http://toancapba.com,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí  toancapba@gmail.com 1  PHƯƠNGTRÌNHMẶTCẦUTRONGKHÔNGGIAN 1)Phươngtrìnhmặtcầu:  *ChomặtcầuS(I,R)có tâm ( ) ; ;I a b c vàbán kính R:Ptmặtcầu là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b z c R - + - + - = *Dạngkhaitriển : 2 2 2 0x y z ax by cz d + + + + + + = làptmặtcầukhivàchỉ khi 2 2 2 4 0a b c d + + - f Khi đótaviếtpttrênvềdạng 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 a b c a b c d x y z + + - æ ö æ ö æ ö + + + + + = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Suyratâmmặtcầulà: 2 2 2 1 ; ; , 4 2 2 2 2 a b c I R a b c d æ ö - - - = + + - ç ÷ è ø  Vídụ1: Viếtptmặtcầu trongcác trườnghợpsau“ a)đườngkínhABvới ( ) ( ) 1;1;1 , 3; 1;1A B - b)điqua3điểm ( ) ( ) ( ) 0;0;1 , 1;0;0 , 0;1;0A B C vàgốc tọađộ c)điqua3điểm A,B,Cởtrênvàcótâmthuộcmặtphẳng 3 0x y z + + - =  Giải: a)Tâmlàtrungđiểm củaABlà: ( ) 2;0;1I ,bán kính 1 2 2 R AB = = Vậy ptmclà: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2x y z - + + - = b)Gọi ptmclà: 2 2 2 0x y z ax by cz d + + + + + + = Mặtcầuđiqua4điểm trênnênlầnlượtthaytọa độ4điểm đóvàopttacóhệ: 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 c d a a d b b d c d d + + = = - ì ì ï ï + + = = - ï ï Û í í + + = = - ï ï ï ï = = î î .Vậy ptmclà: 2 2 2 0x y z x y z + + - - - = d)Gọi tâmmặtcầulà ( ) ; ;I a b c vàbán kính R ,Tacó: ( ) IA R IB R IC R I a = ì ï = ï í = ï ï Î î ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 0 a b c R a b a b c R c a b c R R a b c ì + + - = = ì ï ï = ï - + + = ï ï Û Û í í = ï ï + - + = ï ï = î + + - = ï î  Vídụ2: Viếtptmcđiqua3điểm ( ) ( ) ( ) 0;0;1 , 1;0;0 , 0;1;0A B C vàcóbán kínhnhỏnhất.  Giải: Gọi tâmmặtcầulà ( ) ; ;I a b c vàbán kính R ,Tacó: IA IB IA IC = ì í = î ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c a b c a c b a b c a b c ì + + - = - + + ï Û Û = = í + + - = + + - ï î Talại có: ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 1 3 3 3 3 R IA a b c a a a æ ö = = + + - = - + = - + ³ ç ÷ è ø Bán kính nhỏnhấtkhivàchỉ khi 1 2 , 3 3 a b c R = = = = PTmclà: 2 2 2 1 1 1 2 3 3 3 3 x y z æ ö æ ö æ ö - + - + - = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø http://toancapba.com,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ toancapba@gmail.com 2 2)Mtphng tipxỳcvimtcu: Chomtcu ( ) ,S I R vmtphng ( ) a . Mtphng ( ) a tipxỳcmtcu ( ) ,S I R ( ) ( ) ,d I R a = Vớd3: Vitptmccútõmthuc trcOx,v tipxỳcvi haimpsau: ( ) ( ) : 2 2 1 0, : 2 2 6 0x y z x y z a b + - + = + + - = Gii: Tõm ( ) 00I Ox I a ẻ ị Tacú: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 , 3 6 , 3 a R d I R a d I R R a b ỡ + = ù ỡ = ù ù ị ớ ớ - = ù ù ợ = ù ợ Suyra: 2 2 1 6 5 3 a a a a = - ộ ờ + = - ờ = ở Vi 13 2 3 a R = - ị = :ptmcl: ( ) 2 2 2 169 2 9 x y z + + + = Vi 5 13 3 9 a R = ị = :ptmcl: 2 2 2 5 169 3 81 x y z ổ ử - + + = ỗ ữ ố ứ Vớd4: Chomtcucúpt: ( ) 2 2 2 9 9 9 126 272 0x y z x S + + + + = .Vitptmtphngtipxỳcmtcutrờn viquacỏcim ( ) ( ) 211 , 030A B Gii: Mtcu cú tõm ( ) 13 700 , 3 I R - = Giptmtphngl: ( ) ( ) 2 2 2 : 0 0ax by cz d a b c a + + + = + + ạ ,Tacú: ( ) ( ) ( ) ( ) ,d I R A B a a a ỡ = ù ù ẻ ớ ù ẻ ù ợ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 7 13 1 3 2 0 2 3 0 3 a d a b c a b c d b d ỡ - + = ù + + ù ù + + + = ớ ù + = ù ù ợ *Nu 0b = :t (3)tacúd=0,v t(2)tacú 2c a = - thayttcvo(1)tacú: 2 7 13 7 13 3 3 5 5 a a - = = ,dooúptvụnghim *Nu 0b ạ :chn 1b = T(3)tacú 3d = - vt (2)tacú: 2 2c a = - .Thayvopt(1)tacú: ( ) 2 2 7 3 13 3 1 2 2 a a a - - = + + - Gii ptny bngcỏch bỡnhphnghaiv: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 7 3 169 1 2 2a a a + = + + - ,tatỡmca,t útớnh cc. Mtỏpsl: 2 2 6 0x y z + + - = http://toancapba.com,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí  toancapba@gmail.com 3  Vídụ5: Viếtptmặtphẳngtiếpxúcvới mặtcầu ( ) 2 2 2 : 4 2 0S x y z x + + - + = ,điquađiểm ( ) 1;0;1A ,và tạo vớimặtphẳng ( ) xOy mộtgóc 0 45  Giải: Mặtcầu đãchocó tâm ( ) 2;0;0 , 2I R = Gọi ptmặtphẳnglà: ( ) 2 2 2 0 0ax by cz d a b c + + + = + + ¹ Tacó: ( ) ( ) ( ) 0 , . 2 cos 45 2 . d I R A n k n k a a a a ì ï ï = ï ï Î í ï ï = = ï ï î uur r uur r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 0 1 1 2 2 c a d a d a b c a c d a c d c c a b c a b c ì ì + = = ï ï + + + ï ï ï ï Û + + = Û + + = í í ï ï ï ï = = ï ï + + + + î î *Nếuc=0thìtừPT(1)tathấyhệvônghiệm *Nếu 0 :c ¹ chọn 1c = .Từpt(2)tacó 1d a = - - thayvào(1)tacó 3 1 1 1 2 12 1 2 a a aa a = é = Û - = Û ê = - - - ë Với 3 4a d = Þ = - thayvào(3): 2 1 1 2 9 1 vn b = Þ + + Với 1 0a d = - Þ = thayvào(2)tacó 0b = Vậy mặtphẳngcần tìm cópt: 0x z - + =  Vídụ6: Cho ( ) ( ) 1;1;1 , 1;3; 1A B - .Viếtptmặtcầucótâmthuộcmặtphẳng ( ) xOy ,điquaBvàtiếpxúcvới đườngthẳng OA tạiA  Hướngdẫn: GọimặtcầuScótâm ( ) ; ;0I a b ,bánkínhR. Tacócácđiềukiện: . 0 IB R IA R IAOA ì = ï = í ï = î uur uuur ,giảirađược 1, 2, 2a b R = = =  Vídụ7: Viếtptmặtcầutiếpxúchaimặtphẳng ( ) ( ) : 2 2 1 0, : 2 2 5 0a y z x y z a b + + + = + + - = vàđiquahai điểm ( ) ( ) 2;0;0 , 1;0;1A B  Hướngdẫn: Nhậnxéthaimptrênsongsongvớinhau.,dođóbánkínhmặtcầu ( ) ( ) ( ) 1 , 2 R d a b = Lâyđiểm ( ) ( ) 0;0; 1M a - Î , thì ( ) ( ) 1 5 1 1 , 1 2 2 3 R d M b - - = = = GọimặtcầuScótâm ( ) ; ;0I a b ,bánkínhR,tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) , , d I R d I R IA R IB R a b ì = ï = ï í = ï ï = î giảihệnàyrađượca,b,c  Vídụ8: ViếtptmặtcầucótâmthuộctrụcOzvàtiếpxúchai đườngthẳng 1 : 1 , 1 2 , 2x t y t z t D = + = + = , 2 : 3 2 , 2 , 2 2x t y t z t D = + = + = +  Hướngdẫn: Nhận thấy ( ) 1 2 1;1;0I D Ç D = ( ) a  làmặtphẳngchứađườngphângiáccủagóc tạobởi hai đườngthẳngtrênvàvuônggócvới mpchứahai đtđó.TâmIcủamặtcầulàgiaođiểm củatrụcOzvới ( ) a http://toancapba.com,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ toancapba@gmail.com 4 Cỏchkhỏc: Gi mtcuScútõm ( ) 00I a ,bỏn kớnh R.Vhaitipim cahai ngthngvi mtcu ( ) ( ) 1 ,1 2 ,2 , 3 2 , 2 , 2 2M m m m N n n n + + + + + . Tacú: ( ) 1 2 . 0 . 0 IM IN R IM u IN u D D ỡ = = ù ù = ớ ù = ù ợ uuur uur uur uuur giihbapt3nnytỡm ca,R,m,n. *Hocgi ta tõm ( ) 00I a ,khi útacú: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , u IM u IN d I d I R u u ộ ự ộ ự ở ỷ ở ỷ D = D = = ur uuur uur uur ur uur ,trongú ( ) ( ) 110 , 322M N Vớd9: Chobaim ( ) ( ) ( ) 100 , 010 , 001A B C .Vitptmtcucúbỏn kớnh nhnhtmtipxỳcvi ngthngACvOB Hngdn: GiIltõmmtcu,M,Nlnltltipim camtcuv tiptuyn.Tacú: 2 2 MN R IM IN MN R = + ị Vy RnhnhtkhiMNnhnhtvIthucon MN,hayMNlonvuụnggúcchungvIltrungim caMN. úlmtcucúngkớnh MNlon vuụnggúcchungcahai ngthngACvOB 3)Mtphngctmtcu: Chomtcu StõmI,bỏn kớnh Rvmtphng ( ) a Nu ( ) ( ) ,h d I R a = p thỡ mtphngctmtcu theogiaotuynlmtngtrũn xỏcinhnhsau: TõmHlhỡnh chiuvuụnggúcca tõmItrờnmp ( ) a Bỏn kớnh tớnh theocụngthc 2 2 r R h = - ngtrũn lnnhtkhivch khih=0haymp ( ) a iquatõmmtcu. Vớd10: Chomtphng ( ) : 2 2 3 0x y z a + - - = .Vitptmtcu: a)Cú tõml ( ) 112I vctmtphng ( ) a theongtrũn cúdin tớchbng 35 9 p b)Cútõmthuc trc Ox,tipxỳcmtphng ( ) yoz vctmtphng ( ) a theongtrũn cúbỏn kớnhln nht. Gii: KhongcỏchttõmInmtphng ( ) a l: ( ) 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 2 1 h + - - = = + + - ,t cụngthcdin tớch ng trũn 2 35 3 S S r r p p = ị = = .M 2 2 2 1 35 4 2 9 9 R h r R = + = + = ị = Vy ptmccn tỡm l: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 4x y z - + - + - = b)Mtcuctmp ( ) a theomtng trũn ln nhtkhitõmIthucmp ( ) a .Theogithitnúcũn thuc Ox,nờntacúngaytõml 3 00 2 I ổ ử ỗ ữ ố ứ Tipxỳcmt ( ) yOz nờncúbỏn kớnh 3 2 I R x = = Vy ptmcl: 2 2 2 3 9 2 4 x y z ổ ử - + + = ỗ ữ ố ứ Vớd11: Chomtcucúphngtrỡnh : ( ) ( ) 2 2 2 1 2 9x y z - + + - = vhai im ( ) 103A , ( ) 20 2B http://toancapba.com,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí  toancapba@gmail.com 5 ViếtptmpquaA,Bsaochonócắtmặtcầutheomộtđườngtròn có a)Bán kínhlớnnhất b)Bán kínhnhỏnhất  Giải: a)Mặtphẳngcầntìm điquaA,Bvàtâmmặtcầu.Bạn tự giải b)Gọiptmplà ( ) ( ) 2 2 2 : 0 0ax by cz d a b c a + + + = + + ¹ VìmặtphẳngđiquaA,Bnêntacó: 3 0 2 2 0 4 a c d a c a c d d c + + = = ì ì Þ í í + + = = - î î Mặtphẳngcắtmặtcầu theomộtđườngtròn cóbánkínhnhỏnhấtkhivàchỉ khikhoảngcách từ tâmIcủa mặtcầuđếnmplớn nhất. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , 2 a c d c h d I a b c c b a + + - = = = + + + Nếuc=0thì h=0 Nếu 0c ¹ chọn 1c = :khi đó 2 1 2 h b = + lớnnhấtkhib=0 Khi đóptmpcần tìm là: 4 0x z + - =  Vídụ12: Viếtptđườngtròn điqua3điểm ( ) ( ) ( ) 1;1;0 , 0; 2;0 , 1;1;1A B C  Hướngdẫn: Viếtptmặtphẳng ( ) ( ) ABC a = Lấy 1điểm ( ) D a Ï (nênthửgốc tọa độO),viếtptmặtcầuđiqua4điểmA,B,C,D Đườngtròn cần tìmlàgiaocủamặtphẳngvàmặtcầutrên  Vídụ13: Chomặtcầu ( ) 2 2 2 : 2 2 2 0S x y z x z + + - + - = vàmặtphẳng ( ) : 2 2 6 0x y z a - + + = .Tìm điểm Mthuộcmặtcầu ( ) S saochokhoảngcách từMđến mặtphẳng ( ) a  nhỏnhất,lớn nhất Hướngdẫn :Mặtphẳngkhôngcắtmặtcầu. Giảsửđườngthẳngquatâmmặtcầuvuônggócvới mpcắtmặtcầu tại hai điểm A,B.Đólàhai điểmcần tìm  Vídụ14: Chomặtcầu: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 2 2 9S x y x + - + + = vàhai điểm thuộcmặtcầu ( ) ( ) 3;2; 2 , 0;2;1A B - . Tìm điểm Cthuộcmặtcầu ( ) S saochodiện tích ABC D lớnnhất.  Hướngdẫn: Tacó thểdễdàngchứngminhrằngđólà1tronghaigiaođiểm củađườngthẳngđiquatâm mặtcầuvàtrungđiểm củaAB.  Vídụ15: Chomặtcầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 28 : 1 1 3 S x y z - + - + = vàmặtphẳng ( ) : 2 2 6 0x y z a - + + = Viếtptmpnằmtrongmp ( ) a  , điquađiểm ( ) 2;2; 6A - vàtiếpxúcvớimặtcầu ( ) S  Hướngdẫn: đápsố : 1 3 , 1 , 2 4x t y t z t D = - + = + = - - . http://toancapba.com,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí  toancapba@gmail.com 1  PHƯƠNGTRÌNHMẶTCẦU TRONG KHÔNG GIAN 1) Phương trình mặt cầu :  *Cho mặt cầu S(I,R)có tâm ( ) ; ;I a b c vàbán kính R:Pt mặt cầu là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x. nhất Hướngdẫn : Mặt phẳng không cắt mặt cầu.  Giảsửđườngthẳngquatâm mặt cầu vuônggócvới mpcắt mặt cầu tại hai điểm A,B.Đólàhai điểmcần tìm  Vídụ14: Cho mặt cầu : ( ) ( ) ( ) 2. C  Hướngdẫn: Viếtpt mặt phẳng ( ) ( ) ABC a = Lấy 1điểm ( ) D a Ï (nênthửgốc tọa độO),viếtpt mặt cầu điqua4điểmA,B,C,D Đườngtròn cần tìmlàgiaocủa mặt phẳngvà mặt cầu trên  Vídụ13: Cho mặt cầu