108 §2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn Vào khoảng 200 năm trước công nguyên. Ơ-ra-tô-xten, một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất nhờ vào hai quan sát sau: 1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là Ac-su-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng. 2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lieeec-xan-dri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m. Ơ-ra-tô-xten đã ước lượng “chu vi” Trái Đất như thế nào? O B C S A Hình 14 1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn a) Đặt vấn đề Ta đã biết hai tam giác vuông có cùng góc nhọn α thì đồng dạng với nhau, do đó tỉ số của các cặp cạnh tương ứng của chúng bằng nhau. Chẳng hạn (xem hình 15), hai tam giác ABC, A’B’C’ vuông tại A và A’, có l l 'BB α = = . 109 B C A a) α C’B A’ b) α Hình 15 Do đó ΔABC ~ ΔA’B’C’, vì vậy ta có các cặp tỉ số bằng nhau như sau: '' '' '' '' ;;;; '' '' '' '' AB A B AC A C AC A C AB A B BC B C BC B C AB A B AC A C ==== Vậy mọi tam giác ABC vuông tại A, có l B α = luôn có các tỉ số ,,, A BACABAC BC BC AC AB không đổi, không phụ thuộc vào từng tam giác. Tuy nhiên chúng phụ thuộc vào độ lớn của góc α. b) Đònh nghóa Ta nhắc lại các khái niệm cạnh kề, cạnh đối của một góc trong tam giác. Xét góc nhọn B của tam giác vuông ABC (h.16). A C B Cạnh huyền C a ï n h ke á C a ï n h đ o á i α Hình 16 • AB được gọi là cạnh kề của góc B. • AC được gọi là cạnh đối của góc B. Cho góc nhọn α. Dựng một tam giác vuông có một góc nhọn α. Cạnh kề và cạnh đối nói tới trong đònh nghóa dưới đây là của góc α. Đònh nghóa : Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu sin α. Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu cos α. 110 Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu tg α, (hay tan α). Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu cotg α (hay cotα). Như vậy: sin α = đối hu y ền ; sco α = kề hu y ền tg α = đối kề ; cot g α = kề đối 2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau : Ta có thể chứng minh dễ dàng các đẳng thức sau : sin cos ; cos sin tg cot ; cotggtg α βαβ α βαβ = = == Như vậy ta có bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt sau đây : Các em có thể dựa vào nửa tam giác đều ở trên và tam giác vuông cân để suy ra các giá trò ở bảng trên (trường hợp 0 o và 90 o là trường hợp để tham khảo thêm) Đònh lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tang góc nay bằng côtang góc kia. 111 Có thể em chưa biết Bất ngờ về cỡ giấy thương mại A4 (21cm × 29,7cm). • Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của tờ giấy A4 xấp xỉ bằng 2 . • Giả sử tờ giấy A4 được minh hoạ bằng hình 23. Nếu gấp tờ giấy theo các đường thẳng AC và BI thì ta sẽ có một góc vuông! K Hình 23 BC D A I • Nếu gấp tờ giấy theo đường phân giác BM của góc ABC, sau đó gấp tiếp theo đường phân giác BN của góc ABM (h.24) thì điểm M sẽ trùng với điểm A! M Hình 24 BC D A N 112 Bằng hiểu biết của mình, em có thể giải thích được các điều lí thú này đấy. Bài tập 17. Lập các tỉ số lượng giác của góc 34 o bằng cách vẽ một tam giác vuông có góc nhọn 34 o . Giải Ta có : 0 0 0 0 sin34 cos34 34 c34 A B BC A C BC A B tg AC A C otg A B = = = = 18. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,90m, BC = 1,20m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A. Giải Theo đề bài : l 0,9 3 1, 2 4 AC tgB BC === l 0 37B⇒≈ Mà ll 0 90AB+= nên l 0 53A ≈ 19. Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45 o . sin60 o , cos75 o , sin52 o 30’, cotg82 o , tg80 o . Giải 000 0 sin60 sin(90 30 ) cos30=−= 0000 75 cos(90 15 ) sin15cos =−= 00000 sin52 30' sin52,5 sin(90 37,5 ) cos37,5==−= 0000 cot 82 cot (90 8 ) 8gg tg=−= 000 0 80 (90 10 ) cot 10tg tg g=−= 113 Luyện tập 20. Dựng góc nhọn α biết rằng : a) 1 sin 3 α = b) cos 0,4 α = c) 3 5 tg α = Giải a) Cách dựng : - Dựng góc vuông xAy = 90 o - Trên tia Ay , lấy điểm B sao cho AB = 1 - Dưng đường tròn tâm B , bán kính 3 , đường tròn cắt Ax tại điểm C , nối BC ta được A CB ∧ thoả 1 sin 3 ACB ∧ = Chứng minh : thật vậy 1 sin sin 3 C α = = Tương tự , các em có thể tìm hiểu và giải được câu b) và c) 21. Sử dụng đònh nghóa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để hứng minh rằng : với các góc nhọn α tuỳ ý , ta có : a) sin 1 ; cos 1 α α << b) sin cos ; cot ; .cot 1 cos sin tg g tg g α α αααα αα == = c) 22 sin cos 1 αα + = Gợi ý câu c) : dùng đònh lý Pitago . Giải 114 a) Ta có : sin A C BC α = ; cos A B BC α = mà vì AB , AC đều nhỏ hơn BC (BC là cạnh huyền) nên sin 1 ; cos 1 α α < < b) Ta có : sin cos AC AC BC tg AB AB BC α α α == = Tương tự cos sin AB AB BC cotg AC AC BC α α α == = sin cos .cot . 1 cos sin tg g α α αα αα ⇒= = c) 2 2 2 sin A C BC α = ; 2 2 2 cos A B BC α = 22 2 22 22 sin cos 1 AB AC BC BC BC αα + ⇒+ = == 22. Cạnh huyền của một tam giác vuông có một góc 60 o là 8. Hãy tìm độ dài của đối diện với góc 60 o . Giải Ta có BC = 8 4HC⇒= (vì BCH là nửa tam giác đều) 2 22 2 3 43 22 BC BC HB BC HC BC ⎛⎞ =−=− = = ⎜⎟ ⎝⎠ . 23. Tìm x trong hình 25 115 x 45 o 21 20 Hình 25 Giải Do n 0 45ABC = và n 0 90AHB = nên tam giác ABH là tam giác vuông cân Do đó AH = BH = 20 Ta lại có : Theo Pytago : 22 22 21 20 841 29xAHHC=+=+== 24. Hãy tìm cos α và tgα, nếu a) sin α = 3 5 b) sinα = 40 41 c) sinα = 0,8. Giải a) Ta có 22 2 sin cos 1 cos 1 sinaa a a+=⇒=− (vì a là góc nhọn nên cosa > 0 ) Vậy 2 2 3164 sin cos 1 5255 a ⎛⎞ =− = = ⎜⎟ ⎝⎠ 3 sin 3 5 4 cos 4 5 a tga a === Cách làm tương tự đối với câu b) và c) , các em có thể tự giải 116 Có thể em chưa biết SỰ RA ĐỜI CỦA PHÉP TOÁN LƯNG GIÁC Lượng giác ra đời trong quá trình xây dựng kim tự tháp và sự quan sát thiên văn. Kim tự tháp là điều thú vò đối với chúng ta : hầu như tất cả các mặt của nó đều tạo ra một góc từ 50 0 đến 55 0 với bề mặt nên. Trong bản viết tay của Rhind, người ta tìm thấy công thức về tỷ số của phân nửa cạnh đáy so với chiều cao của kim tự tháp. Đối với một cạnh 360 sải tay và một chiều cao 250 sải tay, viên thư ký chỉ ra được tổng các phân số, với lời ghi của chúng tôi : 50 1 5 1 2 1 ++ . Tỷ số này nghòch đảo với tang 54,2 0 . Độ lớn của tỷ số như thế này rất quan trọng đối với những người xây dựng kim tự tháp bởi vì họ cần tính toán chính xác để ghép những khối đá liên tiếp nhau. Về phương diện này, những nhà thiên văn học xứ Babylone thế kỷ IV và V trước công nguyên, đã tích lũy lượng lớn dữ liệu thiên văn và những nhà thiên văn học xứ Babylone này đã sắp xếp việc sử dụng những hằng số góc này (số nghòch đảo của tg một góc nào đó) thành một bảng được khắc trên bảng Plimton 322. Người Hi Lạp đã lợi dụng những thành tựu của những nhà thiên văn xứ babylone và tiếp tục nghiên cứu những mối quan hệ giữa những góc ở tâm đường tròn với chiều dài dây cung bò chắn. Nếu trong những quyển sách của Euclide, người ta tìm được rất ít những phép toán lượng giác, thì ngược lại , hai nhà toán học Hi Lap đã sử dụng những mối quan hệ góc dây cung đó là Eratosthène de Cyrene (khoảng 275 – 195 trước CN) và Aristanque de Samos (khoảng 310 – 230 trước CN). Người đầu tiên trong số họ đã cho rằng chu vi Trái Đất vào khoảng 250000 stades (đv đo), lớn hơn một chút so với thực tế. Người thứ hai đã thiết lập được những tỷ số lượng giác và đặc biệt, ông đã phát biểu rằng tỷ số khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng so với khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời vào khoảng từ 20 1 đến 18 1 . Một thế kỷ sau, Hipparque de Nicée (khoảng 180 – 125 trước Cn) đã sử dụng một cách hệ thống một đường tròn 360 0 và chia nhỏ nó ra, thừa hưởng từ người xứ Babylone, và ông đã dựng nên bảng công thức về dây cung biều diễn cho bảng công thức về sin của góc. 117 Những nhà toán học xem Hipparque de Nicée như là cha đẻ của các phép toán lượng giác. Sự đo đạt đầu tiên về một cung của kinh tuyến bởi Eratosthène (khoảng 230 trước CN). Asỳene (S), ngày nay là Assounan, vào ngày 21 tháng 6, Mặt trời, vào lúc lên cao nhất , phản xạ dưới đáy giếng thẳng đứng. Vào đúng ngày này, ở Alexandrie (A), sự đo đạc về chiều dài nhỏ nhất của bóng Aa một cột tháp thẳng đứng AB cho phép xác đònh được góc ∧ aBA cũng chính là góc ∧ AOS bởi lẽ các tia sáng mặt trời gần như là song song với nhau. ratosthène ước lượng cung SA vào khoảng 50 1 so với kinh tuyến Trái Đất. Mà khoảng cách từ Sỳene đến Alexandie vào khoảng 5000 stades, điều đó cho thấy chu vi Trái Đất khoảng 250000 stades. [...]... Cho tam giác ABC có các góc nhọn và đường cao AH = Chứng minh rằng : cotgB + cotgC = 2 Bài 2 Dựa vào công thức sin 2 x + cos 2 x = 1 Chứng minh : sin4x +cos4x = 1 – 2 sin2x.cos2x Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A B b a/Chứng ming rằng tg = 2 a+c b/ Các em hãy đưa ra một công thức khác tương tự , 2b 2 c 2 2 (la là độ dài phân giác trong của góc A) c/ la = (b + c) 2 Bài 4 Cho tam giác có 3 góc nhọn a . 0 0 0 0 sin34 cos34 34 c34 A B BC A C BC A B tg AC A C otg A B = = = = 18. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,90m, BC = 1,20m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A. Giải Theo đề bài :. gọi là cạnh đối của góc B. Cho góc nhọn α. Dựng một tam giác vuông có một góc nhọn α. Cạnh kề và cạnh đối nói tới trong đònh nghóa dưới đây là của góc α. Đònh nghóa : Tỉ số giữa cạnh đối. Ơ-ra-tô-xten đã ước lượng “chu vi” Trái Đất như thế nào? O B C S A Hình 14 1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn a) Đặt vấn đề Ta đã biết hai tam giác vuông có cùng góc nhọn α thì đồng