Sở GD Và ĐT HOà BìNH Đề THI ĐạI HọC NĂM 2011 TRƯờNG THPT CÔNG NGHIệP Môn Toán - Khối D Đề THI THử Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH (7,0 điểm). Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 (m + 2)x 2 + (1 m)x + 3m 1, đồ thị (C m ), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với m = 1. 2. Xác định giá trị m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x 1 , x 2 : x 1 x 2 = 2 Câu II (2,0 điểm). 1. Giải phơng trình: 2cos6x + 2cos4x 3 cos2x = sin2x + 3 2. Tìm giá trị m để hệ phơng trình sau có nghiệm: 1m2yx m1y1x Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân: I = 1 0 3 1x xdx Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. SA = a, (0 < a < 3 ), các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a. Câu V (1,0 điểm). Cho a, b, c thuộc [0; 2]. Chứng minh: 2(a + b + c) (ab + bc + ca) 4 PHầN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chơng trình Chuẩn. Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Cho các điểm A(1; 0), B(2; 1) và đờng thẳng d: 2x y + 3 = 0. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC. Biết toạ độ A(1; 0; 1), B(1; 2; 1), C(1; 2; 3). Xác định tọa độ tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu VII.a (1,0 điểm) Cho z 1 , z 2 là các nghiệm phức của phơng trình: 2z 2 4z + 11 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 2 21 2 2 2 1 zz zz B. Theo chơng trình Nâng cao. Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E): x 2 + 4y 2 = 4. Tìm các điểm M trên elíp (E) sao cho góc F 1 MF 2 = 60 0 . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 5; 0) và 2 đờng thẳng: 1 : 2 1z 1 4y 1 x ; 2 : 3 z 3 2y 1 x Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua điểm I và cắt cả 2 đờng thẳng 1 và 2 . Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn: 4zz i2zziz2 2 2 Hết Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: pat_hn@yahoo.com sent to www.laisac.page.tl Đáp án và biểu điểm môn Toán Khối D, năm 2011 1 ĐáP áN Và thang ĐIểM Môn Toán - Khối D Câu Nội dung đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Khảo sát hàm số Khi m = 1 y = x 3 3x 2 + 2 Tập xác định: D = Sự biến thiên: y' = 3x 2 6x x lim y = +; x lim y = 0,25 x 0 2 + y' + 0 0 + Bảng biến thiên y 2 2 + 0,25 Khoảng đồng biến: (; 0), (2; +) Khoảng nghịch biến: (0; 2) Cực đại: x = 0; y = 2 Cực tiểu: x = 2; y = 2 0,25 Đồ thị Tâm đối xứng (1; 0) là điểm uốn của đồ thị. 0,25 2) (1,0 điểm) Xác định giá trị m Ta có y' = 3x 2 2(m + 2)x + 1 m ' = (m + 2) 2 3(1 m) = m 2 + 7m + 1 0,25 x 1 x 2 = 2 (x 1 x 2 ) 2 = 4 x 2 1 + x 2 2 2x 1 x 2 = 4 (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 4 = 0 2 3 2m2 4. 3 m1 4 = 0 m 2 + 7m 8 = 0 0,25 Câu I (2,0 điểm) YCBT 2xx 0' 21 08m7m 01m7m 2 2 m = 1 hoặc m = 8 0,50 1. (1,0 điểm) Giải phơng trình 2cos6x + 2cos4x 3 cos2x = sin2x + 3 2(cos6x + cos4x) sin2x 3 (1 + cos2x) = 0 4cos5xcosx 2sinxcosx 2 3 cos 2 x = 0 0,25 2cosx(2cos5x sinx 2 3 cosx) = 0 xcos3xsinx5cos2 0xcos 6 xcosx5cos 0xcos 0,25 Câu II (2,0 điểm) x = 2 + k, x = 24 + k 2 , x = 36 + k 3 0,50 4 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 x y O Đáp án và biểu điểm môn Toán Khối D, năm 2011 2 S A B C D O H 2. (1,0 điểm) Tìm giá trị m Với điều kiện x 1 và y 1, ta có: 1m2yx m1y1x 1m21y1x m1y1x 22 1m2m1y.1x2 m1y1x 2 0,25 Khi đó 1x và 1y là nghiệm không âm của phơng trình: t 2 mt + 2 1 (m 2 2m 1) = 0 2t 2 2mt + m 2 2m 1 = 0. 0,25 Ta phải có 0P 0S 0' 01m2m 0m 01m2m2m 2 22 01m2m 0m 02m4m 2 2 21m21m 0m 62m62 1 + 2 m 2 + 6 0,50 Tính tích phân: Ta có: 3 x (x 1) = A x 1 + 2 B (x 1) + 3 C (x 1) = 2 1 (x 1) 3 1 (x 1) Có thể xét: 3 x (x 1) = 3 (x 1) 1 (x 1) = 2 1 (x 1) 3 1 (x 1) 0,25 Từ đó suy ra: I = 1 0 32 dx 1x 1 1x 1 = 1 0 2 dx1x 1 0 3 dx1x 0,25 Câu III (1,0 điểm) = 1 0 1x 1 1 0 2 1x2 1 = 2 1 + 1 + 8 1 2 1 = 8 1 0,50 Tính thể tích hình chóp Gọi O AC BD, ta có: BDA = BDC = BDS (c.c.c) OA = OC = OS CSA vuông tại A AC = 1a 2 Trong hình thoi ABCD: AC 2 + BD 2 = 2(AB 2 + BC 2 ) 1 + a 2 = 2 2 BD = 2 a3 (vì 0 < a < 3 ) Diện tích đáy: S ABCD = 2 1 AC.BD = 2 1 1a 2 . 2 a3 0,50 Câu IV (1,0 điểm) Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD), ta thấy: SB = SD HB = HD HOC 0,25 Đáp án và biểu điểm môn Toán Khối D, năm 2011 3 Trong CSA vuông tại A: 222 SC 1 SA 1 SH 1 2 SH 1 = 2 a 1 + 1 = 2 2 a 1a SH = 1a a 2 Từ đó thu đợc thể tích V = 3 1 . 2 1 1a 2 . 2 a3 . 1a a 2 = 6 a 2 a3 0,25 Chứng minh bất đẳng thức: Với giả thiết a, b, c thuộc [0; 2], ta có (2 a)(2 b)(2 c) 0 8 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) abc 0 0,50 Câu V (1,0 điểm) 2(a + b + c) (ab + bc + ca) 4 + 2 1 abc 4 Dấu = xảy ra Có 2 giá trị bằng 0 và 1 giá trị bằng 2 hoặc ngợc lại. 0,50 1. (1,0 điểm) Tìm điểm M Ta thấy (2x A y A + 3)(2x B y B + 3) = (2 0 + 3)(2.2 1 + 3) = 30 > 0 nên A, B cùng phía đối với đờng thẳng d. Qua A, xét đờng thẳng d có phơng trình: x + 2y 1 = 0. 0,25 Ta có cắt d tại H = (1; 1). Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d thì H là trung điểm AA' 'OA = 2OH OA A' = (3; 2) B ' A = (5; 1) 0,25 Phơng trình đờng thẳng A'B là: x + 5y 7 = 0 Với mọi điểm Md, ta có MA' = MA nên MA + MB = MA' + MB. 0,25 Trong đó MA' + MB nhỏ nhất khi A', M, B thẳng hàng. Vậy M A'B d. Ta thu đợc M = 11 17 ; 11 8 0,25 2. (1,0 điểm) Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp Ta có AB = (2; 2; 2) và AC = (0; 2; 2) Phơng trình mặt phẳng trung trực của AB và AC là (P): x + y z 1 = 0 và (Q): y + z 3 = 0 0,25 Với [ AB , AC] = (8; 4; 4) vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là n = (2; 1; 1) Phơng trình mặt phẳng (ABC): 2x y + z + 1 = 0. 0,25 Ba mặt phẳng (P), (Q) và (ABC) cắt nhau tại I(0; 2; 1) là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. 0,25 Câu VI.a (2,0 điểm) Bán kính tơng ứng là R = IA = 112001 22 = 5 0,25 Tính giá trị biểu thức Ta có 2z 2 4z + 11 = 0 z 1 = 1 2 23 i và z 2 = 1 + 2 23 i z 1 = z 2 = 4 18 1 = 2 22 0,50 Câu VII.a (1,0 điểm) và z 1 + z 2 = 2 P = 4 4 22 4 22 = 4 11 0,50 1. (1,0 điểm) Tìm các điểm M trên elíp Ta có x 2 + 4y 2 = 1 4 x 2 + y 2 = 1 a = 2 và b = 1 c = 3 e = 2 3 0,25 Câu VI.b (2,0 điểm) Trong tam giác F 1 MF 2 , theo định lí cosin ta có: F 1 F 2 2 = MF 2 1 + MF 2 2 0,25 Đáp án và biểu điểm môn Toán Khối D, năm 2011 4 2.MF 1 .MF 2 .cos60 0 F 1 F 2 2 = (MF 1 + MF 2 ) 2 2.MF 1 .MF 2 MF 1 .MF 2 = (MF 1 + MF 2 ) 2 3.MF 1 .MF 2 12 = 4 2 3.MF 1 .MF 2 MF 1 .MF 2 = 3 4 (a ex)(a + ex) = 3 4 a 2 e 2 x 2 = 3 4 4 3 x 2 = 4 3 4 = 3 8 x 2 = 9 32 y 2 = 4 x4 2 = 9 1 x = 3 24 và y = 3 1 0,25 Thu đợc: M 1 ( 3 24 ; 3 1 ), M 2 ( 3 24 ; 3 1 ), M 3 ( 3 24 ; 3 1 ), M 4 ( 3 24 ; 3 1 ). 0,25 2. (1,0 điểm) Viết phơng trình tham số Ta có: M 1 (0; 4; 1), 1 u = (1; 1; 2), M 2 (0; 2; 0), 2 u = (1; 3; 3) Xét mặt phẳng (P) chứa I và 1 có [ IM 1 , 1 u ] = P n = (3; 1; 2) (P): 3x y 2z + 2 = 0 Xét mặt phẳng (Q) chứa I và 2 có [ IM 2 , 2 u ] = (9; 3; 6) = 3(3; 1; 2) Q n = (3; 1; 2) (Q): 3x y + 2z + 2 = 0. 0,50 Với [ P n , Q n ] = (4; 12; 0) = 4(1; 3; 0) thì d = (P) (Q) và d u = (1; 3; 0) Phơng trình tham số của d là: 0z t35y t1x 0,50 Tìm số phức Gọi z = x + yi, (x, y ). Ta có z = x yi, z i = x + (y 1)i, z z + 2i = 2(y + 1)i, z 2 = x 2 y 2 + 2xyi, z 2 = x 2 y 2 2xyi z 2 z 2 = 4xyi 0,25 Khi đó: 4zz i2zziz2 2 2 4xyi4 i1y2i1yx2 1xyi 1y21yx2 22 2 1xy y4x 2 . Ta thấy y = 4 x 2 0 nên thu đợc x 3 = 4 x = 3 4 y = 4 4 3 2 = 3 4 1 0,50 Câu VII.b (1,0 điểm) Ta thu đợc 2 số phức là z 1 = 3 4 + 3 4 1 i và z 2 = 3 4 + 3 4 1 i 0,25 Chú ý: Mọi lời giải khác, nếu đúng vẫn chấm điểm tối đa. Hết Đáp án này có 4 trang. . Sở GD Và ĐT HOà BìNH Đề THI ĐạI HọC NĂM 2011 TRƯờNG THPT CÔNG NGHIệP Môn Toán - Khối D Đề THI THử Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHầN CHUNG CHO. đợc sử d ng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: pat_hn@yahoo.com sent to www.laisac.page.tl Đáp án và biểu điểm môn Toán Khối D, năm 2011. chóp Gọi O AC BD, ta có: BDA = BDC = BDS (c.c.c) OA = OC = OS CSA vuông tại A AC = 1a 2 Trong hình thoi ABCD: AC 2 + BD 2 = 2(AB 2 + BC 2 ) 1 + a 2 = 2 2 BD = 2 a3 (vì