Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 98 g) 2 2 1 , 2 1 x yy x == + h) 2 3,0 yxy x =++= i) 2 2,2 yxxyx =+=+ k) 2 2,4 yxyx =+=- Baøi 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) 22 , yxxy ==- b) 2 50,30 yxxy +-=+-= c) 2 20,0 yyxxy -+=+= d) 2 21,1 yxyx =+=- e) 2 2,,0,3 yxyxyy ==== f) 2 (1),sin yxxy =+=p g) 222 6,16 yxxy =+= h) 232 (4),4 yxyx =-= i) 3 10,10 xyxy -+=+-= k) 222 8,2 xyyx +== Baøi 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) .;0;1;2. x yxeyxx ===-= b) 2 .ln;0;1;. yxxyxxe ==== c) ;;1. xx yeyex - === d) 2 5;0;0;3. x yyxyx - ====- e) 5 (1);;1. x yxyex =+== f) 1 ln,0,, yxyxxe e ==== g) 2 sincos,0,0,yxxyxx =+===p h) sin;;0;2. yxxyxxx =+===p i) 2 sin;;0;. yxxyxx =+=p==p k) 2 sinsin1,0,0, 2 yxxyxx p =++=== Baøi 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) 2 1 (): 2 Cyx x =+ , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3. b) 2 21 ():,0 2 xx Cyy x ++ == + , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2 c) 32 ():243,0 Cyxxxy =-+-= và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2. d) 3 ():32,1 Cyxxx =-+=- và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2. e) 2 ():2 Cyxx =- và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C). VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: a) sin,0,0, 4 yxyxx p ==== b) 32 1 ,0,0,3 3 yxxyxx =-=== c) 66 sincos,0,0, 2 yxxyxx p =+=== d) yxyx ,0,4 === e) 3 1,0,1,1 yxyxx =-==-= f) 2 , yxyx == g) 23 , 48 xx yy== h) 2 4,2 yxxyx =-+=+ i) sin,cos,, 42 yxyxxx ==== pp k) 22 (2)9,0 xyy -+== l) 22 46,26 yxxyxx =-+= + m) ln,0,2 yxyx === Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy: Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 99 a) 2 ,1,4 xyy y === b) 2 ,4 yxy == c) ,0, x yexye === d) 2 ,1,2 yxyy === Baøi 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh: i) trục Ox ii) trục Oy a) 2 (2),4 yxy =-= b) 22 ,4,4 yxyxy === c) 2 1 ,0,0,1 1 yyxx x ==== + d) 2 2,0 yxxy =-= e) .ln,0,1, yxxyxxe ==== f) 2 (0),310,1 yxxyxy =>=-+= g) 2 , yxyx == h) ( ) 2 2 – 4 1 xy += i) 1 4 9 22 =+ yx k) 1,2,0,0 yxyyx =-=== l) 2 0,2,0 xyyx -=== m) 23 ,0,1 yxyx === Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 100 Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò - 2 0 2 dxxx b) 5 3 (22) xxdx - + ò c) 3 2 1 21 xxdx -+ ò d) 2 2 1 1 2 x dx x - æö - ç÷ + èø ò e) 3 7 84 2 12 x dx xx+- ò f) 1 2 0 252 dx xx ++ ò g) 1 2 0 (1) xdx x + ò h) 0 2 1 24 dx xx - ++ ò i) 2 32 2 0 249 4 xxx dx x +++ + ò k) 1 3 2 0 1 x dx x + ò l) 1 2 0 1 xdx x + ò m) 1 3 0 (1) xdx x + ò Baøi 2. Tính các tích phân sau: a) ò -+ 2 1 11 dx x x b) 4 1 2 54 dx x - ++ ò c) 0 1 1 xxdx - + ò d) 10 5 21 dx xx ò e) 3 1 3 313 x dx xx - - +++ ò f) 2 1 22 xdx xx ++- ò g) 2 4 5 0 1 x dx x + ò h) 9 3 1 1 xxdx - ò i) x dx x 7 3 3 0 1 31 + + ò k) 3 32 0 1 xxdx + ò l) 1 32 0 3 xxdx + ò m) 1 32 0 1 xxdx - ò o) 1 52 0 1 xxdx - ò p) 1 2 2 3 0 (1) xx dx x + + ò q) 3 53 2 0 2 1 xx dx x + + ò r) 2 22 0 4 xxdx - ò s) t) Baøi 3. Tính các tích phân sau: a) /4 2 0 12sin 1sin2 x dx x p - + ò b) /2 0 sin2sin 13cos xx dx x p + + ò c) /2 0 sin2cos 1cos xx dx x p + ò d) /2 22 0 sin2 cos4sin x dx xx p + ò e) /2 0 sinsin2sin3 xxxdx p ò f) /2 5 0 cos xdx p ò g) /2 44 0 cos2(sincos) xxxdx p + ò h) /3 2 /4 tan cos1cos x dx xx p p + ò i) 2 0 sin 1cos xx dx x p + ò k) /4 2 0 tan xxdx p ò l) /2 0 sin2 cos1 x dx x p + ò m) /2 0 sin 13cos x dx x p + ò o) /2 2004 20042004 0 sin sincos x dx xx p + ò p) /2 3 0 4sin 1cos x dx x p + ò q) /2 0 cos3 sin1 x dx x p + ò IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN Trần Sĩ Tùng Ngun hàm – Tích phân Trang 101 r) /3 2 2 0 sin sin2cos xxdx xx p ò s) /2 22 0 sin sin2coscos 2 xdx x xx p + ò t) Bài 4. Tính các tích phân sau: a) 3 2 0 ln(5) xxdx + ò b) ò - 3 2 2 )ln( dxxx c) 1 2 0 (2) x xedx - ò d) /2 sin 0 (cos)cos x exxdx p + ò e) ln5 ln3 23 xx dx ee - +- ò f) 22 1 ln e xxdx ò g) 3 1 1 ln e x xdx x + ò h) 1 2 0 (1) x xedx + ò i) 1 0 1 x dx e + ò k) 2 2 2 0 (2) x xe dx x + ò l) 1 22 0 (421) x xxedx ò m) 2 2 1 ln(1) x dx x + ò o) /2 3 0 sin5 x exdx p ò p) 2 1 ln e x dx x ò q) 1 2 0 ln(1) xxdx + ò r) 1 32ln 12ln e x dx xx - + ò s) ò + e dx x xx 1 ln.ln31 t) 3 2 1 ln ln1 e x dx xx+ ò Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) yxxyxx 3 32,0,0,1 =-+===- b) 4 ,0,2,1 2 yyxx x ===-= - c) 42 19 2,0 44 yxxy =-++= d) ,2,1 x yeyx === e) 11 1,0,2,4 21 yxyxx x =-+=== - f) 22 2,4 yxxyxx =-=-+ g) 21 ,0,0 1 x yyx x + === + h) 2 ,0 1 xx yy x -+ == + m) 2 32 ,,0,1 1 xx ytiệmcậnxiênxx x +- === + n) 2 2 ,0, 1 xx yytiếptuyếnvẽtừgốctoạđộ x +- == + o) 32 331 yxxx =+++ , tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung. p) 3 1 3 4 yxx =- , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hồnh độ x = 23 . Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục: a) ,0,3; yxyxOx === b) ln,0,1,; yxxyxxeOx ==== c) ,0,1; x yxeyxOx === d) 22 4,2; yxyxOx =-=+ e) 2 4,0; yxxOy =-= f) ,0,1; y xyexyOy === Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. transitung_tv@yahoo.com Số phức Trần Sĩ Tùng Trang 102 1. Khái niệm số phức · Tập hợp số phức: C · Số phức (dạng đại số) : zabi =+ (a, b R Î , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2 = –1) · z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. · Hai số phức bằng nhau: ' ’’(,,',') ' aa abiabiababR bb ì = +=+ÛÎ í = î 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ) R Î được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi (;) uab = r trong mp(Oxy) (mp phức) 3. Cộng và trừ số phức: · ( ) ( ) ( ) ( ) ’’’’ abiabiaabbi +++=+++ · ( ) ( ) ( ) ( ) ’’’’ abiabiaabbi +-+=-+- · Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi · u r biểu diễn z, ' u r biểu diễn z' thì ' uu + rr biểu diễn z + z’ và ' uu - rr biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : · ( ) ( ) ( ) ( ) abiabiaabbabbai '' '–''' ++=++ · ()() kabikakbikR +=+Î 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là zabi =- · 11 22 ;'';.'.'; zz zzzzzzzzzz zz æö =±=±== ç÷ èø ; 22 . zzab =+ · z là số thực Û zz = ; z là số ảo Û zz =- 6. Môđun của số phức : z = a + bi · 22 zabzzOM =+== uuuur · 0,,00 zzCzz ³"Î=Û= · .'.' zzzz = · ' ' zz z z = · ''' zzzzzz -£±£+ 7. Chia hai số phức: · 1 2 1 zz z - = (z ¹ 0) · 1 2 ''.'. ' . zzzzz zz zzz z - === · ' ' z wzwz z =Û= I. SỐ PHỨC CH ƯƠ NG IV SỐ PHỨC Trn S Tựng S phc Trang 103 8. Cn bc hai ca s phc: ã zxyi =+ l cn bc hai ca s phc wabi =+ 2 zw = 22 2 xya xyb ỡ -= ớ = ợ ã w = 0 cú ỳng 1 cn bc hai l z = 0 ã w 0 ạ cú ỳng hai cn bc hai i nhau ã Hai cn bc hai ca a > 0 l a ã Hai cn bc hai ca a < 0 l . ai - 9. Phng trỡnh bc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C l cỏc s phc cho trc, A 0 ạ ). 2 4 BAC D=- ã 0 Dạ : (*) cú hai nghim phõn bit 1,2 2 B z A -d = , ( d l 1 cn bc hai ca D) ã 0 D= : (*) cú 1 nghim kộp: 12 2 B zz A ==- Chỳ ý: Nu z 0 ẻ C l mt nghim ca (*) thỡ 0 z cng l mt nghim ca (*). 10. Dng lng giỏc ca s phc: ã (cossin) zri =j+j (r > 0) l dng lng giỏc ca z = a + bi (z ạ 0) 22 cos sin rab a r b r ỡ ù =+ ù ù j= ớ ù ù j= ù ợ ã j l mt acgumen ca z, (,) OxOM j= ã 1cossin() zziR ==+ẻ jjj 11. Nhõn, chia s phc di dng lng giỏc Cho (cossin),''(cos'sin') zrizri =j+j=j+j : ã [ ] .''.cos(')sin(') zzrri =j+j+j+j ã [ ] cos(')sin(') '' zr i zr =j-j+j-j 12. Cụng thc Moavr: ã [ ] (cossin)(cossin) n n rirnin j+j=j+j , ( * nN ẻ ) ã ( ) cossincossin n inin j+j=j+j 13. Cn bc hai ca s phc di dng lng giỏc: ã S phc (cos sin) zri =+ jj (r > 0) cú hai cn bc hai l: cossin 22 cossincossin 2222 ri vaứriri ổử jj + ỗữ ốứ ộự ổửổửổử jjjj -+=+p++p ỗữỗữỗữ ờỳ ốứốứốứ ởỷ ã M rng: S phc (cos sin) zri =+ jj (r > 0) cú n cn bc n l: 22 cossin,0,1, ,1 n kk rikn nn ổử ++ +=- ỗữ ốứ jpjp Số phức Trần Sĩ Tùng Trang 104 VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia – căn bậc 2 Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức. Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. Baøi 1. Tìm các số thực x và y, biết: a) xyiixyii 23224 +-+=-++ b) xyixyi (23)(2)(4) +++= c) xiyi (2)23(3) =+- d) xyixyi (32)(21)(1)(5) -++=+ e) xyyixyi (2)(2)(2)(4) +++=+ Baøi 2. Thực hiện các phép toán sau: a) iii (57)(93)(116) + b) iii (4–)(23)–(5) +++ c) iii 17(4)(13) -++ d) iii (27)(14)(12) -++-+- e) ( ) iii 14(12)25 + + f) ( ) ii 232 -+- g) 131 32 322 iii æöæö -+-+- ç÷ç÷ èøèø h) 3153 4545 ii æöæö + + ç÷ç÷ èøèø i) ( ) 25 23 34 ii æö ç÷ èø Baøi 3. Thực hiện các phép toán sau: a) ii (23)(3) -+ b) ii (25)(48) -++ c) ii (4)(36) +- d) iii (27)(4)(12) + e) iii (27)(4)(113) -+ f) i 2 (34) + g) ii 33 (2)(3) + h) ii 22 (1)(1–) +- i) 33 (1)(2) ii -+- k) 5 (33) i + l) i 6 (2) - m) ii 7 5(1) - n) 3 1 3 2 i æö - ç÷ èø o) i 3 13 22 æö + ç÷ èø p) i 3 13 22 æö -+ ç÷ èø Baøi 4. Thực hiện các phép toán sau: a) 1 2 i i + - b) i 2 1 3 + c) 23 45 i i - + d) i i - + 1 1 e) ii i (3)(26) 1 ++ - f) )1)(21( 3 ii i +- + g) ii ii (12)(4) (1)(43) +-+ -+ h) iii i (2)(1)(43) 32 +++- - i) i iii 25 (13)(2)(1) -+ + + k) i i i i - - + - 2 1 3 l) ii ii 1313 1212 +- + -+ m) ii ii 2212 1222 ++ + n) mi m o) aia aia - + p) ai bia + Baøi 5. Thực hiện các phép toán sau: a) 100 (1) i - b) ii 20092009 (1)(1)+ c) ii 20102010 (1)(1)+ d) ii ii 2 3 (32)(1) (12)(3) -+- -+ e) 22 22 )2()23( )1()21( ii ii +-+ + f) ii i 23 (1)(2) 2 + -+ Baøi 6. Cho số phức zxyi =+ . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) 2 24 zzi -+ b) zi iz 1 + - c) zi zi + - Baøi 7. Phân tích thành nhân tử, với a, b Î R: a) 2 1 a + b) 2 23 a + c) 42 49 ab + d) 22 35 ab + e) 3 8 a + f) 3 27 a - g) 4 16 a + h) 42 1 aa ++ Trần Sĩ Tùng Số phức Trang 105 Baøi 8. Tìm căn bậc hai của số phức: a) 143 i -+ b) 465 i + c) 126 i d) 512 i -+ e) 86 i + f) 724 i - g) 4042 i -+ h) i 1143. + i) 12 42 i + k) 45 32 i l) i 34 + m) 3356 i - VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức · Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình. · Sử dụng cách giải phương trình bậc 2. Baøi 1. Giải các phương trình sau (ẩn z): a) izi (45)2 -=+ b) izi 3 (43)(2) +=- c) i i z i i + + - = - + 2 31 1 2 d) 11 33 22 zii æö -=+ ç÷ èø e) 35 24 i i z + =- f) 1 4 = ÷ ø ö ç è æ - + iz iz g) iii z iii 11515 3131 æö + += ç÷ -+- èø h) izii 2 (32)()3 -+= i) 0 2 2 =+ zz k) 0 2 =+ zz l) 23112 zzi -=- m) 218 zzi -= o) izi (2)34 -=+ p) 0 2 =- zz q) zzi 224 +=- q) izii 5 (1)(32)(13) -=++ r) [ ] iziiz i 1 (2)30 2 æö -+++= ç÷ èø Baøi 2. Giải các phương trình sau (ẩn z): a) zz 2 3.10 -+= b) zz 2 32.23.20 -+= c) zz 2 320 -+= d) zz 2 3210 -+-= e) z 2 7 0 += f) zz 2 7320 ++= g) zz 2 250 ++= h) zz 2 330 -+= i) zz 2 4110 -+= Baøi 3. Giải các phương trình sau (ẩn z): a) zzz 22 (9)(1)0 +-+= b) z 3 3240 -= c) zz 42 560 = d) zz 42 780 +-= e) zz 42 890 = f) zz 4 4770 +-= g) zzz 43 881 +=+ h) zzz 32 210 ++-= i) zzz 43 10 +++= Baøi 4. Giải các phương trình sau (ẩn x): a) 2 3.240 ixxi += b) xixi 2 (3)430 +-= c) 2 440 ixxi ++-= d) xixi 2 2(1)420 ++++= e) xix 2 (23)0 +-= f) 2 .2.40 +-= ixix g) xixi 2 2(2)1840 ++= h) xixi 2 (13)2(1)0 + += i) xix 2 210 -+= k) ixxi 2 (1)2(113)0 += l) xixi 2 (1)20 ++ = m) xixi 2 (2)20 +-+-= Baøi 5. Giải các phương trình sau (ẩn z): a) z 4 2160 += b) z 4 80 -= c) z 5 (2)10 ++= d) ziziz 22 ()(21)0 + = e) zzzzz 5432 10 +++++= f) zizz 2 (3)(25)0 +-+= g) 32 235330 zzzi -++-= h) zizi 42 8(1)63160 +-= Số phức Trần Sĩ Tùng Trang 106 i) zizi 2 (3)6(3)130 + +-+= k) zizi 42 24(1)3081440 +-= Baøi 6. Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lượt là: a) 2313 ivaøi +-+ b) 244 ivaøi -+ Baøi 7. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm: a) 34 i =+ a b) i 73 a=- c) 25 i =- a d) 23 i a= e) 32 i a=- f) i =- a g) (2)(3) ii =+- a h) 51804538 234 iiii =+++ a i) 5 2 i i + = - a Baøi 8. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z 1 , z 2 thoả mãn điều kiện đã chỉ ra: a) 222 1212 10,:1 zmzmñkzzzz -++=+=+ b) -+=+= 233 12 350,:18 zmzñkzz c) zmzñkzz 222 12 30,:8 ++=+= Baøi 9. Cho zz 12 , là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của các biểu thức sau: 22 12 Azz =+ , 22 1212 Bzzzz =+, 12 21 zz C zz =+ : a) zz 2 10 ++= b) zz 2 320 ++= c) zz 2 57110 -+= d) zz 2 70 ++= e) ( ) izizi 2 12(32)10 +-++-= f) zizi 2 (13)2(1)0 + += g) zizi 2 (514)2(125)0 += h) izzi 2 (1)2(113)0 += Baøi 10. Giải các hệ phương trình sau: a) zzi zzi 12 22 12 4 52 ì +=+ ï í +=- ï î b) zzi zzi 12 22 12 .55. 52. ì = ï í +=-+ ï î c) zz zz 35 12 24 12 0 .()1 ì += ï í = ï î d) zzz zzz zzz 123 123 123 1 1 1 ì ++= ï ++= í ï = î e) z zi z z 125 83 4 1 8 ì - = ï - ï í - ï = ï - î f) z zi zi zi 1 1 3 1 ì - = ï - ï í - ï = ï + î g) zzi zzi 22 12 12 52 4 ì ï +=+ í +=- ï î h) ziz ziz 2 1 ì -= ï í -=- ï î i) zzzz zzi 22 1212 12 40 2 ì ï ++= í += ï î Baøi 11. Giải các hệ phương trình sau: a) 212 3 xyi xyi ì +=- í +=- î b) 22 5 88 xyi xyi ì +=- í +=- î c) 4 74 xy xyi ì += í =+ î d) 22 1111 22 12 i xy xyi ì +=- ï í ï +=- î e) 22 6 112 5 xy xy ì +=- ï í += ï î f) 32 11171 2626 xyi i xy ì +=+ ï í +=+ ï î g) 22 5 12 xyi xyi ì +=- í +=+ î h) 33 1 23 xy xyi ì += í += î i) xyi xyi 22 52 4 ì +=+ í +=- î Trần Sĩ Tùng Số phức Trang 107 VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển bởi điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y. Baøi 1. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) zz 34 ++= b) zzi 12 -+-= c) zzizi 22 -+=- d) izz 2.123 -=+ e) izz 2221 -=- f) z 31 += g) zizi 23 += h) zi zi 3 1 - = + i) zi 12 -+= k) ziz 2 +=- l) z 11 +< m) zi 12 <-< n) zi 3 (1)1 = o) zizi (13)32 +-=+- p) izz 2221 -=- Baøi 2. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 2 zi + là một số thực b) 2 zi -+ là một số thuần ảo c) z 1 1 - là một số thuần ảo d) zi zi + - là một số thực dương e) zi 2 () - là một số thực dương f) zi 2 (1) -+ là một số thuần ảo g) z 3 £ và phần thực lớn hơn 1 h) z 3 £ và phần thực nhỏ hơn –2 i) Phần thực của z nhỏ hơn 3 k) Phần ảo của z lớn hơn 5. VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác. Baøi 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: a) i.322 +- b) 4 – 4i c) 13. i - d) 4 sin. 4 cos p p i- e) 8 cos. 8 sin p p i f) )1)(3.1( ii +- Baøi 2. Thực hiện các phép tính sau: a) ( ) ( ) 3cos20 sin20cos25 sin25 oooo ii++ b) 5cos.sin.3cos.sin 6644 ii æöæö pppp ++ ç÷ç÷ èøèø c) ( ) ( ) 3cos120sin120cos45sin45 ++ oooo ii d) 5cossin3cossin 6644 æöæö ++ ç÷ ç÷ èø èø pppp ii e) ( ) ( ) 2cos18sin18cos72sin72 ++ oooo ii f) cos85sin85 cos40sin40 i i + + oo oo g) )15sin.15(cos3 )45sin.45(cos2 00 00 i i + + h) 2(cos45sin45) 3(cos15sin15) i i + + oo oo i) ) 2 sin. 2 (cos2 ) 3 2 sin. 3 2 (cos2 pp pp i i + + k) 22 2cossin 33 2cossin 22 æö + ç÷ èø æö + ç÷ èø pp pp i i Baøi 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: [...]... 3 -i 1+ i 3 ổ 1- i 3 ử f) ỗ ữ ỗ 3 -i ữ ố ứ k) 1 2 + 1 2 2 g) 1 2 i 2 2 l) -2 (1 + i 3 ) i Baứi 6 Tỡm cỏc cn bc ba ca cỏc s phc sau: d) 7 - 24i h) i, i m) 1 1 + 1+ i 1- i a) -i b) 27 c) 2 + 2i Baứi 7 Tỡm cỏc cn bc bn ca cỏc s phc sau: d) 18 + 6i a) 2 - i 12 b) 3 + i Baứi 8 Gii cỏc phng trỡnh sau: d) -7 + 24i a) z3 - 125 = 0 c) -2 i b) z 4 + 16 = 0 c) z3 + 64i = 0 d) z3 - 27i = 0 e) z7 - 2iz4 - iz3 - 2... = 1 z z20 08 ổ i + 1ử ỗ ữ ố i ứ 20 08 a) sin 5t = 16sin5 t - 20sin3 t + 5sin t b) cos 5t = 16 cos5 t - 20 cos3 t + 5 cos t c) sin 3t = 3cos2 t - sin3 t d) cos3t = 4 cos3 t - 3 cos t Trang 1 08 40 Trn S Tựng S phc II ễN TP S PHC Baứi 1 Thc hin cỏc phộp tớnh sau: a) (2 - i ) (-3 + 2i)(5 - 4i ) 16 ổ1+ i ử ổ 1- i ử c) ỗ ữ +ỗ ữ ố 1- i ứ ố1+ i ứ 3 + 7i 5 - 8i + 2 + 3i 2 - 3i b) 6 8 ổ -1 + i 3 ử ổ 1 - i 7 ử d)... - 3 = 0 m) z3 = z 2 2 n) 4 z2 + 8 z = 8 o) iz2 + (1 + 2i)z + 1 = 0 Baứi 11 Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc: 2 ổ 4z + i ử 4z + i a) ỗ +6 = 0 ữ -5 z-i ố z -i ứ p) (1 + i )z2 + 2 + 11i = 0 b) ( z + 5i )( z - 3 ) ( z2 + z + 3) = 0 c) ( z2 + 2 z ) - 6 ( z2 + 2 z ) - 16 = 0 d) z3 - (1 + i ) z2 + ( 3 + i ) z - 3i = 0 e) ( z + i ) ( z2 - 2 z + 2 ) = 0 f) z2 - 2iz + 2i - 1 = 0 g) z2 - (5 - 14i )z - 2 (12. .. z2 - 80 z + 4099 - 100i = 0 i) ( z + 3 - i )2 - 6( z + 3 - i) + 13 = 0 k) z2 - (cos j + i sin j)z + i cos j sin j = 0 Baứi 12 Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc: a) x 2 - (3 + 4i ) x + 5i - 1 = 0 b) x 2 + (1 + i ) x - 2 - i = 0 c) 3 x 2 + x + 2 = 0 e) x 3 - 1 = 0 d) x 2 + x + 1 = 0 Baứi 13 Gii cỏc phng trỡnh sau bit chỳng cú mt nghim thun o: a) z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0 ( b) z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i... z12 + z2 2 z2 2 + z32 a) A = z4 + iz3 - (1 + 2i)z2 + 3z + 1 + 3i, vụựi z = 2 + 3i b) B = ( z - z2 + 2 z3 )(2 - z + z2 ), vụựi z = Baứi 4 Tỡm cỏc s thc x, y sao cho: a) (1 - 2i ) x + (1 + 2 y)i = 1 + i 1 ( 3 - i) 2 b) x -3 y -3 + =i 3+i 3-i 1 2 x + (3 xy - 2 y 2 )i 2 Baứi 5 Tỡm cỏc cn bc hai ca cỏc s phc sau: b) 3 + 4i c) 1 + i a) 8 + 6i c) (4 - 3i ) x 2 + (3 + 2i ) xy = 4 y 2 - ổ1+ i ử e) ỗ ữ ố 1-. .. i 3 ử i) (2 - 2i ) ỗ ữ ố 1- i ứ 7 ổ p pử ỗ cos + i sin ữ m) ố 4 4ứ 1 ( 17 3 - i) Baứi 5 Tớnh: a) ( cos12o + i sin12o ) 5 d) ộ 2 ( cos30 0 + i sin 30 0 ) ự ở ỷ 21 16 b) (1 + i ) 7 ổ 5 + 3i 3 ử ữ g) ỗ ỗ 1 - 2i 3 ữ ố ứ p p k) (cos - i sin )i 5 (1 + 3i )7 3 3 Baứi 6 Chng minh: c) ( 3 - i ) 6 e) (cos15o + i sin15o )5 f) (1 + i )20 08 + (1 - i )20 08 12 ổ1 3ử ữ h) ỗ + i i) ỗ2 2 ữ ố ứ 1 1 l) z20 08 + , bieỏt... ổ -1 + i 3 ử ổ 1 - i 7 ử d) ỗ ữ +ỗ ữ ố 2 ứ ố 2 ứ 6 e) (2 - 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i ) (-6 - i ) f) i -5 (-i )-7 + (-i)13 + i -1 00 + (-i)94 g) i 2000 + i1999 + i 201 + i82 + i 47 h) 1 + i + i2 + i3 + + i2009 k) 1 + i + i 2 + + i n , (n 1) i) i.i 2 i 3 i 2000 Baứi 2 Cho cỏc s phc z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 - i Tớnh: a) z1 + z2 + z3 d) z12 2 + z2 + z3 b) z1z2 + z2 z3 + z3 z1 z z z e) 1 + 2 + 3... 4i )z - 4 + 4i = 0 ) Baứi 14 Tỡm m phng trỡnh sau: ( z + i ) z2 - 2mz + m 2 - 2m = 0 a) Ch cú ỳng 1 nghim phc c) Cú ba nghim phc b) Ch cú ỳng 1 nghim thc Baứi 15 Tỡm m phng trỡnh sau: z3 + (3 + i )z2 - 3z - (m + i ) = 0 cú ớt nht mt nghim thc Baứi 16 Tỡm tt c cỏc s phc z sao cho ( z - 2)( z + i ) l s thc Baứi 17 Gii cỏc phng trỡnh trựng phng: a) z 4 - 8( 1 - i )z2 + 63 - 16i = 0 b) z 4 - 24(1 - i)z2... 1 - i 3 c) (1 - i 3 )(1 + i ) 1- i 3 1+ i f) i) 1 + i 3 k) g) sin j + i cos j 3-i h) l) 3 + 0i 1 2 + 2i e) d) 2.i.( 3 - i) m) tan 2 +i 2 Baứi 4 Vit di dng i s cỏc s phc sau: p pử ổ b) 2 ỗ cos + i sin ữ 6 6ứ ố 3+i e) (1 + i )(1 - 2i ) a) cos 45o + i sin 45o d) (2 + i)6 1+ i g) 2i + 1 h) ( -1 + i 3 ) 1 ổ 3p 3p ử k) + i sin ỗ cos ữ 4 4 ứ 2ố ổ1+ i ử l) ỗ ữ ố 1- i ứ 60 100 5p +i 8 c) 3 ( cos120o + i sin120o... 2 = 0 f) z6 + iz3 + i - 1 = 0 g) z10 + (-2 + i)z5 - 2i = 0 Baứi 9 Gi u1; u2 l hai cn bc hai ca z1 = 3 + 4i v v1; v2 l hai cn bc hai ca z2 = 3 - 4i Tớnh u1 + u2 + v1 + v2 ? Baứi 10 Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc: a) z2 + 5 = 0 b) z2 + 2 z + 2 = 0 Trang 109 c) z2 + 4 z + 10 = 0 S phc Trn S Tựng d) z2 - 5z + 9 = 0 e) -2 z2 + 3z - 1 = 0 f) 3z2 - 2 z + 3 = 0 g) ( z + z )( z - z ) = 0 h) z2 + z + . zz zz 35 12 24 12 0 .()1 ì += ï í = ï î d) zzz zzz zzz 123 123 123 1 1 1 ì ++= ï ++= í ï = î e) z zi z z 125 83 4 1 8 ì - = ï - ï í - ï = ï - î f) z zi zi zi 1 1 3 1 ì - = ï - ï í - ï = ï + î . zzi zzi 22 12 12 52 4 ì ï +=+ í + =- ï î h) ziz ziz 2 1 ì -= ï í -= - ï î i) zzzz zzi 22 121 2 12 40 2 ì ï ++= í += ï î Baøi 11. Giải các hệ phương trình sau: a) 212 3 xyi xyi ì + =- í + =- î . (2)(32)(54) iii +- b) 37 58 2323 ii ii +- + +- c) 1 68 11 11 ii ii æöæö +- + ç÷ç÷ -+ èøèø d) 66 1317 22 ii æöæö -+ - + ç÷ç÷ èøèø e) (24)(52)(34)(6) iiii -+ ++ f) 571310094 ()()() iiiii -+ -+ +-