I.ĐẶT VẤN ĐỀ Trong phần động học, nghiên cứu về chuyển động của các vật, thường có những dạng bài tập xác định khoảng cách lớn nhất hay nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình chuyển động, để giải quyết các bài tập này hầu như học sinh và giáo viên thường vận dụng phương pháp lập phương trình chuyển động Tuy nhiên trong một số bài toán cụ thể cần khả năng tư duy cao, nếu dùng dùng phương pháp lập phương trình chuyển động thì bài toán dài dòng, phức tạp. Thực tế qua một số giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở lớp 10, ôn luyện học sinh không chuyên lí thuộc ban KHTN tôi nhận thấy có thể giúp học sinh sử dụng cộng thức cộng vận tốc vào trong bài toán cực trị của phần động học. Trong đề tài này tôi xin đề xuất một phương pháp “Vận dụng phương pháp cộng vận tốc vào bài toán cực trị” II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI A. Kiến thức cơ bản 1.Tính tương đối của toạ độ: Đối với các hệ quy chiếu khác nhau thì toạ độ khác nhau 2. Tính tương đối của vận tốc: Vận tốc của cùng một vật trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau Công thức cộng vận tốc 231213 vvv     13 v  : vận tốc vật 1 đối với vật 3( vận tốc tuyệt đối) 12 v  : vận tốc vật 1 đối với vật 2(vận tốc tương đối) 23 v  : vận tốc vật 2 đối với vật 3(vận tốc kéo theo) 3223 2112 3113 vv vv vv         * Hệ quả: 1. Nếu 1312 ,vv   cùng phương ,cùng chiều thì độ lớn 231213 vvv  2. Nếu 1312 ,vv   cùng phương, ngược chiều thì độ lớn 231213 vvv  3. Nếu 1312 ,vv   vuông góc với nhau thì độ lớn 2 23 2 1213 vvv  4 Nếu 1312 ,vv   tạo với nhau một góc  thì độ lớn  cos2 2312 2 23 2 1213 vvvvv  B.Nội dung các bài tập Bài 1:(Bài tập lí thuyết) Hai chất điểm chuyển động trên hai đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau, tốc độ lần lượt là v 1 và v 2 ( Hình vẽ) a/ Vẽ vẽ véc tơ vận tốc của chất điểm 1 so với chất điểm 2 b/ Biểu diễn trên cùng một hình vẽ khoảng cách ngắn nhất giữa hai chất điểm trong quá trình chuyển động. Giải Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 212112 )( vvvvv       Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc 12 v  chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai chất điểm. Bài 2: Hai xe chuyển động trên hai đường vuông góc với nhau, xe A đi về hướng tây với tốc độ 50km/h, xe B đi về hướng Nam với tốc độ 30km/h. Vào một thời điểm nào đó xe A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt 4,4km và 4km và đang tiến về phía giao điểm. Tìm khoảng cách ngắn nhất giũa hai xe. Giải 1 v  2 v  A B x y Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 212112 )( vvvvv       Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc 12 v  chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai xe.  d min = BH tan 5 3 1 2  v v  00 31,59   d min =BH= BI sin  = (B0-0I) sin  = (B0-0A.tan  ).sin  = 1,166km Bài 3.( đề thi HSG Nghệ An 2005-2006, bảng B ) Hai vật chuyển động trên hai đường đường thẳng vuông góc với nhau với tốc độ không đổi có giá trị lần lượt v 1 = 30km/h, v 2 = 20km/h. Tại thời điểm khoàng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm s 1 =500m. Hỏi lúc đó vật 2 cách giao điểm trên đoạn s 2 bằng bao nhiêu. Giải Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 212112 )( vvvvv       -Tại A cách O đoạn s 1 =500m dựng véc tơ 1 v  và véc tơ - 2 v  , và 12 v  . Kẻ đường AB vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ 12 v  ( Theo đề bài đây là khoảng cách ngắn nhất d min = AB) tan  = 3 2 2 1  v v  B0= )(750 tan 0 m A   Bài 4 Hai tàu chuyển động đều với tốc độ như nhau trên hai đường hợpvới nhau một góc 0 60  và đang tiến về phía giao điểm O. Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai tàu. Cho biết lúc đầu hai tàu cách giao điểm O những khoảng l 1 =20km, l 2 =30km. Giải Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 212112 )( vvvvv       d min = BH, OAK  là tam giác đều (vì tốc độ hai tàu như nhau)  d min =KB.sin  KB= l 2 -l 1  d min =5 3 km Bài 5 Hai vật chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng tạo với nhau một góc  =30 0 với tốc độ 3 1 2 v v  và đang hướng về phía giao điểm, tại thời điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm một đoạn d 1 =30 3 m. Hỏi vật 2 cách giao điểm một đoạn bao nhiêu. S 1 Giải Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 212112 )( vvvvv       BA 12 v   , d min =AB Vì 3 1 2 v v  nên chứng minh được 0 30  Hạ đường AH BO  AH=AO.sin30 0 = d 1 .sin30 0 =15 3 m HO= d 1 .cos30 0 = 45 m BH= m AH 45 30 tan 0   BO=d 2 = 90m Bài 6 Có hai vật M 1 và M 2 lúc đầu cách nhau một khoảng l=2m(Hình vẽ), cùng lúc hai vật chuyển động thẳng đều M 1 chạy về B với tốc độ v 1 =10m/s, M 2 chạy về C với tốc độ v 2 =5m/s . Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật và thời gian để đạt được khoảng cách này.Biết góc tạo bởi hai đường 0 45  Giải Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có 212112 )( vvvvv       d min = AH = AB.sin  v 21 =  )180cos(2 0 21 2 2 2 1  vvvv  cos2 21 2 2 2 1 vvvv  Áp dụng định lí hàm sin ta có  sin)180sin(sin 0 BNBNBM    12 2122 sin sinsin v vvv         cos2 sin 21 2 2 2 1 2 min vvvv lv d 0,5( m) BH=v 12 .t    12 2 min 2 12 v dl v BH t 0,138(s) Bài 7 Ở một đoạn sông thẳng có dòng nước chãy với vận tốc v o , một người từ vị trí A ở bờ sông bên này muốn chèo thuyền tới B ở bờ sông bên kia Cho AC; CB=a. Tính vận tốc nhỏ nhất của thuyền so với nước mà người này phải chèo để có thể tới B Giải Ta có 121 vvv o     . Ta biểu diễn các véc tơ vận tốc trên hình vẽ Vì v o không đổi nên v 12 nhỏ nhất khi 112 vv     V 12 = v o .sin  = 2 2 0 ba bv  Nhận xét: Các bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách thiết lập phương trình, rồi sau đó lí luận theo hàm bậc hai về mặt toán học, tuy nhiên lời giải khá dài hơn! Bài 8. Từ một khí cầu cách mặt đất một khoảng 15m đang hạ thấp với tốc độ đều v 1 =2m/s, từ trong khí cầu người ta phóng một vật nhỏ theo phương thẳng đứng hướng lên với vận tốc đầu v o2 = 18m/s đối với mặt đất. Tìm khoảng cách lớn nhất giữa khí cầu và vật.Bỏ qua ảnh hưởng không khí lấy g=10m/s 2 Giải Chọn trục toạ độ thẳng đứng chiều dương trên xuống Phương trình chuyển đông của khí cầu và vật x 1 = 2t Phương trình chuyển động của vật x 2 = -18t +5t 2 Phương trình vận tốc của khí cầu 1: v 1 = 2m/s (đ/k t  7,5s) Phương trình vận tốc của vật 2: v 2 =-18+10t (đ/k t  3s) Khi vật đang đi lên thì khoảng cách giữa vật và khí cầu ngày càng tăng, khi vật lên đên điểm cao nhất nó đổi chiều chuyển đông nhanh dần đều đi xuống, khoảng cách giũa vật và khí cầu vẩn tiếp tục tăng cho đến khi vận tốc của vật đạt giá trị bằng vận tốc khí cầu 2m/s. Ta có v 2 =-18+10t = 2  t=2s Khoảng cách: d max =x 1 -x 2 =2t-(-18t + 5t 2 ) = 20m *Nếu bài toán này ta dùng hàm bậc hai để xét về mặt toán học thì khá đơn giản hơn, tuy nhiên ý nghĩa vật lí chưa được tường minh so với cách lí luận ở trên. Bài 9 Từ cùng một độ cao,hai vật đồng thời được ném theo phương ngang với các vận tốc đầu ngược chiều nhau v o1 = 10m/s, v o2 = 16m/s, gia tốc trọng trường g= 10m/s 2 ( bỏ qua sức cản không khí). Sau khoảng thời gian nào kể từ lúc bắt đầu ném thì hai véc tơ vận tốc vuông góc với nhau. Giải vận tốc vật 1: tgvv     0101 vận tốc vật 2: tgvv     022 Ta có  0201 .vv   ( tgv    01 )( tgv    02 )= 0 vì 0201 vv    0)(. 2 0201  gtvv   Vi 0201 ,vv   đều vuông góc với g  , và lúc đầu hai vật chuyển động ngược chiều nhau nên ta có 0201 2 .)( vvgt  s g vv t 4 . 0201  Bài 10: Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa độ vuông góc Ox, Oy và qua O cùng một lúc. Vật thứ nhất chuyển động trên trục Ox theo chiều dương với gia tốc 1m/s 2 và vận tốc khi qua O là 6m/s. Vật thứ hai chuyển động chậm dần đều theo chiều âm trên trục Oy với gia tốc 2m/s 2 và vận tốc khi qua O là 8m/s. Xác định vận tốc nhỏ nhất của vật thứ nhất đối với vật thứ hai trong khoảng thời gian từ lúc qua O cho đến khi vật thứ hai dừng lại. Giải: Chọn mốc thời gian lúc 2 vật qua O - Phương trình vận tốc của vật thứ nhất trên trục Ox: v 1 = v 01 + a 1 t = 6 + t O y x 1 v 2 v 12 v - Phường trình vận tốc của vật thứ hai trên trục Oy: v 2 = v 02 + a 2 t = - 8 + 2t - Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v 2 = 0 => t = 4s - Vận tốc của vật thứ nhất đối với vật thứ hai là: 2112 vvv  . Do 1 v vuông góc với 2 v . => v 12 = 2 2 2 1 vv  = 22 )28()6( tt  => v 12 = 100205 2  tt . Biểu thức trong căn của v 12 đạt giá trị nhỏ nhất khi t =    5 . 2 )20( 2 (s) < 4 (s). Vậy v 12 có giá trị nhỏ nhất khi t = 2s. => (v 12 ) min =  1002.202.5 2 8,94 (m/s) Khi đó v 1 = 8m/s,  ),( 121 vv . với Cos  = v 1 /v 12 = 8/8,94  0,895 =>  = 26,5 0 - Vậy v 12 đạt giá trị nhỏ nhất là 8,94m/s tại thời điểm t = 2s và hợp với Ox góc 26,5 0 Bài 11 Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v 1 = 54km/h. Một hành khách cách ô tô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô tô. Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ nhất là bao nhiêu để đón được ô tô? Giải Xét chuyển động tương đối của vật 2 so 1 ta có 121221 )( vvvvv       Để 2 gặp được 1 thì 21 v  phải luôn có hướng AB Véc tơ vận tốc 2 v  có ngọn luôn nằm trên đường xy// với AB.  2 v  khi 2 v   xy tức là 2 v   AB Tính chất đồng dạng của tam giác: DAB và AHD ta có hkm a d vv a v d v /8,10 12 12  Bài 12: Hai xe chuyển động thẳng đều cùng chiều với các vận tốc v 1 và v 2 ( v 2 < v 1, xe 2 đuổi theo xe 1) Khi khoảng cách giũa hai xe bằng d thì người lái xe 2 hãm phanh chuyển động chậm dần đều với gia tốc là a. Tìm điều kiện cho a để hai xe không đụng vào nhau. Giải Chọn gốc toạ độ O là vị trí xe 2 bắt đầu hãm phanh, chiều chuyển động là chiều dương, gốc thời gian lúc xe 2 hãm phanh. Phương trình chuyển động xe 1 x 1 = d+ v 1 t Phương trình chuyển động xe 2 x 2 = 2 2 2 at tv  Để xe 2 không đụng vào xe 1 thì x 1 > x 2  d+v 1 t> 2 2 2 at tv   0)( 2 12 2  dvvt at Để bất phương trình luôn đúng thì 0   d vv aadvv 2 )( 02)( 2 12 2 12   Củng có thể lí luận như sau Phương trình vận tốc của hai vật: V 1 = v 1 V 2 = v 2 +at Vận tốc vật 2 sẽ giảm cho đến lúc V 2 =V 1 khi đó ta có : t= a vv 21  Với thời gian thoả mãn điều kiện trên thì điều kiện để hai xe không đụng vào nhau: x 1 >x 2  0)( 2 12 2  dvvt at thay t vào ta có được d vv a 2 )( 2 12   Bài 13 Xe 1 xuất phát từ A chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a, không vận tốc đầu đi về B, cùng lúc đó xe 2 chuyển động thẳng đều qua A đi về B với vận tốc v o . Biết rằng hai xe về B cùng lúc. Xác định khoảng cách lớn nhất giữa hai xe trên đoạn AB. Giải Chọn gốc toạ độ tại A, gốc thời gian khi xe A xuất phát, chiều chuyển động là chiều dương. Phương trình vận tốc của hai xe là: V 1 = at V 2 = v o Phương trình chuyển động của hai xe là X 1 = 2 2 at X 2 = v o t Khi qua A thì xe 2 sẽ vượt xe 1 (vì xe 1 không vận tốc đầu), khoảng cách hai xe ngày càng tăng cho đến khi vận tốc của xe 1 bằng vận tốc của xe hai thì kể từ thời điểm đó khoảng cách giũa hai xe lại giảm và bằng không khi đến B. Vậy khoảng cách lớn nhất khi V 1 =V 2  t= a v 0 d max = X 2 -X 1 = a v at tv 2 2 2 0 2 0  Bài 14 Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l. Chúng chuyển động cùng một lúc với các vận tốc có độ lớn lần lượt là v 1 , v 2 . Tàu A chuyển động theo hướng AC tạo với AB góc  (hình vẽ). a. Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể gặp tàu A. Sau bao lâu kể từ lúc chúng ở các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau? b. Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc với 1 v ) thì các độ lớn vận tốc v 1, v 2 phải thỏa mản điều kiện gì? Giải: a. Tàu B chuyển động với vận tốc 2 v hợp với BA góc  . - Hai tàu gặp nhau tại M. Ta có AM = v 1. t, BM = v 2. t - Trong tam giác ABM: +  sinsin BMAM    sinsin 21 tvtv   sin  =  sin 2 1 v v (1) - Tàu B phải chạy theo hướng hợp với BA một góc  thỏa mản (1) - Cos  = cos[180 0 – ( )    ] = - cos( )    =     cos.cossin.sin  - Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là 21 v . Tại thời điểm ban đầu 21 v cùng phương chiều với BA . Theo công thức cộng vận tốc: 12132321 vvvvv  =>  cos2 12 2 1 2 2 2 21 vvvvv  => )cos.cossin.(sin2 )cos(sin)cos(sin 21 222 1 222 2 2 21     vv vvv =( 2 1 2 21 2 2 2 .sin.sinsin2.sin vvvv   ) +( 2 1 2 21 2 2 2 .cos.coscos2.cos vvvv   ) =( 2 12 ).sin.sin vv   +( 2 12 ).cos.cos vv   = ( 2 12 ).cos.cos vv   ( theo (1) ) => v 21 =  coscos. 21 vv  Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là: t =  coscos 2121 vv l v AB   A C B H 1 v    A M B H 1 v 1 v 2 v 21 v - 1 v b. Để 2 tàu gặp nhau ở H thì   cos)90sin(sin 9090 0 00   Theo (1) ta có: 1 2 2 1 tansincos v v v v   Bài 15 Hai người bơi xuất phát từ A trên bờ một cón sông và phải đạt tới điểm B ở bờ bên kia nằm đối diện với điểm A. Muốn vậy, người thứ nhất bơi để chuyển động được theo đúng đường thẳng AB, còn người thứ hai luôn bơi theo hướng vuông góc với với dòng chảy, rồi đến bờ bên kia tại C, sau đó chạy ngược tới A với vận tốc u. Tính giá trị u để hai người tới A cùng lúc. Biết vận tốc nước chảy v o =2km/h, vận tốc của mỗi người bơi đối với nước là v’=2,5km/h Giải *Xét người thứ nhất -Vận tốc của người đối với bờ 01 ' vvv     , do 2 0 2'2 101 vvvvv    Thời gian người thứ nhất đến B là t 1 = 2 0 2 1 1 vv AB v AB   *Xét người thứ hai Vận tốc của người thứ hai đối với bờ 02 ' vvv     , do 2 0 22 20 '' vvvvv    thời gian đến C là t 20 =  cos 22 v AB v AC  = ' v AB thời gian chạy trên bờ t’ 20 = u v ABv u tv u BC '. 0200  Theo đề bài t 1 = t 20 +t’ 20 uv ABv v AB vv AB '.' ' 0 2 0 2    hkm vvv vvv u /3 25,25,2 25,22 '' ' 22 22 2 0 2 2 0 2 0        III.Kết luận Trong các bài toán mà tôi nêu trên, có thể có nhiều cách giải khác, tuy nhiên khi áp dụng công thức cộng vận tốc để giải thì bài giải khá ngắn gọn, đơn giản hơn. Tất nhiên trong một số bài cụ thể thì cần kết hợp các phương pháp khác. Đề tài này tôi đả tiến hành thử nghiệm trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh ở lớp 10, đối tượng là học sinh không chuyên lí, ban khoa học tự nhiên, kết quả cho thấy tương đối khả quan, hầu như các bài tập dạng này các em đều vận đụng giải và thu được kết quả nhanh. Vì vậy đề tài này theo tôi là có tính khả thi. Chắc chắn trong quá trình thực hiện còn có nhiều thiếu sót, chưa chính xác, mong các thầy cô giáo cho ý kiến. Xin chân thành cảm ơn! Quỳ Châu 25/5/2009 Đặng Phúc Long . sinh sử dụng cộng thức cộng vận tốc vào trong bài toán cực trị của phần động học. Trong đề tài này tôi xin đề xuất một phương pháp Vận dụng phương pháp cộng vận tốc vào bài toán cực trị”. Công thức cộng vận tốc 231213 vvv     13 v  : vận tốc vật 1 đối với vật 3( vận tốc tuyệt đối) 12 v  : vận tốc vật 1 đối với vật 2 (vận tốc tương đối) 23 v  : vận tốc vật 2. Phương trình chuyển đông của khí cầu và vật x 1 = 2t Phương trình chuyển động của vật x 2 = -18t +5t 2 Phương trình vận tốc của khí cầu 1: v 1 = 2m/s (đ/k t  7,5s) Phương trình vận tốc