TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh 1 Methods applied "circular trigonometric resolution exercises variation" PHƯƠNG PHáP ứng dụng vòng tròn lợng giác giải bài tập dao động điều hoà Trần Quang Thanh K15-PPGD VậT Lý-ĐH VINH I. Đặt vắn đề Trong những năm gần đây theo chủ trơng của Bộ giáo dục và đào tạo đối với kỳ thi ĐH- CĐ trên toàn quốc thì một số môn thi sẽ chuyển từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm, trong đó Vật lý là một môn thi theo hình thức này. Trong chơng "Dao động cơ học" sách Vật lý 12 THPT với nhiều bài toán có liên quan đến các đại lợng biến thiên điều hoà bản thân tôi nhận thấy rất nhiều học sinh khi làm các bài tập dạng này vẫn cha mạnh dạn tiếp cận với phơng pháp dùng "Đờng tròn lợng giác" để giải bài tập dao động điều hoà. Do một số hạn chế về kỹ năng kiến thức phơng pháp giải. Vì vậy, để các em làm chủ đợc phơng pháp này, tôi mạnh dạn " Xây dựng lại" các khái niệm và các mối liên hệ về "Sự tơng ứng giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà" vào giải bài tập. II. Sự tơng quan giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà Nh chúng ta đ biết: " Một dao động điều hoà có thể đợc coi nh hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đờng thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo" Vì vậy khi xây dựng mối tơng quan, chúng ta nên chuyển chuyển động tròn đều sang dao động điều hoà. Vì việc đa vào khái niệm chuyển động tròn đều để "Vật lý hoá" phơng thức biểu diễn. Thực chất đây là việc giải phơng trình lợng giác dùng công cụ đờng tròn lợng giác. 1.1. Các công thức giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà. Chuyển động tròn đều: +) 2 T = +) t = ( : là tốc độ góc , là góc quay trong thời gian t ) Do vậy : 2 T t = Dao động điều hoà: +) Phơng trình dao động : . ( . ) x A cos t = + +) Vật chuyển động ra xa vị trí cân bằng thì chuyển động là chậm dần: . 0 d t a v E E < và ngợc lại. +) Khi vật chuyển động tròn đều trên cung phần t thứ (III) và (IV) thì vật dao động điều hoà đi theo chiều dơng. Còn trên cung phần t thứ (I) và (II) vật đi ngợc chiều dơng ( Với quy ớc chiều dơng là chiều quay ngợc chiều kim đồng hồ). TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh 2 +) Khi vật chuyển động tròn đều đi trên cung phần t thứ (I) và (II) thì vật dao động điều hoà lại gần VTCB. Còn trên cung (II) và (IV) vật đi ra xa VTCB. Về năng lợng: Phơng trình động năng và thế năng: 2 0 2 0 . ( . ) .sin ( . ) d t E E cos t E E t = + = + với E 0 là cơ năng . Tại những pha : ( . ) t = + đặc biệt . 3 k = + 2 2 3 sin 4 3. 1 4 d t E E cos = = = , Xảy ra tại các điểm A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 4 2 k = + 2 2 1 sin 4 3. 3 4 t d E E cos = = = , Xảy ra tại các điểm C 1, C 2 , C 3 , C 4 . III. Các cách vẽ vòng tròn lợng giác khi vật đi từ vị trí x 1 đến vị trí x 2 Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí x 1 đến vị trí x 2 đợc tính qua công thức sau: min ( ) * t = Trong đó đợc tính qua cách vẽ vòng tròn L-G với hàm cosin còn 2 T = TH1: Vật đi từ VTCB ( x 1 =0) đếv vị trí 2 2 A x + = . Tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc cung MN = nh hình vẽ bên: Để tính góc trong tam giác OMN ta dùng: 1 2 sin 2 6 A MN ON A = = = = . Vậy thay vào công 1 A 2 A 3 A 4 A 2 B 3 B 4 B 1 B 1 C 2 C 3 C 4 C 2 A A + A O M N TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh 3 thức (*) trên ta có : min 6 2 12 T t T = = = TH2: Vật đi từ VT 1 2 A x + = đến 2 x A = + tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc cung MN = nh hình vẽ bên: Để tính góc trong tam giác OMH ta dùng: 1 2 cos 2 3 A OH OM A = = = = Vậy thay vào công thức (*) ta có : min 3 2 6 T t T = = = TH3: Vật đi từ VTCB 0 đến VT 2 x A = + . Tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc cung 2 MN = = nh hình bên: vậy thay vào công thức (*) ta có: min 2 2 4 T t T = = = TH4: Vật đi từ vị trí 1 2 A x + = đến 2 2 A x = Tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc cung 3 MN = = ( Do tam giác OMN đều) vậy thay vào công thức (*) ta có: min 3 2 6 T t T = = = 2 A A + A O M N H A + O A M N 2 A A + A O M N 2 A TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh 4 TH5: Vật đi từ vị trí : 1 x A = + đến 2 x A = Tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc góc: = vậy thay vào công thức (*) ta có: min 2 2 T t T = = = Chú ý: Các công thức trắc nghiệm trên áp dụng tơng tự cho TH vật đi ngợc lại. ví dụ : 1 x A = đến 2 x A = + thì min 2 T t = IV. Hệ thống phơng pháp giải Với công cụ này ta có thể áp dụng để giải mọi bài tập xuất hiện phơng trình lợng giác. ta có thể liệt kê các dạng bài toán thờng gặp trong dao động điều hoà: Dạng 1: Tìm thời điểm xảy ra sự kiện và khoảng thời gian giữa hai sự kiện( thờng gặp trong cơ học và điện từ) Loại 1: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình . ( . ) x A cos t = + . Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến x 2 ? Phơng pháp : a) Vẽ đờng tròn lợng giác b) Xác định toạ độ x 1 và x 2 trên trục Ox, xác định điểm M 1 và M 2 trên đờng tròn ( trong đó x 1 và x 2 lần lợt là hình chiếu của M 1 và M 2 trên Ox). c) Xác định góc quét tơng ứng trên vòng tròn khi vật đi từ x 1 đến x 2 , suy ra thời gian cần tìm : min t = Loại 2: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình . ( . ) x A cos t = + . Kể từ lúc t=t 0 vật đi qua vị trí có li độ x=x 1 lần thứ n vào thời điểm nào ? Phơng pháp : a) Từ phơng trình . ( . ) x A cos t = + tại 0 t t = x=x 0 suy ra vị trí M 0 , với v=v 1 suy ra chiều chuyển động. Với x=x 1 suy ra vị trí M 1 . b) Vẽ đờng tròn lợng giác, xác định điểm M 0 , M 1 trên đờng tròn lợng giác. c) Thời điểm cần tìm là : 1 . 2 n t T t = + . ( trong đó ta quy ớc gọi n là số chẵn nhỏ hơn n và gần n nhất). Ví dụ : 8 7 = ; 7 6 = ; 2 0 = ; 1 0 = và t 1 là thời gian vật đi qua vị trí đ cho 1 lần hoặc 2 lần mà ta đ có công thức tính ở loại 1. A A + O TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh 5 Dạng 2: Xác định qung đờng mà vật đi đợc giữa hai sự kiện, vận tốc trung bình trên qung đờng xảy ra hai sự kiện ( thờng gặp trong cơ học). Cụ thể : Xác định qung đờng vật dao động điều hoà di chuyển đợc sau thời điểm t=t 0 một khoảng thời gian t. Phơng pháp : a) Tại 0 0 t t M = và 0 v v = suy ra chiều chuyển động của M. b) Lập tỷ số : t n T = ( lấy phần nguyên). c) Phân tích thành 1 t nT t = + d) Vẽ đờng tròn lợng giác suy ra qung đờng vật đi đợc là 1 2 S S S = + ( trong đó S 1 là qung đờng vật đi đợc trong n.T chu kỳ hay S 1 =n.4A và S 2 là qung đờng vật đi đợc trong thời gian t 1 . Để xác định S 2 ta xác định góc quét trên vòng tròn 1 . t = từ đó suy ra S 2 ) Dạng 3: Các sự kiện liên quan đến năng lợng, các thời điểm mà năng lợng tho mn một điều kiện cho trớc ( Thờng là cơ năng và năng lợng điện từ ) Phơng pháp : a) Tại t=t 0 xác định vị trí của M 0 b) Xác định vị trí M 1 và góc mà vật quét đợc khi năng lợng tho mn điều kiện cho trớc. c) Vẽ vòng tròn lợng giác. c) Từ đó suy ra thời gian cần tìm. V. Các bài tập vận dụng Vớ d loi 1: Vt dao ủng ủiu hũa vi phng trỡnh . Tớnh: a) Thi gian vt ủi t VTCB ủn A/2 b) Thi gian vt ủi t biờn ủn A/2 ủn A/2 theo chiu dng. c) Tớnh vn tc trung bỡnh ca vt trong cõu a Bi gii a) Khi vt ủi t v trớ cõn bng ủn A/2, tng ng vi vt chuyn ủng trờn ủng trũn t A ủn B ủc mt gúc 30 0 ( 6 = ) TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh 6 min 6 2 12 T t T = = = b) Khi vt ủi t v trớ A/2 ủn A/2, tng ng vi vt chuyn ủng trờn ủng trũn t A ủn B ủc mt cung 3 6 3 OAB = = + = min 2 2 4 T t T = = = c) Vn tc trung bỡnh ca vt: 6 2 12 tb A S A v T t T = = = Ví dụ 2: Vật DĐĐH theo phơng trình: ( . )( ) 2 x Acos t cm = . Tìm thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động đến khi vật qua vị trí có li độ 2 A x = lần đầu? Bài giải: tại t=0 ta thay vào phơng trình trên : .cos(0 ) 0 2 . .sin(0 ) . 0 2 x A v A A = = = = > . Nghĩa là vật đang ở VTCB và chuyển động theo chiều dơng của trục toạ độ. Tại thời điểm t vật qua vị trí có li độ 2 A x = lần đầu tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc một góc nh HV. TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh 7 Vậy kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm vật đi qua VT 2 A x = lần đầu mất một khoảng thời gian là : min 1 6 ( ) 6 t s = = = Ví dụ 2: Trong 1T dao động, thời gian ngắn nhất để 1 chất điểm dao động điều hoà với chu kỳ T đi từ VT x A = + đến 2 A x = là: A. 3 8 T B. 12 T C. 3 T D. 3 4 T Bài giải: Khi vật chuyển động trên đờng thẳng quỹ đạo từ VT x A = + đến 2 A x = thì tơng ứng trên vòng tròn Vật quét đợc cung 2 2 6 3 AOM = = + = . Vậy thời gian càn tìm là: min 2 3 ( ) 2 3 T t s T = = = Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà theo PT: 10. ( . )( ) 3 x cos t cm = + . Thời gian tính từ lúc vật bắt đầu dao động (t=0) đến khi vật đi đợc qung đờng 30(cm) là : A. 2,4(s) B. 2/3(s) C. 4/3 (s) D. 1,5(S) Bài giải: Tại t=o ta có: A A + O M TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh 8 10.cos(0 ) 5( ) 3 5 3. 10 .sin(0 ) 0 3 2 x cm v = + = = + = < Khi vật đi đợc qung đờng 30(cm) thì nó quét đợc 1 góc 4 6 6 3 = + + = nh hình vẽ. Vậy thời gian cần tìm là: min 4 4 3 ( ) 3 t s T = = = Ví dụ 4: Hai vật dao động điều hoà có cùng biên độ, Cùng tần số dọc theo 2 đờng thẳng song song liền kề nhau. Biết rằng 2 vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngợc chiều nhau và khi đó đều có li độ bằng một nửa biên độ. Hiệu pha của 2 dao động này là: A. 3 B. 2 3 C. 2 D. Bài giải: 2 vật gặp nhau tại VT có li độ 2 A x = lúc đó vật 1 quy đợc 1 cung 1 vật 2 quay đợc 1 cung 2 nh hình vẽ. Hiệu 2 cung này là : 2 3 3 3 = + = Ví dụ 5: 1 vật dao động điều hoà giữa hai điểm P và Q nh HV. T=1(S), O=gốc toạ độ. Sau khi bắt đầu dao động đợc 2,5(s) vật có toạ độ 5 2( ) x cm = và đi theo chiều âm của quỹ đạo với vận tốc 10 2( ) cm v s = lấy 2 10 = . a) Viết PTDĐ. b) Tính vận tốc trung bình khi vật chuyển động từ I tới J ( I là trung điểm của PQ, J là trung điểm của OQ). 10 10 + O M 0 30 0 30 N O M 1 2 N A + A P Q O I J TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh 9 Bài giải: a) PT dao động của vật là : . ( ) x A cos t = + với 2 ( ) rad s = Tại t=2,5(s) ta có : . (2 .2,5 ) 5 2 sin(2 .2,5 ) 10 2 x A cos v A = + = = + = Hay: . (5 ) 5 2( ) .s 1 in(5 ) 5 2( ) 2 A cos A + = + = (Do thay 2 ( ) rad s = vào ) Lấy : (2) (1) vế theo vế ta có : tan 1 4 10( ) A cm = = = Vậy PT là : 10. (2 )( ) 4 x cos t cm = b) Khi vật chuyển động từ I đến J tơng ứng trên vòng tròn véc tơ OM quét đợc 1 góc : 3 OMN = = . Suy ra thời gian chuyển động là : min 1 3 ( ) 2 6 t s = = = Vậy vận tốc trung bình : . 10 60( ) 1 6 tb S I J cm v t t s = = = = Ví dụ 6: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình: 5 6. ( )( ) 4 x cos t cm = + Tính khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi vật bắt đầu dao động đến lúc vật có li độ x=3(cm)? Q P O J I TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh 10 Bài giải: Tại t=o thì : 5 6.cos(0 ) 3 2( ) 4 5 3 3. 6 .sin(0 ) 0 4 2 x cm v = + = = + = < chất điểm ở VT M 0 xác định bởi toạ độ 1 3 2 x = Tại thời điểm vật có li độ x=3(cm) Vật quay đợc cung : 0 13 195 12 HK = = = nh hình vẽ. Vậy thời gian cần tìm là : min 13 13 12 ( ) 12 t s = = = Chú ý: Góc OHP OPL OLK = + + Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hoà theo phơng trình: 2 4. (10 )( ) 3 x cos t cm = . Thời điểm đầu tiên (sau thời điểm t=0) mà vật ặp lại vị trí ban đầu là lúc nào? A. 1 ( ) 15 t s = B. 2 ( ) 15 t s = C. 17 ( ) 15 t s = D. Đáp số khác Bài giải: Tại t=0 chất điểm ở vị trí M 0 tại VT x 0 =-2(cm) và đang chuyển động theo chiều dơng xác định bởi phơng trình: 2 4.cos(0 ) 2( ) 3 2 20 3. 40 .sin(0 ) 0 3 2 x cm v = = = = > Lần đầu tiên vật lặp lại vị trí có li độ x 0 thì chất điểm ở vị trí M 1 . Góc quét trong thời gian đó là: 6 6 6 6 + O H K p L 3 2 3 2 A A + O 1 M 0 M 2 [...]... + ) (cm) Hỏi 6 v o thời điểm n o vật qua li độ x=2,5(cm) lần thứ hai (kể từ lúc t=0) B i giải : Xét chuyển động tròn đều tơng ứng với dao động điều ho đ cho, ta thấy lúc t=0 vật dao động có li độ x0 ứng với vị trí M0 của chuyển động tròn đều Lần thứ nhất vật có li độ x = 2, 5 = động tròn đều ( Hình vẽ) l = A ứng với vị trí M2 khi đó góc quét của chuyển 2 3 (rad ) ( góc do bán kính véc tơ quét từ OM0... bản ĐHQG H Nội 2 Lê gia Thuận, 450 B i tập trăc nghiệm Vật lý cơ học, nh xuất bản ĐHQG H Nội 3 Phạm Thế Dân, 206 B i toán dao động v sóng cơ học, nh xuất bản ĐHQG HCM 4 Phan công Th nh, Đề t i thạm luận sự tơng ứng giữa chuyển động tròn đều v dao động điều ho , trờng THPT Lý Tự Trọng Thăng Bình Quảng Nam 5 Nguyễn Quang Lạc- Rèn luyện kỹ năng giải b i tập VLPT- Dao động v sóng cơ Mọi góp ý xin liên hệ... con lắc lò xo treo thẳng ứng, khi vật cân bằng thì lò xo gi n 3(cm) Kích thích cho vật dao động tự do theo phơng thẳng ứng với biên độ A=6(cm) Trong một chu kỳ dao động, thời gian lò xo bị nén l : A 2T 3 B T 4 C T 6 D T 3 B i giải: Trong một chu kỳ dao động thời gian lò xo nén bằng 2 lần thời gian vật đi từ vị trí có li độ x1 = 3(cm) đến x2 = A = 6(cm) Khi đó trên vòng tròn vật quét một góc: =... giống nhau giữa ba dạng b i tập n y l xác định thời gian xảy ra giữa hai sự kiện từ đó cho ta công thức xác định đờng đi, vận tốc của chuyển động Phơng pháp n y có thể mở rộng sang trờng hợp của mạch dao động L-C với cách giải tơng tự ( Chuyên đề sau tôi sẽ đề cập đến) VI T i liệu tham khảo Trong chuyên đề có sử dụng t liệu của một số đồng nghiệp 1 Nguyễn cảnh Hoè, những b i tập hay v điển hiển Vật lý... 0 6 K 3 2 +6 S=S1+S2=3+120=123(cm) Dạng b i tập dạng 3: B i1 : Một vật dao động điều ho với phơng trình x = A.cos (5 t + ) Hỏi kể từ thời điểm t=0, lần thứ 9 m động năng bằng thế năng l v o thời điểm n o? HD: Từ hình vẽ ta thấy lúc t=0, chất điểm chuyển động tròn đều ở M0 Do thay t=0 v o phơng trình trên ta có : { x = A.cos(0 + ) = A Lần đầu vật có động năng bằng thế năng l ở vị trí M1 Góc m vật... đang chuyển động theo chiều dơng của trục toạ độ Khi con lắc dao động từ VT ban đầu đến độ cao cực đại (tức l vật đi từ vị trí 11 TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh x1 = 3 3 đến x2 = 6(cm) ) thì vật quét đợc một góc : = 6 nh hình vẽ Vậy thời 2 T t = = 3 = ( s) gian cần tìm l : 2 3 T 6 O +6 N M Ví dụ 10: (TSĐH 2008): Một con lắc lò xo treo thẳng ứng Kích thích cho con lắc dao động điều ho... A.sin(0 ) = 5 A > 0 2 đang chuyển động theo chiều dơng 12 TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh Khi lực đ n hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu- tại li độ x=-4(cm) ( trên vòng tròn l tại vị trí điểm M ) vật quét đợc góc : = + 7 7 t = = 6 = (s) 5 30 T 6 = 7 Vậy thời gian cần tìm l : 6 M 8 4 +8 O M0 Dạng b i tập dạng 1- loại 2: B i 1: Một vật dao động điều ho theo phơng trình x = 5.cos(2... OC = 4 sin 600 = 2 3 cm V y t ng quóng ủ ng m v t ủi ủ c: S = 58 + 2 3 cm = 61,6 cm B i5: Một vật dao động điều ho theo phơng trình x = 6.cos(20 t + )(cm) Tính 6 qu ng đờng vật đi đợc trong thời gian t = 31 ( s ) kể từ lúc vật bắt đầu dao 60 động? 16 TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh B i giải: Tại t=0 vật ở vị trí M0 xác định bởi : x = 6cos( ) = 3 3(cm) 6 Thời gian cần tìm tính theo công... động điều ho theo phơng thẳng ứng Chu kỳ v biên độ dao động của con lắc lần lợt l 0,4(s) v 8(cm) Chọn trục x'x thẳng ứng chiều dơng hớng xuống, 0 trùng VTCB, gốc thời gian t=0 khi vật qua VTCB theo chiều dơng, lấy g = 2 = 10( m ) Thời gian ngắn nhất kể từ khi t=0 đến khi lực đ n hồi của lò xo s2 có độ lớn cực tiểu l : A 1 ( s) 30 B 3 (s) 10 C 4 ( s) 15 D 7 ( s) 30 B i giải: Ta có : độ biến dạng của... thời gian cần tìm l : tmin 3 3 = 2 = (s) 2 4 M1 M0 A 0 x0 A M2 B i 2: Một vật dao động điều ho theo phơng trình x = 2.cos(2 t + ) (cm) Hỏi 6 lần thứ 2007 vật m đi qua vị trí có li độ x=-1(cm) l v o thời điểm n o? 13 TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh HD : Tại t=t1 để lần đầu tiên vật có li độ x=-1(cm) thì pha của dao động l : (2 t1 + 6 ) Toạ độ góc của M1 lần đầu tiên l cung: = M 0OM 1 = 2 . các bài tập dạng này vẫn cha mạnh dạn tiếp cận với phơng pháp dùng "Đờng tròn lợng giác& quot; để giải bài tập dao động điều hoà. Do một số hạn chế về kỹ năng kiến thức phơng pháp giải. . "circular trigonometric resolution exercises variation" PHƯƠNG PHáP ứng dụng vòng tròn lợng giác giải bài tập dao động điều hoà Trần Quang Thanh K15-PPGD VậT Lý-ĐH VINH I. Đặt vắn đề. chuyển động tròn đều tơng ứng với dao động điều hoà đ cho, ta thấy lúc t=0 vật dao động có li độ x 0 ứng với vị trí M 0 của chuyển động tròn đều. Lần thứ nhất vật có li độ 2,5 2 A x = = ứng