Ôn thi Đại học www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Trang 6- www.MATHVN.com Đề số 6 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số 3 3 (1 ) y x x= − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại N và P vuông góc với nhau. Câu 2 (2 điểm): 1) Giải phương trình: 2 1 1 1 5 .3 7 .3 1 6 .3 9 0 x x x x− − + − + − + = (1) 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: x x x x a x x m b 2 3 3 3 2 2 ( 2 5) log ( 1) log ( 1) log 4 ( ) log ( 2 5) log 2 5 ( ) − +  + − − >   − + − =   (2) Câu 3 (1 điểm): Giải hệ phương trình: x z z a y x x b z y y c 3 2 3 2 3 2 9 27( 1) ( ) 9 27( 1) ( ) 9 27( 1) ( )  = − −   = − −  = − −  (3) Câu 4 (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2 a . Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho 3 a AK = . Hãy tính kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng MN và SK theo a. Câu 5 (1 đ i ể m) Cho các s ố a, b, c > 0 tho ả mãn: a + b + c =1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c: a b c T a b c 1 1 1 = + + − − − . II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu 6a (2 đ i ể m) 1) Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ độ Oxy, cho đ i ể m A(0; 2) và đườ ng th ẳ ng d: x – 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai đ i ể m B, C sao cho tam giác ABC vuông t ạ i B và AB = 2BC. 2) Trong không gian v ớ i h ệ tr ụ c Oxyz, cho m ặ t c ầ u (S) có ph ươ ng trình: x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và m ặ t ph ẳ ng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (Q) ch ứ a tr ụ c Ox và c ắ t m ặ t c ầ u (S) theo m ộ t đườ ng tròn có bán kính b ằ ng 3. Câu 7a (1 đ i ể m) Tìm các s ố th ự c a, b, c để có: z i z i z i z ai z bz c 3 2 2 2(1 ) 4(1 ) 8 ( )( ) − + + + − = − + + T ừ đ ó gi ả i ph ươ ng trình: z i z i z i 3 2 2(1 ) 4(1 ) 8 0 − + + + − = trên t ậ p s ố ph ứ c. Tìm mô đ un c ủ a các nghi ệ m đ ó. B. Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2 đ i ể m) 1) Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ độ Oxy, cho đườ ng tròn (C): x 2 + y 2 – 6x + 5 = 0. Tìm đ i ể m M thu ộ c tr ụ c tung sao cho qua M k ẻ đượ c hai ti ế p tuy ế n c ủ a (C) mà góc gi ữ a hai ti ế p tuy ế n đ ó b ằ ng 60 0 . 2) Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, cho hai đườ ng th ẳ ng: (d 1 ) : { x t y t z 2 ; ; 4 = = = ; (d 2 ) : { 3 ; ; 0 = − = = x t y t z Ch ứ ng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u (S) có đườ ng kính là đ o ạ n vuông góc chung c ủ a (d 1 ) và (d 2 ). Câu 7b (1 đ i ể m) Cho s ố th ự c b ≥ ln2. Tính J = − ∫ x ln10 b 3 x e dx e 2 và tìm → b ln2 lim J. Hướng dẫn Đề sô 6 Câu I: 2) M(–1;2). (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  9 ; 0 4    m m Tiếp tuyến tại N, P vuông góc  '( ). '( ) 1 N P y x y x    3 2 2 3   m . Câu II: 1) Đặt 3 0 x t   . (1)  2 5 7 3 3 1 0     t t t  3 3 3 log ; log 5 5   x x 2) 2 3 3 3 2 2 ( 2 5) log ( 1) log ( 1) log 4 ( ) log ( 2 5) log 2 5 ( )                x x x x a x x m b  Giải (a)  1 < x < 3.  Xét (b): Đặt 2 2 log ( 2 5)    t x x . Từ x  (1; 3)  t  (2; 3). (b)  2 5   t t m . Xét hàm 2 ( ) 5   f t t t , từ BBT  25 ; 6 4          m Câu III: Cộng (a), (b), (c) ta được: 3 3 3 ( 3) ( 3) ( 3) 0 ( )       x y z d  Nếu x>3 thì từ (b) có: 3 9 ( 3) 27 27 3 y x x y       từ (c) lại có: 3 9 ( 3) 27 27 3 z y y z       => (d) không thoả mãn  Tương tự, nếu x<3 thì từ (a)  0 < z <3 => 0 < y <3 => (d) không thoả mãn  Nếu x=3 thì từ (b) => y=3; thay vào (c) => z=3. Vậy: x =y = z =3 Câu IV: I là trung điểm AD, ( ) ( ;( )) HL SI HL SAD HL d H SAD      MN // AD  MN // (SAD), SK  (SAD)  d(MN, SK) = d(MN, (SAD)) = d(H, (SAD)) = HL = 21 7 a . Câu V: 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1             a b c T a b c =   1 1 1 1 1 1 1 1 1                  a b c a b c Ta có: 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1            a b c a b c ; 0 1 1 1 6       a b c (Bunhia)  9 6 6 2 6   T . Dấu "=" xảy ra  a = b = c = 1 3 . minT = 6 2 . Câu VI.a: 1) 2 6 ; 5 5       B ; 1 2 4 7 (0;1); ; 5 5       C C 2) (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (Q) chứa Ox  (Q): ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (Q) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0  b = –2a (a  0)  (Q): y – 2z = 0. Câu VII.a: Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4 Phương trình  2 ( 2 )( 2 4) 0     z i z z  2 ; 1 3 ; 1 3      z i z i z i  2  z . Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m)  Oy Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB  · · 0 0 60 (1) 120 (2)       AMB AMB Vì MI là phân giác của · AMB nên: (1)  · AMI = 30 0 0 sin30   IA MI  MI = 2R  2 9 4 7     m m (2)  · AMI = 60 0 0 sin60   IA MI  MI = 2 3 3 R  2 4 3 9 3  m Vô nghiệm Vậy có hai điểm M 1 (0; 7 ) và M 2 (0; 7  ) 2) Gọi MN là đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 )  (2; 1; 4); (2; 1; 0) M N  Phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 2) 4.       x y z Câu VII.b: Đặt 2   x u e  b J e 2 3 3 4 ( 2) 2            . Suy ra: ln 2 3 lim .4 6 2    b J . Ôn thi Đại học www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Trang 6- www.MATHVN.com Đề số 6 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ,0 điểm) Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số 3 3 (1 ) y x x= − . (2 ) Câu 3 (1 điểm): Giải hệ phương trình: x z z a y x x b z y y c 3 2 3 2 3 2 9 2 7( 1) ( ) 9 2 7( 1) ( ) 9 2 7( 1) ( )  = − −   = − −  = − −  (3 ) Câu 4 (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có. − + = (1 ) 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: x x x x a x x m b 2 3 3 3 2 2 ( 2 5) log ( 1) log ( 1) log 4 ( ) log ( 2 5) log 2 5 ( ) −