BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ ——————– * ——————— ĐÀO TRỌNG QUYẾT MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2013 Cơng trình hồn thành Học viện Kỹ thuật Qn Người hướng dẫn khoa học: TS Cung Thế Anh Phản biện 1: GS.TS Đặng Quang Á, Viện Công nghệ thông tin, Viện HLKH Việt Nam Phản biện 2: PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí, Viện Tốn học, Viện HLKH Việt Nam Phản biện 3: PGS.TS Hoàng Quốc Toàn, Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Học viện họp Học viện Kỹ thuật Quân vào hồi ngày tháng năm 2013 Có thể tìm hiểu luận án Thư viện Quốc gia, Thư viện Học viện Kỹ thuật Quân MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hệ phương trình Navier-Stokes miêu tả dịng chảy chất lỏng lí tưởng, nhớt, khơng nén có dạng sau:   ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f, ∂t ∇ · u = 0, u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng hàm véctơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt f ngoại lực Mặc dù đưa lần vào năm 1822, có nhiều báo sách chuyên khảo viết hệ Navier-Stokes, nhiên vấn đề tồn nghiệm mạnh tồn cục tính nghiệm yếu trường hợp ba chiều thách thức lớn nhà tốn học vật lí Vì nhu cầu Khoa học Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ Navier-Stokes nói riêng phương trình, hệ phương trình học chất lỏng nói chung ngày trở nên thời cấp thiết Như đề cập đến chuyên khảo R Temam (1979, 1995) báo tổng quan gần C Bardos & B Nicolaenko (2002) R Temam (2000), vấn đề đặt nghiên cứu phương trình hệ phương trình học chất lỏng là: • Sự tồn tại, tính tính qui nghiệm: Nghiệm nghiệm yếu nghiệm mạnh Tính qui tính qui theo biến thời gian tính qui theo biến khơng gian • Dáng điệu tiệm cận nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu nghiệm thời gian t vơ cơng cụ lí thuyết hệ động lực • Xấp xỉ nghiệm: Nói chung ta khơng thể tìm nghiệm xác phương trình, tồn tại, vấn đề tìm nghiệm xấp xỉ tốn cần quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng thực tế • Bài tốn điều khiển tốn điều khiển tối ưu Trong năm gần đây, lớp hệ phương trình g-NavierStokes, đưa lần Roh năm 2001, có dạng:   ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f, ∂t (1) ∇ · (gu) = g = g(x) hàm số dương cho trước, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ý nghĩa tầm quan trọng chúng, khó khăn thách thức mặt toán học nghiên cứu Như đề cập J Roh, có hai lí dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, đặc biệt trường hợp hai chiều: 1) Hệ g-Navier-Stokes hai chiều xuất cách tự nhiên nghiên cứu hệ Navier-Stokes miền mỏng ba chiều Ωg = Ω×(0, g), Ω miền hai chiều, tính chất tốt hệ g-Navier-Stokes hai chiều giúp ích cho việc nghiên cứu hệ Navier-Stokes miền mỏng ba chiều 2) Về mặt tốn học, hệ phương trình dạng tổng quát hệ Navier-Stokes cổ điển Vì có kết lớp hệ phương trình này, cần cho g = 1, ta nhận kết tương ứng hệ Navier-Stokes Ngược lại, việc chuyển kết biết hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt vấn đề tốn học lí thú Do năm gần đây, hệ phương trình g-Navier-Stokes nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn Friz et al (2012), Jiang Hou (2009, 2010, 2011), Kaya Celebi (2009), Kwean (2012), Kwean-Kwak-Roh (2006), Kwean Roh (2005), Roh (2005, 2006, 2009), Wu (2009, 2010), Wu Tao (2012) Tuy nhiên, nhiều vấn đề mở liên quan đến hệ g-Navier-Stokes cần nghiên cứu, chẳng hạn: • Nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm ngoại lực f phụ thuộc thời gian t, chứa trễ miền xét phương trình khơng thiết bị chặn • Nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh hệ g-Navier-Stokes • Xấp xỉ khoảng thời gian hữu hạn xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình g-Navier-Stokes Xuất phát từ lí trên, chọn vấn đề làm đề tài nghiên cứu luận án "Một số nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều" MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong luận án nghiên cứu nội dung sau hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều: - Nội dung Nghiên cứu tồn tại, tính dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu hệ g-Navier-Stokes hai chiều - Nội dung Nghiên cứu tồn tại, tính nhất, dáng điệu tiệm cận xấp xỉ nghiệm mạnh hệ g-Navier-Stokes hai chiều - Nội dung Nghiên cứu tồn tại, tính dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu hệ g-Navier-Stokes ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để nghiên cứu tồn nghiệm, sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, bổ đề compact, thiết lập bổ đề xử lí số hạng phi tuyến số hạng chứa trễ Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, chúng tơi sử dụng lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều Để xấp xỉ nghiệm, sử dụng phương pháp Giải tích số Tính tốn khoa học KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Luận án đạt kết sau đây: • Chứng minh tồn nghiệm yếu toán (1) Chứng minh tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi, tồn tính ổn định nghiệm dừng yếu • Chứng minh tồn nghiệm mạnh toán (1) Chứng minh tồn tập hút tồn cục tính ổn định nghiệm dừng mạnh Chứng minh kết xấp xỉ nghiệm mạnh khoảng thời gian hữu hạn xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh • Chứng minh tồn nghiệm yếu toán (1) trường hợp ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn; tồn tính ổn định nghiệm dừng yếu CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Luận án gồm chương: Chương nhắc lại số kiến thức chuẩn bị; Chương trình bày kết nghiệm yếu hệ g-NavierStokes hai chiều; Chương trình bày kết nghiệm mạnh; Chương trình bày kết nghiệm yếu hệ g-NavierStokes hai chiều với trễ vô hạn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại không gian hàm cần dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes thiết lập đánh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến Chúng tơi nhắc lại kết tổng quát lí thuyết tập hút (tập hút toàn cục, tập hút lùi) số kết bổ trợ dùng chương sau 1.1 CÁC KHƠNG GIAN HÀM, TỐN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN 1.1.1 Các khơng gian hàm 1 Kí hiệu L2 (Ω, g) = (L2 (Ω))2 H0 (Ω, g) = (H0 (Ω))2 với tích vơ hướng u · vgdx, u, v ∈ L2 (Ω, g), (u, v)g = Ω ∇uj · ∇vj gdx, u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ H0 (Ω, g), ((u, v))g = Ω j=1 chuẩn tương ứng |u|2 = (u, u)g , ||u||2 = ((u, u))g ∞ Đặt V = {u ∈ (C0 (Ω))2 : ∇ · (gu) = 0} Kí hiệu Hg bao đóng V L2 (Ω, g), Vg bao đóng V ′ H0 (Ω, g) Dễ thấy Vg ⊂ Hg ≡ Hg ⊂ Vg′ , phép nhúng trù mật liên tục Ta dùng kí hiệu || · ||∗ cho chuẩn Vg′ , , đối ngẫu Vg Vg′ 1.1.2 Các toán tử Ta định nghĩa toán tử liên quan đến hệ g-Navier-Stokes Đặt A : Vg → Vg′ toán tử xác định Au, v = ((u, v))g Kí hiệu D(A) = {u ∈ Vg : Au ∈ Hg }, D(A) = H (Ω, g) ∩ Vg miền Ω trơn Au = −Pg ∆u, ∀u ∈ D(A), Pg tốn tử chiếu trực giao từ L2 (Ω, g) xuống Hg Đặt B : Vg × Vg → Vg′ tốn tử xác định B(u, v), w = b(u, v, w), b(u, v, w) = uj j,k=1 Ω ∂vk wk gdx ∂xj Đặt C : Vg → Hg toán tử xác định (Cu, v)g = (( ∇g ∇g · ∇)u, v)g = b( , u, v), ∀v ∈ Vg g g 1.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến Bổ đề 1.1 Nếu n = 2,  c1 |u|1/2 u 1/2 v |w|1/2 w 1/2 , ∀u, v, w ∈ Vg ,     c |u|1/2 u 1/2 v 1/2 |Av|1/2 |w|, ∀u ∈ V , v ∈ D(A), g |b(u, v, w)| ≤ c3 |u|1/2 |Au|1/2 v |w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ Vg , w ∈ Hg ,      c4 |u| v |w|1/2 |Aw|1/2 , ∀u ∈ Hg , v ∈ Vg , w ∈ D(A), ci , i = 1, , 4, số xác định Bổ đề 1.2 Cho u ∈ L2 (τ, T ; Vg ) Khi hàm Bu xác định Bu(t), v = b(u(t), u(t), v), ∀u ∈ Vg , h.k t ∈ [τ, T ], thuộc L2 (τ, T ; Vg′ ) Bổ đề 1.3 Cho u ∈ L2 (0, T ; D(A)) ∩ L∞ (0, T ; Vg ) Khi hàm Bu xác định Bu(t), v = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ Hg , h.k t ∈ [0, T ], thuộc L4 (0, T ; Hg ), thuộc L2 (0, T ; Hg ) Bổ đề 1.4 Cho u ∈ L2 (τ, T ; Vg ) Khi hàm Cu xác định (Cu(t), v)g = (( ∇g · ∇)u, v)g = b( ∇g , u, v), ∀v ∈ Vg , thuộc g g 2 L (τ, T ; Hg ), thuộc L (τ, T ; Vg′ ) Hơn |Cu(t)| ≤ |∇g|∞ u(t) , Cu(t) m0 ∗ ≤ |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 u(t) , h.k t ∈ (τ, T ) 1.2 TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI Trong phần này, nhắc lại định nghĩa số kết tổng quát tập hút toàn cục tập hút lùi phương pháp đánh giá số chiều fractal chúng sử dụng luận án 1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 1.3.1 Không gian hàm phụ thuộc thời gian Trong mục này, nhắc lại định nghĩa không gian hàm phụ thuộc thời gian: Lp (0, T ; X), ≤ p ≤ +∞ , C([0, T ]; X) L2 (R; X), X khơng gian Banach loc 1.3.2 Một số bất đẳng thức thường dùng Trong mục nhắc lại bất đẳng thức thường xuyên sử dụng luận án: bất đẳng thức Cauchy, bt ng thc Young, bt ng thc Hălder v bt đẳng thức Gronwall o 1.3.3 Một số bổ đề định lí quan trọng Trong mục chúng tơi nhắc lại số bổ đề định lí sử dụng luận án: Bổ đề Aubin-Lions, Định lí 13.3 R Temam (1995), Bổ đề 1.3 J.L Lions (1969), Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue Định lí điểm bất động Brower Chương NGHIỆM YẾU CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Trong chương xét toán biên ban đầu thứ hệ g-Navier-Stokes hai chiều miền không thiết bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré Đầu tiên chứng minh tồn nghiệm yếu, sau chứng minh tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi q trình sinh tốn Cuối cùng, chúng tơi chứng minh tồn tính ổn định nghiệm dừng yếu ngoại lực không phụ thuộc thời gian Nội dung chương dựa báo [1] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 2.1 ĐẶT BÀI TỐN Cho Ω miền (bị chặn khơng bị chặn) R2 với biên Γ Chúng ta xét hệ g-Navier-Stokes không ô-tô-nôm sau:   ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p    ∂t    ∇ · (gu)   u(x, t)      u(x, τ ) = f, (τ, +∞) × Ω, = 0, (τ, +∞) × Ω, = 0, (τ, +∞) × Γ, (2.1) = u0 (x), Ω, u = u(x, t) = (u1 , u2 ), p = p(x, t) tương ứng hàm véctơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt u0 vận tốc ban đầu Để nghiên cứu toán (2.1) giả thiết: (H1) Ω miền tùy ý (bị chặn không bị chặn) R2 thỏa 2.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI Giả sử ngoại lực f thỏa mãn điều kiện: f ∈ L∞ (−∞, T ∗ ; Vg′ ), với T ∗ ∈ R (2.30) Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2 Giả sử điều kiện (H1) − (H3) (2.30) thỏa ˆ mãn Khi tập Dσ -hút lùi A nhận Định lí 2.2 thỏa mãn A(τ ) compact tương đối Hg τ ≤T ∗ Bổ đề 2.3 Giả sử điều kiện (H1)−(H3) (2.30) thỏa mãn Khi đó, q trình U (t, τ ) tương ứng với tốn (2.1) thỏa mãn tính chất tựa khả vi Ta có kết sau ước lượng số chiều fractal tập hút lùi Định lí 2.3 Giả sử điều kiện (H1) − (H3) (2.30) thỏa ˆ mãn Khi tập Dσ -hút lùi A = {A(t) : t ∈ R} có số chiều fractal thỏa mãn κ f dF (A(τ )) ≤ max 1, γ0 = − 2νλ1 (γ0 − ǫ) > |∇g|2 ∞ m0 λ2 ′ L∞ (−∞,T ∗ ;Vg ) 16ν (γ0 − ǫ)2 ǫ2 λ1 , với τ ∈ R, > 0, ǫ > chọn cho σ = 2.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ TRONG TRƯỜNG HỢP Ô-TÔ-NÔM 2.5.1 Sự tồn đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục Khi ngoại lực f ∈ Vg′ khơng phụ thuộc t, ta định nghĩa nửa nhóm liên tục S(t) : Hg → Hg S(t)u0 = u(t), u(t) 11 nghiệm yếu toán (2.1) với điều kiện ban đầu u0 Trong trường hợp này, tập hút lùi trở thành tập hút tồn cục Bởi vậy, nửa nhóm S(t) có tập hút tồn cục compact A Hg Hơn nữa, tập hút A có số chiều fractal hữu hạn 2.5.2 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng Nghiệm dừng yếu toán (2.1) phần tử u∗ ∈ Vg cho ν((u∗ , v))g + ν(Cu∗ , v)g + b(u∗ , u∗ , v) = f, v , ∀v ∈ Vg Định lí 2.4 Giả sử f ∈ Vg′ Khi đó: (a) Bài tốn (2.1) có nghiệm dừng yếu u∗ Hơn nữa, nghiệm dừng thỏa mãn: ν(1 − |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 )||u∗ || ≤ ||f ||∗ (b) Nếu có điều kiện sau: ν(1 − |∇g|∞ ) 1/2 m0 λ1 > c1 ||f ||∗ 1/2 λ1 , (2.42) c1 số Bổ đề 1.1, nghiệm dừng yếu tốn (2.1) Định lí 2.5 Giả sử điều kiện Định lí 2.4 (2.42) thỏa mãn Khi với nghiệm u(·) tốn (2.1) ta có |u(t) − u∗ | → t → ∞ 12 Chương NGHIỆM MẠNH CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Trong chương này, xét hệ g-Navier-Stokes hai chiều miền bị chặn với biên trơn Đầu tiên, sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin phương pháp compact, chứng minh tồn nghiệm mạnh Tiếp theo, ngoại lực không phụ thuộc thời gian, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh thời gian vô dựa tồn tập hút tồn cục tính ổn định nghiệm dừng mạnh Cuối cùng, xét vấn đề xấp xỉ nghiệm mạnh hai trường hợp: xấp xỉ khoảng thời gian hữu hạn xấp xỉ dáng điệu tiệm cận thời gian tiến vô Nội dung chương dựa báo [2], [3] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN Cho Ω miền bị chặn R2 với biên trơn Γ Ta nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều sau:   ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (0, T ) × Ω,    ∂t    ∇ · (gu) = (0, T ) × Ω, (3.1) u  = (0, T ) × Γ,     u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, u = u(x, t) = (u1 , u2 ) hàm véctơ vận tốc p = p(x, t) hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt, u0 vận tốc ban đầu Ta giả thiết hàm g thỏa mãn điều kiện sau: (G) g ∈ W 1,∞ (Ω) thỏa mãn < m0 ≤g(x)≤M0 , ∀ x = (x1 , x2 ) ∈ Ω, |∇g|∞ < m0 λ1 , 1/2 13 λ1 > giá trị riêng nhỏ toán tử g-Stokes Ω (tức toán tử A Chương 1, mục 1.1) 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM MẠNH Trước tiên định nghĩa nghiệm mạnh toán (3.1) Định nghĩa 3.1 Cho f ∈ L2 (0, T ; Hg ) u0 ∈ Vg , nghiệm mạnh khoảng (0, T ) toán (3.1) hàm u ∈ L2 (0, T ; D(A)) ∩ L∞ (0, T ; Vg ) với u(0) = u0 thỏa mãn: d (u(t), v)g +ν((u(t), v))g +ν(Cu(t), v)g +b(u(t), u(t), v) = (f (t), v)g dt với v ∈ Vg h.k t ∈ (0, T ) Tiếp theo ta đưa số đánh giá tiên nghiệm nghiệm mạnh toán (3.1) Bổ đề 3.1 Nếu u nghiệm mạnh (3.1) (0, T ) T ||u(t)||2 dt ≤ K1 , K1 = K1 (|u0 |, f L2 (0,T ;Hg ) , ν, T, λ1 ), sup |u(s)|2 ≤ K2 , K2 = K2 (|u0 |, f L2 (0,T ;Hg ) , ν, T, λ1 ) s∈[0,T ] Bổ đề 3.2 Nếu u nghiệm mạnh toán (3.1) (0, T ) sup ||u(t)||2 ≤ K3 , K3 = K3 (K1 , K2 ), t∈[0,T ] T |Au(t)|2 dt ≤ K4 , K4 = K4 (K1 , K2 ) Định lí sau trình bày kết tồn nghiệm mạnh tốn (3.1) Định lí 3.1 Giả sử f ∈ L2 (0, T ; Hg ) u0 ∈ Vg cho trước Khi tồn nghiệm mạnh u toán (3.1) (0, T ) Hơn nữa, ánh xạ u0 → u(t) liên tục Vg với t ∈ [0, T ], nghĩa là, nghiệm mạnh phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu 14 3.3 DÁNG DIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MẠNH Trong phần này, giả thiết f ∈ Hg không phụ thuộc vào thời gian t Khi đó, Định lí 3.1, ta định nghĩa nửa nhóm liên tục S(t) : Vg → Vg xác định S(t)u0 = u(t), t ≥ 0, u0 ∈ Vg , u(t) nghiệm tốn (3.1) với điều kiện đầu u(0) = u0 Ta nửa nhóm có tập hút tồn cục compact A Vg ngoại lực f đủ "nhỏ", tập hút có dạng đặc biệt: A = {u∗ }, u∗ nghiệm dừng mạnh tốn (3.1) 3.3.1 Sự tồn tập hút tồn cục Mệnh đề 3.1 Nếu f ∈ Hg tồn thời điểm t0 = t0 (|u0 |), số dương ρHg IVg cho |u(t)| ≤ ρHg , t+1 ||u(s)||2 ds ≤ IVg , ∀t ≥ t0 t Tiếp theo có kết tồn tập hấp thụ bị chặn Vg nửa nhóm S(t) Mệnh đề 3.2 Nếu f ∈ Hg tồn thời điểm t1 = t1 (t0 ), số dương ρVg IA cho ||u(t)|| ≤ ρVg , t+1 |Au(s)|2 ds ≤ IA , ∀t ≥ t1 t 15 Mệnh đề sau phát biểu tồn tập hấp thụ bị chặn D(A) nửa nhóm S(t) Mệnh đề 3.3 Nếu f ∈ Hg tồn thời điểm t2 = t2 (t1 ) số dương ρA cho |Au(t)| ≤ ρA ∀ t ≥ t2 Do phép nhúng D(A) ֒→ Vg compact, ta có kết sau Định lí 3.2 Nửa nhóm S(t) sinh tốn (3.1) có tập hút tồn cục compact A không gian Vg Nhận xét 3.2 Các kết mục gần mở rộng sang trường hợp ngoại lực f phụ thuộc thời gian cách sử dụng lí thuyết tập hút lùi 3.3.2 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng Nghiệm dừng mạnh toán (3.1) phần tử u∗ ∈ D(A): ν((u∗ , v))g + ν(Cu∗ , v)g + b(u∗ , u∗ , v) = (f, v)g , ∀v ∈ Vg Định lí 3.3 Nếu f ∈ Hg (a) Bài tốn (3.1) có nghiệm dừng mạnh u∗ Hơn nữa, nghiệm thỏa mãn ν(1 − |∇g|∞ )||u∗ || ≤ 1/2 m0 λ1 1/2 λ1 |f | (b) Nếu có điều kiện sau: ν(1 − |∇g|∞ ) 1/2 m0 λ1 > c1 |f | , λ1 (3.25) c1 số Bổ đề 1.1, nghiệm dừng mạnh tốn (3.1) 16 Định lí 3.4 Giả sử f ∈ Hg điều kiện (3.25) thỏa mãn Khi đó, với u(·) nghiệm tốn (3.1), ta có |u(t) − u∗ | → t → ∞ 3.4 XẤP XỈ NGHIỆM MẠNH 3.4.1 Xấp xỉ nghiệm mạnh khoảng thời gian hữu hạn Trong phần này, nghiên cứu vấn đề xấp xỉ nghiệm mạnh khoảng thời gian hữu hạn cách sử dụng lược đồ rời rạc không gian thời gian Cụ thể, rời rạc biến không gian R Temam (1979), biến thời gian ta sử dụng lược đồ sau: Với h, gọi u0h phần tử chiếu (trong H0 (Ω, g)) u0 Vh Cho N số nguyên dương, k = T /N Với h, k, ta xác định m+i/2 phần tử Vh , m = 0, , N − 1, i = 1, quy nạp họ uh Lấy phần tử đầu u0 = u0h h Giả sử um , m ≥ biết, ta xác định uh h m+1/2 m+1/2 uh um+1 sau: h ∈ Vh , m+1/2 ν m+1/2 − um , vh )g + ((uh , vh ))g (uh h k ν m+1/2 , vh )g = (f m , vh )g ∀vh ∈ Vh , + (Cuh f m = k (m+1)k f (t)dt, mk um+1 ∈ Wh , h 17 ν ν m+1 m+1/2 , vh )g + ((um+1 , vh ))g + (Cum+1 , vh )g − uh (uh h k h + b(um+1 , um+1 , vh ) = ∀vh ∈ Wh , h h b(u, v, w) = i,j=1 {ui [(Di vj )wj − vj (Di wj )]}gdx Ω Từ họ phần tử uh Wh ta định nghĩa hàm xác định khoảng [0, T ] sau: m+i/2 • uk hàm khúc nhận giá trị uh 1)k), i = 1, 2; m = 0, , N − (i) m+i/2 [mk, (m+ • uk hàm liên tục từ [0, T ] vào Wh , tuyến tính (mk, (m+ m+i/2 1)k) nhận giá trị uh mk, i = 1, 2; m = 0, , N − (i) Tiếp theo ta nghiên cứu dáng điệu uk , uk , h, k → (i) (i) (i) (i) Định lí 3.5 Với giả thiết trên, hàm uk , uk ; i = 1, 2, bị chặn L2 (0, T ; H0 (Ω, g)) ∩ L∞ (0, T ; L2 (Ω, g)) Hơn (i) (i) nữa, k, h → 0, uk uk hội tụ đến nghiệm mạnh u toán (3.1) L2 (0, T ; H0 (Ω, g)) Lq (0, T ; L2 (Ω, g)) với ≤ q < ∞ 3.4.2 Xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh Cho f1 , f2 ∈ Cb ([0, ∞); Hg ) u0 , v0 cho trước Vg Kí hiệu u v hai nghiệm mạnh tương ứng hai toán sau:   du + νAu + νCu + Bu = f (t), dt (3.48) u(0) =u , 18   dv + νAv + νCv + Bv dt v(0) = f2 (t), = v0 (3.49) Giả sử E không gian hữu hạn chiều Vg Ta kí hiệu P (E) phép chiếu trực giao Hg xuống E, Q(E) = I − P (E) định nghĩa λ(E) = inf{||ϕ||2 , ϕ ∈ Vg , P (E)ϕ = 0, |ϕ| = 1}, µ(E) = sup{||ψ||2 , ψ ∈ E, |ψ| = 1} Định lí 3.6 Giả sử u v hai nghiệm mạnh (3.48) (3.49) Cho E không gian hữu hạn chiều Vg thỏa mãn c1 ρA λ(E) > ( ) , (3.50) νγ0 c1 số Bổ đề 1.1, ρA số Mệnh |∇g|∞ đề 3.3, γ0 = − > Khi đó, 1/2 m0 λ1 |P (E)(u(t) − v(t))| → 0, t → ∞, |(I − P (E))(f1 (t) − f2 (t))| → 0, t → ∞, ta có |(I − P (E))(u(t) − v(t))| → 0, t → ∞, nghĩa là, |u(t) − v(t)| → 0, t → ∞ Nhận xét 3.3 Định lí 3.6 nói rằng, điều kiện (3.50) thỏa mãn dáng điệu t → +∞ u(t) hoàn toàn xác định dáng điệu P (E)u(t), tức dáng điệu u(t) không gian hữu hạn chiều E 19 Chương HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU VỚI TRỄ VÔ HẠN Trong chương này, xét hệ g-Navier-Stokes hai chiều trường hợp ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn Đầu tiên, sử dụng phương pháp Galerkin phương pháp compact, chứng minh tồn tính nghiệm yếu tốn Sau chúng tơi nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm dừng yếu Nội dung chương dựa báo [4] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN Giả sử Ω miền tùy ý (bị chặn không bị chặn) R2 với biên Γ Ta nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều khơng ơ-tơ-nơm chứa trễ vơ hạn sau:   ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (t) + F (t, u ) (τ, T ) × Ω,  t   ∂t    ∇ · (gu) = (τ, T ) × Ω, u  = (τ, T ) × Γ,     u(τ + s, x) = ϕ(s, x), s ∈ (−∞, 0], x ∈ Ω, (4.1) u = u(x, t) = (u1 , u2 ) hàm véc tơ vận tốc, p = p(x, t) hàm áp suất, ν = const > hệ số nhớt Trong suốt chương này, ta dùng kí hiệu sau: Giả sử X không gian Banach, hàm u : (−∞, T ) → X Với t < T , kí hiệu ut hàm xác định khoảng (−∞, 0] ut (s) = u(t + s), s ∈ (−∞, 0] 20 Để nghiên cứu trễ vô hạn ta xét tốn khơng gian pha Cγ (Hg ), γ > 0, định nghĩa sau: Cγ (Hg ) = {ϕ ∈ C((−∞, 0]; Hg ) : ∃ lim eγs ϕ(s) ∈ Hg } s→−∞ Đây không gian Banach với chuẩn ||ϕ||γ := sups∈(−∞,0] eγs |ϕ(s)| Để nghiên cứu toán (4.1), ta giả thiết: (H1) Ω miền tùy ý (bị chặn không bị chặn) R2 với biên trơn Γ thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré: Tồn λ1 > cho ϕ2 gdx ≤ Ω λ1 |∇ϕ|2 gdx, ∀ϕ ∈ H0 (Ω); Ω (H2) g ∈ W 1,∞ (Ω) thỏa mãn < m0 ≤g(x)≤M0 , ∀ x = (x1 , x2 ) ∈ Ω, |∇g|∞ < m0 λ1 ; 1/2 (H3) f ∈ L2 (τ, T ; Vg′ ); (H4) F (t, ut ) : (τ, T ) × Cγ (Hg ) → L2 (Ω, g) cho: (i) ∀ξ ∈ Cγ (Hg ), ánh xạ (τ, T )∋t → F (t, ξ) đo được, (ii) F (t, 0) = với t ∈ (τ, T ), (iii) tồn số LF > cho ∀t ∈ (τ, T ) ξ, η ∈Cγ (Hg ): |F (t, ξ) − F (t, η)| ≤ LF ||ξ − η||γ 4.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU Trước tiên định nghĩa nghiệm yếu toán (4.1) sau 21 Định nghĩa 4.1 Hàm u gọi nghiệm yếu toán (4.1) khoảng (τ, T )   u ∈ L∞ (τ, T ; Hg ) ∩ L2 (τ, T ; Vg ),   d u(t) + νAu(t) + B(u(t), u(t)) + νCu(t) = f (t) + F (t, ut ) Vg′ ,  dt   u(τ ) = ϕ, với h.k t ∈ (τ, T ) Định lí sau trình bày kết tồn nghiệm yếu tốn (4.1) Định lí 4.1 Giả sử ϕ ∈ Cγ (Hg ) cho trước 2γ > νλ1 γ0 , ∞ γ0 = − |∇g|1/2 > Khi tồn nghiệm yếu m0 λ1 u toán (4.1) khoảng (τ, T ) 4.3 SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG Trong phần này, nghiên cứu tồn tại, tính tính ổn định nghiệm dừng yếu toán (4.1) Ta giả thiết hàm f ∈ Vg′ F ∈ Hg không phụ thuộc thời gian Ta coi F (w) F (w′ ), w′ ∈ Cγ (Hg ) phần tử nhận giá trị w với thời gian t ≤ Cố nhiên, theo giả thiết F , ta có |F (x1 ) − F (x2 )| ≤ LF |x1 − x2 |, ∀x1 , x2 ∈ Hg Nghiệm dừng toán (4.1) phần tử u∗ ∈ Vg cho ν((u∗ , v))g +ν(Cu∗ , v)g +b(u∗ , u∗ , v) = f, v +(F (u∗ ), v)g , ∀v ∈ Vg Định lí 4.2 Với kí hiệu giả thiết nêu trên, ν(1 − 22 |∇g|∞ )> 1/2 m0 λ1 LF , λ1 thì: (a) Bài tốn (4.1) có nghiệm dừng u∗ Hơn nữa, nghiệm thỏa mãn ước lượng sau: ν(1 − |∇g|∞ )− 1/2 m0 λ1 LF ||u∗ || ≤ f λ1 ∗ (b) Nếu điều kiện sau thỏa mãn ν(1 − |∇g|∞ )− 1/2 m0 λ1 LF λ1 > c1 1/2 λ1 f ∗, (4.27) c1 số xác định Bổ đề 1.1, nghiệm dừng toán (4.1) Định lí sau trình bày kết ổn định nghiệm dừng yếu Định lí 4.3 Với giả thiết Định lí 4.2, f , F khơng phụ thuộc thời gian (4.27) Kí hiệu u(t) nghiệm (4.1) với τ = ϕ ∈ Cγ (Hg ), tồn giá trị λ ∈ (0, 2γ) để có đánh giá sau với t ≥ 0: |u(t) − u∗ |2 ≤ e−λt (|ϕ(0) − u∗ |2 + ut − u∗ γ ≤ max e−2γt ϕ − u∗ LF ||ϕ − u∗ ||2 ), γ 2γ − λ −λt (|ϕ(0) γ ,e + − u∗ |2 LF ||ϕ − u∗ ||2 ) , γ 2γ − λ u∗ nghiệm dừng toán (4.1) 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Luận án đạt kết sau: Chứng minh tồn nghiệm yếu, tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi, tồn tính ổn định nghiệm dừng yếu hệ g-Navier-Stokes hai chiều miền không thiết bị chặn mà cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré Chứng minh tồn nghiệm mạnh, tồn tập hút tồn cục tính ổn định nghiệm dừng mạnh hệ g-Navier-Stokes hai chiều miền bị chặn Chứng minh kết xấp xỉ nghiệm khoảng thời gian hữu hạn xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm Chứng minh tồn nghiệm yếu, tồn tính ổn định nghiệm dừng hệ g-Navier-Stokes hai chiều trường hợp ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn, miền không thiết bị chặn mà cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO • Nghiên cứu tính chất tập hút nhận luận án • Nghiên cứu tính qui nghiệm hệ g-Navier-Stokes • Tiếp tục nghiên cứu việc xấp xỉ số nghiệm hệ g-NavierStokes • Nghiên cứu tốn điều khiển tối ưu toán điều khiển hệ g-Navier-Stokes hai chiều 24 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN C.T Anh and D.T Quyet, Long-time behavior for 2D nonautonomous g-Navier-Stokes equations, Ann Polon Math 103 (2012), 277-302 C.T Anh, D.T Quyet and D.T Tinh, Existence and finite time approximation of strong solutions to 2D g-NavierStokes equations, Acta Math Viet 38 (2013), DOI 10.1007/ s40306-013-0023-2 C.T Anh and D.T Quyet, Long-time behavior and longtime approximation of strong solutions to g-Navier-Stokes equations, submited to Bull Pol Acad Math Sci C.T Anh and D.T Quyet, g-Navier-Stokes equations with infinite delays, Viet J Math 40 (2012), 57-78 Các kết luận án báo cáo • Xêmina Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Qn sự; • Xêmina Bộ mơn Tốn học tính tốn, Khoa Tốn - Cơ - Tin, Trường Đại học học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; • Xêmina Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; • Xêmina Bộ mơn Tốn Cơ bản, Viện Tốn ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; • Hội nghị nghiên cứu nhà khoa học trẻ, Học viện Kỹ thuật Quân sự, 2011 25 ... nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều" MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong luận án nghiên cứu nội dung sau hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều: - Nội dung Nghiên cứu. .. cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, đặc biệt trường hợp hai chiều: 1) Hệ g-Navier-Stokes hai chiều xuất cách tự nhiên nghiên cứu hệ Navier-Stokes miền mỏng ba chiều Ωg = Ω×(0, g), Ω miền hai chiều, ... tốt hệ g-Navier-Stokes hai chiều giúp ích cho việc nghiên cứu hệ Navier-Stokes miền mỏng ba chiều 2) Về mặt tốn học, hệ phương trình dạng tổng quát hệ Navier-Stokes cổ điển Vì có kết lớp hệ phương