1. Trang chủ
  2. Giáo Dục - Đào Tạo

một số chuyên đề, bài viết về hình học phẳng

75 637 1
một số chuyên đề, bài viết về hình học phẳng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

một số chuyên đề, bài viết về hình học phẳng tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...

Cácchuyênđề,bàiviếtdướiđâydo laisacsưutầmtrênInternetrồibiên soạn,cắtxén vàdánthànhhai filetổnghợpvớimụcđíchphụgiúp(thờigiantìmkiếm)chocácemởđộituyểntrườngTHPTchuyên L.V.C.Vìkhôngliênhệđược trựctiếpvớicáctácgiảđểxinphép,mongthôngcảm! 1.ĐịnhLý Ceva ChotamgiácABC.D,E,FlầnlượtnằmtrêncáccạnhBC,AC,AB.Chứngminhrằngcácmệnhđề saulàtươngđương: 1.1 AD,BE,CFđồngquytại mộtđiểm. 1.2 · · · · · · sin sin sin . . 1 sin sin sin ABE BCF CAD DAB EBC FCA = . 1.3 . . 1 AE CD BF EC DB FA = . Chứngminh: Chúngtasẽchứngminhrằng1.1dẫnđến1.2,1.2dẫn đến1.3,và1.3dẫnđến1.1. Giảsử1.1đúng.GọiPlàgiaođiểmcủaAD,BE,CF. TheođịnhlýhàmsốsintrongtamgiácAPD,ta có: · · · · sin sin . sin sin ABE ABP AP BP DAB BAP = = (1) Tươngtự,tacũngcó: · · sin ; sin BCF BP CP EBC = (2) · · sin . sin CAD CP AP FCA = (3) Nhântừngvếcủa(1),(2),(3)tađược1.2. Giảsử1.2đúng.TheođịnhlýhàmsốsintrongtamgiácABDvàtamgiácACDta có: · · · · sin sin ; . sin sin ADB AB CAD CD DB CA BAD ACD = = Dođó: · · sin . . sin CAD AB CD CA DB BAD = · · ( ) 0 180BDA ADC + = (4) Tươngtự,tacũngcó: · · sin . . sin BCF CA BF BC FA FCA = (5) www.laisac.page.tl M M Ộ Ộ T T S S Ố Ố C C H H U U Y Y Ê Ê N N Đ Đ Ề Ề , , B B À À I I V V I I Ế Ế T T V V Ề Ề H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C P P H H Ẳ Ẳ N N G G ( ( T T ậ ậ p p I I : : V V Ậ Ậ N N D D Ụ Ụ N N G G T T Í Í N N H H C C H H Ấ Ấ T T , , Đ Đ Ị Ị N N H H L L Ý Ý N N Ổ Ổ I I T T I I Ế Ế N N G G ) ) · · sin . . sin ABE BC AE AB EC EBC = (6) Nhântừngvếcủa(4),(5), (6)tađược1.3. Giảsử1.3đúng,tagọi 1 , .P CF BE D AP BC = = I I Theo1.1và1.2,tacó: 1 1 . . . . 1 CD AE BF AE CD BF EC D B FA EC DB FA = = hay: 1 1 . CD CD D B DB = Dođó: 1 D D º . Nhậnxét. VớiđịnhlýCeva,tacóthểchứngminhđượccácđườngtrungtuyến,đườngcao,đườngphângiác trongcủatamgiácđồngquytạimộtđiểm.Cácđiểmđólầnlượtlàtrọngtâm(G),trựctâm(H),tâm đườngtrònnộitiếptamgiác(I).NếuđườngtrònnộitiếptamgiácABCcắtAB,BC,CAlầnlượtlàtại F,D,E.Khiđó, tacó:AE=AF; BF=BD;CD=CF.BằngđịnhlýCeva,tachứngminhđượcAD,BE,CF đồngquytạimộtđiểm,điểmđógọilàđiểm Gergonne (Ge) củatamgiácABC(hìnhdưới). Lưuý:ĐịnhlýCevacóthểđượcsuyrộngbởinhữnggiaođiểmnằmngoàitam giácABC mà khôngnhấtthiếtphảinằmtrongnó.Vìvậy,cácđiểmD,E,FcóthểnằmngoàicáccạnhBC,CA,AB nhưhìnhbên. VídụsausẽchothấyrõtácdụngcủađịnhlýCeva. Bàitoán. [IMO2001ShortList]ChođiểmA 1 làtâmcủahìnhvuôngnội tiếptamgiácnhọnABCcó haiđỉnhnằmtrêncạnhBC.CácđiểmB 1 ,C 1 cũnglầnlượtlàtâmcủacáchìnhvuôngnộitiếptamgiác ABCvớimộtcạnhnằmtrên ACvàAB.ChứngminhrằngAA 1 ,BB 1 ,CC 1 đồngquy. Lờigiải: GọiA 2 làgiaođiểmcủaAA 1 vàBC.B 2 vàC 2 đượcxác địnhtươngtự. Theođịnhlýhàmsố sin,ta có: · · 1 1 1 1 sin sin SA SAA AA A SA = hay · µ ( ) 1 2 0 1 sin sin 45 SA BAA AA B = + Tươngtự: · µ ( ) 1 2 0 1 sin sin 45 TA CAA AA C = + hay µ ( ) · 0 1 1 2 sin 45 sin C AA TA CAA + = .Dođó, tađược: · · µ ( ) µ ( ) 0 2 1 1 0 1 1 2 sin 45 sin . . 1. sin sin 45 C BAA AA SA TA AA CAA B + = = + (1) Chứngminhhoàntoàntươngtự, ta cũngđược: · · µ ( ) µ ( ) 0 2 0 2 sin 45 sin . 1. sin sin 45 B BCC ACA A + = + (2) · · µ ( ) µ ( ) 0 2 0 2 sin 45 sin . 1. sin sin 45 A ABB CBB C + = + (3) Nhântừngvếcủa(1), (2), (3) kếthợpđịnhlýCevatađượcđiềucầnchứngminh. Bàitập ápdụng: 1. QuacácđiểmAvàDnằmtrênđườngtròn kẻcácđườngtiếptuyến,chúngcắtnhautại điểmS.TrêncungADlấy cácđiểmA vàC. CácđườngthẳngACvàBDcắtnhautạiđiểmP, các đườngthẳngABvàCDcắtnhautạiđiểmO.ChứngminhrằngđườngthẳngPQchứađiểmO. 2. Trên cáccạnhcủatamgiácABCvềphía ngoàitadựngcáchinhvuông.A 1 ,B 1 ,C 1 , là trungđiểm cáccạnh của các hìnhvuôngnằmđốinhauvới cáccạnhBC,CA,ABtươngứng. ChứngminhrằngcácđườngthẳngAA 1 ,BB 1 ,CC 1 đồngquy. 3. Chứngminhcácđườngcao,đườngtrungtuyến,tâmđườngtrònnộitiếp,ngoạitiếptam giácđồngquy tạimộtđiểm. 4. Trên cáccạnhBC,CA,ABcủatamgiácABClấycácđiểmA 1 ,B 1 ,C 1 saochocácđường thẳngAA 1 ,BB 1 ,CC 1 đồngquy tạimộtđiểm.ChứngminhrằngcácđườngthẳngAA 2 ,BB 2 ,CC 2 đốixứngvớicácđườngthẳngđó quacácđườngphângiáctươngứng,cũngđồngquy. 2.ĐịnhLýMenelaus ChotamgiácABC.Cácđiểm H,F,GlầnlượtnằmtrênAB,BC,CA.Khiđó: M,N, Pthẳnghàngkhi vàchỉkhi . . 1. AH BF CG HB FC GA = - Chứngminh: Ø Phầnthuận: Sửdụngđịnhlýsintrongcáctam giácAGH,BFH,CGF, tađược: · · · · · · sin sin sin ; ; sin sin sin AH AGH BF BHF CG GFC GA HB FC AHG HFB CGF = = = . (vớilưuý rằng · · · · · · sin sin ;sin sin ;sin sin .AGH CGF AHG BHF HFB GFC = = = ) Nhântừngvếtađượcđiềuphảichứngminh. Ø Phầnđảo: Gọi ' .F GH BC = I Hoàntoàntươngtựta cóđược: ( ) ' . . . . 1 . ' AH BF CG AH BF CG HB F C GA HB FC GA = = - Hay ' ' BF BF F C FC = ,suyra '.F F º Nhậnxét.ĐịnhlýMenelauscó rấtnhiều ứngdụngtronggiảitoán.Nhiềuđịnhlýnổitiếngđược chứngminhmột cáchdễdàngnhờđịnhlýMenelausnhưđịnhlýCeva,Pascal,Desargues(sẽđượcnêu ởphầnbàitậpdướiđây). Vídụ: ChoA,B,C,D, E, F làcácđiểmnằmtrênmộtđường tròn (có thểkoxếptheothứ tựnhưtrên). Gọi , , .P AB DE Q BC EF R CD FA = = = I I I Chứng minhrằngP,Q, Rthẳnghàng. Chứngminh: Gọi , , .X EF AB Y AB CD Z CD EF = = = I I I ÁpdụngđịnhlýMenelauschoBc,DE,FA (đốivới tamgiácXYZ), ta có: ( ) . . . . . . 1 . ZQ XB YC XP YD ZE YR ZF XA QX BY CZ PY DZ EX RZ FX AY = = = - Dođó: . . 1 ZQ XP YR QX PY RZ = - .TheođịnhlýMenelausta đượcP, Q, Rthẳnghàng. Bàitập ápdụng: 1. ĐiểmPnằmtrênđườngtrònngoạitiếpcủatamgiácABC,A 1 ,B 1 ,C 1 lầnlượtlàchân đườngvuônggóchạtừ PxuốngBC,CA,AB.ChứngminhrằngA 1 ,B 1 ,C 1 thẳnghàng. 2. TrongtamgiácvuôngABCkẻ đườngcaoCKtừđỉnh của gócvuôngC,còntrongtam giácACKkẻđườngphângiácCE.D làtrungđiểm củađoạnAC,F làgiaođiểmcủacácđường thẳngDEvàCK.ChứngminhBF//CE. 3. CácđườngthẳngAA 1 ,BB 1 ,CC 1 đồngquy tạiđiểmO.Chứngminhrằnggiaođiểm của cácđườngthẳngABvà A 1 B 1 ,BC vàB 1 C 1 ,CA vàC 1 A 1 nằmtrênmộtđườngthẳng. 4. ChohaitamgiácABC,A’B’C’.NếucácđườngthẳngAA’,BB’,CC’đồngquy tạimột điểmO,thìcácđiểmP,Q,Rthẳnghàng,trongđó ' ', ' ', ' '.P BC B C Q CA C A R AB A B = = = I I I P Y Z R Q O F A C D E B X DIỆNTÍCHTAMGIÁCTHỦYTÚC IvanBorsenco Translator:DuyCuong. TrongToánhọc,HìnhHọcluôngiảiquyếtcácbàitoánvớinhữngkếtquảchínhxácvàhấpdẫn.Bài viếtsauđâytrìnhbàyvềmột trongnhữngkếtquảtuyệtđẹptrongbàitoánhìnhhọc–ĐịnhlýEulercho tamgiácthùytúcvàứngdụngcủanó.Chúngtahãybắtđầuvớiphépchứngminhđịnhlý,sauđócùng nhauthảoluậncácBàitoánOlympiad. Địnhlý1.ChoC(O,R)làđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.XétmộtđiểmMtuỳýnằmtrong tamgiác.KýhiệuA 1 ,B 1 , C 1 làhìnhchiếucủaMlêncácmặtcủatamgiácthì 1 1 1 2 2 2 . 4 A B C ABC R OM S S R - = Chứngminh. ĐầutiêntađểýrằngAB 1 MC 1 ,BC 1 MA 1 ,CA 1 MB 1 lànhữngtứgiácnộitiếp.Ápdụng định lý Cauchy mở rộng vào tam giác AB 1 C 1 ta được 1 1 sinB C AM a = . Tương tự, ta được 1 1 sinAC BM b = và 1 1 sinB C CM g = .Từđósuyra: 1 1 1 1 1 1 , , . 2 2 2 B C AM AC BM A B CM BC R AC R BC R = = = GiảsửAM, BM, CMcắtđườngtròn C(O,R) tại X, Y,Z. Tacó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .A B C A B M MB C ACM MAC ZYB BYX ZYX Ð = Ð + Ð = Ð + Ð = Ð + Ð = Ð Tương tự, 1 1 1 B C A YZX Ð = Ð và 1 1 1 .B AC YXZ Ð = Ð Dođó, 1 1 1 A B C D đồngdạngvới XYZ D và 1 1 11 1 . A B C R A B XY R = Mặtkhác, MAB D đồngdạngvới MYX D nêntacó . XY MX AB MB = Từcáckếtquảthuvềtađược: 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 . . . . . . . . . 2 2 4 4 A B C ABC A B C R OM S R A B B C AC MX MA MB MA MX S R AB BC AC MB R R R R - = = = = Từđótacóthểthấybiểuthứctrênkhôngphụthuộcvàovịtríđiểm M(kểcảtronghayngoàiđường tròn). Hệquả1:Nếu M nằmtrênđườngtròn,hìnhchiếucủaMlêncáccạnhtamgiácsẽthẳnghàng (ĐịnhlýSimson). Mộtđịnhlýnữamàchúngtôimuốngiớithiệu(khôngchứngminh)đếnbạnđọclàđịnhlý Lagrangenổitiếng. Địnhlý2 ChoMlàmộtđiểmnằmtrongmặtphẳngtamgiácABC vớibộsố ( , , )u v w .Vớimột điểm P bấtkỳnằmtrongmp(ABC).Tađược: 2 2 2 2 2 2 2 . . . ( ) . vwa uwb uvc u PA v PB w PC u v w PM u v w + + + + = + + + + + CáchchứngminhcóthểtìmthấykhiápdụngĐịnhlýStewartmộtsốlần.Địnhlýnàycómộthệquả rấthaykhi P trùngvớitâm OđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.Khiđó,tađược: 2 2 2 2 2 2 . ( ) vwa uwb uvc R OM u v w + + - = + + TừhệquảnàykếthợpđịnhlýEulerchotamgiácthùytúc,tađượcđịnhlýsau: Địnhlý3:ChoMlàđiểmnằmtrongmặtphẳngtamgiácABC,vớibộsố(u,v,w).KýhiệuA 1 ,B 1 ,C 1 làhìnhchiếucủaMlêncáccạnhtamgiác.Tađược: 1 1 1 2 2 2 2 2 . 4 ( ) A B C ABC S vwa uwb uvc S R u v w + + = + + TừkếtquảtrênchúngtacóthểthấyĐịnhlý1vàĐịnhlý3đãđưachúngtanhậnthứcphầnnào về diệntíchtamgiácthùytúc.ĐịnhlýEulervềdiệntíchtamgiácthùytúcthậtsựlàmộtcôngcụtiệních choviệcgiải các bàitoán hìnhhọc. Ứng dụng đầu tiênmà chúngtôi sắp giớithiệu sauđây  nóivề nhữngđiểmBrocard Địnhngh ĩađiểmBrocard:TrongtamgiácABC,đườngtrònquaAvàtiếpxúcvới BCtại B,đường trònquaBvàtiếpxúcvớiACtạiCvàđườngtrònquaCtiếpxúcvớiABtạiA.Chúngcắtnhautạimột điểm,gọilàđiểmBrocard.Mộtcáchtổngquát,tacóhaiđiểmBrocard,điểmthứhaixuấthiệnkhita quayngượcchiềukimđồnghồsựtiếpxúccủacácđườngtròn. Bàitoán1:Cho 1 W và 2 W làhaiđiểmBrocardcủatamgiácABC.Chứngtỏrằng 1 2 O O W = W ,với OlàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácABC. Hướngdẫn: Từđịnhnghĩađiểm Brocard,tathấy: 1 1 1 1 AB BC CA w ÐW = ÐW = ÐW = ,tươngtự 2 2 1 2 BA AC CB w ÐW = ÐW = ÐW = .Tađichứng minh 1 2 w w = . Đểýrằng 1 2 1 1 1 2 . sin sin . sin sin B C ABC S B BC w w S AB BC b b W W = = vàtươngtự, 1 1 2 2 1 1 2 2 sin sin , . sin sin C A A B ABC ABC S S w w S S g a W W = = Cộngcácdiệntíchtađược: 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 sin sin sin 1 sin sin sin B C C A A B ABC S S S w w w S a b g W W W + + = = + + hay 2 2 2 2 1 1 1 1 1 sin sin sin sinw a b g = + + (1) Cáchtínhtươngtự,tacũngđược 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin sin sin sinw a b g = + + (2) Từ(1),(2)suyra 1 2 .w w w = = Ýtưởngchocáchchứngminhtrênbắt nguồntừĐịnhlýEulerchotamgiácthùytúc.Đểýrằng 1 W và 2 W luônnằmtrongtamgiácABC,bởivìmỗinửađườngtrònnhưtrênđềuthuộcmp(ABC).Từ đó, 1 W và 2 W luônnằmtrongtamgiác.Đểchứngminh 1 2 O O W = W tachứngminhdiệntíchtamgiác thùytúccủachúngbằngnhau.Nếuvậy,tacó 2 2 2 2 1 2 R O R O - W = - W .Từđósuyrađpcm. Kýhiệu 1 1 1 , ,A B Clầnlượtlàhìnhchiếucủa 1 W lêncáccạnhBC,CA,AB.Sauđó,sửdụngđịnhlý hàm Sin mở rộng, ta được 1 1 1 sinAC B b = W , vì 1 BWlà đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác 1 1 1 BA C W .CũngápdụngđịnhlýSinvàotamgiác 1 ABW tađược: 1 sin sin B c w b W = Dẫnđến: 1 1 1 sin sin .AC B b c w = W = Tươngtự,tacó 1 1 sinB C b w = và 1 1 sinA B a w = .Dễdàngtathấytamgiác 1 1 1 A B Cđồngdạngvới tamgiácABC theotỉsốđồngdạng sin w. Từ 1 2 w w w = = , ta kết luận được tam giác thùytúc chứa 1 W và 2 W có cùng diện tích. Suy ra 1 2 O O W = W . Chúý:Giaocủacácđườngđốitrungtrongtamgiáckýhiệulà KvàđượcgọilàđiểmLemoine.Ta có thểchứng minh được 1 2 K K W = W . Hơn thế nữa, các điểmO, 1 W , K, 2 W nằm trên đường tròn đườngkínhOKgọilàđườngtrònBrocard.ChúngtahãycùngnhautìmhiểumộtBàitoánthúvịkhác sauđây: Bàitoán2:ChotamgiácABC,kýhiệuO,I,Hlầnlượtlàtâmđườngtrònngoạitiếp,nộitiếpvà trựctâmcủatamgiácABC.Chứngminhrằng: .OI OH £ Hướngdẫn:NhiềucáchchứngminhsẽbắtđầutừOIhay OH,nhưngchúngtahãychọnmộthướng khác,đólàđặtdiệntíchnộitiếpvàoIvàH.Mộtcáchđơngiản,tâmđườngtrònnộitiếpluônnằmbên trongtamgiácA BC,vànếu OH R ³ ,tađượcđiềucầnchứngminh.Vìvậy,giảsử OH R < .Điềuđó dẫnđếntamgiácABClàtamgiácnhọn.Đểchứngminh OI OH £ tacóthểsửdụngđịnhlýEulercho tamgiácthùytúcvàchứngminhdiệntíchtamgiácthùytúctâmI, I S lớnhơndiệntíchtamgiácthùy túc tâmH, H S .Từđó,do I H S S ³ nên 2 2 2 2 R OI R OH - ³ - hay .OH OI ³ Bây giờ chúng ta hãy tìm cả hai diện tích. Ký hiệu 1 1 1 , ,A B Clần lượt là hình chiếu của H và 2 2 2 , ,A B C lầnlượtlàhìnhchiếucủaIlênBC,CA,AB.Tacó 1 1 1 , ,A B CnằmtrênđườngtrònEulerbán kính R/2,từđó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 4. / 2 A B C A B B C C A S R = SửdụngđịnhlýSin,dễdàngtađược 1 1 1 1 1 1 cos , cos , cosB C a AC b A B c a b g = = = vàvìthế 1 1 1 .cos cos cos 2 cos cos cos . 2 A B C abc S S R a b g a b g = = Đểtínhdiệntíchtamgiác 2 2 2 A B C ,đểýrằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) (sin sin sin ) 2 4 A B C A IB A IC B IC r a b c S S S S r R a b g + + = + + = + + = . Mà sin sin sin 4 2 2 2R p a b g = Tađược: 2 2 2 2 2 sin sin sin . 4 2 2 2 A B C r S S S R a b g = = Từđóđủđểchứngminh sin sin sin cos cos cos . 2 2 2 a b g a b g ³ BâygiờchúngtahãysửdụngBấtĐẳngThứcJensenschohàmlõm : 0, , ( ) ln cos . 2 f R f x x p æ ö ® = ç ÷ è ø Từđó: ( ) ( ) ( ). 2 2 2 a b b c c a f f f f a f b f c + + + æ ö æ ö æ ö + + ³ + + ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Vìvậy, ( ) ln sin sin sin ln cos cos cos 2 2 2 a b g a b g æ ö ³ ç ÷ è ø ,vàbàitoánđãđượcgiảiquyết. HaivídụkếtiếpđểhướngdẫngiảimộtcáchngắngọnmộtsốbàitoánOlympiadbằngcáchsửdụng ĐịnhLýEulervềtamgiácthùytúc. Bàitoán3: (OlympiadToánBalkan). Chotamgiácnhọn ABC.Kýhiệu 1 1 1 , ,A B Clàhìnhchiếucủatrọngtâm Glêncácmặtcủatamgiác. Chứngminhrằng: 1 1 1 2 1 . 9 4 A B C ABC S S £ £ Hướngdẫn:Nhưchúngtađãthấy,yêucâubàitoánhướngchúngtasửdụng trựctiếpđịnhlýEuler vềtamgiácthùytúc.Ápdụngngaytađược: 2 2 2 2 1 . 9 4 4 R OG R - £ £ Bấtđẳngthứcbênphảiluônđúng.Tađichứngminhbấtđẳngthứcbêntráiđúng.Nhớlạibiểuthức màchúngtađãbiết 2 2 2 9 (1 8cos cos cos )OG OH R a b g = = - VìtamgiácABCnhọnnêntacócos cos cos 0 a b g ³ ,dẫnđến8cos cos cos 0 a b g ³ . Vìvậy, 2 2 9OG R £ hay 2 2 . 9 R OG £ Đưađếnkếtluậnsau: Bàitoán4.(Toánđốixứng,IvanBorsenco)Vớiđiểm M bấtkìnằmtrongtamgiácABC,xác địnhbộba( 1 2 3 , ,d d d )lầnlượtlàkhoảngcáchtừ M đếncạnh , ,BC AC AB .Chứngminhrằngtậphợp cácđiểm M thỏamãnđiềukiện 3 1 2 3 . .d d d r ³ ,với r làbánkínhđườngtrònnộitiếptamgiác,nằm trongvòngtròntâm O bánkính OI . Lờigiải. Gọi 1 1 1 , ,A B C làhìnhchiếucủa M trêncáccạnh , ,BC AC AB .Xét 1 1 1 A B CV làtamgiácthùytúccho điểm M,tacó ¼ ¼ ¼ 1 1 1 1 1 1 180 , 180 , 180B MC A MC A MB a b g = - = - = - ,nên: 1 1 1 1 2 3 1 3 1 2 2 2 . .sin . .sin . .sin A B C  S S d d d d d d a b g = = + + V Viếtgọnlại,tađược: 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 . . 2 2 . . 2 A B C  d d d a b c S S R d d d æ ö = = + + ç ÷ è ø V Màtađãbiết: 1 2 3 2 2 . . . . ABC S S a d b d c d = = + + V ÁpdụngBĐTCauchySchwarztađược: ( ) ( ) 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 . . . . . 4 . . . . . 2 2 d d d a b c d d d a b c S S a d b d c d R d d d R + + æ ö = + + + + ³ ç ÷ è ø SửdụngđịnhlíEulerchotamgiácthùytúc,tacó: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1 2 3 2 4 . . . . . 4 2 2 S R OM d d d a b c r a b c R R R - + + + + ³ ³ Từđâycóthểsuyra 2 2 2 2 .OI R Rr OM = - ³ Vậyvớimọi điểm M trongtậphợp,tacó OM OI £ (điềuphảichứngminh). Bàitoán5:(IvanBorsencođềnghị) Cho M làđiểmnằmtrongtamgiác ABC vàcótọađộlà ( ) ; ;x y z .Gọi M R làbánkínhđườngtròn nộitiếptamgiácthùytúccủađiểm M.Chứngminhrằng: ( ) 2 2 2 . 6 3. . M a b c x y z R x y z æ ö + + + + ³ ç ÷ è ø Lờigiải. Kíhiệu N làđẳnggiáccủađiểm M.Chúngtacần2bổđềsau: Bổđề1:Nếu 1 1 1 A BC và 2 2 2 A B C là2tam giácthùytúccủa2đẳnggiácđiểm M và N thì 6điểmnàynằmtrênmộtvòngtròn. Chứngminh.Chúngtasẽchứngminhrằng 1 2 1 2 B B C C làmộttứgiácnộitiếp.Đặt ¼ ¼ B AM CAN f = = .Vàbởivì 1 1 AB MC nộitiếp, nên: ¼ ¼ ¼ 1 1 1 1 2 1 90 90 90 . o o o AB C C B C C AM f = - = - = - Tươngtự,vì 2 2 AB NC nêntacó: ¼ ¼ ¼ 2 2 1 2 2 2 90 90 90 o o o AC B B C B B AN f = - = - = - Dođó ¼ ¼ 1 1 2 2 AB C AC B = nên 1 2 2 1 B B C C làmộttứgiácnộitiếp.Cứthếtathuđượcrằng 1 2 2 1 A A B B và 1 2 2 1 A A C C cũnglàtứgiácnộitiếp.Xét3đườngtrònngoạitiếptứgiáccủachúngta,nếuchúngkhông trùngnhauthìchúngcómộttâmđẳngphương,đólàđiểmgiaonhaucủa3trụcđẳngphương.Tuynhiên, chúngtacóthểthấyrằngnhữngtrụcđẳngphươngnày,tứccácđườngthẳng 1 2 1 2 1 2 , ,A A B B C C ,tạothành mộttamgiác,đặttênlà ABC ,mộtđiềutráingược.Điềunàychứngtỏ,cácđiểm 1 2 1 2 1, 2 , , , ,A A B B C C nằmtrêncùng1đườngtròn. Bổđề2: Nếu ,M N làhaiđẳnggiácđiểm,thìtaluôncó: . . . 1. A M AN BM BN CM CN bc ac ab + + = Chứngmin.Gọi 1 1 1 A BC làtangiácthủytúccủađiểm M.Dễdàngchứngminhđượcrằng 1 1 .B C AN ^ Vậydiệntíchcủatứgiác 1 1 AB NC đượctínhtheocôngthức 1 1 1 . . 2 B C AN.Vì 1 1 .sinB C AM a = ,chúngtađược 1 1 1 . . .sin 2 AB NC S AM AN a = .Tươngtự,tatìm đượcrằng 1 1 1 . . .sin 2 BC NA S BM BN b = và 1 1 1 . . .sin 2 CA NB S CM CN g = Từtrên,tasuyra: 1 1 1 1 1 1 ABC AB NC BC NA CA NB S S S S = + + Hay: 1 .( . .sin . .sin . .sin ) 2 ABC S AM AN BM BN CM CN a b g = + + SửdụngĐịnhlíhàmSin,tađượcđiềucầnchứngminh: . . . 1. A M AN BM BN CM CN bc ac ab + + = QuaytrởlạiBàitoán.ÁpdụngBĐTAMGMvàobổđề2,tađược: 3 2 2 2 1 1 . . . . . . . . 27 27 A M AN BM BN CM CN AM AN BM BN CM CN bc ac ab a b c æ ö = + + ³ ç ÷ è ø Lạicó: . I P Y Z R Q O F A C D E B X DIỆNTÍCHTAMGIÁCTHỦYTÚC IvanBorsenco Translator:DuyCuong. TrongToán học, Hình Học luôngiảiquyếtcác bài toánvớinhữngkếtquảchínhxácvàhấpdẫn. Bài viết sauđâytrìnhbày về một trongnhữngkếtquảtuyệtđẹptrong bài toán hình học –ĐịnhlýEulercho tamgiácthùytúcvàứngdụngcủanó.Chúngtahãybắtđầuvớiphépchứngminhđịnhlý,sauđócùng nhauthảoluậncác Bài toánOlympiad. Địnhlý1.ChoC(O,R)làđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.Xét một điểmMtuỳýnằmtrong tamgiác.KýhiệuA 1 ,B 1 ,. ÷ è ø ,và bài toánđãđượcgiảiquyết. Haivídụkếtiếpđểhướngdẫngiải một cáchngắngọn một số bài toánOlympiadbằngcáchsửdụng ĐịnhLýEuler về tamgiácthùytúc. Bài toán3:. + TừkếtquảtrênchúngtacóthểthấyĐịnhlý1vàĐịnhlý3đãđưachúngtanhậnthứcphầnnào về diệntíchtamgiácthùytúc.ĐịnhlýEuler về diệntíchtamgiácthùytúcthậtsựlà một côngcụtiệních choviệcgiải các bài toán hình học.  Ứng dụng đầu tiênmà

Ngày đăng: 31/07/2014, 07:39

Xem thêm: một số chuyên đề, bài viết về hình học phẳng, một số chuyên đề, bài viết về hình học phẳng

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan