Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 6 mỗi vòng và ghi một bản sao đẳng cấu (ngẫu nhiên ) của G 1 lên băng liên lạc. Xác suất để Peggy giả định đúng các yêu cầu của Vic là 2 n . ?????????????????????????????? Tất cả các tính toán của Vic có thể thực hiện đợc trong thời gian đa thức (nh một hàm của n là số các đỉnh trong G 1 và G 2 ). Mặc dù không cần thiết lắm nhng ta cũng thấy rằng các tính toán của Peggy cũng có thể đợc thực hiện trong thời gian đa thức miễn là cô ta biết đợc sự tồn tạI của phép hoán vị là G 1 . Tại sao ta lại coi hệ thống chứng minh là hệ thông chứng minh không tiết lộ thông tin. Lý do là ở chỗ mặc dù Vic đã bị thuyết phục rằng G 1 là đẳng cấu với G 2 nhng anh ta vẫn không thu thêm đợc tý kiến thức nào để giúp tìm đợc phép hoán vị đa G 2 về G 1 . Tất cả những đIều mà Vic thấy trong mỗi vòng của phép chứng minh là một bản sao ngẫu nhiên của các độ thị này mà không cần tới sự giúp đỡ của Peggy. Vì các đồ thị H đợc chọn một cách độc lập và ngẫy nhiên ở mỗi phần của phép chứng minh nên đIều này không giúp đỡ đợc gì vho Vic trong việc tìm một phép dẳng cấu từ G 1 sang G 2 . Ta hãy xem xét kĩ lỡng thông tin mà Vic thu đợc nhờ tham gia vào hệ thông chứng minh tơng hỗ. Có thể biểu thị cách nhình của Vic về phép chứng minh tơng bằng một bản sao chứa các thông tin sau: ____ 1.Các đồ thị G 1 và G 2 2. Tất cả các thông báo đợc Peggy và Vic gửi đi. 3. Các số ngẫu nhiên mà Vic dùng để tào các yêu cầu của mình. Bởi vậy một bản sao T đối với phép chứng minh tơng hỗ về phép đẳng cấu đồ thị sẽ có dạng sau: T = ((G 1 , G 2 ):(H 1 , i 1 , p 1 ): . . . (H n , i n , p n )) Điểm mấu chốt (tạo cơ sở cho định nghĩa hình thức về phép chứng minh không tiết lộ thông tin ) là Vic (hay vất kỳ ngời nào khác) có thể giả mạo Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 7 các bản sao (mà không cần phải tham gia vào hệ chứng minh tơng hỗ) giống nh các bản sao thực tế. Điều này có thể thực hiện đợc miễn là các đồ thị G 1 và G 2 là đẳng cấu. Việc giả mạo đợc thực hiện theo thuật toán mô tả trên hình 13.6. thuật toán giả mạo là một thuật toán xác suất theo thời gian đã thức. Theo nhôn ngữ của phép chứng minh không tiết lộ thông tin một thuật toán giả mạo thờng đợc gọi là một bộ mô phỏng. Sự kiện một bộ mô phỏng có thể giả mạo các bản sao có một hệ quả rất quan trọng. Bất kỳ kết quả nào mà Vic (hay bất kì ai khác ) có thể tính từ một bản sao cũng có thể tính đợc từ một bản sao giả mạo. Bởi vậy ,việc tham gia vào hệ thông chứng minh sẽ không làm tăng khả năng tính toán của Vic; đặc biệt là điều này không cho phép Vic tự chứng minh đợc rằng G 1 và G 2 là đẳng cấu. Hơn nữa, Vic cũng không thể thuyết phục đợc ai khác rằng G 1 và G 2 là đẳng cấu bằng cách chỉ cho họ bản soa T bởi vì không có cách nào để phân biệt một bản sao hợp lệ với một bản sao giả mạo. Ta sẽ chính xác hoá ý tởng về một bản sao giả mạo giống nh một bản sao thực và đa ra một định nghĩa chặt chẽ theo thuật ngữ về các phân bố xác suất. Định nghĩa 13.1 Giả sử ta có một chứng minh tơng hỗ thời gian đa thức cho bái toán quyết định và một bộ mô phỏng thời gian đa thức S. Kí hiệu tập tất cả các bản sao có thể cho kết quả có x là F(x). Các bản sao giả mạo có thể đợc tạo bởi S là F(x). với bản sao bất kỳ T )(x ,cho bản sao giả mạo có thể đợc tạo bởi S là F(x). với bản sao bất kì T )(x cho p (T) là xác suất để T là một bản sao đợc tạo từ phép chứng minh tơng hỗ. Tơong tự, với T F(x), cho p (T) là xác suất để T là một bản sao (giả mạo) đợc tạo bởi S, Giả sử rằng )()( xFx = và với bất kỳ T )(x ta có p (T) = p F (T) (nói cách khác tập các bản sao thực đồng nhất với tập các bản sao giả mạo và hai phân bố xác suất là nh nhau). Khi đó ta định nghĩa hệ thống chứng minh tơng hỗ là hệ thông chứng minh không tiết lộ thiing tin hoàn thiện đối với Vic. Hình 13.6 thuật toán giả mạo cho các bản sao đối với phép đẳng cấu đồ thị Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 8 Dĩ nhiên là có thể định nghĩa đặc tính không tiết lộ thông tin theo kiểu mà ta thiéc. Tuy nhiên điều quan trọng là định nghĩa phải giữ nội dung cơ bản của đặc tính này. Ta đã coi rằng một hệ thống chứng minh tơng hỗ là hệ không tiết lộ thông tin cho Vic nếu tồn tại một hệ mô phỏng rạo ra các bản sao có phân bố xác suất đồng nhất với phân bố xác suất của các bản sao đợc tạo ra khi Vic tham gia thực sự vào giao thức. (đây là một khái niêm tơng đối nhng mạnh hơn khái niệm về các phân mốt xác suất không có khả năng phân biệt nêu trong chơng 12). Ta đã biết rằng một bản sao sẽ chứa tất cả các thông tin mà Vic thu lợm đợc nhờ tham gia vào giao thức. Bởi vậy, quả là hợp lý khi ta xem rằng bất cứ việc gì mà Vic có thể thực hiện đợc sau khi tham gia vào gia thức cũng chỉ nh việc mà anh ta có thể thực hiện đợc nếu sử dụng hệ mô phỏng để tào một bản sao giả mạo. Mặc dù ta không định nghĩa thông tin(hiểu biết )bằng cách tiếp cận này nhng bất cứ đIều gì đợc coi là thông tin thì Vic không thu lợm đợc tý nào! Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng hệ thống chứng minh tơng hỗ đối với tính đẳng cấu đồ thị là một hệ thống chứng minh không tiết lộ thông tin đối với Vic. Định lý 13.1 Hệ thông chứng minh tơng hỗ đối với tính đẳng cấu đồ thị là một hệ thống chứng minh không tiết lộ thông tin hoàn thiện đối với Vic. Chứng minh: Đầu vào : hai đồ thị G1 và G2 mỗi đồ thị có tập đỉnh {1 n} 1. T=(G 1 , G 2 ) 2. For j=1 to n do 3. Chọn ngẫu nhiên i j =1 hoặc 2; 4. Chọn p j là một hoán vị ngẫu nhiên của{1 n} 5. Tính H j là ảnh của G1 theo p j 6. Ghép (H j , i j , p j ) vào cuối của T Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 9 Giả sử G 1 và G 2 là các đồ thị đẳng cấu có n đỉnh. Một bản sao T (thực hoặc giả mạo) sẽ gồm n bộ dạng(H, i, )trong đó i=1 hoặc 2, p là một phép hoán vị của {1, ,n} và H là ảnh của G 1 theo hoán vị . Ta goim một bộ ba nh vậy là một bộ ba hợp lệ và ký hiệu nó là ????????????. Trớc tiên ta sẽ tính |??????| là số các bộ ba hợp lệ. Hiển nhiên là |????| = 2ìn! vì mỗi phép chọn i và p sẽ xác định một đồ thị duy nhất H. ở mỗi vòng cho trớc j bất kỳ của thuật toán giả mạo rõ ràng là mỗi bộ ba hợp lệ (H, i, )là bộ ba thứ j ở bản sao thực là gì? Trong hệ thống chứng minh tơng hỗ, trớc tiên Peggy dẽ chọn một phép hoán vị ngẫu nhiên sau đó tính H là ảnh của G 1 theo . Phéhoán vị p đợc xác định là nếu i = 1và nó đựoc xác định là hợp của hai phép hoán vị nếu i = 2. Giả sử giá trị vủa i đợc chọn ngẫu nhiên bởi Vic. Nếu i = 1 thì tất cả n! phép hoán vị là đồ các suất vì trong trờng hợp này = và đã đợc chọn là một phép hoán vị ngẫu nhiên. Mặt khác, nếu i = 2 thì = 0 ,trong đó là ngẫu nhiên và là cố định. Trong trờng hợp này mỗi phép hoán vị có thể đều có xác suất bằng nhau. Xét thấy, vì cả hai trờng hợp i = 1 và i = 2 đều vào xác suất bằng nhau và mỗi phép hoán vị đồng xác suất (không phụ thuộc vào giá trị của i) và bởi vì i và p cùng xác định H nên suy ra mọi bộ ba trong R chắc chắn sẽ đồng xác suất. Vì một bản sao gồm n bộ ngẫu nhiên độc lập ghép với nhau nên đối với mỗi bản sao có thể có T ta có: p (T)= p F (T)= n )!*2( 1 n Trong chứng minh trên đã giả thiết Vic tuân thủ giao thức khi anh ta tham gia vào hệ thống chứng minh tơng hỗ. Tình hình sẽ phức tạp hơn nhiệu nếu Vic không tuân theo giao thức. Phải chăng một phép chứng minh tơng hỗ vẫn còn giữ đợc đặc tính không để lộ thông tin ngay cả khi Vic đi chéch khỏi giao thức?. Trong trờng hợp phép đẳng cấu đồ thị, cách duy nhất mà Vic có thể đi chệch khỏi giao thức chọn các yêu cầu i của mình theo cách không ngẫu nhiên. về mặt trực giác có vẻ nh đIều này không cung cấp cho Vic một chút hiểu biết nào. Tuy nhiên các bản sao đợc tạo bởi bộ mô phỏng sẽ không còn giống nh các bản sao do Vic tạo ra nếu anh ta đi chệch khỏi giao thức. Ví dụ ,giả sử Vic chọn i = 1 trong mỗi vòng vủa phép chứng minh. Khi đó một bản sao của phép chứng minh tơng hỗ sẽ có i j = 1 với 1 j n, trong Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 10 khi đó một bản sao đợc tào bởi bộ mô phỏng sẽ có i j = 1 với 1 j n, chỉ với xác suất xuất hiện bằng2. Điều khó khăn ở đây là phải chứng tỏ rằng cho dù Vic không trung thực đi chệch khỏi giao thức nhng vẫn tồn tại trong bộ mô phỏng thời gian với thời gian đa thức tạo ra các bản sao giả mạo giống nh các bản sao đợc tạo bởi Peggy và Vic (không trung thực) trong phép chứng minh tơng hỗ. Cũng nh ở trên, câu giống nh đợc hình thức hoá bằng cách nói rằng hai phân bố xacs suất này là đồng nhất. Sau đây là một định nghĩa hình thức hơn nữa. Định nghĩa13.2 Giả sử rằng ta có một hệ thống chứng minh tơng hỗ tho thời gian đa thức cho một bái toán quyết định cho trớc . Cho V* là một thuật toán xác suất theo thời gian đa thức mà ngời kiểm tra (có thể không trung thực)sử dụng dể tào các yêu cầu của mình (tức là V* biểu thị cho một ngời kiểm tra trung thực hoặc không trung thực). Ký hiệu tập tất cả các bản sao có thể (đợc tào ra do kết quả của phép chứng minh tơng hỗ mà Peggy và V* thực hiện với câu trả lời có x của ) là ?????(V*,x). giả sử rằng với mỗi V* nh vậy tồn tại một thuật toán xác suất theo thời gian đa thức S*=S*(V*) (bộ mô phỏng) tạo ra một bản sao giả mạo. ký hiệu tập các bản sao giả mạo có thể bằng ???(V*,x). Với một bản sao bất kỳ T ???? (V*,x) cho ???(T) là xác suât để T là một bản sao dó V* tạo ra ki tham gia vào phép chứng minh tơng hỗ. Tơng tự ,với T F(x), cho ????(T) là xác suất để T là một bản sao (giả mạo)đợc tạo bởi S*. Giả sử rằng T(V*,x)và với bất kỳ kỳ T ??????(V*,x), giả sử rằng p Fv (T) =?????(T). khi đó hệ thống chứng minh tơng hỗ đợc gọi là một hệ thống chứng minh không tiết lộ thông tin hoàn thiện(không điều kiện). Trong hợp đặc biệt khi V * giống nh Vic (khi Vic là trung thực) thì định nghĩa trên giống nh định nghĩa 13.1. Hình 13.7 thuật toán giả mạo cho V* đối với các bản sao cho tnsh đẳng cấu đồ thị . hệ thống chứng minh không tiết lộ thông tin đối với Vic. Định lý 13.1 Hệ thông chứng minh tơng hỗ đối với tính đẳng cấu đồ thị là một hệ thống chứng minh không tiết lộ thông tin hoàn. vào hệ thông chứng minh tơng hỗ. Có thể biểu thị cách nhình của Vic về phép chứng minh tơng bằng một bản sao chứa các thông tin sau: ____ 1 .Các đồ thị G 1 và G 2 2. Tất cả các thông báo. về phép chứng minh không tiết lộ thông tin ) là Vic (hay vất kỳ ngời nào khác) có thể giả mạo Vietebooks Nguyn Hong Cng Trang 7 các bản sao (mà không cần phải tham gia vào hệ chứng minh tơng