎧ ⎨ −+= ⎩ 0 Trong bài tiếp ta tìm một điểm thỏa một tính chất hình học mà ta có thể giải bằng hình học hoặc đại số. 9. D2007. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 và đường thẳng d:3x - 4y + m = 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. P Giải Nhận xét: Ở đây ta không dại gì mà tìm toạ độ A, B, là điều vô cùng phức tạp. Ta sử dụng tình chất của hai tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ điểm P, để thấy : ∆PAB đều Ù ∆PAI nửa đều Ù IP = 2IA = 2R = 6. Bài toán thành ra tìm m sao cho trên d chỉ có duy nhất điểm P sao cho IP = 6. A I Cách hình học : Yêu cầu bài toán Ù d(I, d) = 6 Ù |3(1) 4( 2) | 6 5 m−−+ = với I(1 ; - 2) B Ù |m + 11| = 30 Ù m = 19 hay m = - 41 Cách đại số : P thuộc d : 3x – 4y + m = 0 => P = (x ; 3 4 x m + ) IP = 6 Ù (x – 1) 2 + 2 3 236 4 xm+ ⎛⎞ += ⎜⎟ ⎝⎠ (*) Yêu cầu bài toán Ù (*) có nghiệm duy nhất Ù ∆ = 0 . . . . Một trong các dạng tìm điểm có dạng tìm điểm cố định của một họ đường cong như trong bài dưới . Ví dụ cho họ đường tròn (C m ) : x 2 + y 2 – 2mx + 4my + 2m – 10 = 0, chứng minh . Họ (C m ) luôn qua hai điểm cố định khi m thay đổi. Giải : Ta có : a 2 + b 2 – c = 5m 2 – 2m + 10 > 0 với mọi m => (C m ) là đường tròn với mọi m. Gọi (x o ; y o ) là toạ độ điểm cố định cần tìm, ta có : x o 2 + y o 2 – 2mx o + 4my o + 2m – 10 = 0 thỏa với mọi m Ù 2m(- x o + 2y o + 1 ) + x o 2 + y o 2 – 10 = 0 thỏa với mọi m Ù Ù ⎨ Ù 22 21 10 0 oo oo xy xy −+ += ⎧ ⎪ ⎨ +−= ⎪ ⎩ 0 ++ −= ⎪ ⎩ 0 22 21 (2 1) 10 0 oo oo xy yy =+ ⎧ ⎪ 2 21 549 oo oo xy yy =+ ⎧ ⎪ ⎨ + −= ⎪ ⎩ Giải hệ này ta được : (3 ; 1) và (-13/5; 9/5). Vậy họ (C m ) luôn qua hai điểm cố định (3 ; 1) và (-13/5; 9/5). 9 9 Tuy nhiên trong bài dưới đây ta có một họ đường thẳng phụ thuộc hai tham số , ta sẽ giải quyết ra sao? 10. D2008. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) : y 2 = 16x và điểm A(1; 4). Hai điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc BAC = 90 0 . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. Giải Vì B và C thuộc (P): y 2 = 16x => B = (b 2 /16 ; b) và C = (c 2 /16; c), với b, c ≠ 4. Ta có: với .0AB AC = JJJG JJJG 22 ( /16 1; 4) ; ( /16 1; 4)AB b b AC c c=−− =−− JJJG JJJG Ù 22 16 16 .(4)(4) 16 16 bc bc −− +− −= 0 Chia hai vế cho (b – 4)(c – 4) , ta được : (4)(4) 10 256 bc + + + = Ù bc + 4(b + c) + 274 = 0 (1) Phương trình đường thẳng BC : 2 22 16 16 16 b x yb cb cb − − = − − Ù 16x – (b + c)y + bc = 0 (2) Từ (1) và (2), ta thấy rằng nếu cho 16x = 274 và – y = 4 thì (2) là (1), tức (2) thỏa với mọi giá trị của b, c thỏa (1) khi x = 17 và y = - 4 , hay đường thẳng BC luôn qua điểm cố định I(17 ; - 4). Cách khác: Nếu ta chọn tham số là hệ số góc m của đường thẳng AB thì phương trình AB: y = m(x – 1)+ 4 và của đường thẳng AC vuông góc AB là y = 1 (1)4x m −+ . − Giải hệ ta sẽ tìm được toạ độ B và C theo m. Từ đó viết được phương trình đường thẳng BC phụ thuộc m. Ta có bài toán tìm điểm cố định của họ đường thẳng mà ta đã giải trong ví dụ trên. Tuy nhiên không phải con đường trơn tru và dễ dàng. Mời các bạn” phiêu lưu”. DẠNG 2. Viết phương trình đường thẳng , đường tròn . . .thỏa một đặc tình cho trước : Cách 1: Tìm những điểm xác định đường thẳng , đường tròn : Ví dụ với đường thẳng thì tìm hai điểm mà nó đi qua , hay 1 điểm và một vectơ pháp tuyến của nó. Với đường tròn thì phải tìm tâm và bán kính . . . 11. D2010 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và Δ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ. Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. A Δ H O Giải Nhận xét: Vì ∆ qua O nên chỉ cần biết toạ độ H là viết được phương trình ∆. Gọi H(a ; b), khoảng cách từ H đến Ox là |b|, ta có hệ: 22 .0 A Hb AH OH ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ JJJG JJJG 10 10 Với (; 2); (;) A Hab OHab=− = JJJG JJJG : 2222 222 (2) 440(1) (2)0 20(2 ab b a b abb ab b ⎧⎧ +− = − += ⎪⎪ <=> ⎨⎨ +−= +−= ⎪⎪ ⎩⎩ ) (2) – (1): b 2 + 2b – 4 = 0 Ù b = 51; 51−−− Thế vào (1): a 2 = 4( 52− ) hay 4(- 52 − ) : loại Suy ra a = 252±− . Phương trình đường thẳng (∆) qua O và H(a ; b) : bx – ay = 0 Ù (5 1) 2 5 2) 0xy − ±−= 12.B2009 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x – 2) 2 + y 2 = 4/5 và hai đường thẳng Δ 1 : x – y = 0 và ∆ 2 : x – 7y = 0 Viết phương trình đường tròn (C 1 ) biết đường tròn (C 1 ) tiếp xúc với các đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 và có tâm K thuộc đường tròn (C) Giải Nhận xét: Đây là bài tóan ba ẩn số : toạ độ tâm K và bán kính R 1 , ta phải thiết lập 3 phương trình để có hệ giải được. Nhớ rằng đường tròn (I, R) tiếp xúc với ∆ Ù d(I, ∆) = R. Gọi K(a ; b) là tâm và R 1 là bán kính của (C 1 ), ta có: 22 11 21 (2) 4/5 (, ) (, ) ab dK R dK R ⎧ −+= ⎪ Δ= ⎨ ⎪ Δ= ⎩ Ù 22 1 1 (2) 4/5(1 || (2) 2 |7| (3) 52 ab ab R ab R ⎧ ⎪ −+= ⎪ − ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ − = ⎪ ⎩ ) Từ (2) và (3): 5( ) 7 2 |7| 5( ) 7 2 5 ab a b b a ab ab ab a b a b − || =− =− ⎡⎡ − − = <=> <=> ⎢⎢ −=−+ = ⎣⎣ * Thế b = - 2a vào (1) : 25a 2 – 20a+ 16 = 0 (VN) * Thế a = 2b vào (1): 25b 2 – 40b + 16 = 0 Ù b = 4/ 5 => a = 8/5 22 5 . Phương trình đường tròn (C 1 ) : (x – 8/5) 2 + (y – 4/5) 2 = 8/25. Thế vào (2) : R 1 = Cách 2: Tìm các hệ số xác định đường bang cách giải hệ dựa vào điều kiện đã cho. • Phương trình đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 , phương trình đường tròn (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 hay x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 ; phương trình elip : 22 22 1 . xy ab += 13. A2008. Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng 5 /3 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20. Giải [...]... y - 3 = 0 Cách giải vừa trình bày là ví dụ mô tả phương pháp thứ 4 ta thường gặp khi giải một bài hình giải tích là : Cách 4 : Sử dụng kiến thức hình học để đơn giản hóa phép tính 12 13 Những năm càng về sau, đề hình học càng có nhiều tính hình học cổ điển hơn, do đó đôi khi phải vẽ hình cẩn thận để khai thác những tính chất về góc khiến việc tính toán được đỗ vất vả hơn 17.B2010 Trong mặt phẳng toạ... khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 24 B2005 Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 0), B(6; 4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với Ox tại A và khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5 25 B2009 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (- 1;4 ), B, C thuộc đường thẳng Δ: x – y – 4 = 0 Xác định toạ độ B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 18 26 B2010 Trong mặt phẳng. .. T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2 Giải Nhận xét: Đây là phương trình đường thẳng qua hai điểm , nhưng nếu ta tìm toạ độ của hai điểm e rằng việc tính toán khá phức tạp Ta sẽ thi t lập một đẳng thức bậc nhất giữa toạ độ của hai tiếp điểm theo hướng của phương pháp (C) có tâm I(1 ; 3), bán kính R = 2 Gọi (x; y) là toạ độ chung của hai tiếp... Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 29 A2009 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(6; 2), điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của CD thuộc đường thẳng d: x + y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB 30 A2009 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x... tham số thực Gọi I là tâm của đường tròn , tìm m để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất 31 (A10)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho GIẢI VẮN... 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ THỰC TẬP 19 D2003 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y - 2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0 Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng của (C) qua d và tìm toạ độ giao điểm của (C), (C’) 20 D2005 Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = 1 và C(2 ; 0) Tìm A, B thuộc elip sao cho 4 1 A, B đối xứng qua Ox và tam giác ABC đều 21 D2009 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy... chìa khóa của bài toán Cũng nhớ là trong đề có nếu điều kiện điểm A có hoành độ dương, thường là một gợi ý cho ta biết ta phải tìm toạ độ của điểm A trước tiên, rồi sau đó mới đến những điểm khác | 3 3 − 1.1| 1 d1 và d2 cắt nhau tại điểm gốc O và : cos(d1, d2) = = 3 + 1 3 + 1 2 y d1 O d2 x B A I C 13 14 => AOB = 600 Tam giác OAB nửa đều Vì tam giác ABC vuông tại B nên AC là đường kính của đường tròn... nghiệm của hệ : ⎨ H = (1; 1) ⎩x − y = 0 Phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Thế toạ độ các điểm M, N, H, ta được ⎧2a + c = −1 ⎪ hệ: ⎨2a − 4b − c = 5 a = ½; b = - ½, c = - 2 ⎪2a + 2b − c = 2 ⎩ Phương trình đường tròn : x2 + y2 – x + y – 2 = 0 Cách 3: Tìm một đẳng thức f(x ; y) =0 giữa toạ độ (x ; y) của một điểm bất kì thuộc đường thì f(x; y) = 0 chính là phương trình của đường... tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương 14 15 27 A2004 Trong mặt phẳng Oxy , cho A(0; 2) và B( tròn ngoại tiếp tam giác OAB 3 ; - 1).Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường 28.A2006 Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng: d1 :x + y + 3 = 0, d2 : :x –... rất vất vả vì không bấm máy được!!! 18 A2010 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3 x + y = 0 và d2: 3 x – y = 0 Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 /2 và điểm A có hoành độ dương Giải Nhận xét : Chú ý ai đường thẳng d1, d2 đều qua gốc O d1 có hệ số góc – 3 tức . có d ng: 22 22 1 xy ab += (a > b > 0) . Hình chữ nhật cơ sở có độ d i 2a và 2b, tâm sai là e = 22 cab aa − = . Ta có hệ: 22 22 2 2 5 10 10 3 9( ) 5 4 9 10 ab ab ab a ab a a b ab ⎧ − =−. Phan Lưu Biên – Trần Quang Ngh a PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ Hình học phẳng trong đề thi ĐH 2003- 2010 các ban A- B- D www.saosangsong.com.vn 2 2 LTĐH: Chuyên đề HÌNH. tại A, cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình c a (T), biết tam giác ABC có diện tích b ng 3 /2 và điểm A có hoành độ d ơng. Giải d 2 B A d 1