F f (a, b)  f(x)dx = F (x)+C C   f(x)dx   = f(x)  F  (x)dx = F (x) f(x)=(x sin 1 x )  f(x)= (x) f,g α, β ∈ R  (αf(x)+βg(x))dx = α  f(x)dx + β  g(x)dx x = ϕ(t) J f(x) I = ϕ(J)  f(x)dx =  f(ϕ(t))ϕ  (t)dt =  f(ϕ(t))dϕ(t) u, v  u(x)v  (x)dx = u(x)v(x) −  v(x)u  (x)dx  udv = uv −  vdu  x C  x α dx = x α+1 α +1 + C (α = −1)  1 x dx =ln|x| + C  a x dx = a x ln a + C  e x dx = e x + C  sin xdx = −cos x + C  cos xdx =sinx + C  1 cos 2 x dx =tanx + C  1 sin 2 x dx = − x + C  dx x 2 + a 2 = 1 a arctan x a + C  dx x 2 − a 2 = 1 2a ln     x + a x − a     + C  dx √ a 2 − x 2 =arcsin x a + C  dx √ x 2 ± a 2 =ln|x + √ x 2 ± a 2 | + C   a 2 − x 2 dx = x 2  a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C   x 2 ± a 2 dx = x 2  x 2 ± a 2 ± a 2 2 ln |x +  x 2 ± a 2 | + C  (2 x +sinx − 1 3 √ x )dx =  2 x dx +  sin xdx −  x − 1 3 dx = 2 x ln 2 −cos x− 3 2 x 2 3 + C  dx x 2 + a 2 = 1 a 2  dx  x a  2 +1 t = x a dx = adt  dx x 2 + a 2 = 1 a  dt t 2 +1 = 1 a arctan t + C = 1 a arctan x a + C   a 2 − x 2 dx x = a sin t, t ∈ [− π 2 , π 2 ] dx = a cos tdt   a 2 − x 2 dx = a 2   1 − sin 2 t cos tdt = a 2  cos 2 tdt = a 2  cos 2t +1 2 dt = a 2 2 ( sin 2t 2 + t)+C = a 2 2 (sin t cos t + t)+C t =arcsin x |a|   a 2 − x 2 dx = x 2  a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C   x 2 + a 2 dx x = a sinh t = a e x − e −x 2 dx = a cosh tdt x 2 + a 2 = a 2 (sinh 2 t +1)=a 2 cosh 2 t   x 2 + a 2 dx = a 2  cosh 2 tdt = a 2   cosh 2t +1 2  dt = a 2 4 (sinh 2t +2t)+C = a 2 4 (2 sinh t cosh t +2t)+C e 2t − 2x a e t − 1=0 t =ln  x + √ x 2 + a 2 a    x 2 + a 2 dx = x 2  x 2 + a 2 + a 2 2 ln x +  x 2 + a 2 | + C  dx √ a 2 − x 2  dx √ x 2 ± a 2  f α (x)f  (x)dx  x 2  x 3 +5=  (x 3 +5) 1 2 d(x 3 +5) 3 = 1 3 2 3 (x 3 +5) 3 2 + C  sin 4 x cos xdx =  sin 4 xd(sin x)= sin 5 x 5 + C  tan xdx =  sin x cos x dx = −  d(cos x) cos x = −ln |cos x|+ C  (ax + b) α dx  cos 3 x sin xdx  xdx  P (x)lnxdx  P (x)e ax dx  P (x)sinaxdx  P (x)cosaxdx P I n =  x n ln xdx n = −1 u =lnx ⇒ du = dx x dv = x n dx v = x n+1 n +1 I n = x n+1 n +1 ln x − 1 n +1  x n dx = x n+1 n +1 ln x − x n+1 (n +1) 2 + C n = −1 I −1 =  ln x x dx =  ln xd(ln x)= ln 2 x 2 + C I =  (x 2 + x +1)sinxdx u = x 2 + x +1 ⇒ du =(2x +1)dx dv =sinxdx v = −cos x I = −(x 2 + x +1)cosx +  (2x +1)sinxdx u =2x +1 ⇒ du =2dx dv =cosxdx v =sinx  (2x+1)sinxdx =(2x+1)sinx−2  sin xdx =(2x+1)sinx+2cosxdx+C I = −(x 2 + x +3)cosx +(2x +1)sinx + C A =  e ax cos bxdx, B =  e ax sin bxdx dv = e ax dx A = 1 a e ax cos bx + b a  e ax sin bxdx = 1 a e ax cos bx + b a B B = 1 a e ax sin bx − b a  e ax cos bxdx = 1 a e ax sin bx − b a A A =  e ax cos bxdx = b sin bx + a cos bx a 2 + b 2 e ax + C B =  e ax sin xdx = a sin bx −b cos bx a 2 + b 2 e ax + C  P (x)sinaxdx = A(x)sinax + B(x)cosax + C A, B < P A, B ln x, arctan x, arcsin x I n = I n (a)=  dx (x 2 + a 2 ) n (n ∈ N) I 1 =  dx x 2 + a 2 = 1 a arctan x a + C n>1 I n = 1 a 2  x 2 + a 2 (x 2 + a 2 ) n dx − 1 a 2  x.x (x 2 + a 2 ) n dx = 1 a 2 I n−1 − 1 a 2  − x 2(n − 1)(x 2 + a 2 ) n−1 + 1 2(n − 1) I n−1  I n = 1 2a 2 (n − 1) x (x 2 + a 2 ) n−1 − 2n − 3 2a 2 (n − 1) I n−1 • P (x) Q(x) P (x) Q(x) = M(x)+ P 1 (x) Q(x) M(x) P 1 (x) < Q(x) Q(x)=A(x − a) m ···(x 2 + px + q) n ··· a Q p, q p 2 − 4q<0 P 1 (x) Q(x) = A 1 x − a + ···+ A m (x − a) m + ··· + B 1 x + C 1 x 2 + px + q + ···+ B n x + C n (x 2 + px + q) n + ··· A i ,B i ,C i 1 x − a 1 (x − a) m Bx + C x 2 + px + q Bx + C (x 2 + px + q) n (p 2 − 4q<0)  P (x) Q(x) dx =  M(x)dx +  P 1 (x) Q(x) dx  M(x)dx  dx x − a =ln|x − a| + c  dx (x − a) m =  d(x − a) (x − a) m = 1 (1 − m)(x −a) m−1 + c (m =1)  Bx + C x 2 + px + q dx = B 2  d(x 2 + px + q) x 2 + px + q +(C − Bp 2 )  dx x 2 + px + q x 2 + px + q =(x + p 2 ) 2 + 4q −p 2 4 t = x + p 2 a =  4q −p 2 2  Bx + C x 2 + px + q dx = B 2 ln |x 2 + px + q| + 2C − Bp  4q −p 2 arctan 2x + p  4q −p 2 + c  Bx + C (x 2 + px + q) n dx = B 2  d(x 2 + px + q) (x 2 + px + q) n +(C − Bp 2 )  dx (x 2 + px + q) n t = x + p 2 a =  4q −p 2 2 I n = 1 2a 2 (n − 1) x (x 2 + a 2 ) n−1 − 2n − 3 2a 2 (n − 1) I n−1 = ··· = <n− 1 (x 2 + px + q) n−1 + A arctan  2x + p  4q −p 2  + c   x 3 + x +1 x 3 + x dx x 3 + x +1 x 3 + x =1+ 1 x 3 + x x 3 + x = x(x 2 +1) 1 x 3 + x = A x + Bx + C x 2 +1 A, B, C 1 ≡ A(x 2 +1)+(Bx + C)x 1 ≡ (A + B)x 2 + Cx + A 1,x,x 2 , ··· A =1,C =0,A+ B =0 ⇔ A =1,B = −1,C =0 1 x 3 + x = 1 x − x x 2 +1  x 3 + x +1 x 3 + x dx =  dx +  1 x dx −  xdx x 2 +1 = x +ln|x|− 1 2  d(x 2 +1) x 2 +1 = x +ln|x|− 1 2 ln(x 2 +1)+C  dx x 5 − x 2 x 5 − x 2 = x 2 (x − 1)(x 2 + x +1) 1 x 5 − x 2 = A x + B x 2 + C x − 1 + Dx + E x 2 + x +1 1 x 5 − x 2 = 0 x − 1 x 2 + 1 3(x −1) − x − 1 3(x 2 + x +1)  dx x 5 − x 2 = 1 x + 1 6 ln (x − 1) 2 x 2 + x +1 + 1 √ 3 arctan 2x +1 √ 3 + C  dx x 4 − x 2 − 2  (x +1)dx x 4 − x 2 − 2  x 2 dx x 6 − 1  dx x(x 2 +1) 2  (x −1)dx (x 2 + x +1) 2  (x 5 +1)dx x 4 − 8x 2 +16 Q(x)=A(x − a) n ···(x 2 + px + q) m ··· , Q 1 (x)=A(x −a) n−1 ···(x 2 + px + q) m−1 ··· , D(x)=(x − a) ···(x 2 + px + q) ··· P (x) deg P<deg Q  P (x) Q(x) dx = M(x) Q 1 (x) +  N(x) D(x) dx M(x),N(x) deg M<deg Q 1 , deg N<deg D A, B, C, D, E  xdx (x − 1) 2 (x +1) 3 = Ax 2 + Bx + C (x − 1)(x +1) 2 +  ( D x − 1 + E x +1 )dx •  R(x,  ax + b cx + d  r 1 , ··· ,  ax + b cx + d  r n )dx R r 1 , ··· ,r n ∈ Q t m = ax + b cx + d m r i  dx 4 √ x +3− 1) √ x +3 t 4 = x +3 dx =4t 3 dt  t 3 dt (t − 1)t 2 =  tdt t − 1 =4(t +ln|t − 1|)+C =4( 4 √ x +3+ln| 4 √ x +3− 1|)+C  dx x(1 + 2 √ x + 3 √ x) ,  1 − √ x +1 1+ 3 √ x +1 dx ,  x  x − 2 x +1 dx  R(x,  ax 2 + bx + c)dx R ax 2 +bx+c a>0 t = √ ax+ √ ax 2 + bx + c ax 2 + bx +c = a(x −x 1 )(x −x 2 ) t(x −x 1 )=  a(x − x 1 )(x − x 2 )  dx √ x 2 + bx + c t = x + √ x 2 + bx + c bx + c = t 2 − 2tx, bdx =2tdt − 2tdx − 2xdt, dx t − x = 2dt b +2t  dx √ x 2 + bx + c =  dt b 2 + t =ln     b 2 + x +  x 2 + bx + c     + C  dx (x 2 + a 2 ) √ a 2 − x 2 t(a − x)= √ a 2 − x 2 x = a(t 2 − 1) t 2 +1 dx = 4atdt (t 2 +1) 2 1 2a 2  2t 2 +2 t 4 +1 dt = 1 2a 2   1 t 2 + √ 2t +1 + 1 t 2 − √ 2t +1  dt = 1 a 2 √ 2 (arctan( √ 2t + 1) + arctan( √ 2t − 1)) + C t =  a + x a − x  dx x √ x 2 + a 2 ,  dx x + √ x 2 +2x ,   −x 2 +4x +10dx ax 2 + bx + c = a  x + b 2a  2 +  c − b 2 4a  u = x + b 2a ,du= dx  R(u,  α 2 − u 2 )du t = α sin u  R(u,  α 2 + u 2 )du t = α tan u  R(u,  u 2 − α 2 )du t = α sin u  dx ( √ a 2 − x 2 ) 3 x = a sin t dx = a cos tdt  dx ( √ a 2 − x 2 ) 3 =  a cos tdt (  a 2 − a 2 sin 2 t) 3 =  a cos tdt a 3 cos 3 t = 1 a 2 tan t+C = 1 a 2 x √ a 2 − x 2 +C •  R(sin x, cos x)dx R t =tan x 2  dx 1+ cos x (0 <<1) t =tan x 2 x = 2 arctan t, dx = 2dt 1+t 2 , cos x = 1 − t 2 1+t 2  dx 1+ cos x =  2dt (1 − )t 2 +1+ = 2 1 −   dt t 2 + 1+ 1− = 2 1 −   1+ 1 −  arctan t  1+ 1 −  + C = 2 1 −  2 arctan   tan x 2  1+ 1 −    + C R(−sin x, cos x)=−R(sin x, cos x) t =cosx R(sin x, −cos x)=−R(sin x, cos x) t =sinx R(−sin x, −cos x)=R(sin x, cos x) t =tanx  dx 2sinx − cos x +5  sin 3 x 2+cosx dx  dx sin 4 x cos 3 x  sin m x cos n xdx m n t =cosx t =sinx m, n  sin 4 x cos 5 xdx  sin 2 x cos 4 xdx ···  e −x 2 dx,  sin x x dx,  cos x x dx  sin x 2 dx,  cos x 2 dx  x m (ax n + b) p dx p, m +1 n , m +1 n + p ∈ Z  dx  (1 − x 2 )(1 − k 2 x 2 ) ,  x 2 dx  (1 − k 2 x 2 )(1 − x 2 ) ,  dx (1 + hx) √ 1 − k 2 x 2 0 <k<1 [a, b] P = {x 0 , ··· ,x n } a = x 0 <x 1 < ···<x n = b ∆x i = x i − x i−1 |P | =max{∆x i :0≤ i ≤ n} f :[a, b] → R P m i =inf{f(x):x i−1 ≤ x ≤ x i },M i =sup{f(x):x i−1 ≤ x ≤ x i } L(f,P)= n  i=1 m i ∆x i U(f,P)= n  i=1 M i ∆x i ✲ x ✻ y abx i−1 x i m M P, P  P ∗ = P ∪ P  P, P  I ∗ P ∗ I,I  P, P  I ∗ ⊂ I,I ∗ ⊂ I  inf I f(x) ≤ inf I ∗ f(x) ≤ sup I ∗ f(x) ≤ sup I  f(x) L(f,P) ≤ L(f,P ∗ ) ≤ U(f, P ∗ ) ≤ U (f, P  ) sup, inf I (f)=sup P L(f,P) I(f)=inf P U(f,P) L(f,P) ≤ I (f) ≤ I(f) ≤ U(f,P  ) P, P  [...]... Đặt 1 = min( /4M n0 , |P0 |) Khi đó với mọi phân hoạch P |P | < 1 , ta phân tổng trên thành 2 tổng U (f, P ) = Mi ∆xi = i∈I sao cho: Mi ∆xi + i∈I1 = {xi : i ∈ I} Mi ∆xi , i∈I2 trong đó I1 = {i ∈ I : [xi 1 , xi ] không chứa điểm chia của P0 }, I2 = {i ∈ I : [xi 1 , xi ] chứa điểm chia của P0 } Do cách chọn 1 , mỗi đoạn [xi 1 , xi ] chứa nhiều nhất một điểm thuộc Mi ∆xi ≤ i∈I2 M 1 ≤ n0 M 1 ≤ i∈I1 Mi... khả tích và n b f= ci (xi − xi 1 ) a i =1 b) Hàm Dirichlet sau đây là không khả tích Riemann trên D(x) = Với mọi phân hoạch P , 0 1 nếu nếu x x = {x 0 , · · · , xn } [0, 1] : hữu tỉ vô tỉ L(D, P ) = 0, U (D, P ) = 1 2.2 Tổng Riemann Cho f : [a, b] → R là hàm bò chặn Với mỗi phân hoạch P = {x0 , · · · , xn } của [a, b] và mỗi họ các điểm ξP = {c1 , · · · , cn }, với xi 1 ≤ ci ≤ xi , ta có tổng Riemann... ) = n f (ci )∆xi i =1 Rõ ràng L(f, P ) ≤ S(f, P, ξP ) ≤ U (f, P ) Đònh lý sau cho phép đònh nghóa tích phân là giới hạn của tổng Riemann Đònh lý Hai điều sau tương đương: (1) Hàm f là khả tích trên [a, b] (2) Tồn tại lim S(f, P, ξP ) = I , theo nghóa |P |→0 ∀ > 0, ∃δ > 0 : ∀P, |P | < δ ⇒ |S(f, P, ξP ) − I| < , ∀ξP Khi đó b a f = I 69 Chương IV Phép tính tích phân Chứng minh: • (1) ⇒ (2): Gỉa sử f ∈... chặn f là khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi tồn tại dãy phân hoạch Pn đoạn [a, b], sao cho: U (f, Pn ) − L(f, Pn ) → 0 , khi n → ∞ Khi đó b f = lim U (f, Pn ) = lim L(f, Pn ) n→∞ a n→∞ Ví dụ b a) Nếu f ≡ c (const), thì f khả tích và f = c(b − a) a Tổng quát, nếu f là hàm bậc thang trên [a, b], i.e tồn tại phân hoạch P đoạn [a, b], sao cho f (x) = ci , khi x ∈ [xi 1 , xi ], thì f khả tích và n b f=.. .68 Đònh nghóa Hàm f gọi là khả tích (Riemann) trên I(f ) = I(f ) [a, b] , ký hiệu f ∈ R[a, b], nếuu Khi đó giá trò chung đó gọi là tích phân của f trên [a, b] , và ký hiệu là b a b hay f a f (x)dx Từ đònh nghóa ta có tiêu chuẩn thường được sử dụng sau Tiêu chuẩn Riemann Hàm bò chặn f là khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi với mọi > 0, tồn tại phân... chia của P0 } Do cách chọn 1 , mỗi đoạn [xi 1 , xi ] chứa nhiều nhất một điểm thuộc Mi ∆xi ≤ i∈I2 M 1 ≤ n0 M 1 ≤ i∈I1 Mi ∆xi ≤ U (f, P0 ) + i∈I1 M 1 ≤ U (f, P0 ) + i∈I2 Vậy U (f, P ) ≤ U (f, P0 ) + Lập luận tương tự, tồn tại δ 2 > 0, Suy ra với δ = min( 1 , δ2 ), mọi phân hoạch b a 2 < b a b a P 4 Cố đònh P như trên Khi cho ξP P > 0, 2 mà |P | < δ2 , ta có b a f+ tồn tại δ > 0, sao cho mọi phân 2... cho mọi phân 2 thay đổi, ta có và U (f, P ) = sup S(f, P, ξP ) ξP Suy ra I− tại sao?) mà |P | < δ , và mọi ξP , ta có < S(f, P, ξp ) < I + L(f, P ) = inf S(f, P, ξP ) ξP ( f− Từ đó suy ra (2) • (2) ⇒ (1) : Gỉa sử lim S(f, P, ξP ) = I Với |P |→0 hoạch P mà |P | < δ , mọi ξP , ta có 2 Ta có 4 f − < L(f, P ) ≤ S(f, P, ξP ) ≤ U (f, P ) < I− P0 f+ sao cho mọi phân hoạch L(f, P ) > mà ≤ L(f, P ) ≤ U (f, . + E x 2 + x +1 1 x 5 − x 2 = 0 x − 1 x 2 + 1 3(x 1) − x − 1 3(x 2 + x +1)  dx x 5 − x 2 = 1 x + 1 6 ln (x − 1) 2 x 2 + x +1 + 1 √ 3 arctan 2x +1 √ 3 + C  dx x 4 − x 2 − 2  (x +1) dx x 4 − x 2 −. x(x 2 +1) 1 x 3 + x = A x + Bx + C x 2 +1 A, B, C 1 ≡ A(x 2 +1) +(Bx + C)x 1 ≡ (A + B)x 2 + Cx + A 1, x,x 2 , ··· A =1, C =0,A+ B =0 ⇔ A =1, B = 1, C =0 1 x 3 + x = 1 x − x x 2 +1  x 3 + x +1 x 3 +. (x)cosaxdx P I n =  x n ln xdx n = 1 u =lnx ⇒ du = dx x dv = x n dx v = x n +1 n +1 I n = x n +1 n +1 ln x − 1 n +1  x n dx = x n +1 n +1 ln x − x n +1 (n +1) 2 + C n = 1 I 1 =  ln x x dx =  ln xd(ln