iu khin t ng (1)  Bùi H Trang - 33 - Hình 2-1: Hình dạng các hàm đầu vào cơ bản Hàm bước (step function)   f(t) = 0 v t<0 A v   Ae -   2-4     =    =  0   ; Tr h riêng khi A=1 ta gi hàm b  là , có d sau: f   Laplace c nó có d: 2-5   1()  =  (1 ×   ) =  0 1  ; Hàm dốc (Ramp Function) Hàm dc có d sau: iu khin t ng (1)  Bùi H Trang - 34 - f(t) = 0 v t<0 A.t v  Trong  A= const.  Laplace c nó  xác  nh sau: 2-6     =     =      0 =       0       0 =       0 =   2 Hàm Sin (Sinunoidal Function) Hàm sin có d f(t) = 0 v t<0  v  Bng cách vi l hàm Sin d d hàm m tng ng: 2-7 sin = 1 2  e jt  e jt  Ta s tìm  Laplace nh sau 2-8   sin   =  2  (   0    )  =  2 1    2 1 +  =   2   2 Tng t, ta có 2-9   cos   =   2 +  2 Hàm trễ  Laplace c hàm tr 2-10     . 1    trong  àm này bXem HÌNH 2-1. Theo nh ngha, phép bin i Laplace ca     . 1    s nh sau iu khin t ng (1)  Bùi H Trang - 35 - 2-11       . 1    =      . 1     0    B cách th bin c lp t  - ta có        . 1       0   =      . 1       (+)  Lu ý rng, trong tài liu này ta luôn cho     . 1    = 0 y ta có th i cn tích phân  - . Do vy ta có,      . 1         +  =      . 1     0    +  =        . 1     0    =           0 =       Trong      =       =         0  Do v 2-12       . 1    =       , 0 Ngh là,  Laplace c hàm f(t)1(t) khi b  tr i m l là  tìm  bng cách nhân  Laplace c hàm f(t) là F(s)  e s . Hàm xung răng lược (Pulse function). Hàm xung r   mô t nh sau: 2-13     = 0  < 0,  0 < ;     =   0  0 < <  0 ;  0  Có th coi hàm này là cng gp c hàm b   0    b   hàm b    0    bt u khi t  0 . Do vy,     =   0 . 1       0 . 1   0  .  Laplace c nó s tìm  nh sau: 2-14       =   1        0 . 1    0  =   0     0    0 =   0   1    0  iu khin t ng (1)  Bùi H Trang - 36 - 2.1.3 Các định lý cơ bản 2.1.3.1 Định lý Vi phân thực  lý vi phân thc  th hin nh sau.  Laplace c  hàm c hàm f(t) có d 2-15         =        0  và có th  chg minh nh sau. L tích phân Laplace c hàm f(t) ta có       =         0 =      0              0  Do v,     = (0)  + 1          Cho nên ng nhiên         =        0  Tng t, v  hàm bc hai, ta có 2-16    2      2  =  2        0     0   và  hàm bc n 2-17            =         1   0    2    0       2  0     1  0  Lu ý rng theo  ngh phép bi  Laplace thun thì m iu kin u bng không, cho nên  Laplace c  hàm bc n c f(t) s là       . 2-18            =       Định lý tích phân thực. iu khin t ng (1)  Bùi H Trang - 37 - N f(t) có th bi din theo hàm s m c e thì  ()  có  Laplace và  cho d d 2-19     = ()  +  1 (0)  trong :  F(s) là  Laplace c f(t)   1  0  =  ()  @=0 ,  l giá khi t=0.  lý này  chng minh nh sau:     =        0   ] =           0        0     = 1       =0 + 1        0   =  1 (0)  + ()  Nu các iu kin u bng không, ta có 2-20     = ()  Định lí giá trị cuối. giá tr cu cho bit m liên h gia giá tr ca hàm f(t)  tr thái n  (cân bng) v giá tr c sF(s) t lân cn s=0 .  lí này  áp d nu tn t lim  () , ngh là f(t) nhn giá tr h h nào ó khi t  lí  phát biu nh sau:    () , thì   () =  0 ()  ch minh  lí này, trong phng trình c  Laplace c df(t)/dt ta cho s tin t 0, hay lim           0   = lim 0       (0)  Do lim    = 1 , cho nên ta có          0 =       0 =        0  =  0      (0) T ó ta có iu khin t ng (1)  Bùi H Trang - 38 - 2-21     =       =  0     D vào  lí này ta có th xác   giá tr cân bng n  c f(t) t giá tr c sF(s) t lân c s=0.  Không nh thi ph luôn tìm  Laplace nh trên. Trong t ng, các hàm s mà ta th kh sát th có m s d c bn, do v ng ta  lp ra  bng nguyên hàm và  Laplace c nó  ta tin tra cu. Ngoài ra các b có th dùng các chng trình MATLAB, MAPLE  tìm  Laplace c các hàm khá d dàng. 2.1.4 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace thuận (Bảng 2-1) Bảng 2-1: Các tính chất của biến đổi Laplace 1       =     2    1    ±  2    = F 1    ± F 2 (s) 3         =        0  4    2      2  =  2        0     0   5            =            =1   1  0 ±  ;   1  0 ±  =  1  1     6     = ()  +         =0±  7        0   = ()  2.2 - Hàm truyền 2.2.1 Khái niệm hàm truyền: Trong t ng iu khin, hàm truyn th c dùng  c trng cho quan h vào-ra c các thành phn hay c các h thng vn có th mô t c bng các phng trình vi phân tuyn tính h s hng. iu khin t ng (1)  Bùi H Trang - 39 - V, hàm truyn c m h thng phng trình vi phân tuyn tính h s hng   ngh là t s gia  Laplace c u ra (hay hàm  ng) chia cho  Laplace c u vào (hay hàm tác ng) v gi  là m iu kin u u bng không. 2.2.2 Biểu thức tổng quát của hàm truyền: Gi s có mt h thng tuy tính h t (h s hng)  mô t bng phng trình vi phân sau 2-22  0   +  1  1 + +  1  +   =  0   +  1  1 + +  1  +   ;  Trong  y là u ra, còn x là u vào. Ta có  hàm truyn c h thng này nh phép bin i Laplace c hai v c phng trình  có  Laplace c u ra và u vào v gi  là m iu kin u u bng không: 2-23     = []     / @  =0 =  0   +  1  1 + +  1 +    0   +  1  1 + +  1 +   V khái nim hàm truyn ta có th biu din ng lc hc h thng bng các phng trình  s c s . Nu s m cao nh c s  m s c hàm truyn là n thì ta nói rng h thng có bc n . 2.2.1 Nhận xét về hàm truyền Các ng d c hàm truyn b gii h trong các h thng tuyn tính h s hng (ngh là các thông s c h không thay i theo th gian) và  s d th xuyên trong phân tích các h thng d này. 1- Hàm truyn c mt h thng là m mô hình toán hc ch ng phng thc biu din bng phng trình vi phân m liên h c bin  ra i v bin  vào. 2- Hàm truyn chính là mt thuc tính c m h thng, c l v c  và bn ch c u vào (hay  tác ng). 3- Hàm truyn bao g các phn t cn thi  th hin mi liên h c u vào i v u ra. Tuy nhiên, nó không cho ta bi b k thông tin nào v cu trúc v lý c h thng mà nó mô t. Ngh là, hàm truyn c r nhiu h thng v lý khác nhau l hoàn toàn ging nhau. 4- N ta bi  hàm truyn c mt h thng, ta có th nghiên c u ra hay  ng c h thng i v m lo d u vào khác nhau nhm hiu rõ bn ch c h thng. 5- N ta không th tìm  hàm truyn c m h thng bng các phép mô t toán hc thông d, ta có th tìm hàm truyn c h bng thc nghim, bng cách áp d mt s các tín hi vào cho tr ri nghiên c    ra c h thng. Khi  tìm c, hàm truyn này th hin các c trng ng lc hc c h thng, khác v mô t v lý c h. iu khin t ng (1)  Bùi H Trang - 40 - 2.3 Xây dựng và biến đổi sơ đồ khối 2.3.1 Sơ đồ khối của mạch kín. HÌNH 2-2 gi thiu m s  khi c m kín. Tín hiu ra, hay là bin c iu khin Y(s)=G(s).E(s) theo  ngh v hàm truyn. Tín hiu Y(s) s  hi tip v im so sánh. Tín hiu ra im so sánh là k qu c  s c hai tín hiu vào: cho tr (hay tham chiu) R(s) và hi tip C(s) C(s). Nh v, quan h gia các tín hiu, chc nng c tng kh c th hin r rõ ràng trên s  khi. Trong m s  kh s có nhiu kh, im so sánh và các im r nhánh. Hình 2-2: Sơ đồ khối của mạch kín (có phản hồi) Bin c iu khin khi c a v im so sánh ph có cùng d tín hiu, bn ch v lí, n v o v tín hiu vào cho tr nh các chuyn i cn thi. Ví d trong HÌNH 2-2, n R(s) có d là lc, áp su hay in áp  din cho nhi  cho tr (nhi  ta mun có), còn Y(s) là nhi  cn  iu khin, v trc khi Y(s) c g v im so sánh  cng hoc tr vi R(s) t ra tín hiu  lch E(s), nó cn ph c chuyn i thành  l C(s)  ging v R(s) thông qua khi cm bin có hàm truyn H(s), C(s)=H(s).Y(s). 2.3.2 Hàm truyền của hai khâu mắc nối tiếp  1 (s) và G 2 (s), xem HÌNH 2-3 A  2-24  1    =  1        ;     =  2     1    ;  () () =  1     2    ; . (1)  Bùi H Trang - 35 - 2-1 1       . 1    =      . 1     0    B cách th bin c lp t   - ta có        Laplace c nó có d: 2 -5   1()  =  (1 ×   ) =  0 1  ; Hàm dốc (Ramp Function) Hàm dc có d sau: iu khin t ng (1)  Bùi H Trang - 34 - f(t) = 0 v t<0. 2-7 sin = 1 2  e jt  e jt  Ta s tìm  Laplace nh sau 2-8   sin   =  2  (   0    )  =  2 1    2 1 +  =   2   2 Tng t, ta có 2-9