ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút Câu1: (6 điểm) Cho hàm số y= x 3 + 4x 2 + 4x +1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Cho M(x 0 ;y 0 ) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị tại M 1 và M 2 khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M 1 M 2 . c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi các tiếp điểm là M 3 và M 4 . Viết phương trìng đường thẳng chứa M 3 và M 4 . Câu 2: ( 5 điểm) Giải các phương trình sau: a) tgxsin 2 x - 2sin 2 x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1) b) 2 4 X = (2x 2 – x +1)2 x (2) Câu 3: ( 4 điểm) Tính tích phân sau: I = dx xx x   2 0 33 cossin sin  Câu 4: ( 5 điểm) Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách đều điểm O. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 MÔN: TOÁN Câu 1: ( 6 điểm) a) ( 2 điểm)  TXĐ: D =R (0,25đ)  Chiều biến thiên: y’ = 3x 2 + 8x + 4 y’ = 0 <=> x = -2; x= - 3 2 Hàm số đồng biến (-  ; -2) ); 3 2 (  , nghịch biến ) 3 2 ;2(  (0.25).  Cực đại, cực tiểu: Cực đại tại :) x CĐ = -2; y CĐ = 1. Cực tiểu tại: x CT = - 3 2 ; y CT = - 27 5 Giới hạn  x ylim ;   y x lim (0.25đ)  Tính lồi lõm và điểm uốn: y’’ = 6x + 8 = 0 <=> x= - 3 4 Hàm sô lồi từ (- 3 4 ; ), lõm (- 3 4 ; +  ) Điểm uốn: I(- 27 11 ; 3 4 ) (0.25đ)  Bảng biến thiên: (0,5đ) x -  -2 - 3 4 - 3 2 +  y’ + 0 - - 0 + y 1 +  27 11 -  27 5   Đồ thị (0,5 đ) 4 2 -2 -4 -6 -5 5 A b) ( 2điểm) Gọi d qua M có hệ sô gọc k : d: y=k(x-x 0 ) + y 0 (0,25đ) Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng d là nghiệm của phương trình: x 3 + 4x 2 + 4x +1 = k(x-x 0 ) + x 0 3 + 4x 0 2 + 4x 0 +1 <=> x=x 0 (0, 5 đ) x 2 + ( 4 + x 0 )x + x 0 2 + 4x 0 + 4 – k = 0 (1) Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình (1) => x 1 , x 2 lần lượt là hoành độ của M 1, M 2 => x I = - 2 4 0 x (0,75 đ) y I = y 0 + k( 2 43 0 x )  I  x = 2 4 0 x Giới hạn: (1) có 2 nghiệm phân biệt <=> 0   f(x 0 ) 0  k > 4 83 0 2 0 xx  (0,5) k 48 0 2 0  xx c) ( 2đ) Để thỏa mãn YCBT: <=> y’ = 3x 2 + 8x + 4 = a có 2 nghiệm phân biệt (0,25đ) <=> a> - 3 4 (0,25đ) Nhận xét: x 3 + 4x 2 + 4x + 1 = (3x 2 + 8x +4)( 9 4 8  x )- 9 78  x (0,5đ) Gọi M 3 (x 3 ; y 3 ), M 4 (x 4 ; y 4 ) y 3 = a( 9 78 ) 9 4 8 33   xx (0,5đ) y 4 = a( 9 4 8 4  x )- 9 78 4 x Vậy phương trình đường thẳng đi qua M 3 ; M 4 là: y= a( 9 4 8  x ) + 9 78  x (0,5đ) Câu 2: (4 đ) Đ/K : x  )( 2 zkk    (0,25đ) Chia 2 vế của phương trình cho cos 2 x (1) <=> tg 3 x -2tg 2 x = 3(1-tg 2 x+tgx) (1đ) <=> tgx=-1 <=> x=-   k 4 (k z  ) (0,5đ) tgx= 3 x=   k 3 (k z  ) (0,5đ) Vậy nghiệm của phương trình : x=-   k 4 (k z  ) x=   k 3 (k z  ) (0,25đ) a) (2) <=> 122 22 2   xx xx (0.5đ) Đặt 2x 2 – x = t (t 8 1  ) (0.25đ) Phương trình trở thành: 12  t t <=> 012  t t Khảo sát f(t) = 12  t t (0.25đ) f’(t) = 2 t ln2 – 1 =0 <=> 2 t = 2 ln 1 =  t  f’(t) - 0 + f(t) Quan sát bản bíên thiên nhận thấy phương trình có tối đa 2 nghiệm t. (1đ ) Mặt khác f(0) = f(1) = 0  Phương trình có 2 nghiệm t = 0; t= 1 (0.25đ)  x= 0 ; x= 2 1  ; x=1 (0.25đ ) Câu 3: (4 đ) Xét J= dx xx x   2 0 33 cossin cos  (0.25đ) Ta CM được I = J (đặt x= t 2  ) (0.75đ) I+J =  2 0  x x x x dx 22 cos cos sin sin   =     2 4 2 4 0 2 1cotcot cot 1    gxxg gxd tgxxtg dtgx (0.75đ) Đặt tgx(cotgx) = t  I + J =   1 0 2 1 2 tt dt =2    1 0 2 4 3 ) 2 1 ( ) 2 1 ( t td (0.75đ) Đặt t - 2 1 = tgy 2 3 => I + J = 33 4  (0.75đ) => I= 33 2  (0.75) Câu 4: ( 6 điểm) Đặt OGOMx 4 (0.5đ) Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC Ta có OAxOAOGOMODOCOBOMOA  4'4 (1đ) 4 'OB = OBx  ODxOD '4 (1đ) Ta có: OA’ =OB’= OC’ = OD’ 2222 '16'16'16'16 ODOCOBOA  ODxOCxOBxOAxODxOCxOBxOAx  2222 )()()()( => 0x (1.5đ) => OOMOM  4 => GOGM 5 (0.5đ) Vậy có 1 điểm M thoả mãn điều kiện đề ra. (0.5đ) OCxOC '4 . <=> x= - 3 4 Hàm sô lồi từ (- 3 4 ; ), lõm (- 3 4 ; +  ) Điểm uốn: I (- 27 11 ; 3 4 ) (0.25đ)  Bảng biến thi n: (0,5đ) x -  -2 - 3 4 - 3 2 +  y’ + 0 - - 0 + y. cách đều điểm O. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 MÔN: TOÁN Câu 1: ( 6 điểm) a) ( 2 điểm)  TXĐ: D =R (0,25đ)  Chiều biến thi n: y’ = 3x 2 + 8x + 4 y’ = 0 <=> x = -2 ; x= - 3 2 . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút Câu1: (6 điểm) Cho hàm số y= x 3 + 4x 2 + 4x +1. a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số.