Đề Thi Thử Đại Học Năm 2011 Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm ) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 2 32    x x y 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình        24 cos2sin 2 cossin 2 sin1 22 x x x x x  2. Giải bất phương trình        xxxxx 2 1 log)2(22)144(log 2 1 2 2 Câu III (1 điểm) Tính tích phân             e dxxx xx x I 1 2 ln3 ln1 ln Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = 2 a . 3aSA  ,   0 30  SAB SAC . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 333 3 1 3 1 3 1 accbba P       Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc phần 2 Phần 1:(Theo chương trình Chuẩn) Câu VIa (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng 052: 1  yxd . d 2 : 3x +6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d 1 , d 2 . 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: 02     zyx . Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S). Câu VIIa (1 điểm) Tìm số nguyên dương n biết: 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200                  k k k n n n n n n C C k k C n n C Phần 2: (Theo chương trình Nâng cao) Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: 1 916 22  yx . Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho   052:  zyxP và đường thẳng 31 2 3 :)(   zy x d , điểm A( -2; 3; 4). Gọi  là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên  điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ phương trình         113 2.322 2 3213 xxyx xyyx Hết Chú ý: Thí sinh dự thi khối B và D không phải làm câu V Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh Dáp án Câu Nội dung Điểm I. 1 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 1,00 1) Hàm số có TXĐ:   2\R 0,25 2) Sự biến thiên của hàm số: a) Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: *    ylim;ylim 2x2x Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số * lim lim 2      x x y y đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 0,25 b) Bảng biến thiên: Ta có:   2x,0 2x 1 'y 2    Bảng biến thiên: x -  2 +  y’ - - y 2 - +  2 * Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng   2; và   ;2 0,25 3) Đồ thị: + Đồ thị cắt trục tung tại       2 3 ;0 và cắt trục hoành tại điểm       0; 2 3 + Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 0,25 O y x 2 3/2 3/2 2 I. 2 Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ nhất 1,00 Ta có: 2x, 2x 3x2 ;xM 0 0 0 0            ,   2 0 0 2x 1 )x('y    Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:   2x 3x2 )xx( 2x 1 y: 0 0 0 2 0       0,25 Toạ độ giao điểm A, B của    và hai tiệm cận là:   2;2x2B; 2x 2x2 ;2A 0 0 0            Ta thấy M0 0BA xx 2 2x22 2 xx      , M 0 0BA y 2x 3x2 2 yy      suy ra M là trung điểm của AB. 0,25 Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích S =                              2 )2x( 1 )2x(2 2x 3x2 )2x(IM 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0,25 Dấu “=” xảy ra khi         3x 1x )2x( 1 )2x( 0 0 2 0 2 0 Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) 0,25 II. 1 Giải phương trình lượng giác 1 điểm )1( 24 cos2sin 2 cossin 2 sin1 22        x x x x x    xsin1x 2 cos1xsin 2 x cosxsin 2 x sin11 2           0,25 01 2 x cos 2 x sin2. 2 x cos 2 x sinxsin01xsin 2 x cos 2 x sinxsin                0,25 01 2 x sin2 2 x sin21 2 x sinxsin 2                0,25 2 sin x 0 x k x k x sin 1 x k ,k x 2 x k4 k2 2 2 x x 2sin 2sin 1 2 2                                       Z 0,25 II. 2 Giải bất phương trình 1 điểm ĐK:   * 2 1 x 2 1 x 2 1 x 0)1x2( 2 1 x 01x4x4 0x 2 1 22                           0,25 Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với:   1)x21(log)2x(2x2)x21(log2 22    01)x21(logx 2  0,25                                                              0x 4 1 x 1)x21(2 0x 1)x21(2 0x 0)x21(2log 0x 0)x21(2log 0x 01)x21(log 0x 01)x21(log 0x 2 2 2 2 0,25 Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 2 1 x 4 1  hoặc x < 0. 0,25 III Tính tích phân 1 điểm     e 1 2 e 1 xdxlnx3dx xln1x xln I +) Tính    e dx xx x I 1 1 ln1 ln . Đặt dx x 1 tdt2;xln1txln1t 2  Đổi cận: 2tex;1t1x  0,25       3 222 t 3 t 2dt1t2tdt2. t 1t I 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1               0,25 +) Tính dxxlnxI e 1 2 2   . Đặt                3 x v x dx du dxxdv xlnu 32 0,25 e 3 3 3 3 3 3 e 2 e 2 1 1 1 x 1 e 1 x e e 1 2e 1 I .ln x x dx . 3 3 3 3 3 3 9 9 9           0,25  21 I3II 3 e2225 3  0,25 IV Tính thể tích hình chóp 1 điểm Theo định lí côsin ta có:  2 2 2 2 2 0 2 SB SA AB 2SA.AB.cosSAB 3a a 2.a 3.a.cos30 a        Suy ra a SB  . Tương tự ta cũng có SC = a. 0,25 Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB  SA, MC  SA. Suy ra SA  (MBC). Ta có MBCMBCMBCMBC.AMBC.SABC.S S.SA 3 1 S.SA 3 1 S.MA 3 1 VVV  0,25 Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN  BC. Tương tự ta cũng có MN  SA. 16 a3 2 3a 4 a aAMBNABAMANMN 2 2 2 2222222                  4 3a MN  . 0,25 Do đó 16 a 2 a . 4 3a .3a 6 1 BC.MN 2 1 .SA 3 1 V 3 ABC.S  0,25 V Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 điểm S A B C M N áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có zyx 9 z 1 y 1 x 1 9 xyz 3 xyz3 z 1 y 1 x 1 )zyx( 3 3            (*) áp dụng (*) ta có 333333 a3cc3bb3a 9 a3c 1 c3b 1 b3a 1 P         0,25 áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có             3 3 3 a 3b 1 1 1 a 3b 1.1 a 3b 2 3 3 b 3c 1 1 1 b 3c 1.1 b 3c 2 3 3 c 3a 1 1 1 c 3a 1.1 c 3a 2 3 3                         0,25 Suy ra   3 3 3 1 a 3b b 3c c 3a 4 a b c 6 3              1 3 4. 6 3 3 4          Do đó 3 P  0,25 Dấu = xảy ra 3 a b c 1 a b c 4 4 a 3b b 3c c 3a 1                    Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 4/1cba    0,25 VIa.1 Lập phương trình đường thẳng 1 điểm Cách 1: d 1 có vectơ chỉ phương )1;2(a 1  ; d 2 có vectơ chỉ phương )6;3(a 2 Ta có: 06.13.2a.a 21  nên 21 dd  và d 1 cắt d 2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình: 0BA2ByAx0)1y(B)2x(A:d          0,25 d cắt d 1 , d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với d 1 ( hoặc d 2 ) một góc 45 0 0,25          A3B B3A 0B3AB8A345cos )1(2BA BA2 220 2222 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng 05yx3:d    0,25 * Nếu B = -3A ta có đường thẳng 05y3x:d    Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. 05yx3:d    05y3x:d    0,25 Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của d 1 , d 2 của tam giác đã cho. Các đường phân giác của góc tạo bởi d 1 , d 2 có phương trình            )( 08y3x9 )( 022y9x3 7y6x35yx23 63 7y6x3 )1(2 5yx2 2 1 2222 0,25 +) Nếu d //  1 thì d có phương trình 0cy9x3    . Do P  d nên 05y3x:d15c0c96           0,25 +) Nếu d //  2 thì d có phương trình 0cy3x9    . Do P  d nên 05yx3:d15c0c318           0,25 Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. 05yx3:d    05y3x:d    0,25 VIa. 2 Xác định tâm và bán kính của đường tròn 1 điểm Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) * Giả sử phương trình mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D là: 0,25 [...]... 0  t  1  I  1;0 ;4 * (d) có vectơ chỉ phương là a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến là n1;2;1    a, n   3;3;3 Gọi u là vectơ chỉ phương của   u 1;1;1 0,25 x  1  u  Vì M    M  1  u; u ;4  u  ,  AM1  u; u  3; u    : y  u z  4  u  0,25 AM ngắn nhất  AM    AM  u  AM.u  0  1(1  u )  1( u  3)  1.u  0 u VIIb 0,25  7 4 16 4 Vậy M ; ;   ...a x 2  y 2  z 2  2ax  2 by  2cz  d  0, 2  b2  c 2  d  0  5  2a  2 b  d  2  0 a   2 2a  6 b  4 c  d  14  0   Vì A', B, C, D  S  nên ta có hệ:   b  1  8a  6 b  4 c  d  29  0 c  1 8a  2 b  4c  d  21  0    d  1 0,25 Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x 2  y 2  z 2  5 x  2 y  2 z  1  0 5 29 (S) có tâm I ;1;1 , bán...  b2  52 M 4; 3  E   9a 2  16 b 2  a 2 b 2 0,25 1 2 a 2  52  b 2 a 2  40  2 2 2 2 2 9a  16b  a b b  15 0,25 Từ (1) và (2) ta có hệ:  Vậy phương trình chính tắc của (E) là: VIb x 2 y2  1 40 15 Tìm điểm M thuộc  để AM ngắn nhất 2 0,25 1 điểm  x  2t  3 Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:  y  t  1  z  t  3  0,25 Gọi I là giao điểm của (d) và (P)  I 2t... trình đã cho  2 n(2 n  1)  40 200  2n 2  n  20100  0  n  100 VIb.1 Viết phương trình chính tắc của E líp 0,25 0,25 1 điểm (H) có các tiêu điểm F1  5;0; F2 5;0 Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một 0,25 đỉnh là M( 4; 3), Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: x 2 y2   1 ( với a > b) a 2 b2 (E) cũng có hai tiêu điểm F1  5;0; F2 5;0  a 2  b2  52 M 4; 3  E   9a 2  16 b 2... z  1  t  5 2 5 2 Do H  d   (P ) nên:  t  1  t  1  t  2  0  3t    t   5 6 5 1 1  H ; ;  3 6 6 IH  VII 75 5 3 29 75 31 186  , (C) có bán kính r  R 2  IH2     4 36 6 6 36 6 Tìm số nguyên dương n biết 0,25 1 a điểm k * Xét (1  x)2 n 1  C 0 n 1  C1 n 1x  C 2 n 1x2   (1)k C 2 n 1x k   C 2 n 1x2 n 1 (1) 2 2 2 2 n 1 * Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta có:... 2  2 y  2  3.2 y  8  2 y  12.2 y  2 y  0,25 8 8  y  log 2 11 11  x  1 thay y = 1 – 3x vào (1) ta được: 2 3 x 1  2 3 x 1  3.2  y  1  3x * Với  Đặt t  2 3 x 1 Vì x  1 nên t  1 4 0,25     1  t  3  8 lo¹ i  x  log 2 3  8  1 1 2 3 (3)  t   6  t  6 t  1  0    t t  3  8 y  2  log (3  8 )   2     1  x  0  x  log 2 3  8  1 3 Vậy hệ phương . Đề Thi Thử Đại Học Năm 2011 Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm ) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 2 32    x x y 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Cho. danh Dáp án Câu Nội dung Điểm I. 1 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 1,00 1) Hàm số có TXĐ:   2R 0,25 2) Sự biến thi n của hàm số: a) Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: *. ra   3 3 3 1 a 3b b 3c c 3a 4 a b c 6 3              1 3 4. 6 3 3 4          Do đó 3 P  0,25 Dấu = xảy ra 3 a b c 1 a b c 4 4 a 3b b 3c c 3a 1       