Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Vậy 0 m ≤ là giá trị cần tìm. 7. Ta có: 2 3 1 1 2 ' 1 " ( ) ( ) y x y y x m x m x m = + ⇒ = − ⇒ = + + + Hàm số đạt cực tiểu tại điểm '(1) 0 1 "(1) 0 y x y  =  = ⇔  >   2 2 3 1 1 0 2 0 ( 1) 0 2 1 0 (1 ) m m m m m m  − =   + =   + ⇔ ⇔ ⇔ =   > −    >  +  . Vậy 0 m = thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 1 x = . 8. . a Ta có ( ) 2 ' 3 2 f x x ax b = + + Hàm số đạt cực trị bằng 0 tại điểm 2 x = − khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ' 2 0 4 12 1 4 2 8 2 0 f a b a b c f   − = − =   ⇔   − + = − =     Đồ thị của hàm số đi qua điểm ( ) 1;0 A khi và chỉ khi ( ) ( ) 1 0 1 0 2 f a b c= ⇔ + + + = Từ ( ) ( ) 1 , 2 suy ra 3, 0, 4 a b c = = = − . . b Hàm số đã cho xác định khi 0 ax b + ≠ Ta có đạo hàm ( ) 2 2 2 2 2 2 ' a x abx b a b y ax b + + − = + • Điều kiện cần : Hàm số đạt cực trị tại điểm 0 x = và 4 x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 ' 0 0 16 8 ' 4 0 0 4 b a b y b a ab b a b y a b  − =   =   ⇔   + + − = =     +  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 8 2 0 4 16 8 0 4 0 4 0 b a b b a b a a a b a ab b a b a a a b  − =  = >   ≠ = −    ⇔ ⇔ + = ⇔    = + + − =     + ≠   + ≠  • Điều kiện đủ : ( ) 2 2 2 0 4 ' ' 0 4 4 2 a x x x y y b x x   = − = −  ⇒ = = ⇔   = =   − +   Bảng biến thiên Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu x −∞ 0 2 4 +∞ ' y + 0 − − 0 + y CĐ +∞ +∞ −∞ −∞ CT Từ bảng biến thiên :hàm số đạt cực trị tại điểm 0 x = và 4 x = . Vậy 2, 4 a b = − = là giá trị cần tìm. Dạng 3 : Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp: • Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị, • Biểu diễn điều kiện của bài toán thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số từ đó ta tìm được điều kiện của tham số. Chú ý: * Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét. * Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau: Định lí 1: Cho hàm đa thức ( ) = y P x , giả sử ( ) ( ) ( ) = + +’ y ax b P x h x khi đó nếu 0 x là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: ( ) = 0 0 ( ) y x h x và = ( ) y h x gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. Chứng minh: Giả sử x 0 là điểm cực trị của hàm số, vì ( ) P x là hàm đa thức nên ( ) = 0 ' 0 P x ⇒ = + + = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) y x ax b P x h x h x (đpcm) . Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ = ( ) ( ) u x y v x khi đó nếu 0 x là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: = 0 0 0 '( ) ( ) '( ) u x y x v x . Và = '( ) '( ) u x y v x là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. Chứng minh: Ta có − = 2 '( ) ( ) '( ) ( ) ' ( ) u x v x v x u x y v x ⇒ = ⇔ − = ' 0 '( ) ( ) '( ) ( ) 0 y u x v x v x u x (*). Giả sử x 0 là điểm cực trị của hàm số thì x 0 là nghiệm của phương trình (*) ⇒ = = 0 0 0 0 0 '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) u x u x y x v x v x . Ví dụ 1 : Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2 1 (2 1) 2 3 y x mx m x = − + − + có 2 điểm cực trị dương. Giải : Hàm số đã cho xác định trên » . Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Ta có 2 ' 2 2 1 y x mx m = − + − 2 ' 0 2 2 1 0 (*) y x mx m = ⇔ − + − = Hàm số có hai điểm cực trị dương ⇔ (*) có hai nghiệm dương phân biệt  ∆ = − + >   >   ⇔ = > ⇔     ≠ = − >    2 ' 2 1 0 1 2 0 2 1 2 1 0 m m m S m m P m . Vậy  >    ≠  1 2 1 m m là những giá trị cần tìm. Ví dụ 2 : Tìm m để đồ thị của hàm số + + + = − 2 3 2 1 1 mx mx m y x có 2 cực đại, cực tiểu và 2 điểm đó nằm về hai phía với trục Ox . Giải : Hàm số đã cho xác định trên » . Ta có − − − = − 2 2 2 5 1 ' ( 1) mx mx m y x 2 ' 0 2 5 1 0 ( 1) (*) y mx mx m x = ⇔ − − − = ≠ Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt ≠ 1 2 , 1 x x 0 1 (6 1) 0 6 0 6 1 0 m m m m m m  ≠   < −  ⇔ + > ⇔    > − − ≠    . Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía trục Ox ⇔ < 1 2 ( ). ( ) 0 y x y x . Áp dụng kết quả định lí 2 ta có: = − 1 1 ( ) 2 ( 1) y x m x , = − 2 2 ( ) 2 ( 1) y x m x ⇒ = − + + = − − 2 1 2 1 2 1 2 ( ). ( ) 4 [( ( ) 1] 4 ( 2 1) y x y x m x x x x m m . 1 2 1 ( ). ( ) 0 4 ( 2 1) 0 2 0 m y x y x m m m  < −  < ⇔ − − < ⇔  >   . Vậy  < −   >   1 2 0 m m là những giá trị cần tìm. Ví dụ 3 : Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2 ( ) : 2 12 13 m C y x mx x = + − − có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục Oy . Giải: Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Hàm số đã cho xác định trên » Ta có 2 2 ' 2(3 6) ' 0 3 6 0 (2) y x mx y x mx = + − ⇒ = ⇔ + − = Vì (2) luôn có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số luôn có hai cực trị. Gọi 1 2 , x x là hoành độ hai cực trị, hai điểm cực trị cách đều trục tung ⇔ = ⇔ = − ⇔ + = 1 2 1 2 1 2 | | | | 0 x x x x x x (vì ≠ 1 2 x x ) − − ⇔ = = = ⇔ = 0 0 3 b m S m a . Vậy = 0 m là giá trị cần tìm. Ví dụ 4 : Tìm m để đồ thị của hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 2 4 y x m x m m x = − + + − + + có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung . Giải : Hàm số cho xác định trên » Ta có đạo hàm ( ) ( ) 2 2 ' 3 2 2 1 3 2 f x x m x m m = − + + − + Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình ( ) ' 0 f x = có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thoả mãn ( ) 1 2 0 3. ' 0 0 x x f < < ⇔ < 2 3 2 0 1 2 m m m ⇔ − + < ⇔ < < Vậy giá trị cần tìm là 1 2 m < < . Ví dụ 5 : Tìm tham số 0 m > để hàm số 2 2 2 2 5 3 x m x m m y x + + − + = đạt cực tiểu tại ( ) 0;2 x m ∈ . Giải : Hàm số đã cho xác định trên { } \ 0 D = » Ta có đạo hàm ( ) 2 2 2 2 2 5 3 ' , 0 g x x m m y x x x − + − = = ≠ Với ( ) 2 2 2 5 3 g x x m m = − + − Hàm số đạt cực tiểu tại ( ) ( ) 0;2 0 x m g x ∈ ⇔ = có hai nghiệm phân biệt ( ) 1 2 1 2 , x x x x < thoả ( ) ( ) 2 1 2 2 0 0 0 2 1. 0 0 2 5 3 0 2 5 3 0 1. 2 0 m m x x m g m m m m g m   > >    < < < ⇔ < ⇔ − + − <     + − > >    Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 0 1 1 1 2 3 3 2 2 3 1 2 m m m m m m m    >     < < <    ⇔ ⇔    >   >       < −     >     Vậy giá trị m cần tìm là 1 3 1 2 2 m m < < ∨ > . Ví dụ 6 : Tìm tham số m để hàm số = − − − − 2 ( )( 3 1) y x m x x m có cực đại và cực tiểu thỏa = Ð . 1 C CT x x . Giải: Hàm số đã cho xác định trên » . Ta có = − + + − 2 ' 3 2( 3) 2 1 y x m x m 2 ' 0 3 2( 3) 2 1 0 (1) y x m x m = ⇔ − + + − = Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn = Ð . 1 C CT x x ⇔ (1) có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn: = 1 2 | . | 1 x x  ∆ = + >  =  ⇔ ⇔   − = − = = =     2 ' 7 0 2 2 1 1 | | | | | | 1 3 m m c m m P a . Vậy = 2 m hoặc = − 1 m là giá trị cần tìm. Ví dụ 7 : Tìm tham số m để hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 3 3 y mx m x m x = − − + − + có cực đại , cực tiểu đồng thời hoành độ cực đại cực tiểu 1 2 , x x thỏa 1 2 2 1 x x + = . Giải: Hàm số cho xác định trên » . Ta có ( ) ( ) 2 ' 2 1 3 2 y mx m x m = − − + − Hàm số có cực đại , cực tiểu khi ' y đổi dấu hai lần qua nghiệm x , tức là phương trình ( ) ( ) 2 2 1 3 2 0 mx m x m − − + − = có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x ( ) ( ) 2 2 0 0 2 4 1 0 ' 1 3 2 0 m m m m m m m  ≠  ≠   ⇔   − + + > ∆ = − − − >     Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 0 2 6 2 6 2 2 m m  ≠  ⇔  − + < <   Theo định lý Vi – ét và yêu cầu bài toán, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 3 4 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 4 2 . m x x gt x m m m x x x m m m m m m x x m m m m   −  + = =    −  −  + = ⇔ =     − −      − − = =           ( ) 2 2 3 8 4 0 0 3 2 m m m m m  =  ⇔ − + = ≠ ⇔  =   So với điều kiện bài toán , vậy 2 2 3 m m = ∨ = là giá trị cần tìm . Ví dụ 8: Tìm tham số m để hàm số 2 2 3 2 2 x x m y x + + − = + có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn 2 1 ( ) ( ) 8 x x y y − = Giải : 2 2 3 2 2 1 2 2 x x m m y x x x + + − = = − + + + Hàm số đã cho xác định trên { } \ 2 D = − » Với 2, 0 x m ≠ − ≠ , ta có 2 2 2 2 2 2( 2) ( ) 2 , ( ) 2( 2) ( 2) ( 2) ( 2) m x m g x y g x x m x x x + − = − = = = + − + + + Đồ thị hàm số có cực đại , cực tiểu khi ' 0 y = có 2 nghiệm phân biệt và ' y đổi dấu khi x qua các nghiệm đó , khi đó phương trình ( ) 0 g x = có hai nghiệm phân biệt khác 2 − 2 2 2( 2) 0 0 2( 2 2) 0 x m m m  + = >  ⇔ ⇔ >  − + − ≠   Khi đó ta có 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 ( ) 2 4 3 (4 3) (4 3) 4 4 3 x x x x y x y y x x x x y x  = +  ⇒ − = + − + = −  = +   ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 8 4 8 ( ) 4 4 1 x x y y x x x x x x− = ⇔ − = ⇔ + − = Mà ( ) 1 2 1 2 4 2 8 2 x x m x x  + = −   − =   Từ ( ) ( ) 1 à 2 v suy ra 2 8 ( 4) 4 4 0 2 2 m m   − − − − = ⇔ =     Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Ví dụ 9: Tìm tham số m để hàm số 2 2 3 x x m y x m − + = − có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn 2 1 ( ) ( ) 8 x x y y − > . Giải : Hàm số đã cho xác định trên { } \ D m = » . Ta có 2 2 2 2 4 2 ' ' 0 2 0 (1) ( ) x mx m y y x mx m x m − + = ⇒ = ⇔ − + = − Hàm số có cực trị ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt x m ≠ 2 2 2 0 0 1 2 0 m m m m m m   ∆ = > ≠   ⇔ ⇔   ≠ − + ≠     . Vì phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: 4 3 y x = − nên 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | ( ) ( ) | 8 | | 2 ( ) 4 4 y x y x x x x x x x − > ⇔ − > ⇔ + − > 2 1 5 2 1 0 1 5 2 m m m m  − <   ⇔ − − > ⇔  + >   . Kết hợp với điều kiện hàm có cực trị suy ra 1 5 1 5 2 2 m m − + < ∪ > là những giá trị cần tìm. Ví dụ 10 : Tìm tham số m để hàm số = − + 4 2 2 2 1 y x m x có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. Giải: Hàm số đã cho xác định trên » . Ta có 3 2 2 2 ' 4 4 4 ( ) y x m x x x m = − = − . Với 0 m ≠ hàm số có ba cực trị .Khi đó tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 4 4 (0;1), ( ;1 ), ( ;1 ) A B m m C m m − − − . Dễ thấy = AB AC nên tam giác ABC vuông cân 2 2 2 AB AC BC ⇔ + = 2 8 2 2( ) 4 1 m m m m ⇔ + = ⇔ = ± Vậy = ± 1 m là những giá trị cần tìm. Ví dụ 11: Tìm m để đồ thị của hàm số 4 2 4 2 2 y x mx m m = − + + có cực đại , cực tiểu đồng thời các điểm cực trị lập thành tam giác đều. Giải : Hàm số cho xác định trên » Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Ta có ( ) ( ) 3 2 2 0 ' 4 4 4 ' 0 * x y x mx x x m y x m  = = − = − = ⇔  =   Đồ thị hàm số có cực đại , cực tiểu khi ' 0 y = có 3 nghiệm phân biệt và ' y đổi dấu khi x qua các nghiệm đó , khi đó phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 m ⇔ > Khi đó : ( ) ( ) ( ) 4 4 2 4 2 0 0; 2 ; 2 ' 0 ; 2 x A m m B m m m m y x m C m m m m  = ⇒ +    − − + = ⇔   = ± ⇒   − +     Hàm số có 3 cực trị , , A B C lập thành tam giác đều 2 2 4 4 AB AC AB BC m m m AB BC  =  ⇔ ⇔ = ⇔ + =  =   ( ) ( ) 3 3 3 0 3 0 m m m m ⇔ − = ⇔ = > Vậy 3 3 m = là giá trị cần tìm . Ví dụ 12: Tìm a để đồ thị của hàm số ( ) 3 2 3 2 y x x C = − + có điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị ( ) C ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): ( ) 2 2 2 : 2 4 5 1 0 a C x y ax ay a + − − + − = . Giải : Hàm số đã cho xác định trên » Ta có đạo hàm 2 0 2 ' 3 6 ' 0 2 2 x y y x x y x y  = ⇒ = = − = ⇔  = ⇒ = −   Cách 1: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ( ) ( ) 0;2 , 2; 2 A B − . Hai điểm ( ) ( ) 0;2 , 2; 2 A B − ở về hai phía của hai đường tròn ( ) a C khi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 / / . 0 5 8 3 5 4 7 0 a a A C B C P P a a a a ⇔ < ⇔ − + + + < 2 3 5 8 3 0 1 5 a a a ⇔ − + < ⇔ < < Cách 2 : ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 1 a C x a y a − + − = có tâm ( ) ;2 I a a và bán kính 1 R = Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 4 8 IB a a a a = − + + = + + 2 2 36 6 5 1 5 5 5 IB a R   = + + ≥ > = ⇒     điểm B nằm ngoài ( ) a C , do đó điểm A nằm trong đường tròn ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 2 1 5 8 3 0 1 5 a C IA a a a a a ⇔ < ⇔ + − < ⇔ − + < ⇔ < < Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Ví dụ 13: Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2 2 3 y x x m x m = − + + có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng : = − 1 5 : 2 2 d y x . Giải : Hàm số đã cho xác định trên » . Cách 1 : Ta có 2 2 2 2 ' 3 6 ' 0 3 6 0 (1) y x x m y x x m = − + ⇒ = ⇔ − + = . hàm số có cực trị ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x ⇔ ∆ = − > ⇔ − < < 2 ' 3(3 ) 0 3 3 m m . phương trình đường thẳng ' d đi qua các điểm cực trị là : 2 2 2 1 ( 2) 3 3 y m x m m = − + + ⇒ các điểm cực trị là : 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 ( ;( 2) 3 ), B( ;( 2) 3 ) 3 3 3 3 A x m x m m x m x m m − + + − + + . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và ' d 2 2 2 2 2 6 15 11 3 30 ( ; ) 15 4 15 4 m m m m I m m + + + − ⇒ − − . A và B đối xứng qua d thì trước hết 2 2 ' 2 2 0 3 d d m m ⊥ ⇔ − = − ⇔ = khi đó ( ) − 1; 2 I và ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 ; ; 2 A x x B x x − − ⇒ I là trung điểm của AB ⇒ A và B đối xứng nhau qua d . Vậy 0 m = là giá trị cần tìm. Cách 2 : Hàm số đã cho xác định trên » và có đạo hàm 2 2 ' 3 6 y x x m = − + . Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình ' 0 y = có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x 2 ' 9 3 0 m ⇔ ∆ = − > 3 3 m ⇔ − < < . Vi-ét, ta có 2 1 2 1 2 2 , . 3 m x x x x+ = = . Gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và I là trung điểm của đoạn AB . Đường thẳng AB có hệ số góc ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 AB x x x x m x x y y k x x x x − − − + − − = = − − ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 3 AB k x x x x x x m = + − − + + 2 2 2 2 6 4 6 3 3 AB m m k m − = − − + = Đường thẳng ( ) 1 5 2 2 y x = − ∆ có hệ số góc 1 2 k = Hai điểm ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; A x y B x y đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) ∆ Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu khi và chỉ khi AB I  ⊥ ∆   ∈ ∆   2 1 2 6 . 1 . 1 0 2 3 AB m AB k k m   − • ⊥ ∆ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =     2 0 ' 3 6 m y x x • = ⇒ = − ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 0; 0 ' 0 1; 2 2 4 2; 4 x y A y I x y B  = ⇒ = ⇒  = ⇔ ⇒ − = ⇒ = − ⇒ −   Dễ thấy ( ) 1; 2I − ∈ ∆ Vậy 0 m = thoả mãn yêu cầu bài toán . Ví dụ 14: Tìm m để đồ thị của hàm số 2 1 x mx y x + = − có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10 . Giải : Hàm số đã cho xác định trên { } \ 1 D = » . Ta có 2 2 2 ' (1 ) x x m y x − + + = − 2 ' 0 2 0 (1) ( 1) y x x m x = ⇔ − − = ≠ Đồ thị hàm số có cực trị ' 1 0 1 1 2 0 m m m  ∆ = + >  ⇔ ⇔ > −  − − ≠   . Đường thẳng đi qua các điểm cực trị có phương trình 2 y x m = − − ⇒ các điểm cực trị là: 1 1 2 2 ( ; 2 ), ( ; 2 ) A x x m B x x m − − − − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5( ) 100 ( ) 4 20 0 AB x x x x x x ⇒ = − = ⇔ + − − = 4 4 20 0 4 m m ⇔ + − = ⇔ = . Vậy 4 m = là giá trị cần tìm. Ví dụ 15: Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) 2 2 2 1 x mx y f x x + + = = + có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng : 2 0 x y ∆ + + = bằng nhau. Giải : Hàm số đã cho xác định trên { } \ 1 D = − » Ta có đạo hàm ( ) 2 2 2 2 2 ' , 1 1 x x m y x x + + − = ≠ − + [...]... bi n thi n : x y' y −∞ 1 x1 + 0 y1 − − +∞ +∞ x2 0 + +∞ Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu −∞ −∞ y2 ( ) D a vào bàng bi n thi n suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là i m c c ti u c a th hàm s ( ( ) A∈ P ⇔ m + 2 + 2 m + 3 = 1+ m + 3 ) 2 +1+ m + 3 −4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2 So v i i u ki n bài toán, ta có m = −2 là giá tr c n tìm Ví d 17: Tìm giá tr c a m th hàm s 3 2 y = f x = −x + 3 m + 1 x − 3m 2 + 7m −... m hàm s y = ( ) x 2 − m + 1 x + 3m + 2 x −1 d u 7 Cho hàm s f x = x 3 + m − 1 x 2 − m + 2 x − 1 , có ( ) ( ) ( ) 1 Ch ng minh r ng hàm s luôn có m t c c 2 Khi m = 1 , th hàm s là C ( ) (IV ) c có giá tr c c tr , tương ng có m t i m c c a m t ph ng t a có hai i m c c ( ) i , m t c c ti u () ( ) x 3 th C và ti p xúc v i ( ) b) Vi t phương trình ư ng th ng i qua hai i m c c tr c a C Hư ng d n : 1 Hàm. .. 2 ⇔ m − 2 4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0   ( 2 ) ( )( 2 ) ⇔ m − 2 4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2 4m + 17 > 0    17 m > − ⇔ 4 m ≠ 2  17 < m < 2 là giá tr c n tìm So v i i u ki n bài toán , v y − 4 4 Hàm s ã cho xác Ta có : y ' = { } nh trên D = » \ −1 x 2 + 2x − 2m Hàm s có c c ( x +1 ) 2 = ( ) ( x + 1) g x 2 , x ≠ −1 i , c c ti u khi phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1 có hai nghi... i m t i m có hoành ) nh hơn 1 Gi i : Hàm s cho xác nh trên » Ta có o hàm f ' x = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 Hàm s ( ) ( c c ti u t i m t i m có hoành ) ( ) ( ) x < 1 < x 2  1 x1 < x 2 ≤ 1   ()  1 ⇔ −3.f ' 1 < 0    ∆ ' > 0 1  ⇔  2 2 ⇔ −3.f ' 1 ≥ 0  S   0  3   ⇔  ⇔  −3m + 12... c a th hàm s x 0 = m1 − 1 x 0 = m2 + 1   Ta có:  ; 2 2 y 0 = −m1 + m1 − 2 y 0 = −m2 + m2 + 2   m1 − 1 = m2 + 1  Theo bài toán , ta có :  2 2 −m1 + m1 − 2 = −m2 + m2 + 2    m − m2 = 2 m − m2 = 2 ⇔ 1 ⇔ 1 m1 + m2 = −1  m1 − m2 m1 + m2 − 1 = −4   ( )(  1 m1 =  2 ⇒ ⇔ m = − 3  2  2  1 7 V y A − ; −   2 4 )  1 x 0 = −  2 ⇒ A − 1 ; − 7      2 4 y = − 7  0... 2  2 )( ( y1.y2 = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2 ( y1.y2 = 1 − m ) 2 ( − 4 −m 2 + 3m − 2 ) ) 2  7 4 4 y1.y2 = 5m − 14m + 9 = 5  m −  − ≥ − 5 5 5  4 7 ⇒ min y1.y2 = − khi m = 5 5 7 So v i i u ki n , v y m = là giá tr c n tìm 5 2 BÀI T P T LUY N 1 Xác nh tham s a hàm s sau có c c i: y = −2x + 2 + a x 2 − 4x + 5 2 Ch ng t r ng ch có m t i m A duy nh t trên m t ph ng to sao cho... tho yêu c u bài toán 3 Hàm s cho xác nh và liên t c trên » Ta có : y ' = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 ( Hàm s có c c ) ( ) i , c c ti u khi y ' = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆ ' = 36 − 9 m + 2 > 0 ⇔ 2−m > 0 ⇔ m < 2 Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1 x − 2 3x 2 − 12x + 3 m + 2  + 2 m − 2 x + m − 2   3 1 y = x − 2 y '+ 2 m − 2 x + m − 2 3 G i A x 1; y1 , B x 2 ; y2 là các i m c c tr c a th hàm s thì x... i qua hai i m c c tr c a C Hư ng d n : 1 Hàm s cho xác Hàm s nh trên » và có ( a x −2 o hàm y ' = −2 + ) x − 4x + 5 2 y '' = i t i x = x0 tc c ( )  a x −2  x 2 − 4x + 5 0 a 0 y ' x = 0  =2  0   2 = 0 ⇔ ⇔  x − 4x + 5 ⇔ x0 − 2 2 0 0 y '' x 0 < 0  a < 0  a < 0   ( ) ( ) (1 ) () V i a < 0 thì 1 ⇒ x 0 < 2 2 x 0 − 4x 0 + 5 ( ) Xét hàm s : f x 0 = ( ) lim f x 0 = lim x →−∞ 2 x 0 − 4x 0 +... u bài toán d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ x 1 + y1 + 2 ( − x2 ( x 2 + y2 + 2 2 ) = ( 3x 2 2 + 2m + 2 ) 2 ) − ( 3x + 2m + 2 ) = 0   ) 3 (x + x ) + 4m + 4  = 0 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 1 = 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 ( ⇔ (x th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m 2 2 1 2 ) (x So v i i u ki n, v y m = 1 2 1 là giá tr c n tìm 2 1 ≠ x2 ) ( ) ⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 ⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m = ( ) th hàm. .. ti u c a th x −m ng v i m t giá tr thích h p khác Tìm to c a A 3 Xác nh giá tr tham s m hàm s y = f x = x 3 − 6x 2 + 3 m + 2 x − m − 6 t c c i và c c ti u ( ) ng th i hai giá tr c c tr cùng d u ( ) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu m thì hàm s y = 4 Tìm t t c các giá tr c a tham s 1 2 2 2 th i y CÑ + yCT > th c a hàm s y = 5 V i giá tr nào c a m thì ) x +1 ( ) mx 2 + m 2 + 1 x + 4m 3 + m x +m II và . của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: ( ) = 0 0 ( ) y x h x và = ( ) y h x gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. Chứng minh: Giả sử x 0 là điểm cực trị của hàm số, . cực đại và cực tiểu cùng dấu . 7. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 1 f x x m x m x = + − − + − , có đồ thị là ( ) , m C m là tham số. 1. Chứng minh rằng hàm số luôn có một cực đại , một cực. Giải: Hàm số đã cho xác định trên » . Ta có 3 2 2 2 ' 4 4 4 ( ) y x m x x x m = − = − . Với 0 m ≠ hàm số có ba cực trị .Khi đó tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 4