S giáo d c và đào t o Hà n i ở ụ ạ ộ Tr ng THPT Liên Hà ĐÊ THI TH ĐAI HOC NĂM 2011ườ ̀ Ử ̣ ̣ **************** Môn : TOAN; khôi: A,B(́ ́ Th i gian lam bai: 180 phut, không kê th i gian phat đê)ờ ̀ ̀ ́ ̉ ờ ́ ̀ PHÂN CHUNG CHO TÂT CA CAC THI SINH ̀ ́ ̉ ́ ́ (7,0 điêm)̉ Câu I (2 điêm)̉ 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a ham sô ả ự ế ẽ ồ ị ủ ̀ ́ 2 1 1 x y x − = − 2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C), bi t kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n b ng ế ươ ế ế ủ ế ả ừ ể ế ế ế ằ 2 . Câu II (2 điêm)̉ 1) Giai ph ng trình ̉ ươ 2 17 sin(2 ) 16 2 3.s in cos 20sin ( ) 2 2 12 x x x x π π + + = + + 2) Giai hê ph ng trình : ̉ ̣ ươ 4 3 2 2 3 2 1 1 x x y x y x y x xy  − + =   − + = −   Câu III (1 điêm)̉ : Tinh tích phân: I = ́ 4 0 tan .ln(cos ) cos x x dx x π ∫ Câu IV (1 điêm)̉ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A v i AB = a, các m t bên là các tam giác cân t iạ ớ ặ ạ đ nh S. Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i m t ph ng đáy góc 60ỉ ặ ẳ ạ ớ ặ ẳ 0 . Tính côsin c a góc gi a hai m tủ ữ ặ ph ng (SAB) và (SBC) .ẳ Câu V: (1 điêm)̉ Cho a,b,c la cac sô d ng thoa man a + b + c = 1. Ch ng minh r ng: ̀ ́ ́ ươ ̉ ̃ ứ ằ 3 a b b c c a ab c bc a ca b + + + + + ≥ + + + PHÂN RIÊNG ̀ (3 điêm)̉ Thi sinh chi đ c lam môt trong hai phân (phân A hoăc B)́ ̉ ượ ̀ ̣ ̀ ̀ ̣ A. Theo ch ng trinh Chuânươ ̀ ̉ Câu VI.a (1 điêm)̉ Trong măt phăng toa đô Oxy cho điêm A(1;1) và đ ng th ng ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ườ ẳ ∆ : 2x + 3y + 4 = 0. Tim t a đ đi m B thu c đ ng th ng ̀ ọ ộ ể ộ ườ ẳ ∆ sao cho đ ng th ng AB và ườ ẳ ∆ h p v i nhau góc 45ợ ớ 0 . Câu VII.a (1 điêm̉ ): Trong không gian v i hê toa đô Oxyz, cho điêm M(1;-1;1) ớ ̣ ̣ ̣ ̉ va hai đ ng th ng ̀ ườ ẳ 1 ( ) : 1 2 3 x y z d + = = − − và 1 4 ( ') : 1 2 5 x y z d − − = = Ch ng minh: điêm M, (d), (d’) cung năm trên môt măt phăng. Viêt ph ng trinh măt phăng đo.ứ ̉ ̀ ̀ ̣ ̣ ̉ ́ ươ ̀ ̣ ̉ ́ Câu VIII.a (1 điêm)̉ Gi i ph ng trinh: ả ươ ̀ 2 2 2 (24 1) (24 1) (24 1) log log x x x x x Log x x x + + + + = Theo ch ng trinh Nâng caoươ ̀ Câu VI.b (1 điêm)̉ Trong măt phăng toa đô Oxy cho đ ng tron ̣ ̉ ̣ ̣ ườ ̀ 2 2 ( ) : 1C x y+ = , đ ng thăng ườ ̉ ( ) : 0d x y m+ + = . Tim ̀ m để ( )C căt ́ ( )d tai A va B sao cho diên tich tam giac ABO l n nhât.̣ ̀ ̣ ́ ́ ớ ́ Câu VII.b (1 điêm)̉ Trong không gian v i hê toa đô Oxyz, cho ba m t ph ng:ớ ̣ ̣ ̣ ặ ẳ (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 và đ ng th ng ườ ẳ 1 ∆ : 2 2 − −x = 1 1+y = 3 z . G i ọ 2 ∆ là giao tuy n c a (P) và (Q).ế ủ Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vuông góc v i (R) và c t c hai đ ng th ng ế ươ ườ ẳ ớ ắ ả ườ ẳ 1 ∆ , 2 ∆ . Câu VIII.b (1 điêm)̉ Gi i b t ph ng trình: logả ấ ươ x ( log 3 ( 9 x – 72 )) ≤ 1 Hêt ́ www.laisac.page.tl ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI MỂ Câu -ý N i dungộ Điể m 1.1 *T p xác đ nh :ậ ị { } \ 1D = ¡ *Tính 2 1 ' 0 ( 1) y x D x − = < ∀ ∈ − Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ố ị ế ả ( ;1)−∞ và (1; )+∞ *Hàm s không có c c tr ố ự ị *Gi i h n ớ ạ 1x Lim y + → = +∞ 1x Lim y − → = −∞ 2 x Lim y →+∞ = 2 x Lim y →−∞ = Đ th có ti m c n đ ng :x=1 , ti m c n ngang y=2 ồ ị ệ ậ ứ ệ ậ *B ng bi n thiên ả ế x −∞ 1 +∞ y’ - - y *V đ th ẽ ồ ị 0.25 0.25 0.25 0.25 1.2 *Ti p tuy n c a (C) t i đi m ế ế ủ ạ ể 0 0 ( ; ( )) ( )M x f x C∈ có ph ng trình ươ 0 0 0 '( )( ) ( )y f x x x f x= − + Hay 2 2 0 0 0 ( 1) 2 2 1 0x x y x x+ − − + − = (*) *Kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n (*) b ng ả ừ ể ế ế ế ằ 2 0 4 0 2 2 2 1 ( 1) x x − ⇔ = + − gi i đ c nghi m ả ượ ệ 0 0x = và 0 2x = *Các ti p tuy n c n tìm : ế ế ầ 1 0x y+ − = và 5 0x y+ − = 0.25 0.25 0.25 0.25 2.1 *Bi n đ i ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ế ổ ươ ươ ươ ớ os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0 6 c x x c x π − + + + = os(2 ) 5 os( ) 3 0 3 6 c x c x π π ⇔ + + + + = 2 2 os ( ) 5 os( ) 2 0 6 6 c x c x π π ⇔ + + + + = Gi i đ c ả ượ 1 os( ) 6 2 c x π + = − và os( ) 2 6 c x π + = − (lo i)ạ *Gi i ả 1 os( ) 6 2 c x π + = − đ c nghi m ượ ệ 2 2 x k π π = + và 5 2 6 x k π π = − + 0.25 0.25 0.25 0.25 2.2 *Bi n đ i h t ng đ ng v i ế ổ ệ ươ ươ ớ 2 2 3 3 2 ( ) 1 ( ) 1 x xy x y x y x xy  − = −   − − = −   *Đ t n ph ặ ẩ ụ 2 3 x xy u x y v  − =   =   , ta đ c h ượ ệ 2 1 1 u v v u  = −  − = −  *Gi i h trên đ c nghi m (u;v) là (1;0) và (-2;-3) ả ệ ượ ệ *T đó gi i đ c nghi m (x;y) là (1;0) và (-1;0) ừ ả ượ ệ 0.25 0.25 0.25 0.25 3 *Đ t t=cosx ặ Tính dt=-sinxdx , đ i c n x=0 thì t=1 , ổ ậ 4 x π = thì 1 2 t = T đó ừ 1 1 2 2 2 1 1 2 ln lnt t I dt dt t t = − = ∫ ∫ *Đ t ặ 2 1 ln ;u t dv dt t = = 1 1 ;du dt v t t ⇒ = = − Suy ra 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 ln ln 2 1 1 2 2 2 I t dt t t t = − + = − − ∫ *K t qu ế ả 2 2 1 ln 2 2 I = − − 0.25 0.25 0.25 0.25 4 *V hình ẽ *G i H là trung đi m BC , ch ng minh ọ ể ứ ( )SH A B C⊥ *Xác đ nh đúng góc gi a hai m t ph ng (SAB) , (SAC) v i m t đáy là ị ữ ặ ẳ ớ ặ 0 60SEH SFH= = *K ẻ HK SB⊥ , l p lu n suy ra góc gi a hai m t ph ng (SAB) vàậ ậ ữ ặ ẳ (SBC) b ng ằ HK A . *L p lu n và tính đ c AC=AB=a ,ậ ậ ượ 2 2 a HA = , 0 3 tan 60 2 a SH H F= = *Tam giác SHK vuông t i H có ạ 2 2 2 1 1 1 3 10 K H a HK H S HB = + ⇒ = *Tam giác AHK vuông t i H có ạ 2 20 2 tan 3 3 10 a A H A K H K H a = = = 3 cos 23 A K H⇒ = 0.25 0.25 0.25 0.25 5 *Bi n đ i ế ổ 1 1 1 (1 )(1 ) a b c c ab c ab b a a b + − − = = + + − − − − 0.25 *T đó ừ 1 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) c b a V T a b c a c b − − − = + + − − − − − − Do a,b,c d ng và a+b+c=1 nên a,b,c thu c kho ng (0;1) => 1-a,1-b,1-cươ ộ ả d ng ươ *áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s d ng ta đ c ụ ấ ẳ ứ ố ươ ượ 3 1 1 1 3. . . (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) c b a V T a b c a c b − − − ≥ − − − − − − =3 (đpcm) Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ 1 3 a b c= = = 0.25 0.25 0.25 6.a * ∆ có ph ng trình tham s ươ ố 1 3 2 2 x t y t = −   = − +  và có vtcp ( 3;2)u = − ur *A thu c ộ ∆ (1 3 ; 2 2 )A t t⇒ − − + *Ta có (AB; ∆ )=45 0 1 os( ; ) 2 c A B u⇔ = uuuur ur . 1 2 . A B u A B u ⇔ = uuuur ur ur 2 15 3 169 156 45 0 13 13 t t t t⇔ − − = ⇔ = ∨ = − *Các đi m c n tìm là ể ầ 1 2 32 4 22 32 ( ; ), ( ; ) 13 13 13 13 A A− − 0.25 0.25 0.25 0.25 7.a *(d) đi qua 1 (0; 1;0)M − và có vtcp 1 (1; 2; 3)u = − − uur (d’) đi qua 2 (0;1; 4)M và có vtcp 2 (1;2;5)u = uur *Ta có 1 2 ; ( 4; 8;4)u u O   = − − ≠   uur uur ur , 1 2 (0;2;4)M M = uuuuuuur Xét 1 2 1 2 ; . 16 14 0u u M M   = − + =   uur uur uuuuuuur  (d) và (d’) đ ng ph ng .ồ ẳ *G i (P) là m t ph ng ch a (d) và (d’) => (P) có vtpt ọ ặ ẳ ứ (1;2; 1)n = − ur và đi qua M 1 nên có ph ng trình ươ 2 2 0x y z+ − + = *D th y đi m M(1;-1;1) thu c mf(P) , t đó ta có đpcm ễ ấ ể ộ ừ 0.25 0.25 0.25 0.25 8.a *Đi u ki n :x>0ề ệ *TH1 : xét x=1 là nghi m ệ *TH2 : xét 1x ≠ , bi n đ i ph ng trình t ng đ ng v i ế ổ ươ ươ ươ ớ 1 2 1 1 2log (24 1) 2 log (24 1) log (24 1) x x x x x x + = + + + + + Đ t ặ log ( 1) x x t+ = , ta đ c ph ng trình ượ ươ 1 2 1 1 2 2t t t + = + + gi i đ c t=1 và t=-2/3 ả ượ *V i t=1 ớ log ( 1) 1 x x⇒ + = ph ng trình này vô nghi m ươ ệ *V i t=-2/3 ớ 2 log ( 1) 3 x x⇒ + = − 2 3 .(24 1) 1x x⇔ + = (*) Nh n th y ậ ấ 1 8 x = là nghi m c a (*) ệ ủ N u ế 1 8 x > thì VT(*)>1 0.25 0.25 0.25 0.25 N u ế 1 8 x < thì VT(*)<1 , v y (*) có nghi m duy nh t ậ ệ ấ 1 8 x = *K t lu n : Các nghi m c a ph ng trình đã cho là x=1 và ế ậ ệ ủ ươ 1 8 x = 6.b *(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1 *(d) c t (C) t i hai đi m phân bi t ắ ạ ể ệ ( ; ) 1d O d⇔ < *Ta có 1 1 1 . .sin .sin 2 2 2 O A B S O A O B A O B A O B= = ≤ T đó di n tích tam giác AOB l n nh t khi và ch khi ừ ệ ớ ấ ỉ 0 90A O B = 1 ( ; ) 2 d I d⇔ = 1m ⇔ = ± 0.25 0.25 0.25 0.25 7.b * 1 ∆ có ph ng trình tham s ươ ố 2 2 1 3 x t y t z t = −   = − +   =  * 2 ∆ có ph ng trình tham s ươ ố 2 5 3 x s y s z s = +   = +   =  *Gi s ả ử 1 2 ;d A d B∩ ∆ = ∩∆ = (2 2 ; 1 ;3 ) B(2+s;5+3s;s)A t t t⇒ − − + * ( 2 ;3 6; 3 )A B s t s t s t= + − + − uuuur , mf(R) có vtpt (1;2; 3)n = − ur * ( ) &d R A B n⊥ ⇔ uuuur ur cùng ph ng ươ 2 3 6 3 1 2 3 s t s t s t+ − + − ⇔ = = − 23 24 t⇒ = *d đi qua 1 1 23 ( ; ; ) 12 12 8 A và có vtcp (1;2; 3)n = − ur => d có ph ng trình ươ 23 1 1 8 12 12 1 2 3 z x y − − − = = − 0.25 0.25 0.25 0.25 8.b *Đi u ki n : ề ệ 3 0 log (9 72) 0 9 72 0 x x x >   − >   − >  gi i đ c ả ượ 9 log 73x > Vì 9 log 73x > >1 nên bpt đã cho t ng đ ng v i ươ ươ ớ 3 log (9 72) x x− ≤ 9 72 3 x x ⇔ − ≤ 3 8 3 9 x x  ≥ −  ⇔  ≤   2x ⇔ ≤ *K t lu n t p nghi m : ế ậ ậ ệ 9 (log 72; 2]T = 0.25 0.25 0.25 0.25 L u ý : N u thí sinh làm cách khác đúng thì giám kh o ch m theo các b c làm c a cách đó .ư ế ả ấ ướ ủ . c và đào t o Hà n i ở ụ ạ ộ Tr ng THPT Liên Hà ĐÊ THI TH ĐAI HOC NĂM 2011 ờ ̀ Ử ̣ ̣ **************** Môn : TOAN; khôi: A, B(́ ́ Th i gian lam bai: 180 phut, không kê th i gian phat đê)ờ ̀ ̀. (SBC) b ng ằ HK A . *L p lu n và tính đ c AC=AB =a ,ậ ậ ượ 2 2 a HA = , 0 3 tan 60 2 a SH H F= = *Tam giác SHK vuông t i H có ạ 2 2 2 1 1 1 3 10 K H a HK H S HB = + ⇒ = *Tam giác AHK vuông t i. )(1 ) c b a V T a b c a c b − − − = + + − − − − − − Do a, b,c d ng và a+ b+c=1 nên a, b,c thu c kho ng (0;1) => 1 -a, 1-b,1-cươ ộ ả d ng ươ *áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s d ng ta đ c ụ ấ