. C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN . I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ .1 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị r r ur , ,i j k ( ) r r r = = =i j k 1 . .2 ( ) ur ur r r ur ⇔ = + +; ; 1 2 3 1 2 3 a a a a a a i a j a k ; M(x;y;z)⇔ uuur r r ur = + +OM xi yj zk .3 Tọa độ của vectơ: cho r r ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z 1. r r = ⇔ = = ='; '; 'u v x x y y z z 2. ( ) r r ± = ± ± ±'; '; 'u v x x y y z z 3. r = ( ; ; )ku kx ky kz 4. r r = + +. ' ' 'u v xx yy zz 5. r r ⊥ ⇔ + + =' ' 'u v xx yy zz 0 6. r = + + 2 2 2 u x y z 7. r r ,u v cùng phương⇔ r r r =[ , ]u v 0 9. ( ) ur r r r r r = . . cos , u v u v u v . .4 TÝch cã híng cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= = r r 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 a a a a a a , ; ; ( ; ; ) b b b b b b     = ∧ = = = − − −  ÷     n a b a b a b a b a b a b a b a b r r r r r Nếu (P) có cặp vtcp ,ba r r (không cùng phương và có giá // (P) hoặc ⊂ (P) ) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định ,   = ∧ =   p n a b a b uur r r r r .5 Tọa độ của điểm: cho A(x A ;y A ;z A ), B(x B ;y B ;z B ) 1. uuur = − − −( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z 2. = − + − + −( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A AB x x y y z z 3.G là trọng tâm ∆ ABC:x G = + + A B C x x x 3 ;y G = + + A B C y y y 3 ; z G = + + A B C z z z 3 4. M chia AB theo tỉ số k: − − − = = = − − − ; ; ; A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z 1 k 1 k 1 k Đặc biệt: M là trung điểm của AB: + + + = = =; ; . A B A B A B M M M y x x y y z z x z 2 2 2 5. ABC là một tam giác⇔ uuur uuur ∧AB AC ≠ r 0 khi đó S= uuur uuur ∧ 1 AB AC 2 6. ABCD là một tứ diện⇔ uuur uuur ∧AB AC . uuur AD ≠0, V ABCD = ( ) uuur uur uuur ∧ ,AC 1 AB AD 6 , II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT A. Mặt phẳng Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), r = ( ; ; )n A B C }. Cã pttq: hay A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0⇔ Ax+By+Cz+D=0. D=-(Ax 0 +By 0 +Cz 0 )  một số mặt phẳng thường gặp: 1. a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; b/ mặt phẳng (Oxz): y=0; c/ mặt phẳng (Oyz): x=0. 2. Mpđi qua 3điểm A,B,C: có r uuur uuur = ( ) [ , ] ABC n AB AC 3. α // β ⇒ uur uur α β =n n 4. α ⊥ β ⇒ uur uur α β =n u vµ ngîc l¹i 5. α //d ⇒ uur uur α = d u u 6. α ⊥ d ⇒ uur uur α = d n u . ( ) 1;0;0i r ( ) 0;1;0j r ( ) 0;0;1k r O z x y B. Đường thẳng IV.Đường cong +Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), uur ∆ u =(a;b;c)} 1. .Phương trình tham số: = +   = +   = +  0 0 0 x x at y y bt z z ct ; 2. .Phương trình chính tắc: − − − = = 0 0 0 x x y y z z a b c 3. Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: + + + =   + + + =  1 1 1 1 2 2 2 2 A x B y C z D 0 A x B y C z D 0 trong đó ur = ( ; ; ) 1 1 1 1 n A B C , uur = ( ; ; ) 2 2 2 2 n A B C là hai VTPT và VTCP uur uuruur ∆ = [ ] 1 2 u n n . +Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: = =    y 0 z 0 ; Oy: = =    x 0 z 0 ; Oz: = =    x 0 y 0 b/ (AB): r uuur = AB u AB ; c/ ∆ 1 //∆ 2 ⇒ . 1 2 u k u ∆ ∆ = uur uur ; d/ ∆ 1 ⊥∆ 2 ⇒ . 1 2 u u 0 ∆ ∆ = uur uur . C. Góc Góc giữa 2 đ thẳng *cos(∆,∆’)=cos ϕ = ur uur r ur . ' . ' u u u u ; Góc giữa hai mp *cos( α , α ’)=cosϕ= ur uur r ur . ' . ' n n n n ; Góc giữa đ t và mp *sin(∆, α )=sinψ= ur r r r . . n u n u . III .KHOẢNG CÁCH Cho M (x M ;y M ;z M ), ( α ):Ax+By+Cz+D=0,∆:{M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), r ∆ u },∆’ {M’ 0 (x 0 ';y 0 ';z 0 '), ur ∆ 'u } * Kh/ c từ M đến mp(α): d(M, α )= + + + + + M M M 2 2 2 Ax By CZ D A B C * K/ c từ M đến đ t ∆: d(M,∆)= uuuur r r [ , ] 1 MM u u * K/C giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)= r ur uuuuuur ur ur [ , ']. ' [ , '] 0 0 u u M M u u IV. PH¬ng tr×nh dêng vu«ng gãc chung • 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 H(x a h;y b h;z c h) d KH lµ ® êng vu«ng gãc chung cña d vµ d K(x a k;y b k;z c k) d + + + ∈   + + + ∈  d 1 d 2 KH.u 0 KH.u 0  =  ⇔  =   uuur r uuur r • d d 1 2 1 2 u u u lµ VTCP cña ® êng vu«ng goc chung cña 2 ®t chÐo nhau d vµ d= ∧ ∆ r r r • d 1 2 1 1 1 ®i qua A=(P) d trong®ã (P) lµ mp ®i qua M(x ;y ;z ) vµ cã c¨p vtcp lµ u vµ u∆ r r I • d 1 1 1 1 d 2 2 2 2 (P) lµ mp ®i qua M(x ;y ;z ) vµ cã c¨p vtcp lµ u vµ u =(P) (Q) trong ®ã (Q)lµ mp ®i qua M(x ;y ;z ) vµ cã c¨p vtcp lµ u vµ u   ∆    r r I r r V. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S){tâm I(a;b;c),bán kính R} Dạng 1: (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =R 2 (S) Dạng 2: x 2 +y 2 +z 2 -2ax-2by-2cz+d=0 ( ) 2 2 2 a b c d 0+ + − > khi đó R= + + − 2 2 2 a b c d 1. d(I, α )>R: α ∩ (S)=∅ 2. d(I, α )=R: α ∩ (S)=M (M gọi là tiếp điểm) *Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R ( tại M khi đó uur α n = uur IM ) 3. Nếu d( I , α )<R thì α sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của α và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau: a. Tìm r = α - ( , ) 2 2 R d I b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với α . C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN . +H=∆ ∩ α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α ) . TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN . I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ .1 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị r r ur , ,i j k ( ) r r r =. vtcp ,ba r r (không cùng phương và có giá // (P) hoặc ⊂ (P) ) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định ,   = ∧ =   p n a b a b uur r r r r .5 Tọa độ của điểm: cho A(x A ;y A ;z A ),. ur ⇔ = + +; ; 1 2 3 1 2 3 a a a a a a i a j a k ; M(x;y;z)⇔ uuur r r ur = + +OM xi yj zk .3 Tọa độ của vectơ: cho r r ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z 1. r r = ⇔ = = =';