chơng 4: mã hoá ảnh 176 Trên hình 4.6 nếu dùng từ mã có độ dài đều để biểu diễn các mức lợng tử t hì sự tiết kiệm bit là 0 ~ 1/2 bit khi L trong khoảng 2 (1 bit) và 128 (7 bit). Trong ví dụ này giả thiết hàm mật độ xác suất p f (f 0 ) là Gauss. Có thể tiến hành phân tích tơng tự với các hàm mật độ xác suất khác, hàm mật độ xác suất càng khác xa hàm phân b ố đều thì u thế của lợng tử hoá không đều so với lợng tử hoá đều càng lớn. Quan niệm : bộ lợng tử hoá đều là tối u khi hàm mật độ xác suất phân bố đều lại gợi ý cho ta một cách tiếp cận khác. Đó là, ta có thể ánh xạ f vào g bằng một phép phi tuyến s ao cho p g (g 0 ) là đều, ta đem lợng tử hoá g bằng một bộ lợng tử hoá đều, sau đó lại thực hiện phép ánh xạ ngợc. Phơng pháp này đợc minh hoạ trên hình 4.7. Hình 4.7. Lợng tử hoá không đều bằng phép nén -dãn. Phép phi tuyến này đợc gọi là phép nén -dãn (companding). Theo lý thuyết xác suất, một lựa chọn của phép phi tuyến (hay phép nén -dãn) C[] để tạo ra đợc p g (g 0 ) đồng đều là : 2 1 dxxpfCg f x f (4.10) p g (g 0 ) nhận đợc đồng đều trong khoảng 1/2 g 1/2 . Tuy (1.10) dễ giải hơn hệ phơng trình phi tuyến (1.9), hệ ở hình 1.7 lại tối thiểu hoá D : 2 ' ggED (4.11) mà méo D ở (4.11) không giống D ở (4.6). Trong tiết này ta đã xét việc lợng tử hoá một đại lợng vô hớng f. Trong mã hoá ảnh, phải lợng tử hoá nhiều đại lợng vô hớng. Một cách tiếp cận là lợng tử hoá từng cái độc lập _ Cách này gọi là lợng tử hoá vô hớng một nguồn vectơ. Giả sử có N vô hớng f i với 1 i N và mỗi vô hớng đợc lợng tử hoá ra L i mức. Nếu L i đợc biểu diễn bằng một luỹ thừa của 2 và nếu mỗi mức lợng tử đợc mã hoá với một số bit nh nhau (nghĩa là với từ mã có độ dài đều) thì quan hệ giữa L i với một số bit cần thiết B i là : Phi tuyến Bộ lợng tử hoá đều Phi tuyến -1 g g f f chơng 4: mã hoá ảnh 177 i B L 2 (4.12a) B i = log 2 L i (4.12b) Tổng số bit B cần thiết để mã hoá N vô hớng là : N i i BB 1 (4.13) Từ (4.12) và (4.13) đợc tổng số mức lợng tử L : B N i i LL 2 1 (4.14) Xét (4.13) và (4.14) nhận thấy tổng số bit B là tổng các B i còn tổng số mức lợng tử L là tích các L i . Nếu có một số bit cố định B để mã hoá N vô hớng bằng phép lợng tử hoá vô hớng nguồn vectơ thì phải phân phối B cho N vô hớng. Chiến lợc tối u để phân bổ bit phụ thuộc tiêu chuẩn sai số và hàm mật độ xác suất của các vô hớng. Chiến lợc tối u thờng d ùng là cho vô hớng có phơng sai lớn nhiều bit, vô hớng có phơng sai bé ít bit. Ví dụ : giả sử cần tối thiểu hoá sai số quân phơng N i ii ffE 1 2 đối với B i (1 i N) trong đó i f là kết quả lợng tử hoá f i . Nếu các vô hớng có hàm mật độ xác suất giống nhau chỉ có phơng sai khác nhau ta sẽ dùng một phơng pháp lợng tử hoá nh nhau, chẳng hạn dùng bộ lợng tử hoá Lloyd_Max cho từng vô hớng. Khi đó lời giải gần đúng về phân bổ bit là: Ni N B B N N j j i i 1log 2 1 /1 1 2 2 2 (4.15) Trong đó i 2 là phơng sai của vô hớng f i . Từ (4.15) suy ra : L i = N N j j i NB B i /1 1 / 22 1 i N (4.16) Theo (4.16) số mức lợng tử cho f i tỉ lệ với i , là độ lệch chuẩn của f i . Tuy (4.15) là một lời giải gần đúng với một số giả thiết nhất định, nó vẫn là căn cứ tham khảo trong những bài toán phân bổ bit. B i trong (4.15) có thể âm và nói chung không phải là số nguyên. Khi lợng tử hoá vô hớng B i phải là một số nguyên không âm. Đó là điều kiện ràng buộc khi giải các bài toán phân bổ bit trong thực tế. chơng 4: mã hoá ảnh 178 1.2 . Lợng tử hoá vectơ. Trong tiết trên, thảo luận về lợng tử hoá vô hớng một vô hớng và một nguồn vectơ. Một cách tiếp cận khác để mã hoá nguồn vectơ là đem chia các vô hớng thành những khối, xem mỗi khối nh một đơn vị sau đó lợng tử đồng thời những vô hớng này trong đơn vị đó. Nh vậy gọi là lợng tử hoá vectơ hay lợng tử hoá khối . Gọi f = [f 1 , f 2 , , f N ] T là một vectơ M chiều gồm N vô hớng f i có giá trị thực, biên độ liên tục . Trong phép lợng tử hoá vectơ f đợc ánh xạ vào một vectơ M chiều khác r = [r 1 , r 2 , , r N ] T . Khác với f mà các phần tử có biên độ liên tục, vectơ r đợc chọn từ L mức lợng tử. Gọi f là f đã đợc lợng tử hoá, ta biểu diễn nó bằng : f =VQ(f)=r i .fC i (4.17) VQ là toán tử lợng tử hoá vectơ r i với 1 i N chỉ L mức lợng tử và C i đợc gọi là tế bào thứ i . Nếu f nằm trong tế bào C i , thì f đợc ánh xạ vào r i . Hình 4.8 cho một ví dụ lợng tử hoá vectơ khi N =2 và L = 9 . Các chấm trên hình là những mức lợng tử, và các đờng liền nét là đờng biên tế bào . Trong lợng tử hoá vectơ tế bào có thể có hình dạng, kích thớc bất kỳ. Đó là điều khác biệt với lợng tử hoá vô hớng, mà tế bào (miền g iữa 2 mức quyết dịnh kề nhau) có thể có kích thớc bất kỳ nhng hình dạng cố định . Hình 4.8 . Ví dụ lợng tử hoá vectơ. Số vô hớng trong mỗi vectơ là 2, số mức lợng tử là 9. f 1 f 2 chơng 4: mã hoá ảnh 179 Phép lợng tử hoá vectơ khai thác sự mềm dẻo này. Cũng nh trong trờng hợp vô hớng, ta định nghĩa độ méo ffd , là độ đo sự chênh lệch giữa f và f .Một ví dụ của ffd , là e Q T e Q trong đó tạp âm lợng tử e Q định nghĩa theo : ffVQffe Q (4.18) Các mức lợng tử r I và bờ các tế bào C I xác định bằng cách lấy cực tiểu 1 tiêu chuẩn sai số nào đó, chẳng hạn độ méo trung bình D : ffdED , (4.19) Nếu ffd , là e Q T e Q thì từ (4.18) và (4.19) suy ra : 1 f 000 0000 0 L i C i T i f T T Q T Q i dffrfr dffpffff ffffEeeED (4.20) Độ méo trung bình ở (4.20) là sai số quân phơng MSE và là dạng tổng quát của (4.7) . Ưu điểm của e Q T e Q so với lợng tử hoá vô hớng một nguồn vectơ là cải thiện chất lợng. Lợng tử hoá vectơ cho phép giảm thấp độ méo trung bình D khi giữ số mức lợng tử không đổi, hay cho giảm số mức lợng tử khi giữ độ méo trung bình D không đổi. Lợng tử hoá vectơ cải thiện chất lợng so với lợng tử hoá vô hớng bằng nhiều cách. Cách có ý nghĩa nhất là khai thác mối quan hệ thống kê giữa các vô hớng trong cùng khối. Để minh hoạviệc lợng tử hoá vectơ có thể khai thác mối quan hệ thống kê ta hãy xét 2 ví dụ. Trong ví dụ thứ nhất ta khai thác mối quan hệ tuyến tính (tính tơng quan). Xét 2 nguồn ngẫu nhiên f 1 và f 2 có hàm mật độ xác suất đồng thời ' 2 ' 1 , 21 ffp ff nh trên hình 4.9a. Hàm mật độ xác suất đồng thời có biên độ đồng đều và bằng 1/2a 2 trong vùng gạch chéo, bằng không ở ngoài vùng gạch chéo. Hai hàm mật độ xác suất biên ' 1 1 fp f và ' 2 2 fp f cũng đợc vẽ trên hình. Vì E[ f 1 ,f 2 ] E[f 1 ] E[f 2 ] nên f 1 và f 2 là tơng quan hay phụ thuộc tuyến tính. Giả thiết ta lợng tử hoá riêng rẽ f 1 và f 2 , dùng lợng tử hoá vô hớng và tiêu chuẩn MMSE. chơng 4: mã hoá ảnh 180 Hình 4.9. Minh hoạ việc lợ ng tử hoá vectơ khai thác sự phụ thuộc tuyến tính của các vô hớng trong vectơ : (a) Hàm mật độ xác suất ' 2 ' 1 , 21 ffp ff (b) Các mức lợng tử hoá (các chấm trên hình) khi lợng tử hoávô hớng. (c) Các mức lợng tử hoá (các chấm trên hình) khi lợng tử hoávectơ. Vì mỗi vô hớng f 1 và f 2 đều có hàm mật độ xác suất đều nên bộ lợng tử hoá vô hớng tối u là lợng tử hoá đều. Nếu ta cho mỗi vô hớng có 2 mức lợng tử thì các mức lợng tử của mỗi vô hớ ng là a/2 và -a/2 . Bốn (2x2) mức lợng tử hợp thành 4 a2 1 ' 2 f a -a ' 2 f ' 2 2 fp f a a -a -a ' 1 f a2 1 a -a ' 1 f ' 1 1 fp f (a) ' 2 f ' 1 f a a -a -a -a ' 2 f ' 1 f a a -a -a -a (b)(b) (c) chơng 4: mã hoá ảnh 181 chấm trên hình 4.9b. Rõ ràng là 2 trong số 4 mức lợng tử là lãng phí. Với phép lợng tử hoá vectơ ta chỉ có thể dùng 2 mức lợng tử nh trên hình 4.9c. Ví dụ này cho thấy rằng lợng tử hoá vectơ cho phép giảm số mức lợng tử mà không phải hi sinh MSE. Ta có thể loại bỏ sự phụ thuộc tuyến tính giữa f 1 và f 2 bằng cách đem quay hàm mật độ xác suất đi 45 0 theo chiều kim đồng hồ, kết quả của phép biến đổi toạ độ tuyến tính khả nghịch này đợc biểu diễn trê n hình 4.10. Trong hệ toạ độ mới g 1 và g 2 không tơng quan, vì E[g 1 ,g 2 ] = E[g 1 ] E[g 2 ]. Trong hệ toạ độ mới này có thể đặt hai mức lợng tử vào các chấm ở trên hình bằng cách lợng tử hoá vô hớng hai đại lợng vô hớng, và khi đó u thế của lợng tử hoáve ctơ không còn nữa. Hình 4.10. Kết quả loại trừ sự phụ thuộc tuyến tính giữa hai vô hớng f 1 và f 2 ở hình 4.9 khi thực hiện phép biến đổi tuyến tính f 1 và f 2 . Loại bỏ sự phụ thuộc tuyến tính làm mất u thế của phép lợng tử hoá vectơ. Nh vậy là phù hợp với quan điểm cho rằng lợng tử hoá vectơ có thể khai thác sự phụ thuộc tuyến tính giữa các vô hớng trong vectơ. Phép lợng tử hoá vectơ cũng có thể khai thác sự phụ thuộc phi tuyến. Ta đa ra một ví dụ minh hoạ. Xét 2 biến ngẫu nhiên f 1 và f 2 và hàm mật độ xác suất đồng thời ' 2 ' 1 , 21 ffp ff đợc biểu diễn trên hình 4.11a. Hàm mật xác suất vẫn là đều với biên độ bằng 1/(8a 2 ) trong vùng gạch chéo và bằng không ngoài vùng đó. Hàm mật độ xác suất biên ' 1 1 fp f và ' 2 2 fp f cũng đợc vẽ trên hình 4.11a. Từ hàm mật độ xác suất đồng thời E[f 1 ,f 2 ] = E[f 1 ] E[f 2 ] và do đó f 1 và f 2 độc lập tuyến tính. Tuy vậy ' 2 ' 1 , 21 ffp ff ' 1 1 fp f ' 2 2 fp f nên f 1 và f 2 phụ thuộc thống kê. a2 2 a - 2 a a2 g 1 g 2 chơng 4: mã hoá ảnh 182 Khi mà các biến ngẫu nhiên độc lập tuyến tính nhng phụ thuộc thống kê ta bảo chúng phụ thuộc phi tuyến. Hình 4.11. Minh hoạ việc lợng tử hoá vectơ khai thác sự phụ thuộc tuyến tính giữa các vô hớng trong vectơ : a) Hàm mật độ xác suất ' 2 ' 1 , 21 ffp ff . b) Các mức lợng tử (các chấm) khi lợng tử hoá vô hớng . c) Các mức lợng tử (các chấm) khi lợng tử hoá vectơ. a4 1 ' 2 f a -a ' 2 f ' 2 2 fp f 2a 2a -2a -2a ' 1 f a4 1 2a -2a ' 1 f ' 1 1 fp f (a) (b)(b) (c) -a -a a a ' 2 f 2a 2a -2a -2a ' 1 f -a -a a a ' 2 f 2a 2a -2a -2a ' 1 f -a -a a a chơng 4: mã hoá ảnh 183 Nếu ta lợng tử hoá f 1 và f 2 riêng rẽ, dùng tiêu chuẩn MSE và cho mỗi vô hớng 2 mức lợng tử, thì các mức lợng tử tối u cho mỗi vô hớng là -a và a. Các mức lợng tử tổng hợp trong trờng hợp đó là 4 chấm trong hình 4.11b. Độ méo trung bình D = E[e Q T e Q ] trong ví dụ này là 5a 2 /12. Ví dụ này cho thấy rằng dùng lợng tử hoá vectơ có thể làm giảm MSE mà không cần tăng số mức lợng tử. Ta có thể loại bỏ phụ thuộc phi tuyến giữa f 1 và f 2 trong ví dụ này bằng một thuật toán phi tuyến khả nghịch. Kết quả của một thuật toán nh vậy đợc biểu diễn trên hình 4.12. Hình 4.12. Kết quả của việc loại bỏ sự phụ thuộc tuyến tính giữa hai vô hớng f 1 và f 2 ở hình 4.11. Vì ' 2 ' 1 ' 2 ' 1 2121 , gpgpggp gggg nên g 1 và g 2 độc lập thống kê. Trong những trờng hợp này có thể đặt hai mức lợng tử vào các chấm trên hình bằng cách lợng tử hoá vô hớng hai đại lợng vô hớng, và u thế của lợng tử hoá vectơ không còn nữa. Qua ví dụ này thấy rằng loại bỏ phụ thuộc phi tuyến làm giảm u thế của lợng tử hoá vectơ. Nh vậy phù hợp với quan niệm cho rằng lợng tử hoá vectơ có thể khai thác sự phụ thuộc phi tuyến giữa các vô hớng trong vectơ. Phép biến đổi tuyến tính bao giờ cũng có thể loại bỏ sự phụ thuộc tuyến tính. Về sự phụ thuộc phi tuyến đôi khi ta cũng loại bỏ đợc bằng một thuật toán phi tuyến khả nghịch. Nếu ta loại bỏ phụ thuộc tuyến tính hay phi tuyến bằng một thuật toán phi tuyến khả nghịch trớc khi lợng tử hoá thì u thế của lợng tử hoá vectơ về khả năng khai thác phụ thuộc tuyến tính hay phi tuyến sẽ không còn nữa. Nh vậy là phải hết sức chú ý đến quan hệ chặt chẽ giữa giai đo ạn biến đổi và giai đoạn lợng tử hoá trong mã hoá ảnh. Nếu nh giai đoạn biến đổi làm mất phụ thuộc tuyến tính hay phi tuyến giữa các vô hớng cần mã hoá thì đến giai đoạn lợng tử hoá mức độ cải thiện của lợng tử hoá ' 2 g 2a -2a ' 1 g -a a chơng 4: mã hoá ảnh 184 vectơ so với lợng tử hoá vô hớng s ẽ giảm sút,làm cho lợng tử hoá vectơ trở lên kém hấp dẫn. Điều đó nói lên một phần tại sao trong bộ mã hoá dạng sóng sự cải thiện do lợng tử hoá vectơ đem lại rõ nét hơn trong bộ mã hoá phép biến đổi. Các vô hớng dùng trong bộ mã hoá dạng sóng, chẳng hạ n các cờng độ ảnh, có tính tơng quan cao hơn các vô hớng trong bộ mã hoá phép biến đổi, chẳng hạn các hệ số phép biến đổi DCT. Điều này sẽ đợc phân tích ở các tiết 3 và 4. Ngoài việc khai thác sự phụ thuộc thống kê lợng tử hoá vectơ còn có thể khai thác sự tăng thứ nguyên, nghĩa là tăng số vô hớng trong vectơ. Để minh hoạ ta xét 2 biến ngẫu nhiên f 1 và f 2 có hàm mật độ xác suất đồng thời đều trong một miền hình vuông có diện tích A. Rõ ràng là f 1 và f 2 độc lập thống kê. Giả sử số mức lợng tử L rất lớn và do đó kích thớc tế bào nhỏ hơn hình vuông trong đó hàm mật độ xác suất khác 0. Trớc hết ta xét phép lợng tử hoá vô hớng f 1 và f 2 . Vì hàm mật độ xác suất của f 1 và f 2 là đều nên theo tiêu chuẩn MMSE, lợng tử hoá đều là tối u. Việc lợng tử hoá đều f 1 và f 2 riêng rẽ đa tới những mức lợng tử và tế bào vẽ ở hình 4.13a. Trong trờng hợp lợng tử hoá vô hớng tế bào có dạng hình vuông có cạnh a. Nếu đem lợng tử hoá vectơ f 1 và f 2 thì các mức lợng tử và tế bào nh trên hình 4.13b Tế bào có dạng lục giác. Thông qua tính toán có thể chứng minh rằng MSE trong trờng hợp lợng tử hoá vectơ thấp hơn trờng hợp lợng tử hoá vô hớng 4% nếu mức lợng tử nh nhau. Cũng có thể chứng minh là số mức lợng tử mà lợng tử hoá vectơ yêu cầu bé hơn số mức của lợng tử hoá vô hớng 2% khi MSE nh nhau. Sự cải thiện này thờng nhỏ hơn nhiều so với mức cải thiện bằng lợng tử hoá vectơ khi khai thác sự phụ thuộc thống kê. Tuy vậy sự cải thiện sẽ nét hơn nhiều khi thứ nguyên (nghĩa là số vô hớng trong vectơ) tăng lên. Lu ý rằng sự cải thiện thêm này vẫn đạt đợc ngay cả khi các vô hớng trong khối độc lập thống kê với nhau. Sự cải thiện mà lợng tử hoá vectơ đem lại trong một số trờng hợp cho phép mã hoá 1 vô hớng dới 1 bit. Nếu ta mã hoá riêng rẽ từng vô hớng và cho mỗi vô hớng tối thiểu 2 mức lợng tử (nếu dùng 1 mức lợng tử thì coi nh không mã hoá) thì tỷ lệ bit tối thiểu có thể là 1 bit mỗi vô hớng. Nếu dùng lợng tử hoá vectơ, có thể cho mỗi vô hớng 2 hoặc trên 2 mức lợng tử nếu xét riêng rẽ, nhng nếu n hìn tổng hợp lại thì tốc độ bit sẽ thấp hơn một bit mỗi vô hớng. Để minh hoạ điều này ta trở lại ví dụ hình 4.9. Khi lợng tử hoá vô hớng (hình 4.9b) cho mỗi vô hớng 2 mức lợng tử thì tổng lại cần đến 4 mức cho 2 vô hớng, và tỷ lệ bit là 1 bit cho mỗi vô hớng. Khi lợng tử hoá vectơ (hình 4.10c) ta cho mỗi vô . vectơ. a4 1 ' 2 f a -a ' 2 f ' 2 2 fp f 2a 2a -2a -2a ' 1 f a4 1 2a -2a ' 1 f ' 1 1 fp f (a) (b)(b) (c) -a -a a a ' 2 f 2a 2a -2a -2a ' 1 f -a -a a a ' 2 f 2a 2a -2a -2a ' 1 f -a -a a a . ' 2 ' 1 , 21 ffp ff ' 1 1 fp f ' 2 2 fp f nên f 1 và f 2 phụ thuộc thống kê. a2 2 a - 2 a a2 g 1 g 2 chơng 4: mã hoá ảnh 1 82 Khi mà các biến ngẫu nhiên độc lập tuyến tính. hớng có 2 mức lợng tử thì các mức lợng tử của mỗi vô hớ ng là a /2 và -a /2 . Bốn (2x2) mức lợng tử hợp thành 4 a2 1 ' 2 f a -a ' 2 f ' 2 2 fp f a a -a -a ' 1 f a2 1 a -a ' 1 f