Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 59 222222 abc t abbcca ị= ++ 222222 222222222222222222 abcabcabc H abbccaabbccaabbcca ;; ổử ị ỗữ ỗữ ++++++ ốứ 2 2222 222222 2 2222 222222 a AHabacbcbc abbcca b BHacabbcac abbcca (;;) (;;) ỡ = ù ù ++ ị ớ ù = ù ++ ợ uuur uuur 2 2222 222222 2 2222 222222 00 00 a AHBCabacbcbcbc abbcca b BHACacabbcacac abbcca .(;;)(;;) .(;;)(;;) ỡ = = ù ù ++ ị ớ ù = = ù ++ ợ uuuruuur uuuruuur AHBC BHAC ỡ ^ ịị ớ ^ ợ H l trc tõm DABC. 3. Chng minh 2222 1111 OHOAOBOC =++ 222222 abc OHdOABC abbcca (,()) - == ++ 222222 2222 1 abbcca OHabc ++ ị= 222222 222222222 111111 abbcca OAOBOCabcabc ++ ++=++= 2222 1111 OHOAOBOC ị=++. 4. Chng minh 222 1 coscoscos. abg ++= Nhn xột: ã ( ) ( ) OABABC OABABCnn ()() coscos(),()cos, a == rr Gi ABC nnbcacab () (;;) == rr 123 001100010 OABOBCOAC nnknninnj ()()() (,,);(,,);(,,) ========= r rr rrrrrr 222222 123 nnnnnn coscoscoscos(,)cos(,)cos(,) abg ị++=++ rrrrrr 222222 222222222222222222 abbcac abbccaabbccaabbcca =++ ++++++ Vy: 222 1 coscoscos. abg ++= PP To trong khụng gian Trn S Tựng Trang 60 Vớ d 2: Cho tam giỏc u ABC cú ng cao AH = 2a. Gi O l trung im AH. Trờn ng thng vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti O, ly im S sao cho OS = 2a. 1. Tớnh cosin ca gúc j to bi hai mt phng (SAB) v (SAC). 2. Trờn on OH ly im I. t OI = m (0 < m < a). Mt phng (a) qua I, vuụng gúc vi AH ct cỏc cnh AB, AC, SC, SB ln lt ti M, N, P, Q. a. Tớnh din tớch thit din MNPQ theo a v x. b. Tỡm m din tớch MNPQ ln nht. Gii: Gi D l trung im AB 34 2 3 1 4 3 ODOH BCa AHBC a ODBC ị^ =ị= ị== Chn h trc ta Oxyz sao cho: 0000000002 3 a ODHaSa (;;),;;,(;),(;;) ổử ỗữ ốứ 22 0000 33 aa AaBaCa (;;),;;,;; ổửổử ị ỗữỗữ ốứốứ 1. Tớnh cos j : V BESA ^ ti E CESA ị^ (vỡ ã SABCEBEC ()) j ^ị= 02012 SAaaa (;;)(;;) == uur Phng trỡnh ng thng SA: 0 2 x yattR zt () ỡ = ù =-+ẻ ớ ù = ợ Phng trỡnh mp(BCE): ( ) 0 y a 2z += Thay x, y, z vo phng trỡnh (BCE), ta c: 2 240 5 a attt-++=ị= 34 0 55 aa E ;; ổử ị- ỗữ ốứ 2842 54323 55 353 2842 54323 55 353 aaaa EB aaaa EC ;;(;;) ;;(;;) ỡ ổử - ==- ù ỗữ ù ốứ ị ớ ổử ù = = ỗữ ù ốứ ợ uuur uuur 2 22 5432354323 357 33 8517 2 8585 3 aa EBEC a .(;;)(;;) coscos(,) j ị==== ổử ỗữ ốứ uuuruuur Vy 7 17 cos j = . 2. Ta cú: I(0; m; 0), 010 OHa (;;) = uuur ị phng trỡnh mp(MNPQ): y m = 0 z S E A D x M B y H C P N I m Q O a j 2a Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 61 a. Tớnh S MNPQ : Ta cú: 22 20130 33 aa ABa ;;(;;) ổử == ỗữ ốứ uuur ; 22 20130 33 aa ACa ;;(;;) ổử =-= ỗữ ốứ uuur 2 22323 33 aa SBaa ;;(;;) ổử =-=- ỗữ ốứ uur ; 2 22323 33 aa SCaa ;;(;;) ổử = = ỗữ ốứ uur Phng trỡnh ng thng AB: 3 0 xt yattR z () ỡ = ù =-+ẻ ớ ù = ợ 0 3 am MABMNPQMm ();; ổử + =ầị ỗữ ốứ Phng trỡnh ng thng AC: 3 0 xt yattR z () ỡ = ù = ẻ ớ ù = ợ 0 3 am NACMNPQNm ();; ổử =ầị ỗữ ốứ Phng trỡnh ng thng SB: 2 3 223 xt yttR zat () ỡ = ù =ẻ ớ ù =- ợ 2 22 3 m QSBMNPQQmam ();; ổử =ầị- ỗữ ốứ Phng trỡnh ng thng SC: 2 3 223 xt yttR zat () ỡ = ù =-ẻ ớ ù =+ ợ 2 22 3 m PSCMNPQPmam ();; ổử =ầị ỗữ ốứ ị 322 02202200 333 maamam MQamMPamMN ;;;;;;;; ổửổửổử =-=-= ỗữỗữỗữ ốứốứốứ uuuruuuruuuur ( ) 22 222 2 22 1 2 1844 0000 2 33 1844642 2 33333 2 32 3 MNPQ MNPQ SMQMPMPMN mmama mamamaa mm Smama [,][,] () ;;;; () () =+ ổử ổử ổử ỗữ =+ ỗữ ỗữ ỗữ ỗữ ốứ ốứ ốứ ổử =+=-++ ỗữ ỗữ ốứ ị=-++ uuuruuuruuuruuuur b/ Tỡm m (S MNPQ ) max : Bng xột du: PP To trong khụng gian Trn S Tựng Trang 62 m Ơ 3 a +Ơ 22 32 mama -++ Ơ 2 4 3 a Ơ 22 248 3 333 MNPQ aa S .ịÊ= Vy 2 8 3 33 MNPQ aa Skhim max (). == Cỏch khỏc: 2 2 3 8 2323 32 33 MNPQ coõsi a amm aa Samm () () () ộự ổử ờỳ -++ ỗữ ổử ờỳ ốứ =-+Ê= ỗữ ờỳ ởỷ ốứ 2 8 33 33 MNPQ aaa Sammm max (). ị=-=+= Vớ d 3: Cho t din OABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc. OA= a, OB = b, OC = c. 1. Gi I l tõm mt cu ni tip (S) ca OABC. Tớnh bỏn kớnh r ca (S). 2. Gi M, N, P l trung im BC, CA, AB. Chng minh rng hai mt phng (OMN) v (OMP) vuụng gúc 222 111 abc =+. Gii: Chn h trc Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) 1. Tớnh r: Ta cú: IAOBIOBCIOCAIABCOABC VVVVV +++= 36 OABOBCOCAABC rabc SSSS (). DDDD ị+++= 222222 222222 1 2 1 00 2 1 2 1 66 ABC SABAC abac abbcca rabc abbccaabbcca [,] [(;;),(;;)] ()() D = = =++ ị+++++= uuuruuur Vy 222222 abc r abbccaabbcca = +++++ 2. Chng minh (OMN) ^ (OMP) 222 111 abc =+ Ta cú: 000 222222 bcacab MNP ;;,;;,;; ổửổửổử ỗữỗữỗữ ốứốứốứ 444 OMN bcacab nOMON () [,];; ổử ==- ỗữ ốứ uuuruuur r C z y x B A O a b P c M N Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 63 444 OMP bcacab nOMOP () [,];; ổử == ỗữ ốứ uuuruuur r 0 OMNOMP OMNOMPnn ()() ()(). ị^= rr 222222 22222 222 111 0 161616 bcacab acbbc abc (). -++=+==+ Vớ d 4: Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB= a, AD = 2a. Trờn tia AzABCD () ^ ly im S. Mt phng (a) qua CD ct SA, SB ln lt ti K v L. 1. Cho SA = 2a, AK = k 02 ka () ÊÊ a. Tớnh din tớch t giỏc CDKL . Tớnh k theo a S CDKL ln nht, nh nht. b. Chng t khong cỏch gia hai ng thng KD v BC khụng i. c. Tớnh k theo a (a) chia hỡnh chúp S.ABCD thnh hai phn cú th tớch bng nhau. 2. Gi M, N ln lt l trung im SC, SD. Tỡm qu tớch giao im I ca AN, BM khi S di ng trờn tia Az. Gii: 1. Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0), S(0; 0; 2a) 0002 02 AKkKkka nKCKDaka (;;), [,](;;) a =ịÊÊ == uuuruuur r Phng trỡnh 220220 kyaazkyazak ():() a -+=+-= 102 SBa (;;) =- uur Phng trỡnh ng thng SB: 0 2 xat ytR zt () ỡ =+ ù =ẻ ớ ù =- ợ 0 2 k SBLLak ();; a ổử ầ=ị- ỗữ ốứ a/ S CDKL = S DCKL + S DCKD : ( ) 222222 1 2 1 22200 22 124 444 224 CKCLCKCD k aakakaaka akak akaakak [,][,] [(;;,;;][(;;,(;;)] =+ ổử = + ỗữ ốứ ổử =+++=+ ỗữ ốứ uuuruuuruuuruuur Xột 22 22 22 4244 40 4 44 akkaka fkakfk ka / ()() +- =+ị=< + Bng bin thiờn: k Ơ 0 2a +Ơ f / (k) f(k) 2a 2 2 2 a z S B x C y D N M K L a 2a A k I PP To trong khụng gian Trn S Tựng Trang 64 Vy: 2 20 Sak max == 2 22 Saka min . == b/ d(KD, BC) 0202000 02020 KDBCDCakaa aka KDBC [,][;;),(;;)](;;) [;;),(;;] [,] - == - uuuruuuruuur uuuruuur = a (khụng i) * Chỳ ý: CD l on vuụng gúc chung ca KD v BC. c/ Tớnh k 1 2 SCDKLSABCD VV = Ta cú: 2 22 42 4 aak dS ka (,()) a - = + 3 3 124 36 14 33 244 66 352 SCDKLCDKL SABCDABCD aakak VdSS a VSAS aakaka kadoka . . () (,()). . ()() ()() a ị== == ị= =-Ê 2. Qu tớch I: 0000 222 ass SAzSssMaNa (;;),;;,;; ổửổử ẻị>ị ỗữỗữ ốứốứ 11 202 22 BMaasANas (;;);(;;) = = uuuruuur ị Phng trỡnh ng thng BM: 1 11 1 2 xaat yattR zst () ỡ =+ ù =-ẻ ớ ù =- ợ Phng trỡnh ng thng AN: 22 2 0 2 x yattR zst () ỡ = ù =ẻ ớ ù = ợ 02 IANBMIas ()()(;;) =ầị Ta cú: 00 IDsIDAS (;;)//. =-ị uuruuruur Vy qu tớch I l na ng thng DtABCD () ^ (tr im D, do s > 0). Vớ d 5: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy ã 2aASB ;. a = 1. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp. 2. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ni tip hỡnh chúp. 3. Tỡm a tõm mt cu ngoi tip v ni tip trựng nhau. Gii: Ta cú: AC = BD = 2a. Gi SO l ng cao v SO= h. Chn h trc ta Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h) Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 65 0000 CaDa (;;),(;;) ị 1. Tõm I v R ca (S) ngoi tip chúp S.ABCD Do S.ABCD l hỡnh chúp t giỏc u nờn 0 00 IOSIz (;;) ẻị Phng trỡnh mt cu (S): 222 0 20 xyzzzd ++-+= 2 2 0 2 22 0 222222 0 20 2 00 222 ad ASS hzhd da ha z h hahaha IRa hhh ,() ;;, ỡ +=ù ẻị ớ -+= ù ợ ỡ =- ù ị ớ - = ù ợ ổửổử + ị=+= ỗữỗữ ốứốứ Mt khỏc: 2 2222 00SASBahahh SASB ahah .(;;)(;;) cos . a === ++ uuruur 2 1 a h cos cos a a ị= - (a nhn do DSAB cõn ti S). Vy: 21 a R cos(cos) aa = - 21 21 a OI (cos) cos(cos) a aa - = - 2. Tõm J v r ca (S / ) ni tip chúp S.ABCD: Ta cú: 00 JOSJrOJr (;;), ẻị= 2 2 22 222 2 222 12 2 333 1 442 2 22 1 1 SABCDtpSABCD xpSAB tpxpABCD rah VSVha SSSASBah SSSaha a ah r aah .;.() sin()sin ()sin cos(cos) sincos ()sin D aa a aa aa a === ===+ ị=+=++ - ị== +- ++ Vy: 1 1 a OJr cos(cos) . sincos aa aa - == +- 3. Tỡm a I J 1 21 1 21 21121 a a IJOIOJ cos(cos) (cos) sincos cos(cos) (cos)(sincos)cos(cos) aa a aa aa aaaaa - - == +- - -+-=- 12010 10 45 o sin do donhoùn) (cos)(sincos)(sincos)(sincos) sincos(sincos) ( aaaaaaaa aaaa aa -+-= += =+-> = Vy 45 o IJ . a = z S x A 23 B y C D O h a a PP To trong khụng gian Trn S Tựng Trang 66 Vớ d 6: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l ỏy hỡnh ch nht vi AB = a, AD = b, SA = 2a vuụng gúc vi ỏy. Trờn cnh SA ly im M, AM = m ( 02 ma ) ÊÊ 1. Mt phng (MBC) ct hỡnh chúp theo thit din l hỡnh gỡ. Tớnh din tớch thit din? 2. Tỡm v trớ M din tớch thit din ln nht. 3. Tỡm v trớ M mt phng (MBC) chia hỡnh chúp thnh hai phn cú th tớch bng nhau. Gii: Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a) 00002 CabMmma (;;),(;;)() ịÊÊ . Ta cú: 0 MBC nMBMCbma () [,](;;) == uuuruuur r . 02 SDba (;;) =- uuur ị Phng trỡnh mt phng (MBC): 0 mxazma +-= Phng trỡnh ng thng SD: 0 2 x ybbttR zat () ỡ = ù =+ẻ ớ ù =- ợ Gi 2 0 2 abmb NSDMBCNm a ();; ổử - =ầị ỗữ ốứ 1. Hỡnh tớnh v din tớch BCMN Ta cú: 2 00000 2 abmb MNBCbMBam a ;;;(;;);(;;) ổử - ===- ỗữ ốứ uuuuruuuruuur MNBC BCMN BCMB ỡ ịị ớ ^ ợ P l hỡnh thang vuụng. 22 22 24 2224 BCMN MBamabmbabmb SMNBCbam aa () ổử + =+=+=+ ỗữ ốứ 2. Tỡm v trớ M S BCNM ln nht: Ta cú: 22 4 4 m b Samma a () ()=-+ 22 22 2222 424 44 m bammbmama Sma aa mama / () () . ộự +- ị=-++= ờỳ ờỳ ++ ởỷ 22 0 2 m a Sm / () () == m Ơ 0 22 2 a () - 22 2 a () + 2a +Ơ m S / () 0 + 0 m S () ab 7182 8 ab + 7182 8 ab - 5 2 ab a b D y x B S z 2a M m A C N Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 67 718222 82 aba Sm max () ++ ị== 718222 82 aba Sm min () == 3. Tỡm v trớ M 1 2 SBCNMSABCD VV = Ta cú: 2 22 2 ama dSMBC ma (,()) - = + 2 22 22 2 12442 3412 12 2 33 SBCNM SABCD amaabmbbamam Vma a ma ab Vaab . . ()() ị=+= + == Yờu cu bi toỏn 2 42 4 amam a ()() = 22 64035 mamama(vỡ m2a) ()-+==-Ê Vy 35 AMa (). =- Vớ d 7: Cho hỡnh lp phng ABCD.AÂBÂCÂDÂ cnh a. 1. Chng minh ACABD /// () ^ . Tớnh gúc j gia (DAÂC) v (ABBÂAÂ). 2. Trờn cnh AD / , DB ly im M, N tha AM = DN = k 02 ka () << . a. Chng minh MN // (A / D / BC) b. Tỡm k MN min . Chng t khi ú MN l on vuụng gúc chung ca ADÂ, DB. Gii: Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A / (0; 0; a), B / (a; 0; a), C / (a; a; a), D / (0; a; a) AM = DN = k 00 2222 kkkk MNa ;;,;; ổửổử ị- ỗữỗữ ốứốứ 1. Chng minh ACABD /// () ^ : Ta cú: 0 0 ACaaa ABaa ADaa / / / (;;) (;;) (;;) ỡ =- ù ù ớ = ù = ù ợ uuuur uuuur uuuur 222 222 0 ABD ABD ABD nABADaaa ACnaaaaaa ACn // // // // () / () / () ,(;;) ,(;;),(;;) ị== ộự ộự = = ởỷ ờỳ ởỷ ị uuuuruuuur r uuuur r r uuuur r P Vy ACABD /// () ^ z A / D / B / C / A D B C k y z a N M k PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 68 Cách khác: 0 0 ACABACAB ACABD ACAD ACAD //// /// // // . () . ì ì ïï =^ ÞÞ^ íí ^ ï = îï î uuuuruuuur uuuuruuuur Tính j: 22 1 0 nDADCaa / [,](;;) == uuuur ruuur 2 010 ABBA nnj // () (;;) === rrr 2 12 2 12 2 2 2 nna a nn . cos j Þ=== rr rr . Vậy 45 o . j = 2. a. Chứng minh MN // (A / D / BC): 2 1 22 2 101 ADBC MNkakk nnBABCa // / () (;;) [,](;;) = ===- uuuur uuuur uuur rr Ta có: 2 0 2 a MNnkk .() - =-= uuuurr MNADBCdoMADBC //// ()(() ÞÏ P ) b/ Tìm k để MN min : Ta có: 222 1 6422 2 MNkaka () =-+ k –¥ 0 2 3 a 2 a +¥ MN 2 2 3 a 2 3 3 aa MNk min Þ=Û= Khi 2 3 a k = thì 111 3 a MN (;;) =- uuuur 11100 3 11100 3 a MNADaa MNAD a MNBD MNBDaa / / .(;;)(;;) .(;;)(;;) ì =-= ï ì ï ^ ÞÞ íí ^ î ï = = ï î uuuur uuuur uuuuruuur Vậy MN là đoạn vuông góc chung của AD / và BD. Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A / B / C / D / cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm của hình vuông ADD / A / . 1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) đi qua 4 điểm C, D / , M, N. 2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S / ) đi qua A / , B / , C, D. 3. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (CMN) và hình lập phương. . 1 1 a OJr cos(cos) . sincos aa aa - == +- 3. Tỡm a I J 1 21 1 21 2 1121 a a IJOIOJ cos(cos) (cos) sincos cos(cos) (cos)(sincos)cos(cos) aa a aa aa aaaaa - - == +- - -+ - =- 120 10 10 45 o sin do donhoùn) (cos)(sincos)(sincos)(sincos) sincos(sincos) ( aaaaaaaa aaaa aa -+ -= . ab 71 82 8 ab + 71 82 8 ab - 5 2 ab a b D y x B S z 2a M m A C N Trn S Tựng PP To trong khụng gian Trang 67 71 8222 82 aba Sm max () ++ ị== 71 8222 82 aba Sm min () . 2 22 2 ama dSMBC ma (,()) - = + 2 22 22 2 124 42 3 412 12 2 33 SBCNM SABCD amaabmbbamam Vma a ma ab Vaab . . ()() ị=+= + == Yờu cu bi toỏn 2 42 4 amam a ()() = 22 64035 mamama(vỡ m2a) ( )-+ = =-