Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 1 Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Tổ Toán Tin MÔN TOÁN ( Năm học 2009-2010 )  ( Thời gian làm bài 180 phút ) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: ( 3 điểm ) a) Một trường học có 20 học sinh xuất sắc, trong đó có 5 cặp sinh đôi. Nhà trường cần chọn 5 học sinh xuất sắc đi dự trại hè sao cho trong đó không có cặp sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? b) Cho n là một số nguyên dương với 2 n  . Chứng minh rằng:   1 2 2 2 3 2 4 2 2 2 . 3 . 4 . . 1 .2 n n n n n n n C C C C n C n n         Câu 2: ( 2 điểm ) Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 2 Cho dãy số   n u xác định như sau   1 2 1 1 2, 3 2, 3 2 n n n u u n n u u u            ¥ Hãy xác định số hạng tổng quát n u và tính tổng 1 2 n u u u    . Câu 3: ( 3 điểm ) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1 a b c    . Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b       . Câu 4: ( 4 điểm ) Tìm tham số m để phương trình 1 1 1 sin cos 1 tan cot 2 sin cos x x x x m x x              có nghiệm 0; 2 x         . Câu 5: ( 4 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F. Đường phân giác trong của góc · BIC cắt cạnh BC tại điểm M, đường thẳng AM cắt EF tại điểm P. a) Chứng minh rằng DP là phân giác của góc · EDF . b) Chứng minh bất đẳng thức 2 1 4. . 2 DP DE DF EF   . Câu 6: ( 4 điểm ) Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 3 Cho tứ diện SABC với , , SA a SB b SC c    . Một mặt phẳng thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại các điểm D, E, F. a) Chứng minh đẳng thức 4 a b c SD SE SF    . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 T SD SE SF    . tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thi n Huế Thầy giáo Nguyễn Văn Thi t, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thi n Huế 1 Trường THPT Vinh Xuân. điểm ) Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thi n Huế Thầy giáo Nguyễn Văn Thi t, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thi n Huế 2 Cho dãy. điểm ) Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thi n Huế Thầy giáo Nguyễn Văn Thi t, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thi n Huế 3 Cho tứ diện