Giáo viên: ThS. Lê Hữu Chí Giáo viên: ThS. Lê Hữu Chí Bài giảng Bài toán tối ưu là bài toán tìm giá trị cực đại (cực tiểu) của một số hàm phụ thuộc nhiều biến số trên tập hợp các biến số thỏa mãn những điều kiện nhất định. Các mô hình và phương pháp tối ưu có những ứng dụng rộng rãi và đa dạng trong thực tiễn, đặc biệt trong kinh tế và kỹ thuật. Trong các bài toán tối ưu thì quan trọng nhất và đáng chú ý trước nhất là các bài toán tối ưu tuyến tính, hay còn gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính, tức là bài toán tìm cực đại (cực tiểu) của một hàm tuyến tính với các biến số thỏa mãn các phương trình hay bất phương trình tuyến tính. Phạm vi nghiên cứu của môn học:  Bài toán quy hoạch tuyến tính  Bài toán đối ngẫu  Bài toán vận tải 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát: 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát: Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát với n ẩn x Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát với n ẩn x 1 1 , x , x 2 2 , …, x , …, x n n Trong đó: (1): hàm mục tiêu của bài toán (2): hệ ràng buộc chính của bài toán (3): hệ ràng buộc dấu của bài toán n , 3, 2, 1,j ; ýtùy 0 0 x(3) m , 3, 2, 1,i ;b xa xaxa (2) max(min)xc xcxc f(x) (1) j inin2i21i1 nn2211 =           ≤ ≥ =           = ≤ ≥ +++ →+++= Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính *. Phương án: một vectơ n chiều x* = (x 1 *, x 2 *, …, x n *) thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán được gọi là một phương án (PA) (lời giải chấp nhận được) của bài toán QHTT. - Tập X gồm nhiều phương án gọi là tập phương án - Phương án x* thỏa mãn hệ ràng buộc chặt với dấu “ = “ , thỏa mãn lỏng với dấu “ > ” hoặc “ < “ . *. Phương án cơ bản: một phương án x* = (x 1 *, x 2 *, …, x n *) thỏa mãn chặt ít nhất n ràng buộc của bài toán được gọi là một phương án cơ bản (PACB). - PACB thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc: PACB không suy biến - PACB thỏa mãn chặt hơn n ràng buộc: PACB suy biến Mọi bài toán QHTT Có PA thì sẽ có PACB và số PACB của bài toán đó luôn hữu hạn. Bài toán quy hoạch tuyến tính *. Phương án tối ưu: PA của bài toán cực đại hay cực tiểu được gọi là PATU nếu có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên tập PA X của bài toán. - Nếu bài toán cực đại (hay cực tiểu) có PA và hàm mục tiêu bị chặn trên (hay chặn dưới) trên tập PA thì bài toán có PATU. - Nếu bài toán QHTT có PATU thì nó phải có PACB tối ưu. - Nếu bài toán QHTT có hơn một PATU thì sẽ có vô số PATU. )x, ,x,(xx 0 n 0 2 0 1 0 = )x(f 0 *. Bài toán giải được: - Một bài toán QHTT có ít nhất một PATU được gọi là bài toán giải được. - Một bài toán QHTT không có PA hay có PA nhưng hàm mục tiêu không bị chặn trên (BT cực đại) hay không bị chặn dưới (BT cực tiểu) trên tập PA được gọi là bài toán không giải được. Giải một bài toán QHTT là tìm PATU và GTTU, gọi là lời giải tối ưu của bài toán hay chứng tỏ bài toán không giải được. Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính 2. Bài toán QHTT dạng chính tắc: một bài toán QHTT được gọi là dạng chính tắc có dạng sau: n , 3, 2, 1,j ; 0 x b xa xaxa . . . . . . . . . . b xa xaxa b xa xaxa max(min)xc xcxc f(x) j mnmn2m21m1 2n2n222121 1n1n212111 nn2211 =≥ =+++ =+++ =+++ →+++= Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính 3. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn: một bài toán QHTT dạng chuẩn có dạng sau: m , 3, 2, 1,i; 0b ;n , 3, 2, 1,j 0;x bxa xa x bxa xa x bxa xa x max(min)f(x) ij mnn m1m1m mm 2nn 21m1m 22 1nn 11m1m 11 =≥=≥ =+++ =+++ =+++ → ++ ++ ++ Trong bài toán QHTT trên thì các ẩn x 1 , x 2 , … , x m là các ẩn cơ bản và x m+1 , x m+2 , … , x n là các ẩn tự do. Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính 4. Phương pháp đơn hình: Phương pháp giải bài toán QHTT được cho là đầu tiên và hiệu quả nhất là phương pháp đơn hình. PACB x 0 x 0 là PATU? PACB x 1 Sai Có PATU Không có PATU Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính  Lập mô hình toán học  Phương pháp hình học  Biến đổi bài toán về dạng chính tắc  Lập bài toán mở rộng  Phương pháp đơn hình  Phương pháp đơn hình mở rộng  Xét tính tối ưu của một phương án  Giải bài toán có chứa tham số Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn - Xác định ẩn, đơn vị tính của ẩn, - Đặt điều kiện cho ẩn phù hợp với thực tế ( không âm, nguyên …) Bước 2: Lập hệ ràng buộc chính - Tính các số liệu kỹ thuật của BT (Tổng số NVL, tổng khối lượng các chất có trong NL, tổng SP thu được …) để được các biểu thức toán học. - Đặt điều kiện cho các biểu thức toán học để được các PT hay BPT của BT. Bước 3: Lập hàm mục tiêu - Tính biểu thức diễn tả yếu tố “kinh tế” của BT (tổng doanh thu, tổng lợi nhuận, tổng chi phí đầu ra …); - Đặt yêu cầu tối ưu cho biểu thức. Các loại bài toán và phương pháp giải Lập mô hình toán học Lập mô hình toán học [...]... toán QHTT sau về dạng chính tắc f(x) = x1 + 2x 2 + 3x 3 − 4x 4 → min x1 + 2x 2 − x 4 ≤ 2 3x1 + 4x 2 + x 3 ≥ 4 2x 2 − x 3 + 4x 4 = 3 x j ≥ 0; j = 1, 2, 3, 4 BÀI TẬP ỨNG DỤNG2: Biến đổi các bài toán QHTT sau về dạng chính tắc f(x) = 2x1 + x 2 + 3x 3 → min x1 + 2x 2 − x 3 ≤ 2 2x1 − x 2 + 4x 3 = 4 3x1 + 4x 2 + x 3 ≥ 4 x1 ≥ 0; x 2 ≤ 0 Các loại bài toán và phương pháp giải Lập bài toán mở rộng Một bài toán QHTT. .. của bài toán QHTT (P) Để đánh giá tính tối ưu của x* thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Giải bài toán (P) Giả sử (P) có phương án tối ưu x0 và giá trị tối ưu f0 = f(x0) Bước 2: Đánh giá tính tối ưu của x* Tính f(x*) và kết luận: Nếu f(x*) = f0 thì x* là phương án tối ưu của (P), nếu f(x*) khác f0 thì x* không phải là phương án tối ưu của (P) Xét tính tối ưu của một phương án Cho bài toán QHTT sau:... vị tương ứng với một ẩn giả có hệ số 1 nằm cùng dòng - Hệ số của số giả là +M(-M) trong BT cực đại (cực tiểu) Các loại bài toán và phương pháp giải Lập bài toán mở rộng BÀI TẬP ỨNG DỤNG 1 Các bài toán QHTT sau có dạng chuẩn chưa? Nếu chưa có dạng chuẩn thì lập bài toán mở rộng của bài toán đó a) f ( x ) = x1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 → min x1 − 2x 2 + 3x 3 = 17 2x1 + x 2 + 5x 3 = 16 x1 + 2x 2 + x 3 + x 4... hình thứ hai 4 Xác định và dánh giá PACB thứ hai TRƯỜNG HỢP 2: bài toán cực tiểu Cách giải tương tư BT cực đại Phương pháp đơn hình Các loại bài toán và phương pháp giải BÀI TẬP ỨNG DỤNG Giải bài toán QHTT sau Phương án tối ưu tìm được (nếu có) có duy nhất hay không? Tìm một phương án tối ưu khác (nếu có) f(x) = 2x1 - 5x 2 + 4 x 3 - x 4 - 6x 5 → max x1 + 6x 2 − 2 x 4 − 9 x 5 = 32 2 x 2 + x 3 + x 4 +... bằng ẩn xj’ = -xj để ẩn trong BT là xj’>= 0 2 Nếu xj có dấu tùy ý: thay ẩn xj = xj’ – xj’’ với xj’, xj’’>= 0 Biến đổi bài toán về dạng chính tắc Các loại bài toán và phương pháp giải * Chú ý: • Bài toán QHTT đã được thêm các ẩn phụ hoặc đổi ẩn để có dạng chính tắc là BT phụ của BT đã cho (BT gốc) • Nếu BT phụ không có PATU thì BT gốc cũng không có PATU • Nếu BT phụ có PATU thì BT gốc cũng có PATU, PATU... PA x* có là PATU của bài toán không c) Chứng tỏ rằng vectơ x1 = (8, 8, 2, 2) là một PA nhưng không phải là PATU của bài toán Giải bài toán chứa tham số Các loại bài toán và phương pháp giải Bài toán QHTT mà các hệ số của ẩn có chứa tham số Cách giải: - Coi tham số là một số không đổi - Lập bảng đơn hình và giải như bình thường - Tìm khoảng biến thiên của giá trị tham số để PA đang xét là PATU hay... được - Tìm được giá trị của tham số để BT có PATU và lời giải tương ứng của BT Giải bài toán chứa tham số Các loại bài toán và phương pháp giải Giải và biện luận theo tham số t thuộc [-3; 2] bài toán QHTT sau: f ( x ) = (1 − t ) x1 + (2 − t ) x 2 → min x1 − 2x 2 ≤ 0 2x1 + 3x 2 ≤ 5 - x1 + 2x 2 ≤ 5 x j ≥ 0; j = 1, 2  Lập bài toán đối ngẫu  Xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu  Giải bài toán đối ngẫu . bài toán QHTT có PATU thì nó phải có PACB tối ưu. - Nếu bài toán QHTT có hơn một PATU thì sẽ có vô số PATU. )x, ,x,(xx 0 n 0 2 0 1 0 = )x(f 0 *. Bài toán giải được: - Một bài toán QHTT có ít. toán QHTT không có PA hay có PA nhưng hàm mục tiêu không bị chặn trên (BT cực đại) hay không bị chặn dưới (BT cực tiểu) trên tập PA được gọi là bài toán không giải được. Giải một bài toán QHTT. tính Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính 2. Bài toán QHTT dạng chính tắc: một bài toán QHTT được gọi là dạng chính tắc có dạng sau: n , 3, 2, 1,j ; 0 x b xa xaxa .