264 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan 4. y  = xe x ; y(0) = y  (0) = 0. (DS. y =(x −2)e x + x +2) 5. xy  = y  .(DS. y = C 1 x 2 + C 2 ) 6. xy  + y  = 0. (DS. y = C 1 ln |x|+ C 2 ) 7. xy  =(1+2x 2 )y  .(DS. y = C 1 e x 2 + C 2 ) 8. xy  = y  + x 2 .(DS. y = x 3 3 + C 1 x 2 + C 2 ) 9. xy (3) − y  = 0. (DS. y = C 1 x 3 + C 2 x + C 3 ) 10. y  = y  2 .(DS. y = C 2 − ln |C 1 − x|) 11. y  =1+y  2 .(DS. y = C 2 − ln |cos(x + C 1 )|) 12. y  + y  +2=0;y(0) = 0, y  (0) = −2. (DS. y = −2x) 14.2.2 Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh cˆa ´ p2v´o . i hˆe . sˆo ´ h˘a ` ng I. Phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh thuˆa ` nnhˆa ´ t Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan da . ng y  + a 1 y  + a 2 y = 0 (14.42) trong d ´o a 1 , a 2 l`a c´ac h˘a ` ng sˆo ´ ,du . o . . cgo . i l`a phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ tcˆa ´ p2v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng. 1. Nˆe ´ u y 1 v`a y 2 l`a c´ac nghiˆe . m riˆeng cu ’ a (14.42) sao cho y 1 (x) y 2 (x) = const th`ı y = C 1 y 1 + C 2 y 2 l`a nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.42). 2. Nˆe ´ u y = u(x)+iv(x) l`a nghiˆe . mcu ’ a (14.42) th`ı phˆa ` n thu . . c u(x) v`a phˆa ` na ’ o v(x)c˜ung l`a nghiˆe . m. D ˆe ’ x´ac di . nh c´ac nghiˆe . m riˆeng y 1 (x)v`ay 2 (x)dˆa ` u tiˆen cˆa ` n gia ’ i phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng (ptd t) thu du . o . . cb˘a ` ng c´ach d ˘a . t y = e λx λ 2 + a 1 λ + a 2 =0. (14.43) 14.2. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p cao 265 Hiˆe ’ n nhiˆen ta luˆon xem bˆo . icu ’ a nghiˆe . mcu ’ a (14.43) l`a r =1(do . n) ho˘a . c 2 (k´ep). Ta c˜ung quy u . ´o . cbˆo . i r =0nˆe ´ u λ khˆong l`a nghiˆe . mcu ’ a (14.43). Ta c´o ba ’ ng t´om t˘a ´ t sau Nghiˆe . mcu ’ a ptdt Nghiˆe . m riˆeng cu ’ a (14.42) Nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.42) I. λ 1 ,λ 2 ∈ R, λ 1 = λ 2 y 1 = e λ 1 x , y 2 = e λ 2 x y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x II. λ 1 = λ 2 = λ ∈ R y 1 = e λx , y 2 = xe λx y = C 1 e λx + C 2 xe λx = e λx (C 1 + C 2 x) III. λ 1 ,λ 2 ∈ C y 1 = e αx cos βx y = e αx (C 1 cos βx λ = α ± iβ y 2 = e αx sin βx +C 2 sin βx) V´ı du . 1. T`ım nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh y  + y  −2y =0. Gia ’ i. T`ım nghiˆe . m trong da . ng y = e λx , ta c´o y  = λe λx , y  = λ 2 e λx . Thay v`ao phu . o . ng tr`ınh ta thu d u . o . . cphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng λ 2 + λ −2=0⇔  λ 1 =1, λ 2 = −2. Ca ’ hai nghiˆe . m λ 1 ,λ 2 ∈ R v`a kh´ac nhau nˆen theo tru . `o . ng ho . . pIo . ’ ba ’ ng ta c´o y 1 = e x , y 2 = e −2x v`a do d´o y = C 1 e x + C 2 e −2x .  V´ı du . 2. C˜ung ho ’ inhu . trˆen d ˆo ´ iv´o . iphu . o . ng tr`ınh y  +2y  + y =0. 266 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan Gia ’ i. Phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . . ng tu . o . ng ´u . ng c´o da . ng λ 2 − 2λ +1=0⇔ λ 1 = λ 2 =1. C´ac nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng thu . . cv`ab˘a ` ng nhau nˆen y 1 = e x , y 2 = xe x .Dod´o y = C 1 e x + C 2 xe x = e x (C 1 + C 2 x).  V´ı du . 3. T`ım nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh y  − 4y  +13y =0. Gia ’ i. Ptd ttu . o . ng ´u . ng c´o da . ng λ 2 − 4λ +13=0⇔  λ 1 =2+3i, λ 2 =2− 3i. . C´ac nghiˆe . mph´u . c n`ay tu . o . ng ´u . ng v´o . i c´ac nghiˆe . m riˆeng d ˆo . clˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh l`a y 1 = e 2x cos 3x, y 2 = e 2x sin 3x.Dod´o nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´avt c´o da . ng y = C 1 e 2x cos 3x + C 2 e 2x sin 3x = e 2x (C 1 cos 3x + C 2 sin 3x).  II. Phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh khˆong thuˆa ` nnhˆa ´ t Phu . o . ng tr`ınh da . ng y  + a 1 y  + a 2 y = f(x) (14.44) trong d ´o a 1 , a 2 l`a nh˜u . ng h˘a ` ng sˆo ´ thu . . c, f(x) l`a h`am liˆen tu . cd u . o . . cgo . i l`a ptvp tuyˆe ´ n t´ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ tv´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng. D - i . nh l´y. Nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.44) l`a tˆo ’ ng cu ’ a nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a phu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ ttu . o . ng ´u . ng v`a mˆo . t nghiˆe . mriˆeng n`ao d ´o cu ’ a phu . o . ng tr`ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ t (14.44). 14.2. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p cao 267 T`u . Iv`ad i . nh l´y v`u . a ph´at biˆe ’ u suy r˘a ` ng b`ai to´an t`ım nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.44) d u . o . . cd u . avˆe ` b`ai to´an t`ım nghiˆe . m riˆeng ˜y cu ’ a n´o. N´oi chung ph´ep t´ıch phˆan (14.44) luˆon luˆon c´o thˆe ’ thu . . chiˆe . n nh`o . phu . o . ng ph´ap biˆe ´ n thiˆen h˘a ` ng sˆo ´ Lagrange. Nˆe ´ uvˆe ´ pha ’ ic´oda . ng d ˘a . cbiˆe . t ta c´o thˆe ’ t`ım nghiˆe . m riˆeng cu ’ a (14.44) nh`o . Phu . o . ng ph´ap cho . n (phu . o . ng ph´ap hˆe . sˆo ´ bˆa ´ td i . nh khˆong ch´u . a qu´a tr`ınh t´ıch phˆan). Ta c´o ba ’ ng t´om t˘a ´ t sau trong d ´o P n (x),Q m (x), l`a c´ac d ath´u . cd a . isˆo ´ bˆa . ctu . o . ng ´u . ng. Vˆe ´ pha ’ icu ’ a (14.44) Nghiˆe . mcu ’ a ptdtDa . ng nghiˆe . m riˆeng I. Sˆo ´ 0 l`a nghiˆe . m˜y = Q n (x)x r f(x)=P n (x)bˆo . i r cu ’ a ptdt Q n cˆa ` ndu . o . . c x´ac d i . nh II. Sˆo ´ α l`a nghiˆe . m˜yx r Q n (x)e αx f(x)=e αx P n (x)bˆo . i r cu ’ a ptdt Q n (x)cˆa ` ndu . o . . c x´ac d i . nh III. f(x)= Sˆo ´ ph´u . c iβ l`a ˜y = x r (A cos βx a cos βx nghiˆe . mbˆo . i r +B sin βx); A, +b sin βx cu ’ a ptd t B -cˆa ` nx´acdi . nh IV. f(x)=e αx × Sˆo ´ α + iβ l`a ˜y = x r e αx × [P n (x) cos βx+ nghiˆe . mbˆo . i r [Q 1 (x) cos βx+ Q m (x) sin βx]cu ’ a ptdt Q 2 (x) sin βx], Q 1 v`a Q 2 l`a dath´u . cbˆa . c s = max(m, n) V. Vˆe ´ pha ’ icu ’ aphu . o . ng tr`ınh l`a tˆo ’ ng cu ’ a hai h`am y  + a 1 y  + a 2 y = f 1 (x)+f 2 (x). 268 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan Khi d´o nghiˆe . m riˆeng c´o thˆe ’ t`ım du . ´o . ida . ng ˜y =˜y 1 +˜y 2 trong d´o ˜y 1 l`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ aphu . o . ng tr`ınh y  + a 1 y  + a 2 y = f 1 (x), c`on ˜y 2 l`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ aphu . o . ng tr`ınh y  + a 1 y  + a 2 y = f 2 (x). V´ı du . 4. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh y  − 2y  + y = x + 1 (da . ng I) Gia ’ i. Nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ ttu . o . ng ´u . ng c´o da . ng Y = e x (C 1 + C 2 x). V`ı λ 1 = λ 2 =1nˆen sˆo ´ 0 khˆong l`a nghiˆe . m cu ’ a ptd tv`adod´o r = 0 v`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˜a c h o (tru . `o . ng ho . . p I) cˆa ` n t`ım du . ´o . ida . ng ˜y = x 0 (Ax + B) trong d ´o A, B l`a nh˜u . ng h˘a ` ng sˆo ´ cˆa ` nx´acd i . nh. Thˆe ´ ˜y v`a ˜y  ,˜y  v`ao phu . o . ng tr`ınh v`a so s´anh c´ac hˆe . sˆo ´ cu ’ a c´ac l˜uy th`u . ac`ung bˆa . ccu ’ a x ta thu d u . o . . c A =1,−2A + B =1⇒ A =1,B = 3. Do vˆa . y˜y = x +3 v`a y =˜y + Y =3+x + e x (C 1 + C 2 x).  V´ı du . 5. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh y  − 4y  +3y = xe x (da . ng II). Gia ’ i. Nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ ttu . o . ng ´u . ng c´o da . ng Y = C 1 e x + C 2 e 3x .V`ıvˆe ´ pha ’ i f(x)=xe x nˆen (xem II) ta c´o P n (x)=x, α =1v`anhu . vˆa . ysˆo ´ α = 1 l`a nghiˆe . md o . ncu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng; r = 1. Do vˆa . y nghiˆe . m riˆeng cˆa ` nt`ımdu . ´o . ida . ng ˜y =(Ax + B)xe x T´ınh ˜y  ,˜y  rˆo ` ithˆe ´ v`ao phu . o . ng tr`ınh d ˜a cho ta thu du . o . . c A = − 1 4 , B = − 1 4 v`a t`u . d ´o y =˜y + Y = − 1 4 (x +1)xe x + C 1 e x + C 2 e 3x = C 1 e x + C 2 e 3x − 1 4 x(x +1)e x .  14.2. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p cao 269 V´ı du . 6. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh y  + y = sin x (da . ng II I). Gia ’ i. Phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng λ 2 + 1 = 0 c´o nghiˆe . m λ 1 = i, λ 2 = −i.Dod´o nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ tl`a Y = C 1 cos x+C 2 sin x.V`ı f(x)=sinx =0·cos x +1·sin x nˆen a =0, b =1,β =1. V`ı iβ = i l`a nghiˆe . md o . ncu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng nˆen r = 1 v`a nghiˆe . m riˆeng cˆa ` nt`ımdu . ´o . ida . ng ˜y =(A cos x + B sin x)x. Thˆe ´ ˜y v`ao phu . o . ng tr`ınh ta thu d u . o . . c A = − 1 2 , B =0v`a y = − 1 2 cos x + C 1 cos x + C 2 sin x.  V´ı du . 7. X´et phu . o . ng tr`ınh y  + y = sin 2x (da . ng II I). Gia ’ i. Tu . o . ng tu . . nhu . trong v´ıdu . 6 ta c´o Y = C 1 cos x + C 2 sin x. Phu . o . ng tr`ınh d ˜a cho c´o β =2. V`ıiβ =2i khˆong l`a nghiˆe . mcu ’ a phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng nˆen r =0v`a ˜y = A cos 2x + B sin 2x Thˆe ´ ˜y v`ao phu . o . ng tr`ınh d ˜achoc`ung v´o . i˜y  ,˜y  ta c´o A =0,B = − 1 3 . Do d ´o y =˜y + Y = − 1 3 sin 2x + C 1 cos x + C 2 sin x.  V´ı du . 8. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh y  − 2y  + y = sin x + e −x (da . ng V). Gia ’ i. Phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng c´o nghiˆe . m λ 1 = λ 2 = 1. Do vˆa . y nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ ttu . o . ng ´u . ng c´o da . ng Y = e x (C 1 + C 2 x). 270 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan V`ıvˆe ´ pha ’ icu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˜a cho l`a tˆo ’ ng cu ’ a hai h`am sin x v`a e −x nˆen nghiˆe . m riˆeng cˆa ` n t`ım du . ´o . ida . ng ˜y =˜y 1 +˜y 2 , trong d´o ˜y 1 l`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ a y  − 2y  + y = sin x (14.45) c`on ˜y 2 l`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ aphu . o . ng tr`ınh y  − 2y  + y = e −x (14.46) T`ım ˜y 1 .V`ı f(x) = sin x ⇒ β = 1. Tiˆe ´ pd´ov`ıiβ = i khˆong l`a nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng nˆen r = 0 v`a nghiˆe . m riˆeng ˜y cˆa ` n t`ım du . ´o . ida . ng ˜y 1 = A cos x + B sin x. Thay ˜y 1 ,˜y  1 ,˜y  1 v`ao (14.45) ta thu du . o . . c A = 1 2 , B =0: ˜y 1 = 1 2 cos x. T`ım ˜y 2 .Vˆe ´ pha ’ i f(x)=e −x (xem II). Sˆo ´ α = −1 khˆong l`a nghiˆe . m cu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng nˆen r =0nˆen nghiˆe . m riˆeng cˆa ` nt`ımdu . ´o . i da . ng ˜y 2 = Ae −x . Thay ˜y 2 ,˜y  2 ,˜y  2 v`ao (14.46) ta thu du . o . . c A = 1 4 v`a do vˆa . y ˜y 2 = 1 4 e −x . Nhu . vˆa . y˜y =˜y 1 +˜y 2 = 1 2 cos x + 1 4 e −x v`a y =˜y + Y = 1 2 cos x + 1 4 e −x + e x (C 1 + C 2 x).  B ` AI T ˆ A . P 14.2. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p cao 271 Gia ’ i c´ac phu . o . ng tr`ınh vi phˆan sau 1. y  − 5y  + 4 = 0. (DS. y = C 1 e −x + C 2 e 4x ) 2. y  − 6y  +9y = 0. (DS. y = e 3x (C 1 + C 2 x)) 3. y  +8y  +25y = 0. (DS. y = e −4x (C 1 cos 3x + C 2 sin 3x)) 4. y  − 3y  +2y = 0. (DS. y = C 1 e x + C 2 e 2x ) 5. y  − 4y  +4y = 0. (DS. y = e 2x (C 1 + C 2 x)) 6. y  − 2y  +2y = 0. (DS. y = e x (C 1 cos x + C 2 sin x)) Gia ’ i c´ac b`ai to´an Cauchy sau 7. y  +4y  +5y =0;y(0) = −3, y  (0) = 0. (D S. y = −3e −2x (cos x + 2 sin x)) 8. y  − 4y  +3y =0;y(0) = 6, y  (0) = 10. (DS. y =4e x +2e 3x ) 9. y  − 2y  +2y =0;y(0) = 0, y  (0) = 1. (DS. y = e x sin x) 10. y  − 2y  +3y =0;y(0) = 1, y  (0) = 3. (D S. y = e x (cos √ 2x + √ 2 sin √ 2x)) 11. y  +4y  =0;y(0) = 7, y  (0) = 8. (DS. y =9− 2e −4x ) 12. y  +4y =0;y(0) = 0, y  (0) = 2. (DS. y = sin 2x) Gia ’ i c´ac phu . o . ng tr`ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ t sau 13. y  +2y  + y = e x .(DS. y =(C 1 x + C 2 )e −x + 1 4 e x ) 14. y  − 3y  +2y = e x .(DS. y = C 1 e 2x +(C 2 − x)e x ) 15. y  + y  − 2y =6x 2 .(DS. y = C 1 e x + C 2 e −x − 3(x 2 + x +1, 5)) 16. y  +3y  =9x.(DS. y = C 1 + C 2 e −3x + 3 2 x 2 − x) 17. y  − 2y = xe −x .(DS. y = C 1 e x √ 2 + C 2 e −x √ 2 −(x − 2)e −x ) 18. y  − 4y =8x 3 .(DS. y = C 1 e 2x + C 2 e −2x − 2x 3 − 3x) 19. y  − 5y  +6y = 13 sin 3x. 272 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan (DS. y = C 1 e 2x + C 2 e 3x + 1 6 (5 cos 3x −sin 3x)) 20. y  +4y = 3 sin 2x.(DS. y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x − 3 4 x cos 2x) 21. y  +4y = sin 2x.(DS. y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x − 1 4 x cos 2x) 22. y  + y = x cos x. (D S. y = C 1 cos x + C 2 sin x + 1 4 x cos x + 1 4 x 2 sin x) 23. y  −2y  +3y = e −x cos x. (D S. y = e x (C 1 cos √ 2x + C 2 sin √ 2x)+ e −x 41 (5 cos x −4 sin x)) 24. y  −3y  +2y = e 3x (x 2 + x). (D S. y = C 1 e x + C 2 e 2x + e 3x 2 (x 2 − 2x + 2)) 25. y  + y = x +2e x .(DS. y = C 1 cos x + C 2 sin x + x + e x ) 26. y  −2y  + y =3e x + x +1. (D S. y = 3 2 e x x 2 + x +3+e x (C 1 x + C 2 )) 27. y  −6y  +8y = e x + e 2x . (D S. y = 1 3 e x − 1 2 xe 2x + C 1 e 2x + C 2 e 4x ) 28. y  +9y = e x cos 3x. (D S. y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x + e x 37 (cos 3x + 6sin 3x)) 29. y  −4y  +4y = xe 2x .(DS. y =(C 1 x + C 2 )e 2x + 1 6 x 3 e 2x ) 30. y  + y = 4 cos x +(x 2 +1)e x . (D S. y = C 1 cos x + C 2 sin x +2x sin x + e x (1 −x + 1 2 x 2 )) 31. y  −6y  +9y =25e x sin x. (D S. y =(C 1 + C 2 x)e 3x + e x (4 cos x + 3 sin x)) 32. y  +2y  +5y = e −x sin 2x. (D S. y =(C 1 cos 2x + C 2 sin 2x)e −x − 1 4 xe −x cos 2x) 14.2. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p cao 273 33. y  + y  =4x 2 e x .(DS. y = C 1 + C 2 e −x +(2x 2 − 6x +7)e x ) 34. y  +10y  +25y =4e −5x .(DS. y =(C 1 + C 2 x)e −5x +2x 2 e −5x ) 14.2.3 Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ tcˆa ´ p n n n (ptvptn cˆa ´ p n n n)v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan da . ng L(y) ≡ y (n) + a 1 y (n−1) + ···+ a n−1 y  + a n y = 0 (14.47) trong d ´o a 1 ,a 2 , ,a n l`a nh˜u . ng h˘a ` ng sˆo ´ thu . . cd u . o . . cgo . i l`a phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ tcˆa ´ p n (ptvptn cˆa ´ p n)v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng. 1. Nˆe ´ u y 1 (x)v`ay 2 (x) l`a nghiˆe . mcu ’ a (14.47): Ly =0th`ıy = C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)c˜ung l`a nghiˆe . mcu ’ a n´o; 2. Nˆe ´ u y(x)=u(x)+iv(x) l`a nghiˆe . mcu ’ a (14.47) th`ı phˆa ` n thu . . c u(x) v`a phˆa ` na ’ o v(x)cu ’ an´oc˜ung l`a nghiˆe . mcu ’ a (14.47). Lu . o . . cd ˆo ` gia ’ i phu . o . ng tr`ınh (14.47) Xuˆa ´ t ph´at t`u . ptvptn L(y) ≡ y (n) + a 1 y (n−1) + ···+ a n y =0 a 1 ,a 2 , ,a n ∈ R    Lˆa . pphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng ϕ(λ)=λ n + a 1 λ n−1 + ···+ x n−1 λ + A n =0    T`ım nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng ϕ =0:λ 1 ,λ 2 , ,λ n .    [...]... C2ex + C3 ex/2) 6 y (3) − 6y (2) + 13y = 0 (DS y = C1 + e3x(C2 cos 2x + C3 sin 2x)) 7 y (4) + 13y (2) + 36 y = 0 (DS y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + C3 cos 3x + C4 sin 3x) ’ a a a Giai c´c b`i to´n Cauchy sau dˆy a 8 y + 4y + 5y = 0; y(0) = 3, y (0) = 0 (DS y = −3e−2x (cos x + 2 sin x)) 9 y (3) + 3y (2) + 3y + y = 0; y(0) = −1, y (0) = 2, y (0) = 3 (DS y = e−x (3x2 + x − 1)) 10 y (3) − 3y (2) + 3y − y =... = (C1 + C2x)ex + (C3 + C4 x)e−x + 1 cos x) 4 19 y (3) − 3y (2) + 3y − y = ex cos x ex (DS y = (C1 + C2 x + C3 x )e − sin 2x) 8 (4) (2) 2 20 y − 3y = 9x √ √ x4 − x2) (DS y = C1 + C2 x + C3 e 3x + C4e− 3x − 4 x 21 4y (3) + y = 3ex + 2 sin 2 x x 3 x (DS y = C1 + C2 cos + C3 sin + ex − x sin ) 2 2 5 2 (3) (2) 2 22 y + y = 12x 2 x (DS y = x4 − 4x3 + 12x2 + C1 + C2 x + C3e−x ) 23 y (3) − 5y (2) + 8y −... a ’ ta c´ o kα = a11α + a12β + a 13 , kβ = a21α + a22β + a 23 , kγ = a31α + a32β + a 33 , hay l` a (a11 − k)α + a12β + a 13 = 0, a21α + (a22 − k)β + a 33 = 0, (14.60) a31α + a32β + (a 33 − k)γ = 0 ´ ` ´ ı e ı a a o o Hˆ (14.60) l` hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´nh thuˆn nhˆt N´ c´ e a e nghiˆm kh´c 0 khi v` chı khi e a a ’ a11 − k a12 a 13 = 0 a21 a22 − k a 23 a31 a32 a 33 − k (14.61) ’ ´ D˘ng th´.c (14.61)... h˘ng e ´ a ´ iii) dˆi v´.i k3 : x3 , y3, z3 o o ’ ’ ´ o th` nghiˆm tˆng qu´t cua hˆ (14.58) c´ thˆ viˆt du.´.i dang ı e o a ’ e o e e x(t) = C1 x1 + C2 x2 + C3x3 , y(t) = C1 y1 + C2 y2 + C3y3 , z(t) = C1 z1 + C2 z2 + C3 z3, hay l` a x(t) = C1α1 ek1 t + C2 α2 ek2 t + C3 3 ek3 t , y(t) = C1β1 ek1 t + C2β2 ek2 t + C3 3 ek3 t , k1 t z(t) = C1γ1 e k2 t k3 t + C2 γ2 e + C3 3 e Ta x´t mˆt v´ du minh hoa... (14. 63) z + a31x + a32y + a33z = f3 (t) ’ ´ ` ` ´ ’ Ta gia thiˆt r˘ng nghiˆm tˆng qu´t cua hˆ thuˆn nhˆt tu.o.ng u.ng d˜ e a e o a ’ e a a ´ a du.o.c t` du.´.i dang ım o x = C1 x1 + C2x2 + C3x3 , y = C1 y1 + C2y2 + C3y3 , (14.64) z = C1 z1 + C2z2 + C3z3 ` ´ ’ e Ta t` nghiˆm cua hˆ thuˆn nhˆt (14. 63) du.´.i dang ım e a a o x = C1 (t)x1 + C2(t)x2 + C3(t)x3, y = C1 (t)y1 + C2 (t)y2 + C3(t)y3, (14.65)... C2e−x sin x + C3xe−x cos x + C4xe−x sin x = e−x [C1 + C3x] cos x + e−x [C2 + C4x] sin x ` ˆ BAI TAP ’ a ınh Giai c´c phu.o.ng tr` sau 1 y (3) + 6y (2) + 11y + 6y = 0 (DS y = C1e−x + C2 e−2x + C3e−3x ) √ √ 2 y (3) − 8y = 0 (DS y = C1 e2x + e−x (C2 cos 3x + C3 sin 3x)) 3 y (4) − y = 0 (DS y = C1ex + C2 e−x + C3 cos x + C4 sin x) 4 y (3) − 3y − 2y = 0 (DS y = e−x (C1 + C2 x) + C3e2x) 5 2y (3) − 3y (2) + y... ınh e ınh o a a 13 y (3) + y (2) = 1 14 3y (4) + y (3) = 2 (DS y = C1 + C2 x + C3e−x + x2 ) 2 x (DS y = C1 + C2x + C3 x2 + C4 e− 3 + x3 ) 3 15 y (4) − 2y (3) + 2y (2) − 2y + y = 1 (DS y = C1 cos x + C2 sin x + (C3 + C4 x)ex + 1) 16 y (3) − y (2) + y − y = x2 + x (DS y = C1ex + C2 cos x + C3 sin x − (x2 + 3x + 1)) 17 y (4) + y (2) = x2 + x (DS y = C1 + C2 x + C3 cos x + C4 sin x + x 4 x3 + − x2 ) 12 6... (t)y2 + C3(t)y3, (14.65) z = C1 (t)z1 + C2(t)z2 + C2 (t)z3, ´ trong d´ C1(t), C2(t), C3(t) l` nh˜.ng h`m c`n chu.a biˆt a o e o a u ´ ´ Thˆ (14.65) v`o (14. 63) Khi d´ phu.o.ng tr`nh th´ nhˆt cua hˆ e a ı u a ’ e o (14. 63) c´ dang o C1x1 + C2 x2 + C3 x3 + C1(x1 + a11x1 + a12y1 + a13z1) + C2(x2 + a11x2 + a12y2 + a13z2) + C3(x3 + a11x3 + a12y3 + a13z3) = f1 (t) (14.66) ’ ` ´ ’ C´c tˆng trong c´c dˆu ngo˘c... 1 y (3) + y = x (DS y = A1 + A2x) ˜ 2 y (3) + y = 2 (DS y = Ax) ˜ 3 y (3) + y (2) = 3 (DS y = Ax2) ˜ 4 y (4) − y = 1 (DS y = A, A = const) ˜ 5 y (4) − y = 2 (DS y = Ax) ˜ 6 y (4) − y (2) = 3 (DS y = Ax2) ˜ 7 y (4) − y (3) = 4 (DS y = Ax3) ˜ 8 y (4) + 2y (3) + y (2) = e4x (DS y = Ae4x) ˜ 9 y (4) + 2y (3) + y (2) = e−x (DS y = Ax2e−x ) ˜ 10 y (4) + 2y (3) + y (2) = xe−x (DS y = (A1 x2 + A2 x3)e−x... dang 3 + 2λ2 + λ = 0 a a e a ` e T` d´ suy ra λ1 = λ2 = −1, 3 = 0 C´c nghiˆm n`y dˆu thu.c v` u o λ = −1 l` nghiˆm k´p nˆn ´p dung (14. 49) ta thu du.o.c a e e e a y = C1 e−x + C2xe−x + C3 ´ ’ e o o ınh V´ du 3 C˜ng hoi nhu trˆn dˆi v´.i phu.o.ng tr` ı u y (3) + 4y (2) + 13y = 0 ’ ınh a o a e Giai Phu.o.ng tr` d˘c tru.ng 3 + 4λ2 + 13 = 0 c´ c´c nghiˆm ’ λ1 = 0, λ2 = −2 − 3i, 3 = −2 + 3i Do . C 2 e −2x + C 3 e −3x ) 2. y (3) −8y = 0. (DS. y = C 1 e 2x + e −x (C 2 cos √ 3x + C 3 sin √ 3x)) 3. y (4) −y = 0. (DS. y = C 1 e x + C 2 e −x + C 3 cos x + C 4 sin x) 4. y (3) −3y  − 2y = 0 e −x (C 1 + C 2 x)+C 3 e 2x ) 5. 2y (3) − 3y (2) + y  = 0. (DS. y = C 1 + C 2 e x + C 3 e x/2 ) 6. y (3) −6y (2) +13y  = 0. (DS. y = C 1 + e 3x (C 2 cos 2x + C 3 sin 2x)) 7. y (4) +13y (2) +36 y =0. (D S C 2 sin 2x + C 3 cos 3x + C 4 sin 3x) Gia ’ i c´ac b`ai to´an Cauchy sau d ˆa y 8. y  +4y  +5y =0;y(0) = 3, y  (0) = 0. (D S. y = −3e −2x (cos x + 2 sin x)) 9. y (3) +3y (2) +3y  + y =0;y(0)