http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ THỂ GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ VỚI VIỆC CHỌN HỆ TOẠ ĐỘ DỄ DÀNG Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD tại O SO  (ABCD), SA = 2 2 . Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN GIẢI Cách 1: B O C D A S M N Ta có AB // CD (gt) (ABM) (SCD) = MN ⇒MN // CD ⇒ N là trung điểm SD VSABCD = 2 1 SABCD.SO = 2 1 AC.BD.SO = 2822.2.4 2 1  2 1  SD SN V V SABD SABN ⇒ VSABN = 2 1 SSABD = 2 28 2 1 . = 2 2 4 1 2 1 2 1  SD SN SC SM V V SBCD SBMN ⇒ VSBMN = 4 1 SSBCD = 2 28 4 1 . = 2 ⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = 3 2 Cách 2: Sử dụng phương pháp toạ độ http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến O S A C D N M B z x y Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; 2 ) Do (ABM) ∩ (SCD) = MN AB // CD ⇒MN//CD ⇒N là trung điểm SD ⇒N(0; - 2 1 ; 2 ) SA = (2; 0; -2 2 ); SM = (-1; 0; - 2 ); SB = (0; 1; -2 2 ); SN = (0; - 2 1 ; - 2 ) [ SA , SM ] = (0; 4 2 ; 0) V SABM = 6 1 [ SA , SM ].SB = 3 22 VSAMN = 6 1 [ SA , SM ].SN = 3 2 VSABMN = VSABM + VSAMN = 2 Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c a)Tính thể tích A’C’BD b)Gọi M là trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD. GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến C B' D' C' A' A D B x y a b c M a) Cách 1: Thể tích của khối hộp ABCDA’B’C’D’ là V = abc V C’CDB = 6 1 6 1 2 1 . 3 1 '. 3 1   abcabcSCC BCD V Tương tự ta có: VAA’BD = VBA’B’ C’ = VD’A’DC’ = 6 1 V ⇒VA’C’DB = V - 4. 6 1 V = 3 1 V= 3 1 abc Cách 2: dùng phương pháp toạ độ Chọn hệ toạ độ Axyz như hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0) DB = (a; -b; 0); 'DC = (a; 0; c); ' DA = (0; -b;c); [ DB , 'DC ] = (-bc; -ac; ab) V A’C’DB = 6 1 |[ DB , 'DC ]. ' DA | = 3 1 abc b) Ch ọn hệ toạ độ như hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) , C(a;b;0) , C’(a;b;c) M là trung điểm CC’ nên M(a;b; 2 c ) )0;;( baBD  , ) 2 ;;0( c bBM , );0;( ' caBA  [ BMBD, ]= ); 2 ; 2 ( ab acbc  VBDA’M = 6 1 |[ BD , BM ]. ' BA | = 4 1 2 3 6 1 abc abc 2) Về thể tích khối lăng trụ Ta thường áp dụng công thức tính thể tích đã biết hoặc chia nhỏ khối cần tính hoặc bổ sung thêm http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C. C ạnh AA’ tạo với đáy một góc 60 o . Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’. GIẢI B A C C' B' A' O a Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OC A’A = A’B = A’C (gt) ⇒A’O⊥ (ABC) (AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 60 0 A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC) Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 60 0 = a Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC = 4 3 2 a ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O = 4 3 3 a Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, C = 60 o . (BC’,(AA’C’C)) = 30 o . Tính thể tích của khối lăng trụ GIẢI C C' A' A B B' b b' Dễ thấy AB  (ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC ’ B = 30 0 ∆ABC vuông tại A có C ˆ =60 0 , AC=b nên BC=2b và AB= 3 b. http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến vì AB  (ACC’A’) nên AB b AC’ ∆ABC ’ vuông tại A có AC’ = b AB 3 30 tan 0  ∆ACC’ vuông tại C có (CC’) 2 = AC’ 2 - AC 2 = 9b 2 - b 2 = 8b 2 ⇒CC’ = 2 2 b =AA’. S∆ABC = 2 1 CA.CBsin6o o = 2 3 2 b ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.AA’ = 6 b 3 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến DẠNG 2 : TỈ SỐ THỂ TÍCH A/. Phương pháp: Giả sử mặt phẳng ỏ chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V 1 và V 2 . Để tính k = 2 1 V V ta có thể: -Tính trực tiếp V 1 , V 2 bằng công thức ⇒ k -Tính V 2 (hoặc V 2 ) bằng công thức tính thể tích của cả khối ⇒ Thể tích V 2 (hoặc V 1 ) ⇒ k Ta có các k ết quả sau: +Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng. +Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy. + ''.'. ''' SCSBSA SCSBSA V V CBSA SABC  C A B B' C' A' (chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện)) B. Các bài tập Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. GIẢI C B O A S D M B' I D' http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến -Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM ⇒ I ∈ (P) BD ⊂ (SBD) BD // (P) ⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD 9 2 3 2 3 2 2 1 2 1 '' ''  SO SI SO SI SD SD CSB SB SC SM V V SCBD DSMB (vì I là trọng tâm ∆SAC) 9 2 3 2 3 2 ''' 1 ''  SD SD SB SB SA SA V V SCBD DSMB mà V SABD = V SCBD = 2 1 V SABCD 2 1 3 1 3 2 9 4 9 2 '' '''' 2 1 '' 2 1 ''  MBABCDD MDSAB SABCD MDSABDSABDSMB V V V V V V V V Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA  (ABCD). (SC, (SAB)) = ỏ. Mắp phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. GIẢI Kí hiệu K 1 = V SMAQN V 2 = V - V 1 Gọi O = AC ∩ BD ∆SAC kẻ AN  SC E = SO ∩ AN ⇒ E ∈ (P) vì (P)  SC mà BD  SC BD  AC BD  SA  BD  (SAC) BD ⊂ (SAC) S D C O B A N M Q E ⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD CB  AB (gt) CB  SA (vì SA  (ABCD)) ⇒CB  (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = ỏ V 1 = 2V SANQ , V = 2V SACB SB SQ SC SN V V V V SACB SANQ . 1  Tam giác vuông SAC: SA 2 = SC.SN ⇒ SN = SC SA 2 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến Tam giác vuông SAB: SA 2 = SB.SQ ⇒ SQ = SB SA 2 2 . )(. 2 2 2 2 2 1 SCSB SA SB SA SC SA V V  BC  AB (gt) BC  SA (vì SA  (ABCD)) ⇒BC  SB Tam giác vuông SBC: cos ỏ = SC SB ⇒ SC =  cos SB Tam giác vuông SAB: SA 2 = SB 2 - AB 2 = SB 2 - BC 2 = SB 2 - SB 2 tanỏ    2sin1)sin(cos)( 22 . )tan1( cos 2 1   SA SB SB V V     2sin 2sin1 )2sin11( )2sin1( 1 11      V V VV V V V Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h. Mặt phẳng qua AB  (SDC) chia chóp làm hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a. M là trung điểm CD, N là trung điểm A’D’. Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương. GIẢI D A B Q M C' B' D' A' P E C Gợi ý: Gọi V 1 , V 2 tương ứng là thể tích các phần trên và phần dưới thiết diện ta có: V 1 = VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC) Để ý: ED’ = a, FC = 3 a , PD’ = 3 2a , CQ = 4 a http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến Tính được V 1 = 144 55 3 a V 2 = V- V 1 = a 3 - 144 55 3 a = 144 89 3 a  89 55 2 1  V V Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho 2 1  MA SM , 2 NB SN . Mặt phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này. GIẢI A' C A B E M N F Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE) Đặt V = V SABC, V 1 = VMNEFCS, V 2 = VMNEFAB V 1 = VSCEF + VSFME + VSMNE 9 2 3 2 3 1  CB CE CA CF V V SCEF 3 1 .  SA SM SA SE SE SM V V SFEA SFME 9 4  CB CE CA FA S S S S S S V V ABC CEA CEA FEA ABC FEA SFEA ⇒ V V V SFME 27 4 9 4 3 1 .  9 2 .  SB SN SA SM V V SABE SMNE 3 1  CB CE CE EB S S S S S S V V ABC CEA CEA ABE ABC ABE SABE ⇒V SABE = 27 2 V ⇒ V 1 = 9 2 V + 27 4 V + 27 2 V = 9 4 V 5 4 2 1  V V Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra. GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến B' C' C B A A' E M N A' I Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI Gọi V 1 , V 2 tương ứng là thể tích phần trên và phần dưới của thiết diện, ta có V 1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF V 2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI So sánh từng phần tương ứng ta có V 1 = V 2  2 1 V V = 1 Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. {O} = AC  BD, ox  (ABCD). Lấy S  Ox, S  O. Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. [...]...DẠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC,KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG DỰA VÀO THỂ TÍCH Bài 1: SABC có SA = 3a, SA  (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120o Tính D(A,(SBC)) GIẢI S 3a A C 2a B M 1 S∆ABC = 2 AB.BC.sin120o = 1 2 a.2 a 3 4 = a3 3 a2 3 3a SSABC = 3 S∆ABC SA= = a3 3 3 Kẻ SM  BC BC SA (vì SA  (ABC)) ⇒BC  AM ⇒ AM = a 3 ∆SAM vuông tại A có SM = 2 3 a... = a3 3 3 Kẻ SM  BC BC SA (vì SA  (ABC)) ⇒BC  AM ⇒ AM = a 3 ∆SAM vuông tại A có SM = 2 3 a S∆SBC = SM.BC = 2 3 a2 d(A, (SBC)) = 3VSABC S SBC  3a 3 3 2 3a 2 3a 2 Bài 2: SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 , SA  (ABC), SA =2a `Tính d(A, (SBC)) GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến . D(A,(SBC)). GIẢI B A S C M 3a 2a S∆ABC = 2 1 AB.BC.sin120 o = 4 3. 2.2 aa = a 3 3 SSABC = 3 1 S∆ABC .SA= 3 33. 2 aa = a 3 3 Kẻ SM  BC BC  SA (vì SA  (ABC)) ⇒BC  AM ⇒ AM = a 3 ∆SAM vuông tại A có SM = 2 3 a S ∆SBC. viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến DẠNG 2 : TỈ SỐ THỂ TÍCH A/. Phương pháp: Giả sử mặt phẳng ỏ chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V 1 và V 2 . Để tính k = 2 1 V V ta có thể: -Tính. thể: -Tính trực tiếp V 1 , V 2 bằng công thức ⇒ k -Tính V 2 (hoặc V 2 ) bằng công thức tính thể tích của cả khối ⇒ Thể tích V 2 (hoặc V 1 ) ⇒ k Ta có các k ết quả sau: +Hai khối chóp có cùng diện