Tr−êng THPT lam kinh kiÓm tra chÊt l−îng «n thi §h - c® (LÇn 2) M«n: To¸n (khèi a), n¨m häc 2009 - 2010 Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm) C©u I (2.0 ®iÓm) Cho hàm số 23 23 +−= xxy 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 − =−− x m xx theo tham số m. C©u II (2.0 ®iÓm ) 1. Giải phương trình: ( ) 2 34 2 2 212sin x cos x sin x−= + 2. Giải phương trình: 23 16 4 2 14 40 0 xxx log x log x log x .−+ = C©u III (1.0 ®iÓm) Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x π π − = ∫ C©u IV(1.0®iÓm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 3 2 12 1 − + == − zyx và mặt phẳng .Tìm tọa độ giao điểm 012:)( =−++ zyxP A của đường thẳng d với mặt phẳng . Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm )(P Δ A vuông góc với d và nằm trong . )(P C©u V:(1.0®iÓm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm , . Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng và . )2;1;1(A )2;0;2(B )(OAB )(Oxy PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A.Theo chương trình Chuẩn C©u VI.a(2.0 ®iÓm) 1. Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng minh rằng )(xf 0)( = xf có đúng hai nghiệm. 2. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức: ⎩ ⎨ ⎧ +−=+ −−= izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 C©u VII.a(1.0 ®iÓm) Trong mặt phẳng cho Oxy ABC Δ có ( ) 05 A ;. Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 12 10 2 0d:x y ,d:x y . − += − = Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. B.Theo chương trình Nâng cao C©u VI.b (2.0 ®iÓm) 1. Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3 ++ −=+ xxxx . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x = 2 π C©u VII.b (1.0 ®iÓm) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam giác đều. Qua SABCD SAC A dựng mặt phẳng vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp. )(P )(P …HÕt ®Ò … Hä vμ tªn thÝ sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Sè b¸o danh:. .http://laisac.page.tl ĐÁP ÁN Câu I 2 điểm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 32 32 y xx. = −+ • Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R. = • Sự biến thiên: 2 36 y 'x x=−. Ta có 0 0 2 x y' x = ⎡ =⇔ ⎢ = ⎣ 0,25 • () ( ) 02 2 2 CD CT yy ;yy== ==−. 0,25 • Bảng biến thiên: x − ∞ +∞ y' 0 2 + 0 − 0 + y 2 +∞ − ∞ 2 − 0,25 a) • Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25 Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 − =−− x m xx theo tham số m. • Ta có () 22 22 22 1 1 1 m x xxxx x −−= ⇔ −− −= ≠ − m,x. Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của ( ) () 2 22 1yx x x,C'=−− − và đường thẳng 1ym,x .=≠ 0,25 • Vì () ( ) () 2 1 22 1 1 fx khix yx x x f x khi x >⎧ ⎪ =−− −= ⎨ − < ⎪ ⎩ nên ( ) C' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1 x . = + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1 x = qua Ox. 0,25 • Học sinh tự vẽ hình 0,25 • Dựa vào đồ thị ta có: + Phương trình vô nghiệm; 2m<− : : 0: :≥ + Phương trình có 2 nghiệm kép; 2m=− + Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; 2m−< < + m Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 0 0,25 b) 0,25 Câu II 2 điểm Giải phương trình ( ) 2 34 2 2 212sin x cos x sin x−= + • Biến đổi phương trình về dạng ( ) ( ) 232121sin x sin x sin x 0 + −+= 0,75 a) • Do đó nghiệm của phương trình là 725 22 6618318 kk xk;xk;x ;x 2 3 π ππππ ππ =−+=+=+ =+ π 0,25 b) Giải phương trình 23 16 4 2 14 40 0 xxx log x log x log x .+= − • Điều kiện: 11 02 41 6 x ;x ;x ;x .>≠≠ ≠ • Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho 0,25 • Với 1 x ≠ . Đặt và biến đổi phương trình về dạng 2 x tlog= 24220 0 14121 tt t − += − ++ 0,5 • Giải ra ta được 1 24 2 2 t;t x;x==−⇒== 1 . Vậy pt có 3 nghiệm x =1; 1 4 2 x ;x .== 0,25 Câu III 1.0 điểm Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x π π − = ∫ • Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có 33 3 3 33 14 3 xdx I xd J , cosx cosx cosx ππ π π ππ π − −− ⎛⎞ ==−= ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫ − với 3 3 dx J cosx π π − = ∫ 0,25 • Để tính J ta đặt ts Khi đó inx= . 3 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2 11 2 121 23 dx dt t Jln cosx t t π π − − − −− = = =− =− −+ + ∫∫ 3 ln. 0,5 a) • Vậy 42 3 23 3 I ln . π − =− + 0,25 Câu IV 1.0 điểm Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng . Viết phương trình của đường thẳng Δ đi qua điểm )(P A vuông góc với d và nằm trong . )(P • Tìm giao điểm của d và (P) ta được 17 2 22 A;; ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 • Ta có ()() ( 21 3 211 1 20 dP dp u;;,n;;uu;n ;; Δ ⎡⎤ =− = ⇒= =− ⎣⎦ ) J JGJJGJJGJJGJJG 0,5 • Vậy phương trình đường thẳng Δ là 17 22 22 :x t;y t;z . Δ =+ = − =− 0,25 Câu V 1.0 điểm Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm , . Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng và . Oxyz )2;1;1(A )2;0;2(B )(OAB )(Oxy ()() ;−,;; ;22 2 211 1OA OB ⎡⎤ =−= ⎣⎦ JJJG JJJG ( ) : 0OAB x y z⇒+−= . () : 0Oxy z = . ( ) ;;Nxyz cách đều () và OAB ( ) Oxy () ( ) ( ) ( ) ,,dN OAB dN Oxy⇔= 1 3 x yz z+− ⇔ = ( ) () . 31 0 3 31 0 xy z xyz z xy z ⎡ + −+= ⎢ ⇔+−=± ⇔ ⎢ + +−= ⎢ ⎣ Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình () 31 0xy z+− + = và ( ) 31 0xy z + +−=. 0 .25 0.5 0 .25 Câu VIa 2.0 điểm 1. Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng minh rằng có đúng hai nghiệm. )(xf 0)( =xf • Ta có x f (x) e x cosx. ′ =+− Do đó ( ) 0 x f 'x e x cosx.=⇔ =−+ 0,25 • Hàm số x y e= là hàm đồng biến; hàm số yxcosx = −+ là hàm nghịch biến vì . Mặt khác 10y' sin x , x=− + ≤ ∀ 0 = x là nghiệm của phương trình nên nó là nghiệm duy nhất. x excos=− + x 0,25 • Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) yfx= (học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình có đúng hai nghiệm. 0)( =xf • Từ bảng biến thiên ta có ( ) 20min f x x . = −⇔ = 0,5 Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng minh rằng có đúng hai nghiệm. )(xf 0)( =xf • Ta có x f (x) e x cosx. ′ =+− Do đó ( ) 0 x f 'x e x cosx.=⇔ =−+ 0,25 2. . Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức: ⎩ ⎨ ⎧ +−=+ −−= izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i) Câu VII.a 1.0 điểm Trong mặt phẳng cho Oxy ABC Δ có ( ) 05 A ;. Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. 12 10 2 0d:x y ,d:x y .−+= − = • Ta có ( ) 12 21 3 50Bd d B ; AB:xy=∩⇒ −−⇒ −+=. 0,25 • Gọi A ' đối xứng với A qua ( ) ( ) 1 23 41dH;,A';⇒ . 0,25 • Ta có 310 A 'BC BC:x y∈⇒ −−=. 0,25 • Tìm được . () 28 9 7 35 0C; AC:xy⇒−+= 0,25 Câu VI.b 2.0 điểm Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3 ++ −=+ xxxx • Biến đổi phương trình đã cho về dạng 222 9 32 273 62 3 4 xxx +=− 2x 0,5 1. • Từ đó ta thu được 3 2 32 2 2 39 39 x xlog ⎛⎞ =⇔= ⎜⎟ ⎝⎠ 0,5 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x = 2 π Ta có: x.sin2x = 2x ⇔ x.sin2x – 2x = 0 ⇔ x(sin2x – 2) =0 x = 0 ⇔ DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lμ: ∫∫ −=−= 2 0 2 0 )22(sin)22sin.( π π dxxxdxxxxS Đặt ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ −= = x x v dxdu dxxdv xu 2 2 2cos )22(sin 44424 222 πππππ −=+−=⇔ S (đvdt) 0.5 0.5 Câu VII.b 1.0 điểm Cho chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam giác đều. Qua SABCD SAC A dựng mặt phẳng vuông góc với .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp. )(P SC )(P • Học sinh tự vẽ hình 0,25 • Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. ⊥ Gọi IAC'SO. = ∩ 0,25 • Kẻ B 'D' // Ta có BD. 2 1123 2232 AD' C' B' aa S B' D' .AC' . BD. .== = 3 6 0,5 . Tr−êng THPT lam kinh kiÓm tra chÊt l−îng «n thi §h - c® (LÇn 2) M«n: To¸n (khèi a), n¨m häc 2009 - 2010 Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) PHẦN. phức: ⎩ ⎨ ⎧ +−=+ −−= izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i) Câu VII.a 1.0 điểm Trong mặt phẳng cho Oxy ABC Δ . Qua SABCD SAC A dựng mặt phẳng vuông góc với .Tính diện tích thi t diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp. )(P SC )(P • Học sinh tự vẽ hình 0,25 • Để dựng thi t diện, ta kẻ AC' SC. ⊥