3.1. Ma trˆa . n 83 (DS. AB = BA =  cos(α + β) = sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β)  ) 4. T´ınh c´ac lu˜yth`u . acu ’ a ma trˆa . n A n nˆe ´ u: 1) A =  11 01  .(D S. A n =  1 n 01  ) Chı ’ dˆa ˜ n. Su . ’ du . ng phu . o . ng ph´ap quy na . p to´an ho . c 2) A =  cos ϕ −sin ϕ sin ϕ cos ϕ  .(D S. A n =  cos nϕ −sin nϕ sin nϕ cos nϕ  ) 3) A =          d 1 d 2  . . .  . . . d n          .(D S. A n = diag  d n 1 d n 2 d n n  ) 4) A =    210 010 001    .(D S.    22 n − 10 010 002    ) 5. Ch´u . ng minh r˘a ` ng nˆe ´ u AB = BA th`ı 1) (A + B) 2 = A 2 +2AB + B 2 . 2) A 2 − B 2 =(A + B)(A − B). 3) (A + B) n = A n + C 1 n A n−1 B + C 2 n A n−2 B 2 + ···+ B n . Chı ’ dˆa ˜ n. Su . ’ du . ng phu . o . ng ph´ap quy na . p to´an ho . c. Gia ’ su . ’ cho dath´u . c P (x)=a 0 + a 1 x + ···+ a + kx k . Khi d´oma trˆa . n vuˆong P (A)=a 0 E + a 1 A + ···+ a k A k ,x= A d u . o . . cgo . i l`a gi´a tri . cu ’ adath´u . c P (x)ta . i x = A v`a biˆe ’ uth´u . c P (A)=a 0 E + a A + ···+ a k A k go . il`adath´u . ccu ’ a ma trˆa . n A. 6. Gia ’ su . ’ P (x)v`aQ(x) l`a hai d ath´u . cv´o . ihˆe . sˆo ´ ∈Pv`a A l`a ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p n.Ch´u . ng minh r˘a ` ng 84 Chu . o . ng 3. Ma trˆa . n. D - i . nh th ´u . c 1) ϕ(x)=P(x)+Q(x) ⇒ ϕ(A)=P (A)+Q(A). 2) ψ(x)=P(x)Q(x) ⇒ ψ(A)=P (A)Q(A). 3) P (A)Q(A)=Q(A)P (A). 7. T`ım gi´a tri . cu ’ adath´u . c ma trˆa . n 1) P (x)=x 2 − 5x +3, A =  2 −1 −33  .(DS.  00 00  ) 2) P(x)=3x 2 − 2x +5, A =    1 −23 2 −41 3 −52    .(D S.    21 −23 15 −13 34 10 −9 22 25    ) 3) P (x)=3x 5 −4x 4 − 10x 3 +3x 2 − 7, A =    010 001 000    . (D S.    −70 3 0 −70 00−7    ) 4) Ch´u . ng minh r˘a ` ng ma trˆa . n    12−2 10 3 13 0    l`a nghiˆe . mcu ’ ad ath´u . c P (x)=x 3 − x 2 −9x +9. 5) Ch´u . ng minh r˘a ` ng ma trˆa . n A =    100 010 003    l`a nghiˆe . mcu ’ ad ath´u . c P (x)=x 3 − 5x 2 +7x − 3. 3.2. D - i . nh th ´u . c 85 8. Ch´u . ng minh r˘a ` ng nˆe ´ u A l`a ma trˆa . nd u . `o . ng ch´eo cˆa ´ p n v´o . i c´ac phˆa ` ntu . ’ trˆen d u . `o . ng ch´eo ch´ınh l`a λ 1 ,λ 2 , ,λ n th`ı v´o . imo . id ath´u . c P (x) ma trˆa . n P(A)c˜ung l`a ma trˆa . nd u . `o . ng ch´eo v´o . i c´ac phˆa ` ntu . ’ trˆen du . `o . ng ch´eo ch´ınh l`a P(λ 1 ), P (λ 2 ), ,P(λ n ). H˜ay x´et tru . `o . ng ho . . p khi A l`a ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p3. 9. Ch´u . ng minh r˘a ` ng (A n ) T =(A T ) n . Chı ’ dˆa ˜ n. Ch´u . ng minh b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap quy na . pv`asu . ’ du . ng hˆe . th ´u . c(AB) T = B T A T . 10. Ch´u . ng minh r˘a ` ng mo . i ma trˆa . n vuˆong A d ˆe ` u c´o thˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ ndu . ´o . i da . ng tˆo ’ ng mˆo . t ma trˆa . nd ˆo ´ ix´u . ng v`a mˆo . t ma trˆa . n pha ’ nx´u . ng. Chı ’ dˆa ˜ n. D˘a . t P = 1 2 (A + A T ), Q = 1 2 (A − A T ), A = P + Q. 3.2 D - i . nh th´u . c 3.2.1 Nghi . ch thˆe ´ Mo . i c´ach s˘a ´ pxˆe ´ pth´u . tu . . n phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . psˆo ´ J = {1, 2, ,n} d u . o . . cgo . il`amˆo . t ho´an vi . cu ’ a n phˆa ` ntu . ’ d ´o . S ˆo ´ c´ac ho´an vi . c´o thˆe ’ c´o cu ’ a n phˆa ` ntu . ’ cu ’ a J l`a n!. Hai sˆo ´ trong mˆo . t ho´an vi . lˆa . p th`anh mˆo . t nghi . ch thˆe ´ nˆe ´ usˆo ´ l´o . nho . nd´u . ng tru . ´o . csˆo ´ b´e ho . n. Sˆo ´ nghi . ch thˆe ´ cu ’ a ho´an vi . (α 1 , ,α n )du . o . . ck´yhiˆe . ul`a inv(α 1 ,α 2 , ,α n ), d´o c h ´ınh l`a sˆo ´ c˘a . plˆa . p th`anh nghi . ch thˆe ´ trong ho´an vi . . Ho´an vi . {α 1 , ,α n } du . o . . cgo . il`aho´an vi . ch˘a ˜ n nˆe ´ usˆo ´ nghi . ch thˆe ´ cu ’ a n´o l`a ch˘a ˜ n v`a go . il`aho´an vi . le ’ nˆe ´ usˆo ´ nghi . ch thˆe ´ l`a le ’ . 3.2.2 D - i . nh th´u . c Mˆo ˜ i ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p n (v`a chı ’ c´o ma trˆa . n vuˆong !) dˆe ` utu . o . ng ´u . ng v´o . imˆo . tsˆo ´ -go . il`adi . nh th´u . c cu ’ a n´o. 86 Chu . o . ng 3. Ma trˆa . n. D - i . nh th ´u . c Gia ’ su . ’ cho ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p n trˆen tru . `o . ng P(R, C): A =   a ij   n 1 =       a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 a nn       (3.7) D i . nh th´u . ccu ’ a ma trˆa . n A l`a mˆo . tsˆo ´ thu d u . o . . ct`u . c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a ma trˆa . n theo quy t˘a ´ c sau dˆay: 1) d i . nh th´u . ccˆa ´ p n b˘a ` ng tˆo ’ ng d a . isˆo ´ cu ’ a n!sˆo ´ ha . ng; 2) mˆo ˜ isˆo ´ ha . ng cu ’ adi . nh th´u . cl`at´ıch a i 1 j 1 a i 2 j 2 ···a i n j n (3.8) cu ’ a n phˆa ` ntu . ’ cu ’ a ma trˆa . nm`ac´u . mˆo ˜ i h`ang v`a mˆo ˜ icˆo . tdˆe ` uc´od´ung mˆo . t phˆa ` ntu . ’ trong t´ıch n`ay; 3) sˆo ´ ha . ng a i 1 j 1 a i 2 j 2 ···a i n j n cu ’ adi . nh th´u . c c´o dˆa ´ ucˆo . ng nˆe ´ u ho´an vi . lˆa . pnˆenbo . ’ i c´ac sˆo ´ hiˆe . u h`ang {i 1 ,i 2 , ,i n } v`a ho´an vi . lˆa . pnˆenbo . ’ i c´ac sˆo ´ hiˆe . ucˆo . t {j 1 ,j 2 , ,j n } l`a c`ung ch˘a ˜ n ho˘a . cc`ung le ’ v`a c´o dˆa ´ u tr `u . (“ −”) trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . cla . i. K´yhiˆe . u: Di . nh th ´u . ccu ’ a ma trˆa . n A du . o . . ck´yhiˆe . ul`a det A, |A| hay           a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 a nn           . Nhˆa . n x´et. 1) Nhu . vˆa . y, d ˆe ’ x´ac di . nh dˆa ´ ucu ’ asˆo ´ ha . ng di . nh th ´u . cta cˆa ` n t´ınh s = inv(i 1 , ,i n ) σ = inv(j 1 , ,j n ) v`a khi d ´odˆa ´ ucu ’ asˆo ´ ha . ng di . nh th´u . cl`adˆa ´ ucu ’ ath`u . asˆo ´ (−1) s+σ . 3.2. D - i . nh th ´u . c 87 2) Nˆe ´ u ta viˆe ´ t c´ac th`u . asˆo ´ cu ’ a t´ıch (3.8) theo th´u . tu . . t˘ang dˆa ` ncu ’ a sˆo ´ hiˆe . u h`ang: a i 1 j 1 a i 2 j 2 ···a i n j n = a 1α 1 a 2α 2 ···a nα n th`ı det A =  (α 1 , ,α n ) (−1) inv(α 1 , ,α n ) a 1α 1 a 2α 2 ···a nα n . (3.9) trong d ´o t ˆo ’ ng lˆa ´ y theo mo . i ho´an vi . (α 1 ,α 2 , ,α n )cu ’ a c´ac sˆo ´ 1, 2, ,n. Trong ma trˆa . n vuˆong (3.7) ta cˆo ´ d i . nh k (k<n) h`ang v`a k cˆo . t n`ao d´o. Gia ’ su . ’ d ´o l`a c´ac h`ang v´o . isˆo ´ hiˆe . u i 1 <i 2 < ···<i k v`a c´ac cˆo . tv´o . i sˆo ´ hiˆe . u j 1 <j 2 < ···<j k .T`u . c´ac phˆa ` ntu . ’ n˘a ` m trˆen giao cu ’ a h`ang v`a c´ac cˆo . td u . o . . ccho . n ta c´o thˆe ’ lˆa . pd i . nh th ´u . ccˆa ´ p k           a i 1 j 1 a i 1 j 2 a i 1 j k a i 2 j 1 a i 2 j 2 a i 2 j k . . . . . . . . . . . . a i k j 1 a i k j 2 a i k j k           . D i . nh th´u . cn`ayd u . o . . cgo . il`ad i . nh th´u . cconcˆa ´ p k cu ’ a ma trˆa . n A.K´y hiˆe . u M i 1 i 2 i k j 1 j 2 ···j k . Nˆe ´ utabo ’ di c´ac h`ang th´u . i 1 ,i 2 , ,i k v`a c´ac cˆo . tth´u . j 1 ,j 2 , ,j k th`ı c´ac phˆa ` ntu . ’ c`on la . icu ’ a ma trˆa . n A s˜e ta . o th`anh mˆo . t ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p n − k.Di . nh th´u . ccu ’ a ma trˆa . n vuˆong n`ay l`a di . nh th´u . c con cˆa ´ p n − k cu ’ a ma trˆa . n A v`a d u . o . . cgo . il`aphˆa ` nb`u(hay d i . nh th´u . cconb`u) cu ’ ad i . nh th ´u . c con M i 1 i 2 ···i k j 1 j 2 ···j k v`a du . o . . ck´yhiˆe . ul`aM i 1 i 2 ···i k j 1 j 2 ···j k . Di . nh th´u . c con b`uv´o . idˆa ´ u (−1) (i 1 +i 2 +···+i k )+(j 1 +j 2 +···+j k ) du . o . . cgo . il`aphˆa ` nb`uda . isˆo ´ cu ’ adi . nh th ´u . c con M i 1 ···i k j 1 ···j k . Tru . `o . ng ho . . pd˘a . cbiˆe . t: di . nh th´u . c con b`u M ij cu ’ adi . nh th´u . c con cˆa ´ p 1l`aa ij  cu ’ a A du . o . . cgo . i l`a phˆa ` nb`ucu ’ a phˆa ` ntu . ’ a ij cu ’ a A v`a sˆo ´ A ij =(−1) i+j M ij go . i l`a phˆa ` nb`uda . isˆo ´ cu ’ a phˆa ` ntu . ’ a ij . 88 Chu . o . ng 3. Ma trˆa . n. D - i . nh th ´u . c 3.2.3 T´ınh chˆa ´ tcu ’ adi . nh th´u . c Di . nh th´u . c c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t sau I. Qua ph´ep chuyˆe ’ nvi . ma trˆa . n, d i . nh th ´u . ccu ’ a n´o khˆong dˆo ’ i, t´u . c l`a det A = det A T . T`u . t´ınh chˆa ´ tb`ınh d ˘a ’ ng n`ay gi˜u . a c´ac h`ang v`a c´ac cˆo . tcu ’ ad i . nh th ´u . c suy ra r˘a ` ng mˆo . tdiˆe ` u kh˘a ’ ng di . nh n`ao d´o d ˜ad´ung v´o . i h`ang th`ı n´o c˜ung d ´ung v´o . icˆo . t. Do d ´o c´ac t´ınh chˆa ´ ttiˆe ´ p theo dˆay chı ’ cˆa ` n ph´at biˆe ’ u cho h`ang. II. Nˆe ´ ud ˆo ’ ichˆo ˜ hai h`ang cho nhau th`ı di . nh th´u . cd ˆo ’ idˆa ´ u. III. Th`u . asˆo ´ chung cu ’ amo . i phˆa ` ntu . ’ cu ’ amˆo . t h`ang cu ’ ad i . nh th´u . c c´o thˆe ’ d u . a ra ngo`ai dˆa ´ ud i . nh th ´u . c. IV. D i . nh th´u . c c´o mˆo . t h`ang b˘a ` ng 0 l`a b˘a ` ng 0. V. D i . nh th ´u . c c´o hai h`ang giˆo ´ ng nhau l`a b˘a ` ng 0. VI. Nˆe ´ ud i . nh th ´u . c c´o hai h`ang ty ’ lˆe . v´o . i nhau th`ı n´o b˘a ` ng 0. VII. Nˆe ´ u c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a h`ang th´u . i cu ’ adi . nh th´u . c D c´o da . ng a ij = b ij + c iJ , i = 1,n, j = 1,n th`ı di . nh th ´u . c D b˘a ` ng tˆo ’ ng hai di . nh th ´u . c D 1 + D 2 , trong d´odi . nh th ´u . c D 1 c´o h`ang th´u . i l`a (b i1 b i2 ···b in ) v`a di . nh th´u . c D 2 c´o h`ang th´u . i l`a (c i1 ,c i2 , ,c in ) c`on c´ac h`ang kh´ac l`a c´ac h`ang tu . o . ng ´u . ng cu ’ a D. VIII. Nˆe ´ ud i . nh th´u . c c´o mˆo . t h`ang l`a tˆo ’ ho . . p tuyˆe ´ n t´ınh cu ’ a c´ac h`ang kh´ac th`ı di . nh th ´u . cb˘a ` ng 0. IX. D i . nh th´u . c khˆong dˆo ’ inˆe ´ u thˆem v`ao mˆo . t h`ang n`ao d´omˆo . ttˆo ’ ho . . p tuyˆe ´ n t´ınh cu ’ a c´ac h`ang kh´ac. X. D i . nh th´u . cb˘a ` ng tˆo ’ ng c´ac t´ıch cu ’ a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ amˆo . t h`ang n`ao d ´o v ´o . i phˆa ` nb`uda . isˆo ´ tu . o . ng ´u . ng. det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + ···+ a in A in = n  j=1 a ij A ij . (3.10) Nhˆa . nx´et. Ngu . `o . itac˜ung d`ung t´ınh chˆa ´ t X n`ay d ˆe ’ l`am di . nh ngh˜ıa di . nh th´u . c. 3.2. D - i . nh th ´u . c 89 XI. Tˆo ’ ng c´ac t´ıch cu ’ a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ amˆo . t h`ang n`ao d ´o v ´o . i phˆa ` n b`ud a . isˆo ´ tu . o . ng ´u . ng cu ’ a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a h`ang kh´ac l`a b˘a ` ng 0: n  j=1 a ij A kj =0, ∀k = i; i,k = 1,n. Nhˆa . nx´et. C´ac t´ınh chˆa ´ t I-III l`a nh˜u . ng t´ınh chˆa ´ tco . ba ’ n. C´ac t´ınh chˆa ´ t sau l`a nh˜u . ng hˆe . qua ’ cu ’ a ba t´ınh chˆa ´ tˆa ´ y. 3.2.4 Phu . o . ng ph´ap t´ınh d i . nh th´u . c I. Di . nh th ´u . ccˆa ´ p 1, cˆa ´ p2v`acˆa ´ p3du . o . . c t´ınh theo c´ac cˆong th´u . c |a 11 | = a 11 ;      a 11 a 12 a 21 a 22      = a 11 a 22 − a 12 a 21 ; (3.11)        a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33        = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 . Khi t´ınh di . nh th ´u . ccˆa ´ p 3 ta c´o thˆe ’ su . ’ du . ng quy t˘a ´ c Surrus “da . ng tam gi´ac” ho˘a . c “da . ng du . `o . ng song song” sau dˆay             ••• ••• •••                         ••• ••• •••             (+) (−) a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 90 Chu . o . ng 3. Ma trˆa . n. D - i . nh th ´u . c ⊕⊕⊕ II. T´ınh di . nh th´u . ccˆa ´ p n 1 + Khai triˆe ’ ndi . nh th´u . c theo c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ amˆo . t h`ang ho˘a . cmˆo . t cˆo . t (t´ınh chˆa ´ t XI, (3.10)). 2 + Su . ’ du . ng c´ac t´ınh chˆa ´ tcu ’ ad i . nh th ´u . cd ˆe ’ biˆe ´ ndˆo ’ idi . nh th´u . cd ˜a cho th`anh di . nh th´u . cm´o . i sao cho ngoa . itr`u . mˆo . t phˆa ` ntu . ’ a i 0 j 0 =0,tˆa ´ t ca ’ c´ac phˆa ` ntu . ’ c`on la . icu ’ a h`ang th´u . i 0 (ho˘a . ccˆo . t j 0 )dˆe ` ub˘a ` ng 0. Khi d´o det A =(−1) i 0 +j 0 a i 0 j 0 M i 0 j 0 . Tiˆe ´ p theo l`a l˘a . pla . i qu´a tr`ınh d ´odˆo ´ iv´o . i M i 0 j 0 l`a di . nh th ´u . ccˆa ´ p thˆa ´ p ho . nmˆo . tdo . nvi . . 3 + Su . ’ du . ng c´ac t´ınh chˆa ´ tcu ’ adi . nh th ´u . cdˆe ’ biˆe ´ ndˆo ’ idi . nh th´u . cd˜a cho th`anh d i . nh th´u . c tam gi´ac (t´u . cl`ad i . nh th´u . c m`a mo . i phˆa ` ntu . ’ o . ’ mˆo . tph´ıa cu ’ ad u . `o . ng ch´eo ch´ınh dˆe ` ub˘a ` ng 0). Khi d´odi . nh th´u . cb˘a ` ng t´ıch c´ac phˆa ` ntu . ’ trˆen du . `o . ng ch´eo ch´ınh. 4 + Phu . o . ng ph´ap truy hˆo ` i: biˆe ´ ndˆo ’ i, khai triˆe ’ ndi . nh th´u . c theo h`ang ho˘a . c theo cˆo . t sao cho d i . nh th ´u . cd ˜a cho c´o thˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ n qua c´ac di . nh th ´u . cc`ung da . ng nhu . ng cˆa ´ p thˆa ´ pho . n. 5 + Biˆe ’ udiˆe ˜ ndi . nh th´u . cd˜a cho du . ´o . ida . ng tˆo ’ ng c´ac di . nh th´u . cc`ung cˆa ´ p. 6 + D`ung di . nh l´y Laplace: Gia ’ su . ’ trong ma trˆa . n vuˆong A cˆa ´ p n ta cho . nmˆo . t c´ach t`uy ´y m h`ang (hay m cˆo . t) 1  m  n −1. Khi d ´o d i . nh th ´u . c det A b˘a ` ng tˆo ’ ng c´ac t´ıch cu ’ amo . idi . nh th ´u . c con cˆa ´ p m n˘a ` m trˆen c´ac h`ang du . o . . ccho . n nhˆan v´o . i phˆa ` nb`uda . isˆo ´ tu . o . ng ´u . ng cu ’ ach´ung. C ´ AC V ´ IDU . V´ı du . 1. 1) T´ınh sˆo ´ nghi . ch thˆe ´ trong ho´an vi .  531642  . 2) V´o . inh˜u . ng gi´a tri . n`ao cu ’ a i v`a j th`ı sˆo ´ ha . ng a 51 a 1i a 2j a 43 a 32 cu ’ a di . nh th´u . ccˆa ´ p5c´odˆa ´ utr`u . . 3.2. D - i . nh th ´u . c 91 Gia ’ i. 1) Dˆe ’ t´ınh sˆo ´ nghi . ch thˆe ´ tiˆe . nlo . . iho . nca ’ l`a tiˆe ´ n h`anh nhu . sau: (i) d ˆa ` u tiˆen, t´ınh c´o bao nhiˆeu sˆo ´ d´u . ng tru . ´o . csˆo ´ 1 (gia ’ su . ’ c´o k 1 sˆo ´ )rˆo ` iga . ch bo ’ sˆo ´ 1 kho ’ i ho´an vi . ; (ii) tiˆe ´ pdˆe ´ n t´ınh xem c´o bao nhiˆeu sˆo ´ d´u . ng tru . ´o . csˆo ´ 2 (gia ’ su . ’ k 2 )rˆo ` iga . ch bo ’ sˆo ´ 2 kho ’ i ho´an vi . ; v.v Khi d´o inv(α 1 ,α 2 , ,α n )=k 1 + k 2 + ···+ k n . B˘a ` ng phu . o . ng ph´ap v`u . anˆeudˆe ˜ thˆa ´ yl`a inv(531642) = 2 + 4 + 1 + 2 = 9. 2) C´ac chı ’ sˆo ´ i v`a j chı ’ c´o thˆe ’ nhˆa . n c´ac gi´a tri . sau d ˆay: (a) i =4, j = 5; ho˘a . c (b) i =5v`aj =4v`ıv´o . i c´ac gi´a tri . kh´ac cu ’ a i v`a j t´ıch d ˜a c h o c h ´u . a ´ıt nhˆa ´ t hai phˆa ` ntu . ’ cu ’ ac`ung mˆo . tcˆo . t. D ˆe ’ x´ac di . nh dˆa ´ u cu ’ asˆo ´ ha . ng ta s˘a ´ pxˆe ´ p c´ac th`u . asˆo ´ cu ’ a t´ıch theo th´u . tu . . t˘ang cu ’ achı ’ sˆo ´ th ´u . nhˆa ´ trˆo ` i t´ınh sˆo ´ nghi . ch thˆe ´ cu ’ a ho´an vi . c´ac chı ’ sˆo ´ th ´u . hai. Ta c´o a 1i a 2j a 32 a 43 a 51 +) Gia ’ su . ’ i =4,j =5⇒ inv(45231) = 8. Do vˆa . yv´o . i i =4,j =5 sˆo ´ ha . ng d ˜a cho c´o dˆa ´ u (+). +) Gia ’ su . ’ i =5,j =4⇒ inv(54231) = 9. Do d´osˆo ´ ha . ng d˜acho c´o dˆa ´ utr`u . .Vˆa . ysˆo ´ ha . ng d˜a cho chı ’ c´o dˆa ´ utr`u . khi i =5,j =4.  V´ı du . 2. T´ınh c´ac d i . nh th ´u . csaudˆay 1) ∆ 1 =          000a 14 00a 23 0 0 a 32 00 a 41 000          ;2)∆ 2 =          1424 2336 3212 4112          92 Chu . o . ng 3. Ma trˆa . n. D - i . nh th ´u . c Gia ’ i. 1) C´o thˆe ’ t´ınh ∆ 1 b˘a ` ng c´ach su . ’ du . ng t´ınh chˆa ´ tX. ∆ 1 =(−1) 1+4 a 14        00a 23 0 a 32 0 a 41 00        =(−1) 1+4 a 14 (−1) 2+3 a 23      0 a 32 a 41 0      = a 14 a 23 a 32 a 41 . Kˆe ´ t qua ’ n`ay c˜ung c´o thˆe ’ thu du . o . . c nh`o . d i . nh ngh˜ıa di . nh th´u . c. Theo d i . nh ngh˜ıa ∆ 1 l`a tˆo ’ ng da . isˆo ´ cu ’ a 4! = 24 sˆo ´ ha . ng, trong d´ochı ’ c´o sˆo ´ ha . ng a 14 a 23 a 32 a 41 l`a kh´ac 0. V`ı ho´an vi . cu ’ a c´ac chı ’ sˆo ´ th ´u . hai ch˘a ˜ nnˆensˆo ´ ha . ng c´o dˆa ´ u cˆo . ng. T`u . d´o ta thu du . o . . c∆ 1 = a 14 a 23 a 32 a 41 . 2) ´ Ap du . ng t´ınh chˆa ´ t XI ta c´o thˆe ’ khai triˆe ’ ndi . nh th´u . c theo cˆo . t th ´u . nhˆa ´ t ∆ 2 =1        336 212 112        −2        424 212 212        +3        424 336 112        − 4        424 336 212        =1·0 −2 ·0+3· 0 −4 ·0=0. O . ’ d ˆay mo . idi . nh th´u . ccˆa ´ p3d ˆe ` u c´o hai cˆo . tty ’ lˆe . v´o . i nhau, nˆen ch´ung b˘a ` ng 0.  V´ı du . 3. T´ınh c´ac d i . nh th´u . c 1) ∆ 1 =          1123 1231 2364 3594          , 2) ∆ 2 =             201 31 −11 2 2 3 140−15 213 12 12−131             . [...]... 1 2 −2 2 3 5 1 1 −2 1 1 −2 = 1 2 −2 h2 − h1 → h2 = 0 1 0 2 3 5 2 3 5 = 1 · ( 1) 2+2 1 −2 = 1 2 −5 ’ ´ ’ e ı e e e o 2) Dˆ t´nh ∆2 ta thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi: c1 − 2c3 → c1 ; c4 − 3c3 → a c4; c5 − c3 → c5 v` thu du.o.c 0 −5 1 ∆2 = 4 4 3 0 1 1 2 4 0 1 3 1 3 2 1 0 0 4 1 1 5 = a13A13 = 1 · ( 1) 1+3 1 5 −8 1 6 2 −5 1 4 3 1 4 1 4 1 5 1 −8 1 2 6 2 ´ ´ ´ Dˆi v´.i dinh th´.c cˆp 4 v`.a thu du.o.c... 26 1 19 43 26 ∆2 = − 43 0 26 = −a12A12 = −( 1) ( 1) 1+2 = −2 64 13 14 13 0 14 u V´ du 4 T´ c´c dinh th´.c ı ınh a 1 2 1 1 5 6 1) 1 = 1 −2 3 2 4 −2 5 3 , 5 8 1 1 3 −2 4 0 3 2 0 1 2) ∆2 = 0 0 4 1 1 0 6 4 2 3 1 1 3 −2 5 ` ` ’ Giai Ta s˜ t´nh c´c dinh th´.c d˜ cho b˘ng phu.o.ng ph´p du.a vˆ e ı a u a a a e dinh th´.c tam gi´c u a 1) Ta c´ o 1 2 1 1 5 6 1 = 1 −2 3 2 4 −2 5 1 2 1 5 3 h2 − h1... 10 6 2 1 9) −2 −3 1 1 10 ) 2 3 1 1 2 3 4 2 1 3 2 2 0 0 0 0 4 4 5 6 1 1 0 0 0 (DS 0) 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ’ a ı 14 Giai c´c phu.o.ng tr`nh 1 1 1 3 − x2 1) 7 7 −7 −7 (DS 0) 4 4 3 3 = 0 5 5 6 x2 − 3 (DS x1,2 = ±3; x3 ,4 = ±3) 1 2 3 4 −2 2 − x 1 7 2) = 0 3 6 4 + x 12 4 x − 14 2 3 (DS x1 = 6; x2 = 5) x x 2 x3 2 4 8 = 0 (DS x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4) 3 9 27 4 16 64 ´ u a 15 T´ c´c dinh th´.c cˆp n ınh a 1. .. 3 7 −2 = 5 h3 + h1 → h3 0 0 2 10 8 h4 − 2h1 → h4 0 0 0 −2 ` ` u a a ıch a a ’ e o e ı V` dinh th´.c tam gi´c b˘ng t´ c´c phˆn tu trˆn du.`.ng ch´o ch´nh ı nˆn e 1 = 1 · 3 · 2 · (−2) = 12 -i 3.2 D nh th´.c u 95 2) 1 1 3 −2 4 1 1 3 −2 4 0 3 2 0 1 0 3 2 0 1 ∆2 = 0 0 4 1 1 = 0 0 4 1 1 0 6 4 2 3 h4 − 2h2 → h4 0 0 0 2 1 1 1 3 −2 5 h5 − h1 → h5 0 0 0 0 1 = 1 · 3 · 4 · 2 · 1 = 24 V´ du 5 T´ c´c... β 4) 1 i 1+ i −i 1 0 ; i2 = 1, 1 i 0 1 6) sin α cos α 1 sin β cos β 1 sin γ cos γ 1 8) a+b c 1 b+c a 1 c+a b 1 2) 7) 5) ab ac a2 + 1 bc ab b2 + 1 2 ac bc c +1 1 1 ε 2π 2π + i sin 1 1 ε2 , ε = cos 3 3 ε2 ε ε (DS 1) 8; 2) 3abc − a3 − b3 − c3; 3) 1; 4) −2; 5) 1 + a2 + b2 + c2 ; 6) sin(α − β) + sin(β − γ) + sin(γ − α); 7) −3; 8) 0) -i 3.2 D nh th´.c u 10 3 10 T´ dinh th´.c Vandermonde ınh u 1 1 1 1 1 a... sau d´ lˆy h`ng th´ x a1 a2 an 1 1 a1 x a2 an 1 1 a1 a2 x an 1 1 3) (DS (x − a1)(x − a2) · · · (x − an)) a1 a2 a3 x 1 a1 a2 a3 an 1 ´ ´ ´ ’ ˜ u Chı dˆ n Lˆy tˆt ca c´c cˆt cua dinh th´.c tr` di cˆt cuˆi c`ng a a a ’ a o ’ u o o u ´ o nhˆn tu.o.ng u.ng v´.i a1, a2, , an a 0 1 4) 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 (DS ( 1) n 1 (n − 1) ) 1 1 1 0 n×n ´ ´ ´ ’ ˜ Chı... 94 c1 + 5c4 → c1; c2 − c4 → c2 ; c3 + 4c4 → c3 v` thu du.o.c a 0 0 0 1 26 1 19 26 1 19 5 1+ 4 ∆2 = = a14A 14 = 1 · ( 1) −9 2 12 −9 2 12 1 13 0 14 13 0 14 2 ` ı ´ ´ a u a u a a e ı e Nhu vˆy ta d˜ du.a viˆc t´nh dinh th´.c cˆp 5 vˆ t´nh dinh th´.c cˆp 3 ’ ’ ´ ´ a o e u a a e e ınh u a Dˆ t´ dinh th´.c cˆp 3 n`y ta c´ thˆ d`ng quy t˘c Sarrus ho˘c tiˆn n ca l` biˆn dˆi n´ theo h`ng: h2 + 2h1... abcd) 1 2 c 3 0 0 0 d 1 2 2) 3 1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 a b ` u theo c´c phˆn tu cˆt th´ tu a a ’ o c d A T Vandermonde (17 35 -17 96) l` nh` to´n hoc Ph´p a a a a Chu.o.ng 3 Ma trˆn D nh th´.c a -i u 10 4 (DS 4a − c − d) a b 3) c d 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 ` ´ u a theo c´c phˆn tu cua cˆt th´ nhˆt a a ’ ’ o 1 0 (DS 2a + b − c + d) 1 2 1 2 2 1 −2 1 ` u 4) theo c´c phˆn tu cua h`ng th´ ba a a ’ ’ a a b c d −2 1. .. h2 − h1 → h c´ ngh˜ l` lˆy ´ h`ng (cˆt) Ta quy u o a y e a o o ıa a a 2 hai tr` di h`ng th´ nhˆt dˆ thu du.o.c h`ng th´ hai m´.i ’ ´ a u u a e a u o h`ng th´ a u o.ng tu nhu vˆy ta k´ hiˆu c´c ph´p biˆn dˆi theo cˆt ´ ’ o a y e a e e o Tu 1) Ta c´ o 1 1 1 = 2 3 1 2 3 5 2 3 6 9 = 1 · ( 1) 3 1 1 1 h2 − h1 → h2 0 1 = 4 h3 − 2h1 → h3 0 1 4 h4 − 3h1 → h4 0 2 1+ 1 2 3 1 −2 2 −2 3 5 1 1 −2 1 2 −2... o 1) a43a61a52a13a25a 34 (DS Khˆng phai) ´ ´ ’ (DS L` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp 7 a o u a 2) a27a63a14a56a35a41a72 ´ v´.i dˆu +) o a ’ o 3) a15a28a75a36a81a43 (DS Khˆng phai) 4) an1 an 1 2 a1n n(n 1) ´ ´ ´ ’ o a a o u a (DS L` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp n v´.i dˆu ( 1) 2 ) 5) a12a23 ak,k +1 an 1, n an1 ´ ´ ´ ’ o a a o u a (DS L` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp n v´.i dˆu ( 1) n 1 ) 6) a13a24a35 . du . o . . c ∆ 2 =               0 01 0 0 − 51 2 − 41 140 15 − 41 3 15 − 41 3 −8 1 32 16 2               = a 13 A 13 =1 ( 1) 1+ 3          − 51 41 14 15 − 41 8 1 326 2          D ˆo ´ iv´o . idi . nh. a 11 ;      a 11 a 12 a 21 a 22      = a 11 a 22 − a 12 a 21 ; (3 .11 )        a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33        = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 −. du . o . . c ∆ 2 =          00 0 1 26 11 9 5 −92 12 1 13 0 14 2          = a 14 A 14 =1 ( 1) 1+ 4        26 11 9 −92 12 13 0 14        Nhu . vˆa . ytad˜a d u . aviˆe . c