23 xxxxxxxxxxxxxxxxx Đã duyệt ngày 29/11/09xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÉP CHIẾU BẢN ĐỒ 2.1. Lý thuyết chung về phép chiếu bản đồ 2.1.1. Những khái niệm cơ bản về sự biểu thị bề mặt quả đất lên mặt phẳng Nhiệm vụ chủ yếu của toán bản đồ là nghiên cứu những vấn đề biểu thị bề mặt thực dụng của trái đất được nhận là mặt elipxôit quay và trục ngắn trùng với trục quay của trái đất. Trong một số trường hợp, bề mặt thực dụng được nhận là mặt cầu. Phép chiếu bản đồ là sự ánh xạ bề mặt elipxôit hoặc mặt cầu trái đất trên mặt phẳng theo một quy luật xác định. Quy luật toán học đó xác định sự phụ thuộc hàm số giữa toạ độ địa lý   , (hoặc toạ độ khác) của điểm trên mặt elipxôit hay mặt cầu trái đất và toạ độ vuông góc x, y (hoặc toạ độ khác) của điểm tương ứng trên mặt phẳng. Phương trình chung của phép chiếu bản đồ có dạng sau       , , 2 1 fy fx   (1) Các hàm f 1 , f 2 phải thoả mãn các điều kiện: đơn vị, liên tục hữu hạn trong phạm vi của bề mặt cần biểu thị. Tính chất của phép chiếu thì phụ thuộc vào tính chất và đặc trưng của các hàm f 1 và f 2 . Có vô số các hàm khác nhau, do đó tồn tại vô số các phép chiếu khác nhau. Mỗi phép chiếu thì tương ứng với một mạng lưới bản đồ xác định (các đường kinh tuyến và vĩ tuyến được vẽ trên mặt phẳng), đó chính là mạng lưới cơ sở của các bản đồ cần thành lập. 24 Từ (1) nếu khử  sẽ nhận được các phương trình của đường kinh tuyến trên mặt phẳng (bản đồ):   0,, 1   yxF Tương tự, từ (1) nếu khử  nhận được phương trình của vĩ tuyến:   0,, 2   yxF Bề mặt elipxôit và mặt cầu đều không triển khai thành mặt phẳng được, cho nên biểu thị các bề mặt đó lên mặt phẳng trong bất kỳ phép chiếu nào thì cũng đều có biến dạng: biến dạng diện tích, biến dạng góc và biến dạng độ dài. Nhưng có những phép chiếu mà không có biến dạng diện tích (gọi là phép chiếu đồng diện tích) trên đó chỉ có biến dạng góc và biến dạng độ dài. Trên mọi phép chiếu đều có biến dạng độ dài, biến dạng độ dài chỉ không tồn tại trên một số điểm hoặc một số đường nào đó của mỗi phép chiếu. Những phép chiếu không có biến dạng góc gọi là phương pháp đồng góc. Để tìm hiểu và nghiên cứu về biến dạng của phép chiếu bản đồ trước hết cần giới thiệu một số khái niệm cơ bản sau đây: - Tỷ lệ chính: Mỗi bản đồ đều có tỷ lệ chính. Tỷ lệ chính đó là mức độ thu nhỏ của bề mặt elipxôit hoặc mặt cầu trái đất khi biểu thị lên mặt phẳng. Tỷ lệ chính thường được ghi trên bản đồ. Tỷ lệ chính chỉ được đảm bảo ở tại những điểm và những đường không có biến dạng độ dài. Khi nghiên cứu biến dạng của phép chiếu bản đồ thì tỷ lệ chính ta coi là 1:1 - Tỷ lệ độ dài cục bộ: là tỷ lệ giữa độ dài ' s d của đoạn vô cùng bé trên mặt phẳng và độ dài s d của đoạn vô cùng bé tương ứng trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu trái đất. ds ds'   (2) - Biến dạng độ dài (   ) được đánh giá bằng hiệu số giữa tỷ lệ độ dài  và 1, thường được biểu đạt bằng số phần trăm: 1   hay là   1001   % 25 Rõ ràng là khi 1   , tức là ss dd ' thì 0   , tại đó không có biến dạng độ dài. - Tỷ lệ diện tích cục bộ: Đó là tỷ số giữa diện tích vô cùng bé dF’ trên bản đồ và diện tích vô cùng bé tương ứng trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu: dF dF P '  (3) - Biến dạng diện tích: Là hiệu số của tỷ lệ diện tích P và 1, tức là: v p = P -1; hay là v p = (P – 1)100% - Biến dạng góc ( U  ) được tính bằng hiệu số giữa đại lượng góc (u’) trên phép chiếu và đại lượng góc (u) trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu: 2.1.2. Tỷ lệ bản đồ và độ chính xác của bản đồ Bản đồ là hình vẽ thu nhỏ toàn bộ hoặc một phần mặt đất lên giấy phẳng theo một tỷ lệ nhất định. Để sử dụng bản đồ có hiệu quả cần phải nắm rõ tỷ lệ bản đồ và độ chính xác của nó. 1- Tỷ lệ bản đồ: Tỷ lệ bản đồ là tỷ số giữa độ dài một đoạn thẳng trên bản đồ với hình chiếu nằm ngang tương ứng của nó ở ngoài thực điạ và được ký hiệu dưới dạng phân số có tử số là 1, M được gọi là mẫu số tỷ lệ bản đồ: 1/M. Nếu mẫu số tỷ lệ bản đồ càng nhỏ thì số tỷ lệ càng lớn và các yếu tố trên mặt đất được biểu thị càng chi tiết hơn. Ngược lại M càng lớn thì tỷ lệ bản đồ càng nhỏ và mức độ biểu thị các đối tượng càng khái quát. Để tiện sử dụng, nội suy và tính toán, người ta thường chọn mẫu số tỷ lệ bản đồ là một số chẵn. Ví dụ: 1/100.000, 1/50.000, 1/25.000, 1/10.000, 1/5000, Điều đó có nghĩa là: cứ 1 cm trên bản đồ sẽ tương ứng với độ dài nằm ngang là M cm ngoài thực địa. Như vậy, khi biết tỷ lệ của bản đồ, biết chiều dài đoạn thẳng trên bản đồ sẽ tính được độ dài nằm ngang tương ứng ngoài thực địa. Ví dụ: có đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1/10.000 là 4,75 cm, thì độ dài nằm ngang tương ứng ở thực địa là: 4,75cm x 10000 = 47500 cm = 475m. 26 Ngược lại, biết độ dài đoạn thẳng ở thực địa, biết tỷ lệ bản đồ sẽ tính được độ dài đoạn thẳng tương ứng trên bản đồ. Ví dụ, có đoạn thẳng nằm ngang ở thực địa là 175,5m, khi biểu thị lên bản đồ 1/5000 sẽ có độ dài tương ứng là: 175,5m/5000 = 0,0351m =3,51 cm 2- Độ chính xác của bản đồ: Độ chính xác của bản đồ chủ yếu phụ thuộc vào tỷ lệ bản đồ và thời gian đo vẽ xây dựng bản đồ. Ngoài ra còn phụ thuộc vào các chất liệu làm bản đồ và phép chiếu bản đồ Ở đây chỉ đề cập đến độ chính xác của bản đồ phụ thuộc vào tỷ lệ bản đồ. Qua nghiên cứu thấy rằng: Mắt người chỉ có khả năng phân biệt được một độ dài > 0,1mm, còn đối với độ dài  0,1mm thì mắt thường chỉ nhìn thấy một điểm. Vì vậy, độ dài 0,1mm được chọn làm chỉ tiêu đánh giá độ chính xác của bản đồ địa hình. Ví dụ, trên bản đồ địa hình 1/10.000 thì độ chính xác, xác định vị trí điểm là 0,1mm x 10000 = 1000mm =1m . tương ứng trên bản đồ 1/25.000, 1/50.000, 1/100.000 sẽ có độ chính xác, xác định vị trí điểm là 2,5m; 5m; 10m. 2.1.3. Hình Elip biến dạng Trong tiết này chúng ta sẽ tìm hiểu những vòng tròn vô cùng bé trên mặt elipxôit được biểu thị như thế nào trên mặt phẳng. Giả thiết trên mặt elipxôit có vòng tròn vô cùng bé tâm A.Tâm A được biểu thị trên mặt phẳng là điểm A’. Tại mỗi điểm A có các hướng với các góc phương vị là , ,, 321  tại điểm A’ trên mặt phẳng thì các hướng đó được biểu thị thành các hướng ,, 321  Gọi tỷ lệ độ dài trên các hướng nói trên là ,, 321  (hình 2.1). Từ điểm A’ ta vẽ các hướng tạo với hướng kinh tuyến các góc ,, 321  và trên các hướng đó ta lấy các đoạn có độ dài bằng trị số tỷ lệ ,, 321  Hình 2.1 Hình Elip biến dạng 27 Nối các điểm cuối của các đoạn đó bằng đường cong, chúng ta được đường cong đặc trưng cho sự thay đổi của tỷ lệ độ dài phụ thuộc vào phương hướng tại điểm đã cho. Lấy A’ làm gốc tọa độ vuông góc (x,y) và gốc toạ độ cực    , ta có các quan hệ: ;cos    x   sin  y Hay là:     yx  sin;cos (4) Thay các giá trị của  cos và  sin từ (4) vào công thức tỷ lệ độ dài:   sin 2sin s 2 1 1 2 1 2 1 R Q coP  chúng ta nhận được phương trình đường cong bậc hai: 12 2 11 2 2 1  yRxyQxP (5) Thay các giá trị của P 1 , Q 1 , R 1 với: e M P 2 1  ; eh f M Q 2 1  ; eh re f M 2 2 2 2 2 1 R         Ta tìm được biệt thức của phương trình này là: 0 . 2 22 2 111  h rM QRQ (6) Biệt thức là số dương, chứng tỏ rằng đường cong mà chúng ta đang xét chính là đường elíp. Như vậy, hình tròn vô cùng bé tại mỗi điểm trên mặt elípxốit hoặc mặt cầu được biểu thị thành hình elip tại điểm tương ứng trên mặt phẳng. Hình elíp đó được gọi là hình elíp biến dạng. Các trục của hình elíp biến dạng thì trùng với các phương hướng chính tại điểm đã cho, bán trục lớn có trị số độ dài bằng tỷ lệ độ dài lớn nhất a và bán trục bé bằng tỷ lệ độ dài nhỏ nhất b. Tại A’ lấy các hướng trục chính làm trục toạ độ vuông góc (x’, y’) (Hình 2.2) thì phương trình của hình elíp biến dạng được viết là: 1 '' 2 2 2 2  b y a x (7) Tọa độ x’, y’ của giao điểm B của đường elíp biến dạng với đường kinh tuyến là: Hình 2.2 28 0 0 sin.' cos.'   ny mx   (8) Thay các giá trị x’, y’ từ (8) vào (7) ta có: 1 sincos 2 0 22 2 0 22  b m a m  Vì: 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 sin; 1 1 cos      tg tg tg     Từ đó ta có:     222 0 2222 mabtgbma   Vậy: 22 22 0 bm ma a b tg     (9) Để ứng dụng các hình elíp biến dạng tại một điểm đã cho của phép chiếu, chúng ta cần phải biết 6 đại lượng: 0 ,,,,,  banm với: m: Tỷ lệ độ dài theo hướng kinh tuyến n: Tỷ lệ độ dài trên vĩ tuyến a: Tỷ lệ độ dài cực đại; b: Tỷ lệ độ dài cực tiểu. θ: góc giữa hướng kinh tuyến và hướng vĩ tuyến trên phép chiếu β 0 : Góc phương vị Thông qua các hình elíp biến dạng đã dựng tại các điểm khác nhau của phép chiếu chúng ta có thể nhận xét bằng trực quan về biến dạng của phép chiếu đó (hình 2.3). Hình 2.3 ( Hình 5 trang 25 _BG bản đồ học) 2.1.4. Khái niệm về tỷ lệ diện tích 29 Tỷ lệ diện tích là tỷ số giữa diện tích vô cùng bé trên mặt phẳng (bản đồ) và diện tích vô cùng bé tương ứng trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu: dF dF P '  Trong đó: dF’- Diện tích vô cùng bé trên mặt phẳng dF - Diện tích vô cùng bé trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu. Trên mặt elipxôit ta lấy một hình thang ABCD được giới hạn bởi các đoạn vô cùng bé của kinh tuyến và vĩ tuyến (hình 2.4a) Diện tích của nó sẽ là: nm dsdsdF . Hình thang vô cùng bé đó được biểu thị trên mặtphẳng là hình tứ giác vô cùng bé A’B’C’D’ (Hình 2.4b). Diện tích của nó là:  sin'.'' nm dsdsdF  Do đó tỷ lệ diện tích P sẽ là:   sin '.' sin.'.' nm dsds dsds P nm nm  (10) Hay là  cos nmP  . Đối chiếu với:       cossin 2222 mnmnab nmba  ta có: P=a.b Thay  sin,,nm với: eg h r g n M e m       sin;; 0 90 0 Ta có: Mr h e h r g M e P   (11) Như vậy: banmnm Mr h P .cos.sin.   2.1.5. Sự biểu thị đồng góc và đồng diện tích mặt Elipxoit trên mặt phẳng Hình 2.4 30 Chúng ta đã biết rằng sự biểu thị mặt elipxôit hoặc mặt cầu trên mặt phẳng trong bất kỳ mọi phép chiếu thì đều có biến dạng diện tích và biến dạng độ dài, các phép chiếu đó gọi là phép chiếu đồng góc. Ngược lại, cũng có những phép chiếu không có biến dạng diện tích mà chỉ có biến dạng góc và độ dài. Các phép chiếu như vậy được gọi là phép chiếu đồng diện tích. Không có những phép chiếu đảm bảo cho độ dài hoàn toàn không có biến dạng, mà chỉ có những phép chiếu đảm bảo cho độ dài theo một hướng nhất định nào đó tại mỗi điểm thì không có biến dạng mà thôi. Dưới đây sẽ giới thiệu những nét cơ bản về các phép chiếu này, sự trình bày cụ thể xem thêm ở “Bài giảng Bản đồ học” - Trường ĐH Mỏ - Địa chất. 1- Các phép chiếu đồng góc Trên phép chiếu đồng góc thì góc không có biến dạng, tức là 0   tại mọi điểm; điều đó cũng có nghĩa tỷ lệ độ dài lớn nhất bằng tỷ lệ độ dài nhỏ nhất tức là tỷ lệ độ dài không phụ thuộc vào phương hướng; các hình elíp biến dạng là hình tròn; phép chiếu đồng góc đảm bảo sự đồng dạng của các phần tử vô cùng bé tương ứng trên mặt elipxôit và trên mặt phẳng. Hệ phương trình vi phân của phép chiếu đồng góc là:             x M ry y M rx (12) Khi coi trái đất là mặt cầu bán kính R thì (12) sẽ trở thành:                 xy yx cos cos (13) 2- Các phép chiếu đồng diện tích Trên các phép chiếu đồng diện tích thì diện tích không có biến dạng, tức là tại mọi điểm thì tỷ lệ diện tích P là một hằng số, hằng số đó thường chọn là 1 31 1 Mr h P Hay là: Mr yxyx h             (14) Đối với mặt cầu, ta có:   cos 2 R yxyx           (15) 2.1.6. Tính chuyển từ toạ độ địa lý ),(   sang toạ độ cực mặt cầu (Z, a) Trong nhiều trường hợp, bề mặt toán học của trái đất được nhận là mặt bán kính R. Trên mặt cầu cũng thể hiện hệ toạ độ địa lý được tạo bởi các đường kinh tuyến const   và các đường vĩ tuyến const   . Mạng lưới kinh, vĩ tuyến là mạng lưới cơ sở. Để thiết lập và tính toán phép chiếu bản đồ, trong nhiều trường hợp, ngoài toạ độ địa lý, người ta còn dùng hệ toạ độ cực mặt cầu được tạo từ các vòng thẳng đứng và các vòng đồng cao, mà vị trí của điện cực Q của hệ thì được lựa chọn một cách thích hợp đối với trường hợp cụ thể. Các vòng thẳng đứng và các vòng đồng cao thì tương tự như các kinh tuyến và các vĩ tuyến của hệ toạ độ điạ lý ( hình2.5). Toạ độ địa lý của điểm cực Q của hệ toạ độ điểm cực cầu là   , . Tuỳ thuộc vào vĩ độ 0  mà có các trường hợp khác nhau: 1- Nếu 0 0 0 900   thì là hệ toạ độ cực mặt cầu nghiêng. 2- Nếu 0 0   thì là hệ toạ độ cực mặt cầu ngang. 3- Nếu 0 0 90  thì là hệ tọa độ địa lý. Khi đó cực Q trùng với cực P của trái đất. Hình 2.5: Toạ độ cực mặt cầu (z,a) của hệ nghiêng 32 Vị trí của điểm trong hệ toạ độ cực mặt cầu nghiêng hoặc ngang thì được xác định bởi các toạ độ z và a, trong đó: z là khoảng thiên đỉnh, a là góc phương vị ( hình 2.5), hoặc cũng có thể được xác định theo toạ độ '' ,  tương tự như toạ độ địa lý ( a '0' ;90  ). Giả thiết trên mặt cầu có điểm A với toạ độ địa lý của nó là   , , chúng ta hãy tìm công thức tính toạ độ cực mặt cầu (z, a) của điểm A khi đã biết toạ độ 00 ,  của điểm cực Q. Từ tam giác cân PQA với các cạnh 0 0 90  PQ ; zQAPA  ;90 0  và các góc aPQAlQPA       ; 0   , ta có các quan hệ: )cos(sincoscossinsincos )sin(cossinsin )cos(coscossinsincos 000 0 000              za az z (16) Sau khi tính z theo công thức đầu, góc phương vị a nên tính theo công thức dưới đây: )(sin)(cos 0000   ctgecctgctga Đối với hệ ngang )0( 0   thì có các công thức sau đây: )sin( )cos(coscos 0 0        ctgtga z (17) Mạng lưới toạ độ nào được biểu thị đơn giản nhất trên phép chiếu bản đồ thì được gọi là mạng lưới chuẩn. Nếu mạng lưới này trùng với mạng lưới cơ sở (tức là mạng lưới kinh, vĩ tuyến là phép chiếu thẳng, nếu trùng với mạng lưới của hệ nghiêng thì là phép chiếu nghiêng, nếu trùng với mạng lưới của hệ toạ độ ngang thì là phép chiếu ngang. 2.2. Phân loại phép chiếu bản đồ 2.2.1. Khái niệm Bản đồ học đã tìm ra rất nhiều phép chiếu bản đồ. Việc phân loại các phép chiếu là rất quan trong đối việc học tập, nghiên cứu và sử dụng chúng. Có [...]... trên các vĩ tuyến có vĩ độ  1 và  2 cho trước thì có tỷ lệ độ dài là: n1 = n2 = 1 Từ điều kiện n1  n 2 , tức là: K K    r1U 1 r2U 2 r1U 1  r2U 2 Do đó:  lg r1  lg r2 lg U 2  lg U 1 43 Lại từ điều kiện n1  n2  1 ta rút ra: K  r1U 1 r2U 2    Theo phương án này thì trên phép chiếu hình nón đồng góc có hai vĩ tuyến chuẩn, đó là các vĩ tuyến  1 và  2 đã cho Trên vĩ tuyến chuẩn không... sin  2 ln     2 2 2 2 2 2 2 Đặt ký hiệu: e sin   sin  Khi đó : 2  d d  ln       e cos   cos       Sau khi tích phân ta có: ln    ln tg  450    e ln tg  450    ln K      Do đó:  2   2  K U Trong đó: K là hằng số tích phân, nó cũng chính là bằng bán kính   o của xích đạo trên phép chiếu 41   tg  45 0   2 U    tg  45 0   2  Và:... 1- Các phép chiếu đồng góc: Trên phép chiếu đồng góc thì góc không có biến dạng (  0), tỉ lệ độ dài tại mỗi điểm không phụ thuộc vào phương hướng (mnab) Trên các phép chiếu đồng góc thì tỷ lệ diện tích là: P  a.b  a2  2 Hệ phương trình vi phân của các phép chiếu đồng góc là hệ ( 12) ở mục 2. 1.5 2- Các phép chiếu đồng diện tích: Trong phép chiếu đồng diện tích thì đảm bảo P là một trị số cố... chiếu đồng góc (   0 ) thì tỷ lệ độ dài tại mọi điểm không phụ thuộc vào phương hướng, tức là:   a  b  m  n Hàm f ( ) của phép chiếu hình nón đồng góc được xác định từ điều kiện m = n tức là:  d   Md r d Md    r Hay là: Tích phân 2 vế của phương trình trên: ln     Thay M   a 1 e2 1  e 2 2  sin   3 Md r và r  cos   2 a cos  1  e 2 2 sin   3 , ta có: 2 1 ... biến dạng người ta ghép các phép chiếu thành 7 nhóm theo sơ đồ sau đây: (1) (2) Các phép chiếu đồng diện tích (3) (4) Các phép chiếu đồng khoảng cách (5) (6) Các phép chiếu đồng góc (7) B- Phân loại các phép chiếu bản đồ theo hình dạng của các đường kinh tuyến và vĩ tuyến trong mạng lưới chuẩn: Như ở phần trước đã chỉ rõ, trên một phép chiếu bản đồ mạng lưới toạ độ nào đó (lưới toạ độ địa lý hoặc một số... 39 Trong đó q   s là bán kính của vĩ tuyến giới hạn phía nam của lãnh thổ lập bản đồ Từ (19), có các đạo hàm riêng: x d x   cos  ;   sin  ;  d  y d  y  sin  ;   cos   d  Và các đại lượng e và g là: 2 2  x   y     e                       2 2 2  x   y  2 g                Từ đó, ta xác định được các công thức chung... thị đồng diện tích được biểu đạt bởi phương trình (14) Khi tính các trị số biến dạng góc lớn nhất  đối với các phép chiếu đồng diện tích thì dùng một trong hai công thức sau đây là tiện lợi nhất: tg ( 45 0    ab )  a hoặc là tg  4 2 2 Trên các phép chiếu đồng diện tích, do biến dạng góc lớn cho nên các hình dạng bị biến dạng nhiều 3- Các phép chiếu tự do: Các phép chiếu không thuộc nhóm đồng... Đến đây có thể viết được toàn bộ các công thức của phép chiếu hình nón thẳng đồng góc như sau: 1)   ;   const K U 3) x  q   cos  4) y   sin  2)   5)m  n  (20 )  K  r rU  6) P  m 2 7 )  o Đối với mặt cầu thì:    U  tg (45 0  ) và do đó   K tg   45 0   2 2  Trong các công thức trên có 2 thông số  và K Các thông số này ảnh hưởng đến trị số biến dạng và phân bố biến... những cung tròn đồng tâm, kinh tuyến giữa là đường thẳng đi qua tâm của các kinh tuyến; các kinh tuyến khác là những đường cong đối xứng với nhau qua kinh tuyến giữa Hình 2. 9 Tr 35_BG Bản đồ Công thức toạ độ cực của phép chiếu hình nón giả có dạng: (hình 2. 9)   f1 ( )   f 2 ( ) Mạng lưới của phép chiếu hình nón giả không trực giao nên đối với các phép chiều này không có trường hợp đồng góc 5- Phép... ta có: 2 d r Mà: d M dr d N cos   ;    M sin  d r d d Vậy: dn  M  sin     d r r Gọi  0 là vĩ độ mà tại giá trị đó thì đạo hàm dn  0 , tức là: d  0 M 0  dn     sin  0     0  d  r0 r0  0 42 Từ đó ta có: (21 )   sin  0 Từ đạo hàm cấp hai d 2 n  d   M   d 2  d  r r   M   sin      r N  Thay    0 ta có:  d 0n   d 2    . là: Hình 2. 2 28 0 0 sin.' cos.'   ny mx   (8) Thay các giá trị x’, y’ từ (8) vào (7) ta có: 1 sincos 2 0 22 2 0 22  b m a m  Vì: 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 sin; 1 1 cos      tg tg tg. phép chiếu ngang. 2. 2. Phân loại phép chiếu bản đồ 2. 2.1. Khái niệm Bản đồ học đã tìm ra rất nhiều phép chiếu bản đồ. Việc phân loại các phép chiếu là rất quan trong đối việc học tập, nghiên.  2 3 22 2 sin1 1  e ea M    và   2 3 22 sin1 cos cos    e a r   , ta có:                            22 22 22 22 2 sin1 cos cossin1 sin1 ln cossin1 1 ln e de e de e de