Chun đề Hệ phương trình đối xứng CHUN ĐỀ Đồn Vương Nguyên www.toantrunghoc.com HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN I Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: f(x,y) = ,  g(x,y) = f(x,y) = f(y,x)  g(x,y) = g(y,x) Phƣơng pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S2  4P iii) Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P dùng Vi–et đảo tìm x, y Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP ii) Đôi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv iii) Có hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau đặt ẩn phụ  x y  xy  30  Ví dụ Giải hệ phương trình   x  y  35  GIẢI Đặt S  x  y, P  xy , điều kiện S2  4P Hệ phương trình trở thành: 30  P   SP  30 S  x  y  x  x  S        P   xy  y  y  S ( S  3P)  35   90     S  S    35  S     xy ( x  y )  2 Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y  GIẢI Đặt t   y, S  x  t , P  xt , điều kiện S  P Hệ phương trình trở thành:  xt ( x  t )  SP  S   x   x       3 P  t   y  1 x  t  S  3SP  1  x  y  x  y   Ví dụ Giải hệ phương trình  1 2 x  y   4  x2 y  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chun đề Hệ phương trình đối xứng Đồn Vương Nguyên www.toantrunghoc.com GIẢI Điều kiện x  0, y   1  1  x     y    x  y  Hệ phương trình tương đương với:  2 1  1   x  x    y  y       1  1  1   Đặt S   x     y   , P   x    y   , S  P ta có: x  y x  y    1  1  x 2  x     y     x  y S  S  x  x        y 1 S  P   P    1  y     x   y    y    x  y   x  y  xy  (1)  Ví dụ Giải hệ phương trình  (2)  x y 4  GIẢI Điều kiện x, y  Đặt t  xy  , ta có: xy  t (2)  x  y  16  2t Thế vào (1), ta được: t  32t  128   t  t  Suy ra:  xy  16 x    x  y   y  II Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phƣơng pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S2  4P (*) iii) Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv nhớ tìm xác điều kiện u, v Ví dụ (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :  x  y 1    x x  y y   3m  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chun đề Hệ phương trình đối xứng Đồn Vương Nguyên www.toantrunghoc.com GIẢI Điều kiện x, y  ta có:  x  y 1  x  y 1     3  x x  y y   3m ( x )  ( y )   3m   Đặt S  x  y  0, P  xy  , S  P Hệ phương trình trở thành: S  S     S  3SP   3m  P  m Từ điều kiện S  0, P  0, S  4P ta có  m   x  y  xy  m Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm thực x y  xy  3m   GIẢI  x  y  xy  m ( x  y)  xy  m   x y  xy  3m   xy ( x  y )  3m   S  P  m Đặt S = x + y, P = xy, S  P Hệ phương trình trở thành:   SP  3m  Suy S P nghiệm phương trình t  mt  3m   S  S  m    P  m  P  32  4( m  3) 21  m   m  3 Từ điều kiện ta suy hệ có nghiệm   (m  3)  12  x   y 1   Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm  x  y  3m  GIẢI Đặt u  x   0, v  y   hệ trở thành: u  v  u  v     2 21  3m u  v  3m  uv   Suy u, v nghiệm (không âm) t  4t  Hệ có nghiệm  (*) có nghiệm không âm 21  3m  (*) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chun đề Hệ phương trình đối xứng Đồn Vương Nguyên www.toantrunghoc.com  /   3m  13   13    S     m7 P   21  3m      x  y  x  y  10 Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình  có nghiệm thực xy ( x  4)( y  4)  m  GIẢI  x  y  x  y  10 ( x  x)  ( y  y)  10    xy( x  4)( y  4)  m ( x  x)( y  y)  m    Đặt u  ( x  2)  0, v  ( y  2)2  Hệ phương trình trở thành: u  v  10 S  10 (S = u + v, P = uv)   uv  4(u  v)  m  16  P  m  24  S  4P  Điều kiện  S   24  m  P   BÀI TẬP Giải hệ phương trình sau  x  y  xy  x  x   Đáp số:   x  y  xy  y  y 1  x    x  xy  y   x  1  x     Đáp số:    y  1  y    y  x  xy  y  3      x  y  xy  x  x   Đáp số:   y  y  x  y   x3  y   Đáp số: xy ( x  y )    x  1  x    y  2  y     37   37 x  x   x  y  xy   x   x  1   4     Đáp số:  x  y  xy  1  37  1  37  y   y  2   y  y    www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Đồn Vương Ngun    x  1 73    x  1 ( x  y )(1  xy )   x  x     Đs:    2 73   73 y y 2 ( x  y )(1   y  1  y  1   )  49     2  x y   x y  y x  30 x  x    Đáp số:   x x  y y  35 y  y     x y   1  x  x  x xy  y (chú ý điều kiện x, y > 0) Đáp số:   y  y    x xy  y xy  78 2( x  y )  3 x y  xy x   x  64   Đáp số:   y  64  y    x  y 6   x2  y  z  10 Cho x, y, z nghiệm hệ phương trình  xy  yz  zx   8 Chứng minh   x, y, z  3 HƯỚNG DẪN GIẢI  x2  y   z ( x  y )2  xy   z Hệ phương trình     xy  z ( x  y )   xy  z ( x  y )    ( x  y )2  2[4  z ( x  y )]   z ( x  y )2  z ( x  y )  ( z  16)     xy  z ( x  y )   xy  z ( x  y )   x  y   z  x  y  4  z   xy  ( z  2)2  xy  ( z  2)2  Do x, y, z nghiệm hệ nên: (4  z )2  4( z  2)2 8 ( x  y )  xy    z 2 3 (4  z )  4( z  2) 8 Đổi vai trò x, y, z ta   x, y, z  3    x   y x      11  16   16  Đáp số:      y  x  y     sin  ( x  y ) 2 1  12  2 2( x  y )   www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng Đồn Vương Ngun www.toantrunghoc.com HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1: (1) 2sin ( x y )  sin ( x  y)   x  y      2 2 2( x  y )  2( x  y )  2( x  y )  (2)   2  x  x     2   x y (2)  x  y       2 y    y     x  y  vào (2) để giải (1)    x  y  1 Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy Hệ trở thành: 2sin S   S     2 2( S  P)  4 P  2S   Từ điều kiện S  P ta suy kết tương tự   1   x  x   x  x          Hệ có nghiệm phân biệt     y  y y y         Tìm điều kiện m để hệ phương trình thỏa yêu cầu  x  xy  y  m  Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm thực x  xy  y  m  HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm suy x = y, hệ trở thành:    m  3 3x  m  3x   m    x  x  m  x  x  3x   m  21     x  xy  y  ( x  y )2  xy  + m = – 3:   2( x  y )  xy  3 2( x  y )  xy  3   x    x  1  x  y   x  y  2  x    (loại)       xy  3  xy   y  1 y   y     x  xy  y  27 ( x  y )2  xy  27 + m = 21:   x  xy  y  21 2( x  y )  xy  21  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chun đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Đồn Vương Nguyên  x  y  8  x  y   x  (nhận)    xy  37 xy  y 3    Vậy m = 21  x  xy  y  m  Tìm m để hệ phương trình:  có nghiệm thực x > 0, y > x y  xy  m  HƯỚNG DẪN GIẢI  x  xy  y  m  ( x  y )  xy  m  x  y  x  y  m     2  xy ( x  y )  m  xy  m  xy   x y  xy  m m  Hệ có nghiệm thực dương    0 m  m 2 1  4m  m  Vậy  m   m   x  y m  Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm thực x  y  xy  m   HƯỚNG DẪN GIẢI  x  y m  x  y m  x  y m       m2  m  x  y  xy  m  x  y  xy  m  xy     m2  m  (*) Suy x , y nghiệm (không âm) phương trình t  mt    /   m  4m  m    Hệ có nghiệm  (*) có nghiệm khơng âm   S   m   1  m  P  m  m      Vậy m    m   x  y  2(1  m)  Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm thực phân biệt ( x  y )   HƯỚNG DẪN GIẢI  x  y  2(1  m) ( x  y )2  xy  2(1  m)  xy   m  xy   m       2 ( x  y )  ( x  y )   x  y   x  y  2   Hệ có nghiệm thực phân biệt  2   4(1  m)  m   x  y  2m  Cho x, y nghiệm hệ phương trình  Tìm m để P = xy nhỏ x  y  m  2m   www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng Đồn Vương Ngun www.toantrunghoc.com HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt S  x  y, P  xy , điều kiện S  P  x  y  2m  S  2m    2 2  x  y  m  m   S  P  m  2m   S  2m   S  2m     2 (2m  1)  P  m  2m   P  m  3m   4 4 m Từ điều kiện suy (2m  1)2  6m2  12m   2 4 4 m Xét hàm số f (m)  m2  3m  2, 2    11  4    , m   ; Ta có f (m)  f        Vậy P  11  4 m WWW.TOANTRUNGHOC.COM Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng CHUN ĐỀ www.toantrunghoc.com Đồn Vương Nguyên HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II  f(x,y) = Dạng 1:  (đổi vị trí x y cho phƣơng trình trở thành phƣơng  f(y,x) = trình kia) Phƣơng pháp giải chung Cách giải Trừ hai phương trình cho nhau, đưa phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) vào hai phương trình hệ  x3  x  y (1)  Ví dụ Giải hệ phương trình   y  y  x (2)  Trừ (1) (2) vế theo vế ta : x3  y3  3x  y   ( x  y)( x  y  xy  3)    y  3y2  ( x  y )  x     3   y  x 2     Thế y = x vào (1) (2) ta : x  x   x  x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  y0   x    y  (1)  Ví dụ Giải hệ phương trình   y    x  (2)     x   Điều kiện:    x    Trừ (1) (2) ta được: (2 x  3)  (2 y  3) (4  y)  (4  x) 2x   y    y   x    0 2x   y  4 y  4 x        ( x  y)   0 x y  2x   y  4 y  4 x    Thay x = y vào (1), ta : x    x   x   (2 x  3)(4  x)  16 9  x  11 (nhận)  2 x  x  12   x    x  3 x  9 x  38 x  33    11 x x     Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt   y   y  11   www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng Đồn Vương Ngun www.toantrunghoc.com Cách giải (nên dùng cách không giải đƣợc) Cộng trừ hai phương trình đưa hệ phương trình tương đương gồm hai phương trình tích (thơng thường tương đương với hệ phương trình mới)  x3  x  y (1)  Ví dụ Giải hệ phương trình   y  y  x (2)   x3  x  y ( x  y )( x  xy  y  1)    Trừ cộng (1) với (2), ta :   2 y  2y  x ( x  y )( x  xy  y  3)     x  xy  y  x  y  x  y  x  y       2 2  x  y   x  xy  y   x  xy  y   x  xy  y   x  y  x  +  x  y  x  x  x   x  y  y  x   +     x  xy  y   x   y   y     x  y   y  x  x  1  x  +    y   y  1 x  xy  y   x     x  xy  y   xy  1  xy  1 x   x  1      + 2  x  xy  y   x  y   x  y   y  1  y   Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt: x  x    x   x  1  x          x   y   y  1  y   y     Cách Sử dụng hàm số đơn điệu để suy x = y  x    y  (1)  Ví dụ Giải hệ phương trình   y    x  (2)     x   Điều kiện:    x    x    x  y    y (3) Trừ (1) (2) ta :   Xét hàm số f (t )  2t    t , t   ;  , ta có:   1   f / ( x)    0, t    ;   (3)  f ( x)  f ( y)  x  y 2t   t   www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 10 Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng Đồn Vương Ngun www.toantrunghoc.com Thay x = y vào (1), ta được: x    x   x   (2 x  3)(4  x)  16  2 x  x  12   x  x   x  11 (nhận)  11 x x    Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt   y 3  11  y   x  2x  y  Ví dụ Giải hệ phương trình  y  2y  x   / Xét hàm số f (t )  t  2t  f (t )  3t   0, t   f ( x)  y (1) Hệ phương trình trở thành  f ( y )  x (2)  + Nếu x  y  f ( x)  f ( y)  y  x (do (1) (2) dẫn đến mâu thuẩn) + Nếu x  y  f ( x)  f ( y)  y  x (mâu thuẩn) Suy x = y, vào hệ ta x3  x   x  x  Vậy hệ có nghiệm  y0  Chú ý: Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách Nếu giải không nghĩ đến cách 3, khơng giải quay trở đề tìm điều kiện xác giải lại cách 1!  x2  3 x  y  Ví dụ (trích đề thi ĐH khối B – 2003) Giải hệ phương trình:  3 y  y   x2  x  Nhận xét từ hệ phương trình ta có  Biến đổi: y0   x2  3x  y 3xy  x  (1)     2 3 yx  y  (2)  3 y  y   x2  Trừ (1) (2) ta : ( x  y)(3xy  x  y)   x  y (3xy  x  y  0) Với x  y : (1)  3x3  x    ( x  1)(3x2  2x  2)   x  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 11 Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng www.toantrunghoc.com Đồn Vương Ngun x  Vậy hệ có nghiệm  y 1   f(x,y) = Dạng 2:  , có phƣơng trình đối xứng g(x,y) =  Phƣơng pháp giải chung Cách giải Đưa phương trình đối xứng dạng tích, giải y theo x vào phương trình cịn lại 1   x  x  y  y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  2 x  xy   (2)  Điều kiện: x  0, y  Ta có:   (1)  ( x  y ) 1     y  x  y   xy  x  + Với y = x: (2)  x2    x  1 + Với y   : (2) vô nghiệm x  x   x  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt   y   y  1  Cách giải (nên dùng cách khơng giải đƣợc) Đưa phương trình đối xứng dạng f ( x)  f ( y)  x  y với hàm f đơn điệu  x  y  cos x  cos y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  (2)  x y  y  18  Tách biến phương trình (1), ta : (1)  x  cos x  y  cos y (3) Xét hàm số f (t )  t  cos t  f / (t )   sin t  0, t  Suy (3)  f ( x)  f ( y)  x  y Thay x = y vào (2), ta : x3  3x  18   ( x  3)( x2  3x  6)   x  x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  y 3  Chú ý: 1   x  x  y  y (1) Cách giải sau sai:  2 x  xy   (2)  Điều kiện: x  0, y  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 12 Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng Đoàn Vương Nguyên www.toantrunghoc.com 1 Xét hàm số f (t )  t  , t  \ {0}  f / (t )    0, t  \ {0} t t Suy (1)  f ( x)  f ( y)  x  y ! Sai hàm số f(t) đơn điệu khoảng rời (cụ thể f(–1) = f(1) = 0) BÀI TẬP Giải hệ phƣơng trình sau  x  x  x  3y   1)  Đáp số:    y  3x   y 1 y    x  xy  x  y  2)  Đáp số:  y  xy  y  x   x x      y  y     x 1  y    x 1  y   x  x    3)  Đs:  4)  Đs:  y 8 y 3    y 1  x    y 1  x      x3 2 y 3  x2 y   y  x   x  2 x    5)  Đáp số:  6)  Đs:   y   y  2 y2  xy   x y3 2 x 3       2x  y   x  x  y x  x  x   x  y     7)  Đs:  8)  Đs:    y 1 y  y  y   y  y  2x     2 y  x     x   2 x  y   9)  2 y  x    x2 Đs: y2 x   y 1  x3  x  x   y  10)  Đs:  y  y  y   2x   x   x  1    y   y  1 1  x  y (1)  x y 11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003)   y  x  (2)  Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x  0, y  (1)  x  y  + Với x  y :  x y    ( x  y ) 1     x  y  y   xy xy  x  1  (2)  x   x  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 13 Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng Đồn Vương Ngun www.toantrunghoc.com + Với y   : (2)  x  x   x Xét hàm số f ( x)  x  x   f / ( x)  x3    x   1  f      0, lim    f ( x)  0, x  x 4  4 Cách khác: + Với x   x    x4  x   1  x4  x   vô nghiệm + Với x   x  x   x  x  x   Suy (2) vô nghiệm  1   1  x  x  x    2   Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt  y 1  1   1   y  y     x  sin y (1) 12)   y  sin x (2) Hƣớng dẫn giải Trừ (1) (2) ta : x  y  sin y  sin x  x  sin x  y  sin y (3) Xét hàm số f (t )  t  sin t  f / (t )   cos t  0, t  (3)  f ( x)  f ( y)  x  y  (1)  x  sin x  (4) Xét hàm số g ( x)  x  sin x  g / ( x)   cos x  0, x   (4) có không nghiệm x  Do g (0)   (4)  x  Vậy hệ có nghiệm  y  WWW.TOANTRUNGHOC.COM Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 14 ... WWW.TOANTRUNGHOC.COM Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng CHUN ĐỀ... nghiệm hệ phương trình  Tìm m để P = xy nhỏ x  y  m  2m   www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng Đồn Vương...  Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt   y   y  11   www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng Đồn Vương