Giáo trình giải tích 1 part 1 pdf

12 354 1
Giáo trình giải tích 1 part 1 pdf

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC TẠ LÊ LI GIẢI TÍCH (Giáo Trình) Lưu hành nội -Đà Lạt 2008 Hướng dẫn sinh viên đọc giáo trình Đây giáo trình Giải tích dành cho sinh viên năm thứ ngành Toán hay ngành Toán Tin Nội dung đề cập đến số khái niệm giới hạn dãy chuỗi số thực, tính liên tục, phép tính vi phân tích phân hàm số biến số thực Để đọc giáo trình sinh viên cần biết chút lý thuyết tập hợp ánh xạ, với vài lý luận logic toán (e.g qui tắc tam đoạn luận, phương pháp phản chứng, phương pháp qui nạp) Giáo trình trình bày theo lối tuyến tính, người đọc lần đầu nên đọc phần theo thứ tự Để đọc cách tích cực, sau khái niệm định lý sinh viên nên đọc kỹ ví dụ, làm số tập nêu liền Ngoài học toán phải làm tập Một số tập chương nêu phần cuối giáo trình Về nguyên tắc nên đọc phần giáo trình Tuy vậy, nêu số điểm cần lưu ý chương: I Số thực - Dãy số Lần đầu đọc bỏ qua: khái niệm giới hạn trên, giới hạn (ở 2.4), tính không đếm R (mục 4.5) II Giới hạn tính liên tục III Phép tính vi phân đường cong (mục 4.7) Lần đầu đọc bỏ qua: khảo sát tính lồi (mục 4.5), vẽ Kỹ thuật tính tích phân (mục 1.4) nên đọc làm tập Có thể bỏ qua Định lý Riemann (mục 1.4) Để việc tự học có kết tốt sinh viên nên tham khảo thêm số tài liệu khác có nội dung liên quan (đặc biệt phần hướng dẫn giải tập) Khó nêu hết tài liệu nên tham khảo, đề nghị tài liệu sau (bằng tiếng Việt): [1] Jean-Marier Monier, Giải tích , NXB Giáo dục [2] Y.Y Liasko, A.C Bôiatruc, IA G Gai, G.P Gôlôvac, Giải tích toán học - Các ví dụ toán , Tập I Phần I (Tập II), NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Ngoài ra, sinh viên nên tìm hiểu sử dụng số phần mềm máy tính hỗ trợ cho việc học làm toán Maple, Mathematica, Chúc bạn thành công! IV Phép tính tích phân V Chuỗi số Giải tích Tạ Lê Lợi Mục lục Chương I Số thực - Dãy số Số thực Dãy số Các định lý 10 Các ví dụ 11 Chương II Giới hạn tính liên tục Hàm số 17 Giớ hạn hàm 25 Hàm số liên tục 31 Chương III Phép tính vi phân Đạo hàm - Vi phân Các định lý Đạo hàm cấp cao - Công thức Taylor Một số ứng dụng Chương IV Phép tính tích phân Nguyên hàm - Tích phân bất định Tích phân xác định Một số ứng dụng Tích phân suy rộng Chương V 37 39 41 43 57 67 75 79 Chuỗi số Chuỗi số 85 Các dấu hiệu hội tụ 89 Bài tập 95 I Số thực - Dãy số Chương đề cập đến tập số thực, tập cho nghiên cứu chương sau Phần nghiên cứu đến dãy số thực với khái niệm giải tích: giới hạnï I Số thực Tập hợp số hữu tỉ thuận tiện biểu diễn thực phép toán số, không đủ dùng Chẳng hạn, từ lâu người ta nhận thấy đườøng chéo hình vuông vô ước Nói cách số học, số hữu tỉ q mà √ không số hữu tỉ Như vậy, ta cần mở rộng tập số hữu tỉ để có q = 2, i.e thể đo hay biểu diễn độ dài Tập số thêm vào gọi số vô tỉ, tập mở rộng gọi tập số thực Có nhiều phương pháp xây dựng tập số thực Trong giáo trình ta dùng phương pháp tiên đề 1.1 Các tiên đề Tập số thực R trường số, thứ tự toàn phần đầy đủ, i.e • R thoả tiên đề sau: Tiên đề cấu trúc trường Trên R có phép cộng nhân: + : R × R → R, (x, y) → x + y · : R × R → R, (x, y) → xy Hai phép toán thỏa mãn: ∀x, y ∀x, y, z ∃0, ∀x, ∀x, ∃ − x ∀x, y ∀x, y, z ∃1 = 0, ∀x ∀x = 0, ∃x−1 ∀x, y, z • = = = = = = = = = y+x x + (y + z) x yx x(yz) x xy + xz (tính giao hoán) (tính kết hợp) (0 gọi số không ) (−x gọi phần tử đối x) (tính giao hoán) (tính kết hợp) (1 gọi số ) (x−1 gọi phần tử nghịch đảo (tính phân phối) Tiên đề thứ tự Trên R có quan hệ thứ tự toàn phần ∀x, y ∀x ∀x, y ∀x, y, z ∀x, y, z ∀x, y • x+y (x + y) + z x+0 x + (−x) xy (xy)z 1x xx−1 x(y + z) x ≤ y hoaëc y ≤ x x≤x x ≤ y, y ≤ x x ≤ y, y ≤ z x≤y ≤ x, ≤ y ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x=y x≤z x+z ≤y+z ≤ xy ≤ thỏa mãn: (tính phản xạ) (tính đối xứng) (tính bắc cầu) Tiên đề cận Mọi tập R khác trống bị chặn tồn cận thuộc R x) Các khái niệm bị chặn cận làm rõ sau Trước hết ta có định lý sau (không chứng minh) Định lý Tồn trường số thực R Tính theo nghóa R trường số thực, tồn song ánh R R bảo toàn phép toán cộng, nhân bảo toàn thứ tự Các ký hiệu thuật ngữ Dấu tổng: Phép trừ: n i=1 xi = x1 + · · · + xn n Dấu tích: Phép chia: x − y = x + (−y) i=1 xi = x1 · · · xn x = xy −1 y So sánh: x ≤ y viết y ≥ x, đọc “ x bé hay y ” hay “ y lớn hay x” x < y hay y > x nếuu x ≤ y x = y , đọc “ø x bé y ” hay “y lớn x” Nếu < x, x gọi số dương Nếu x < 0, x gọi số âm Khoảng: khoảng mở (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, khoảng đóng hay đoạn [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} Tương tự, định nghóa khoảng nửa đóng, nửa mở [a, b), (a, b] Biểu diễn hình học R biểu diễn đường thẳng, cố định gốc O ứng với số 0, cố định điểm = ứng với số 1, định hướng dương hướng từ đến Khi đó, điểm M đường thẳng tương ứng với số thực gọi độ dài đại số OM (dương M phía 0, âm khác phía) M 0 ’ E 1.2 Supremum - Infimum Taäp A ⊂ R gọi bị chặn nếuu tồn b ∈ R, cho x ≤ b, ∀x ∈ A Khi b gọi cận A Tập A ⊂ R gọi bị chặn nếuu tồn taïi a ∈ R, cho a ≤ x, ∀x ∈ A Khi a gọi cận A Một tập bị chặn nếuu vừa bị chặn vừa bị chặn b∗ gọi cận A, ký hiệu b∗ = sup A, nếuu b∗ cận bé A a∗ gọi cận A, ký hiệu a∗ = inf A, nếuu a∗ cận lớn A Ví dụ Cho A = { , , · · · , 2−1 , · · · } Khi sup A = 1, inf A = n Ví dụ Tập A = {q : q số hữu tỉ q < 2} tập khác trống, bị chặn Theo tiên đề cận tồn a∗ = inf A b∗ = sup A thuộc R Tuy A tập tập số hữu tỉ a∗ b∗ không số hữu tỉ, số hữu tỉ q mà q = n Nhận xét Tập số hữu tỉ trường thứ tự, i.e thoả hai tiên đề Chương I Số thực - Dãy số đầu 1.1 Vậy tiên đề thứ ba cận cốt yếu trường số thực Về mặt hình học, tập R ‘làm đầy’ chỗ trống tập số hữu tỉ đường thẳng Không thiết sup A ∈ A hay inf A ∈ A Khi chúng thuộc A, ta định nghóa: M phần tử lớn A ký hiệu M = max A, nếuu M = sup A M ∈ A m phần tử bé A ký hiệu m = A, nếuu m = inf A m ∈ A Bài tập: Cho A ⊂ R tập bị chặn Chứng minh: a cận A vaø ∀ > 0, ∃x ∈ A : a − < x a = sup A 1.3 Các tập N, Z, Q Tập số thực chứa tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ ký hiệu định nghóa tương öùng: n laàn N = {n : n = hay n = + · · · + } Z = {p : p ∈ N hay − p ∈ N } p Q = { : p ∈ Z, q ∈ N, q = }/ ∼, q p p quan hệ ∼ ⇔ pq − qp = q q Các tính chất quen biết số bậc trung học chứng minh dựa vào tiên đề nêu 1.4 Trị tuyệt đối Cho x ∈ R Trị tuyệt đối x: |x| = x −x Tính chất Với số thực x, y ta có: nếu |x| ≥ 0, |xy| = |x||y|, |x + y| ≤ |x| + |y| x≥0 x tồn n ∈ N, cho x < ny (2) Mọi x > tồn n ∈ N, cho < < x n (3) Mọi x > tồn n ∈ N, cho n ≤ x < n + Phaàn nguyên x ∈ R, ký hiệu định nghóa: [x] = Bài tập: Tính [0, 5], số nguyên n thoûa n ≤ x < n + [−2, 5], [0, 0001] 4 Tính trù mật số hữu tỉ R Với x, y ∈ R, x < y , tồn r ∈ Q cho x < r < y Với x ∈ R, với > 0, tồn r ∈ Q, cho |x − r| < Chứng minh: Hai phát biểu tương đương (?) n ∈ N: < < y − x n m+1 m Tồn m ∈ N: m ≤ nx < m + 1, i.e ≤ x < n n m+1 m+1 m Suy r = ∈ Q, thoûa: x < r = = + < x + (y − x) = y n n n n Theo nguyên lý trên, tồn Bài tập: Chứng minh tính trù mật số vô tỉ R Nhận xét Như vậy, tập số hữu tỉ tập số vô tỉ trù mật hay ‘dày đặc’ đường thẳng thực Phần cuối chương thấy tập số vô tỉ ‘nhiều hơn’ tập số hữu tỉ Căn bậc n số dương Với số thực x > n ∈ N \ {0} tồn số thực y > 0, cho yn = x √ n Khi ta gọi y bậc n x ký hiệu y = x Chứng minh: Xét tập A = {t ∈ R : tn ≤ x} Dễ thấy A = ∅ (vì chứa t = 0) bị chặn (bởi + x) Vậy tồn y = sup A Ta chứng minh y n = x: Giả sử y n < x Khi với < h < ta có (y + h)n ≤ y n + h( n k=1 Vậy chọn 0 y = sup A, vô lý Giả sử y n > x Lập luận tương tự chặn A bé y = sup A, ta tìm vô lý y + h ∈ A, k > 0, (y − k) n > x, Nhận xét Như R có phép toán lấy căn, chẳng hạn Bài tập: Các số nêu trên, số vô tỉ? số hữu tỉ? mà i.e y − k √ √ √ √ 2, 3, 5, 16 1.6 Tập số thực mở rộng R Trong nhiều trường hợp ta cần đến số ‘vô lớn’ Ký hiệu ∞ gọi vô tập R = R ∪ {+∞, −∞} Qui ước: Với x ∈ R, −∞ < x < +∞ vaø x + (+∞) = +∞, x + (−∞) = −∞ x(+∞) = +∞ neáu x > 0, x(+∞) = −∞ neáu x < x x = =0 +∞ −∞ ∞ Nhận xét Không thể định nghóa hợp lý: ∞ − ∞, ∞, ∞ Khi tập A không bị chặn (trên) ta ký hieäu inf A = −∞ (sup A = +∞) 5 Chương I Số thực - Dãy số Dãy số 2.0 Khái niệm Khi thực phép chia cho ta có số hạng: 0, 0, 33 0, 333 0, 3333 1 ··· Archile đuổi rùa chạy nhanh gấp đôi rùa nên khoảng cách rút ngắn dần: 22 23 24 ··· Thông tin lan truyền người biết sau lại thông tin cho người khaùc: 22 23 1 Dãy 0-1: 24 ··· ··· Các dấu chấm chấm để số tiếp tục, tiếp tục Nhận xét • Các ví dụ cho dãy có tính vô hạn có thứ tự • Các số hạng dãy đầu ‘càng ngày gần’ , số hạng dãy thứ nhì ‘càng ngày gần’ với Còn số hạng dãy thứ ba ‘càng ngày lớn’ Dãy cuối có số hạng giao động 2.1 Dãy số Một dãy số X ⊂ R vô hạn có thứ tự số X : (xn )n∈N = x0 , x1 , x2 , x3 , · · · Một cách xác, dãy X ánh xạ x : N → X, n → xn = x(n) Về mặt hình học, dãy biểu diễn đồ thị mặt phẳng R , i.e dãy điểm { (n, xn ) : n ∈ N } x T s s xn s s s s ’ ’ ’ q’ q’ s s s s ’ q’ q’ q’ n s s s s E +∞ Tập số tự nhiên N = {0, 1, 2, · · · } vô hạn (nếu n ∈ N, n + ∈ N) có thứ tự (0 < < < < · · · ), nên dùng để ‘đánh số’ số hạng dãy Thường người ta cho dãy số phương pháp: • Liệt kê Ví dụ: dãy cho trên, dãy mã hoá bảng maõ Σ = {0, 1, · · · , N } dãy có dạng (x0 , x1 , x2 , · · · ), với xn ∈ Σ • Hàm Ví dụ: dãy cho xn = 3.10−1 + 3.10−2 + · · · + 3.10−n , xn = n , xn = 2n , hay xn = − (−1)n Đệ qui Ví dụ: Dãy xn = n! định nghóa x0 = 1, xn+1 = (n + 1)xn (n ≥ 1) Dãy đệ qui cấp : x0 ∈ R giá trị đầu, xn+1 = f (xn ) (n = 0, 1, · · · ), f hàm số cho trước Dãy Fibonacci : x0 = 0, x1 = 1, xn+1 = xn + xn−1 (n ≥ 2) dãy đệ qui cấp • Bài tập: Tính mười số√ ng đầu dãy Fibonaci hạ Bài tập: Cho f (x) = + x hay f (x) = 4λx(1 − x) (λ ∈ {0.7, 0.8, 0.9}) Hãy vẽ đồ thị daõy xn+1 = f (xn ), x0 = Bài tập: Chứng minh tập số nguyên tố vô hạn Lập thuật toán tính x n = số nguyên tố thứ n Chú ý Ta ký hiệu phân biệt tập số {xn : n ∈ N} với dãy số (xn )n∈N thứ tự 2.2 Giới hạn Điểm a ∈ R gọi giới hạn dãy số (xn)n∈N nếuu với > 0, bé tùy ý, tìm số tự nhiên N , đủ lớn phụ thuộc , cho n > N , |xn − a| < , viết theo lối ký hiệu ∀ > 0, ∃N : n > N ⇒ |xn − a| < Khi ta nói dãy (xn ) lim xn = a n→∞ hội tụ a ký hiệu hay lim xn = a hay xn → a, n→∞ x T a+ a− s s a s s s s s s s ’ ’ ’ ’ ’ n q q q q q s s s ’ ’ ’ ’ ’ q q s N s q E +∞ Nhận xét • Định nghóa giới hạn dãy không phụ thuộc vào hữu hạn số hạng đầu dãy • Dễ thấy: lim xn = a lim |xn − a| = n→∞ n→∞ • Về mặt hình học, điều có nghóa đồ thị dãy tiệm cận với đường thaúng {(x, y) : y = a } R2 • Nếu (xn ) hội tụ, giới hạn Thực vậy, a b giới hạn (xn ), |a − b| ≤ |a − xn | + |xn − b| → 0, n → ∞ Vaäy |a − b| = 0, hay a = b Bài tập: Xét xn = √ , với n = 1, 2, · · · Theo định nghóa kiểm nghiệm n lim xn = 0, cách điền tiếp vào bảng sau n→∞ N 10 100 100 1.000 1.000.000 Chương I Số thực - Dãy số Nhận xét Nếu bé, N lớn, i.e 0< < ⇒ N ≥N Để chứng minh n→∞ xn = a ta cần đánh giá sai số |xn − a| Thường ta cần tìm lim bất đẳng thức dạng |xn − a| ≤ f (N ), n > N Từ tìm N phụ thuộc cho f (N ) < Sau việc viết chứng minh hình thức: ‘ Với > Gọi N tìm Khi n > N , ta coù |xn −a| ≤ f (N ) < ’ Ví dụ a) Để chứng minh Ta nhận thaáy lim n→∞ = 0, np n > N, với p > 0, tiến hành sau: Vậy với > 0, chọn số nguyên N > p 1 n > N , | p − 0| < p < n N b) Chứng minh dãy (xn ) = 0, 0, 33 Với > 1 − 0| = p < p np n N 1 , chẳng hạn N = [ p ] + ta có bất đẳng thức | 0, 333 Gọi N = [3/ ] Khi n > N , ta coù 0, 3333 ··· → , Khi viết sau: 1 3 < |xn − | = |0, 33 · · · − | < n < N < 3 10 10 N n laàn 2.3 Dãy phân kỳ Dãy không hội tụ gọi dãy phân kỳ Có loại: Loại dãy tiến vô dãy (2n ) Ký hiệu n→∞ xn = +∞, nếuu ∀E > 0, ∃N : n > N ⇒ lim Ký hiệu n→∞ xn = −∞, neáuu ∀E > 0, ∃N : n > N ⇒ lim • xn > E xn < −E Loại dãy giao động dãy 0-1 ví dụ Dãy loại có số hạng tập trung gần số giá trị, gọi giới hạn riêng mà đề cập sau • Ví dụ Ta có giới hạn quan trọng sau (xem chứng minh phần 4.1)   |a| <    neáu a = lim an =  +∞ n→+∞ neáu a >    giao động a ≤ −1 2.4 Dãy - Giới hạn riêng Cho dãy (xn ) Cho dãy tăng số tự nhiên dãy (xnk )k∈N gọi dãy dãy (xn ) Nói cách khác, dãy dãy cho qui tắc hợp dãy số tự nhiên tăng dãy (xn ) : n0 < n1 < · · · < nk < · · · , N −→ N −→ R k → n(k) = nk → xnk = xn(k) Điểm a ∈ R gọi giới hạn riêng dãy nếuu tồn dãy hội tụ a Chẳng hạn dãy ((−1)n ) không hội tụ, dãy số hạng số chẵn dãy (1), dãy số hạng số lẻ dãy giới hạn riêng −1 (−1) Vậy dãy có hai Nhận xét Từ định nghóa suy ra: • Nếu dãy (xn ) hội tụ a, dãy hội tụ a • a giới hạn riêng (xn ) với > 0, tồn vô số số n ∈ N, cho |xn − a| < Giới hạn , ký hieäu lim sup xn = n→∞xn = sup{a : a giới hạn riêng (xn )} lim n→∞ Giới hạn , ký hiệu lim inf xn = lim xn = inf{a : a giới hạn riêng (xn )} n→∞ n→∞ Ví dụ a) Cho xn = (−1)n Khi lim sup xn = 1, lim inf xn = −1 b) Cho xn = (−1)n n Khi lim sup xn = +∞, lim inf xn = −∞ nπ , coøn lim inf xn = c) Cho xn = sin Khi lim sup xn = d) Dãy mưa đá: Cho giá trị đầu x0 ∈ R Với n ≥ 1, định nghóa 3xn−1 + 1 xn−1 xn = xn−1 lẻ xn−1 chẵn Chẳng hạn, với x0 = 17 ta có dãy: 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, · · · Để ý số hạng dãy 1, sau dãy lặp: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, · · · Bài toán sau chưa có lời giải: với giá trị đầu x0 , tồn n để xn = ? Nhận xét Từ định nghóa ta có (xem tập): • Luôn tồn lim sup xn , lim inf xn (có thể ∞) • lim inf xn ≤ lim sup xn • (xn ) có giới hạn lim inf xn = lim sup xn • lim sup xn = M hữu hạn với > 0, có vô số số hạng x n > M − , có hữu hạn số hạng xn > M + • lim inf xn = m hữu hạn với > 0, có vô số số hạng x n < m + có hữu hạn số hạng xn < m − 2.5 Tính chất giới hạn (1) Tính bị chặn : Nếu (xn ) hội tụ, tồn M cho |xn | < M, ∀n (2) Tính bảo toàn phép toán : Giả sử (xn ) (yn ) dãy hội tụ Khi dãy (xn + yn ), (xn yn ), xn yn (giả thiết thêm n→∞ yn = 0) hội tụ, lim lim xn xn = n→∞ n→∞ yn lim yn lim (xn +yn ) = lim xn + lim yn , lim (xn yn ) = lim xn lim yn , lim n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ (3) Tính bảo toàn thứ tự : Gỉa sử (xn ) (yn ) dãy hội tụ với xn ≤ yn Khi lim xn ≤ lim yn n→∞ n→∞ (4) Tính kẹp (sandwich) : Gỉa sử với n đủ lớn n đủ lớn ta có xn ≤ yn ≤ zn , lim xn = n→∞ Chương I Số thực - Dãy số lim zn = a Khi lim yn = a n→∞ n→∞ Chứng minh: Gỉa sử n→∞ xn = a n→∞ yn = b lim lim (1) Theo định nghóa, với = 1, tồn N , cho |x n − a| < 1, ∀n > N Goïi M = max{|x0 |, · · · , |xN |, |a| + 1} Khi |xn | < M, ∀n (2) Ta dùng bất đẳng thức: |(xn + yn ) − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| |xn yn − ab| ≤ |xn yn − xn b + xn b − ab| ≤ M |yn − b| + |b||xn − a| Ngoài ra, b = 0, với = |b|/2, tồn N : |yn − b| < |b|/2, ∀n > N Vaäy n > N , |yn | = |b − b + yn | ≥ |b| − |yn − b| > |b|/2 ta có bất đẳng thức xn a − yn b = ≤ ≤ xn b − yn a xn b − ab ab − yn a = + byn byn byn |xn − a| |a||b − yn | + |yn | |byn | |xn − a| |a||b − yn | + |b|/2 |b||b|/2 Khi n → +∞, veá phải vế trái bất đẳng thức → Suy tồn giới hạn công thức (2) (3) Gỉa sử n đủ lớn xn ≤ yn Gỉa sử phản chứng a > b Khi với = a−b > 0, với n đủ lớn, ta có |xn − a| < |yn − b| < Suy yn < b + = a+b = a − < xn , điều trái giả thiết (4) Với > Theo gỉa thiết lim xn = lim zn = a, suy tồn N1 cho: |xn − a| < , |zn − a| < , n > N1 Theo gæa thiết tồn N2 cho xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ≥ N2 Khi n ≥ max(N1 , N2 ), từ bất đẳng thức suy − < xn − a ≤ yn − a ≤ zn − a < , i.e |yn − a| < Vậy lim yn = a Nhận xét • Một dãy bị chặn chưa hội tụ, chẳng hạn dãy ((−1)n ) • Nếu dãy (xn ), (yn ) hội tụ xn < yn , ∀n, lim xn ≤ lim yn n→∞ n→∞ Bài tập: Chứng minh lim xn = a, n→∞ n→∞ |xn | = |a| vaø n→∞ lim lim p |xn | = p |a| Ví dụ Tính n2 − 3n + a) n→∞ lim 3n + √ √ 4n + √ b) n→∞ n( n + − n + 1) lim Để tính giới hạn đầu, ý n2 (lũy thừa bậc cao nhất) vô lớn so với n, nên ta đưa n2 làm thừa số chung: n2 − 3n + n→∞ 3n2 + 4n + lim n2 (1 − 3/n + 6/n2 ) − 3/n + 6/n2 = lim n→∞ n2 (3 + 4/n + 2/n2 ) n→∞ + 4/n + 2/n2 1 − lim 3/n + lim 6/n 1−0+0 = = = + lim 4/n + lim 2/n 3+0+0 = lim ... 1, định nghóa 3xn? ?1 + 1 xn? ?1 xn = xn? ?1 lẻ xn? ?1 chẵn Chẳng hạn, với x0 = 17 ta có dãy: 17 , 52, 26, 13 , 40, 20, 10 , 5, 16 , 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, · · · Để ý số hạng dãy 1, sau dãy lặp: 1, 4, 2, 1, ... định nghóa x0 = 1, xn +1 = (n + 1) xn (n ≥ 1) Dãy đệ qui cấp : x0 ∈ R giá trị đầu, xn +1 = f (xn ) (n = 0, 1, · · · ), f hàm số cho trước Dãy Fibonacci : x0 = 0, x1 = 1, xn +1 = xn + xn? ?1 (n ≥ 2) laø... đọc giáo trình Đây giáo trình Giải tích dành cho sinh viên năm thứ ngành Toán hay ngành Toán Tin Nội dung đề cập đến số khái niệm giới hạn dãy chuỗi số thực, tính liên tục, phép tính vi phân tích

Ngày đăng: 01/08/2014, 00:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan