Đang tải... (xem toàn văn)
chuyên đề đối xứng trong khảo sát hàm số tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 1 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN : Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C) 1.N ế u f(x) là hàm s ố ch ẵ n : Đồ th ị c ủ a có đố i x ứ ng nhau qua tr ụ c Oy - Có ngh ĩ a là ,tr ụ c Oy là trục đối x ứng của nó . 2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhậ n gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 3. Cho hai đ i ể m 11 2 2 ;; ; A xy Bxy và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau : 21 AB 21 .1 ;i:k êm I d AB d kk y y vo Trungdi x x 4. Cho đ i ể m I( 00 ;) x y . Nếu chuyển h ệ tọa độ Oxy dọc theo ph ương của véc tơ OI thì công thức chuyển trục là : 0 0 x xX y yy Khi đó phươ ng trình của đồ thị (C) trong h ệ mới : Y=F(X;y 0 ;x 0 ) B. GHI NHỚ : - Đố i v ớ i đồ th ị hàm phân th ứ c , thì giao hai ti ệ m c ậ n là tâm đố i x ứ ng - Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng - Đố i v ớ i hàm s ố trùng ph ươ ng thì tr ụ c Oy là tr ụ c đố i x ứ ng c ủ a đồ th ị hàm s ố . C. CÁC BÀI TOÁN TH ƯỜ NG G Ặ P I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG CÁCH GIẢI Có hai cách * Cách 1. - Giả sử trục đối xứng có phương trình : 0 x x . G ọ i đ i ể m 0 ;0Ix - Chuyển 0 Oxy IXY OI x xX yY - Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x 0 ;y 0 ) (*) - Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 ) - Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm . * Cách 2. Nếu với 0 x x là trục đối xứng thì : f( 00 ) x xfxx đúng với mọi x , thì ta cũng thu được kết quả . Ví dụ 1. Cho hàm số 432 4764yxxxxC . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là trục đối xứng của đồ thị (C) ( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối xứng đó ? ) GIẢI Cảm ơ n Quocbao84@ gm ail. co m g ửitớ i www. laisac. pag e. tl C C C H H H U U U Y Y Y Ê Ê Ê N N N Đ Đ Đ Ề Ề Ề Đ Đ Đ Ố Ố Ố I I I X X X Ứ Ứ Ứ N N N G G G T T T R R R O O O N N N G G G K K K H H H Ả Ả Ả O O O S S S Á Á Á T T T H H H À À À M M M S S S Ố Ố Ngu yễ n Đì nh Sỹ Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 2 - Giả sử đường thẳng x= 0 x là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( 0 ;0)x - Chuyển : 0 Oxy IXY OI x xX yY - Ph ươ ng trình c ủ a (C) trong h ệ t ọ a độ m ớ i là : 432 0000 432232 432 0000000000 4764 44 65 4576 4764 Yxx xx xx xx YX x X x xX x x x X x x x x - Để hàm s ố là chẵn thì các hệ số c ủa ẩn bậc lẻ và số hạng tự do b ằng không : 0 32 00 0 0 432 0000 440 45760 1 47640 x xxx x xxxx Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , và phương trình của trục đối xứng là : x=1. Ví d ụ 2. Tìm tham s ố m để đồ th ị hàm s ố : 43 2 4 m yx x mx C có trục đối xứng song song vớ i trục Oy. GIẢ I - Giả sử đườ ng thẳng x= 0 x là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( 0 ;0)x - Chuy ể n : 0 Oxy IXY OI x xX yY - Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là : 432232 432 000 000000 44 63 4122 4YX x X x xmX x x mxXx xmx - Để là hàm số chẵn thì : 0 0 32 00 0 410 1 4 4122 0 x x m xmx II. Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng . CÁCH GIẢI Ta cũng có hai cách giải Cách 1. - Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng là 00 ; I xy - Chuy ể n : 0 0 Oxy IXY OI x xX yyY - Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả . Cách 2. Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì : 000 ()()2 f xxfxx y với mọi x Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 3 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 . ( ĐH-QG-98). Cho (C) : 2 1 x y x a. Khả o sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm t ọa độ tâm đối xứ ng đó . GIẢI a. Họ c sinh tự vẽ đồ th ị (C) b. Giả sử (C) có tâm đối xứng là I 00 ;I xy - Phương trình (C) viết lạ i thành dạng : 1 1 1 yx x - Chuyển : 0 0 Oxy IXY OI x xX yyY - Phươ ng trình (C) trong hệ m ới là : 00 0 00 0 1 1 1 1 1 1 Yy x X xX YX x y Xx - Để hàm số là lẻ : 00 0 00 10 1 1; 2 10 2 xy x I xy Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2). Ví d ụ 2 . ( Đ H-NNI-99). Cho hàm s ố 1 x yC x a. Kh ả o sát và v ẽ đồ th ị (C) b. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C) GI Ả I a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Hàm số viết lại : 1 1 1 y x - Giả sử (C) có tâm đối xứng là 00 ; I xy - Chuyển : 0 0 Oxy IXY OI x xX yyY - Phương trình (C) trong hệ mới là : 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Yy xX Yy Xx Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 4 - Để hàm số là lẻ : 00 00 10 1 1;1 10 1 yx I xy Nh ận xét : Giao hai tiệm cận là (-1;1) trùng vớ i I . Chứng tỏ giao hai tiệm c ận là tâm đối xứ ng của (C). III. Tìm tham số m để ( ) m C : y=f(x;m) nhận điểm I( 00 ;) x y là tâm đối xứng . CÁCH GIẢI 1. N ế u f(x;m) là hàm s ố phân th ứ c h ữ u t ỷ : - Tìm tọa độ giao hai ti ệm cận . Giả sử giao hai ti ệm cận là J(a;b) - Để I là tâm đố i x ứ ng thì bu ộ c J trùng v ớ i I ta suy ra h ệ : 0 0 ax m by 2. Nếu f(x;m) là hàm s ố bậc ba . - Tìm tọa độ điểm uốn : ''( ; ) 0 ; (; ) yxm x a Jab yfxm yb - T ươ ng t ự nh ư trên , đẻ I là tâm đố i x ứ ng , ta cho J trùng v ố I ta suy ra h ệ : 0 0 ax m by Víd ụ 3 . Tìm m để đồ th ị hàm s ố 3 2 32;0 m x ymxCm m nh ậ n đ i ể m I(1;0) là tâm đố i xứng . GI Ả I Ta có : 2 36 '6''6 xx y mx y m mm . Cho y''=0 2 6 60; u x mxmx m - Tính 6 45 25 ;3.222;22 uu m yyxm mm m Umm m - Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I : 2 5 5 1 1 1 1 220 m m m m m - Vậy với m=-1 và m=1 thì I(1;0) là tâm đối xứng của đồ thị . Ví dụ 4. (ĐH-Luật -99) . Cho hàm số 2 2421 2 m xm xm y C x Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng . GIẢI - Ta viết lại hàm số ; 1 2 2 yxm x . Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên với phương trình là : y=2x+m và tiệm cận đứng : x=2 . - Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J(2;m+4) Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 5 - Để I làm tâm đố i x ứ ng thì ta bu ộ c J trùng v ớ i I , ngh ĩ a là ta có h ệ : 22 3 41 m m - Vậy vớ i m=-3 thì I là tâm đối xứng của đồ thị . Ví d ụ 5 .( Đ H-C Đ -2000). Cho hàm s ố 32 33 34 m yx x mx m C Tìm m để m C nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng . GIẢI - Tìm tọa độ đ iểm uốn : Ta có : 2 '3 6 3; ''6 6 ''0 6 60; 1 u yxxmy x y x x x Tính 1133 3 46 2; 1;6 2 u yy mm m U m - Để I là tâm đố i xứng thì : 11 0 622 m m - Vậy vớ i m=0 , thì I là tâm đối xứ ng của đồ thị . IV. TÌM CÁC Đ I Ể M ĐỐ I X Ứ NG NHAU TRÊN ĐỒ TH Ị Bài toán : Cho đồ th ị (C) : y=f(x) , tìm trên đồ th ị nh ữ ng c ặ p đ i ể m M,N đố i x ứ ng nhau qua đ i ể m A ho ặ c đườ ng th ẳ ng d: Ax+By+C=0 ( cho s ẵ n ) CÁCH GIẢI - Gi ả s ử 00 0 0 ;() 1Mxy C y fx - Tìm t ọ a độ đ i ể m N theo 00 , x y sao cho N là đ i ể m đố i x ứ ng c ủ a M qua A ( ho ặ c qua d ) Nên ta có : 2 NN yfx - Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ của điểm M,N . Ví d ụ 6 . ( Đ H-GTVT-97) Cho hàm s ố 32 94yx mx x . Xác đị nh m để trên đồ th ị hàm s ố có m ộ t c ặ p đ i ể m đố i x ứ ng nhau qua g ố c t ọ a độ O. GIẢI Giả sử 00 0 0 ;à N-x; M xy v y là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có : 32 00 0 0 32 0000 941 942 yxmx x yxmxx Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có : 2 0 40 3mx Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m<0 . Khi đó : 0 4 x m Thay vào (1) ta tìm dược 0 y . Vậy đáp số : m< 0 . Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 6 Ví d ụ 7 . ( Đ H GQTPHCM-97) . Cho hàm s ố 2 2 1 xx y C x a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Tìm tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(0;5/2) GIẢI a. H ọc sinh tự vẽ đồ th ị b. Giả sử 11 2 2 ;; ; M xy Nxy thuộc (C) và I là trung đ iểm của M và N. Ta có : 12 2 1 11 12 2 1 20 ;5 25 5 I I xx x x x Nx y yy y y y M và N đều thuộ c (C) nên ta có hệ : 2 11 1 1 2 11 1 1 2 1 1 2 52 1 xx y x xx y x ; Lấy (1) cộng vớ i (2) ta được : 22 11 11 11 22 5 11 xx xx xx 22 2 1111111 2 1 51 1 2 1 2 93 xxxxxxx xx - V ớ i 11 22 32;3;2,3;2 37;3;7,3;2 xyM N xyMN Ví d ụ 8 . ( Đ H-Hàng H ả i -99). Cho hàm s ố 2 1 x y C x a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Tìm hai đ i ể m A,B n ằ m trên (C) và đố i x ứ ng nhau qua đườ ng th ẳ ng d : y= x-1 . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Ta có hai cách giải . * Cách 1. - Viết lại phương trình (C) 1 1 1 yx x . G ọ i 11 2 2 ;, ; A xy Bxy C . Nên ta có - 21 21 21 21 1 2 1 2 22 11 11 11 AB xx yy k xx xx x x x x ; 1 d k - Nếu A,B đối xứng nhau qua d thì : 12 1212 12 .11 2 1:1 1; 1 1 1; . 2 0(*) 11 2 AB d kk xx xxxx xx Id Nếu I là trung điểm của AB thì : 12 1212 12 2 ;2 2 I I xx x Id y y xx yy y Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 7 12 12 12 12 12 12 12 11 22 11 2 40420 11 6 (**) xx xx xx xx xx xx xx Từ (*) và (**) ta có hệ : 12 02 12 12 6 ;à 2 n: 6 40 .4 xx xxl ptX X xx Vậ y : 12 1 1 35, 35 45 25 XX Y Chú ý : Ta còn có cách giải khác - Gọi d' là đường th ẳng vuông góc với d suy ra d': y=-x+m ( m là tham số ) - Do A,B thuu ộ c d' đồ ng th ờ i thu ộ c (C) , cho nên t ọ a độ A,B là nghi ệ m c ủ a h ệ : 2 1 x x m x yxm ( có hai nghiệm khác 1) 2 (; ) 2 1 0(1)gxm x m x m( có 2 nghiệm khác 1) Đ i ề u ki ệ n : 2 2 18 0 610 322 322(*) (1; ) 2 1 1 0 mm mm m m gm m m Với điều kiện (*) thì (1) có hai nghiệm khác 1 , đó cũng chính là hoành độ của A và B. - G ọ i I là trung đ i ể m c ủ a AB t ọ a độ I : 12 12 11 244 2131 44 2 III II I xx mm xxx xx m m m ymy y - Để A và B đối xứng nhau qua d thì I thuộc d : 31 1 11;22;1 44 II mm yx m m . V ớ i m=-1 , th ỏ a mãn (*) - Khi m=-1 (1) tr ở thành : 1 1 2 22 11 1 1 1 1 222 1 22 210 1111 1 1 22 22 1 2 y x x xy Ví dụ 9.( ĐH-ThủyLợi -99) . Cho hàm số 2 22 1 xx y C x a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho A,B đối xứng nhau qua đường thẳng d': y= x+3 . GIẢI A. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 8 b. Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A,B có hoành độ là nghiệm của phương trình : 2 2 22 1(;)23 2 02 1 xx xm gxm x mx m x ( có hai nghiệ m khác 1) 2 2 3820 29; 110 110(*) (1; ) 2 3 2 1 0 mm mm om m gm m m - Gọi I là trung diểm của AB thì : 12 3 24 333 44 I II xx m x mm yxmm - Để A,B đối xứng nhau qua d thì I phải thuộc d : 333 33;218;9 44 II mm yx m m - V ớ i m=9 thì (2) tr ở thành : 11 2 22 6 14 6 14 12 14 9 222 212110 6 14 6 14 12 14 9 222 xy xx xy Ví d ụ 10. ( Đ H-Hu ế -2001). Cho hàm s ố 323 31 22 m y xmxmC a. Tìm tham số m để đồ thị m C có CĐ, CT đồng thời các điểm CĐ,CT đối xứng nhau qua đườ ng th ẳ ng d : y=x b. Tìm m để m C cắt trục OX tại ba điểm A,B,C sao cho : AB=BC. GI Ả I a. Ta có : 2 0 '3 3 3 0 x yxmxxxm x m - Để tồn tại cực đại , cực tiểu : 0m (*) - G ọ i A(0; 3 1 2 m ) và B(m; 0) là hai điểm cực trị . - Tính : 3 2 1 0 1 2 ;1 02 AB AB d AB m yy kmk xx m . - Gọi I là trung điểm của AB : 3 3 0 22 2 1 0 1 2 2 24 AB I I AB I I mm xx x x yy m y y m - Để A,B đối xứng nhau qua d thì : 2 2 3 1 2 .1 .1 1 ;2 2 1 42 AB d II m kk m m m Id m yx Thỏa mãn điều kiện (*). Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 9 b. Nếu m C cắt Ox tại ba đi ểm phân biệt A,B,C thì : 323 31 01 22 xmxm , có ba nghiệm. Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ của A,B,C theo thứ tự là : 123 ,, x xx . Áp dụ ng vi ét cho phương trình (1). 123 13 2 22 21 3 13 12 23 31 22 13 2 3 3 213 123 23 13 2 21 32 3 3 11 2 2 22 .0 0 1 .22 4 1 1 . 11 1 2 2 2 22 2 b xxx m xx x m xm xm a c xx x xx xx xx xx xx x m x a d xxx m xxx m mm ma xx x xxxx 2 13 1 . 2 0 x m m Nhưng khi m=0 ,thì đồ thị hàm s ố chỉ cắt trụ c hoành tại duy nhất một điểm .Cho nên , không tồn tại giá trị m nào để hàm số cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng . Ví dụ 11 .((HVKTQS-2001). Cho hàm số 2 21 1 m xm xm y C x a. Kh ảo sát sự bi ến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=2 b. Tìm m để trên m C có hai điểm A,B sao cho : 530;530 AA BB xy xy . Tìm m để A,B đối xứng nhau qua đường thẳng x+5y+9=0. GI Ả I a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. T ừ gi ả thi ế t ta th ấ y t ọ a độ A,B th ỏ a mãn ph ươ ng trình : 5x-y+9=0 . Có ngh ĩ a là A,B n ằ m trên đườ ng th ẳ ng d' : y=5x+9 .Nh ư ng A,B l ạ i n ằ m trên m C , cho nên A,B là giao c ủ a d' v ớ i m C . 2 2 21 (; ) 4 10 2 0 1 53 1 53 53 xm xm gxm x m x m x x yx yx 2 4680 (1; ) 4 10 2 2 0 mm mR gm m m . - G ọ i I là trung đ i ể m c ủ a AB : 12 10 28 10 5 26 535 3 88 I II xx m x mm yx - Nếu A,B đối xứng nhau qua d : x+5y+9=0 , thì I phải thuộc d . ( Thỏa mãn tính chất d' vuông góc với d rồi ). 55 26 10 34 90; 88 13 m m m . Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số 2 23 2 m xmxm y C x a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m=3. Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 10 b. Chứng minh rằng với một điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt (C) tại hai điểm A,B tạo với I ( là giao hai ti ệm cận ) một tam giác có diệ n tích không đổi ,không phụ thuộc vào vị trí của M. c. Ch ứ ng minh r ằ ng hàm s ố luôn có c ự c đạ i ,c ự c ti ể u v ớ i m ọ i m . Tìm m để hai đ i ể m c ự c đại , cực tiểu đố i xứng nhau qua đường thẳng d : x+2y+8=0 . GIẢI a. Khi m=3 . (C) : 2 33 1 1 22 xx yx xx . ( Học sinh tự v ẽ đồ thị (C) ) b. Ta có : 2 1 '1 2 y x . Gọi 00 0 0 0 1 ;() 1 (*) 2 Mxy C y x x Ti ế p tuy ế n v ớ i (C) t ạ i M là 00 2 0 0 11 :1 1 2 2 yxxx x x - N ế u 2x tại đ iểm A , thì 0 00 2 00 0 11 121 22 2 A x yxx xx x 0 0 2; 2 x A x - Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 tại điểm B. 00 0 0 2 0 0 11 111;22123 2 2 BBBBB xx x x x x yx x x x 00 22;23 Bx x - N ế u I là giao hai ti ệ m c ậ n , thì I có t ọ a độ I(-2;-1). - Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng : x=-2 suy ra H(-2; 0 23 x ) - Di ệ n tích tam giác AIB 0 0 0 11 1 1222 22 22 AIBH x SAIBH yyxx x x 0 0 12 .2 2 2 dvdt 22 Sx x Chứng tỏ S là một hằng số , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. c.Ta có : 2 2 22 22 23 1 43 '0 3 22 xmx x mx m x xx y x xx Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị . - Gọi hai điểm cực trị là : 1; 2 ; 3; 6Mm Nm - Tính : 62 1 2; 31 2 MN d mm kk . Gọi J là trung điểm của MN , 13 2 2 26 4 2 J J x mm ym [...]... Bài 1.( Đề 27) Cho hàm số y x 4 4ax3 2 x 2 12ax Ca Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy Bài 2.( Đề 66) Cho hàm số y x 2 3x 4 2x 2 C a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A ,B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x x2 2 x 2 Bài 3. (Đề 89) Cho hàm số y x 1 H và đường thẳng d' : y=-x+m ( m là tham số ) a Khảo sát sự biến... cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x+3 Bài 4 ( Đề 142) Cho hàm số y x 4 m 3 x3 2 m 1 x 2 Cm Tìm tham số m để hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy ? Bài 5 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số y x2 x 1 C a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x-1 Bài 6 ( HVKTQS-99) Cho hàm số y x... (C') : y 3x 2 , đối xứng với (C) qua I 2 2 2 x 3x 3 1 x 1 Ví dụ 3 Cho hàm số y C x2 x2 4 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0 GIẢI a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Gọi A(x;y) thuộc (C) và B(x';y') thuộc (C') - Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d y y'... phương trình : y x 5 C ' x 4 x 5 Ví dụ 2 Cho hàm số y 3x 2 C 2 2 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2) GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi A x; y C y x4 5 3 x 2 ; B x '; y ' C ' 2 2 - Nếu (C') đối xứng với (C) thì tức là A và B đối xứng nhau qua I x 2.0 x ' x ' 3 x ' 2... x 2 x x2 4 x 3 Ví dụ 5 (HVKTQS-99) Cho hàm số y C x2 x2 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d : y=2 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi : A x; y (C ); B x ' x; y ' C ' ; y x 3 4 x2 - Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d : - Ta có : y'+y=2.2 Suy ra : y=4-y'... (C) và (C') đối xứng nhau qua d thì A,B đối xứng nhau qua d : y ' y 1 1 k k AB kd 1 x ' x I d y ' y k x x ' b 2 2 2 Ở (1) và (2) thì k,b là những số đã biết Ta tìm cách khử x và y trong (1) và (2) để được một phương trình có dạng y'=g(x') Đó chính là phương trình của (C') cần tìm C MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 Cho hàm số y x2 x... : y'+y=2.2 Suy ra : y=4-y' 4 4 ; y ' 1 x ' x ' 2 x ' 2 4 - Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) qua d : y 1 x x2 - Do A thuộc (C) , cho nên : 4 y ' x ' 3 Ví dụ 6 Cho hàm số y 2 x(4 x) C a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox Chứng minh rằng (C) cắt (C') theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ? GIẢI... 3 x ' 4 y ' 4 10 10 4 x ' 3 y ' 4 4 y ' 3 x ' 4 5 Từ phương trình hàm số : 5 y 5 x 5 5 x 10 4 y ' 3 x ' 4 10 Trang 12 Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Ví dụ 4 (ĐHLâm Ngiệp -2001 ) Cho hàm số y 3x 1 x 3 C a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi A... x2 C a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(-1;1) GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 11 b Gọi một điểm bất kỳ A x; x 1 C ; B x '; y ' C ' x2 1 - Khi A chạy trên (C) qua điểm I , thì B chạy trên (C'), cho nên nếu (C') đối xứng với (C) qua I thì A và B đối xứng nhau...- Để M,N đối xứng nhau qua d thì : 1 k MN kd 1 2 1 2 m 1 J d 2 2 m 4 8 0 Vậy m=1 thì hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua d V LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG A BÀI TOÁN : Cho đường cong (C) . Cho hàm số 432 4764yxxxxC . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là trục đối xứng của đồ thị (C) ( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối. T ẬP TỰ LUYỆN Bài 1 .( Đề 27). Cho hàm số 432 4212 a y xaxx axC Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy. Bài 2 .( Đề 66). Cho hàm s ố 2 34 22 xx y C x . Ví dụ 4. (ĐH-Luật -99) . Cho hàm số 2 2421 2 m xm xm y C x Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng . GIẢI - Ta viết lại hàm số ; 1 2 2 yxm x . Chứng