Chuyên đề " Định lý biến thiên động năng " Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 1 - CHUYÊN : NH LÝ BIN THIÊN NG NNG. I. C S LÝ THUYT: 1. CÁC NH NGHA: 1.1. NG NNG: ng nng ca mt cht m có khi lng m, chuyn ng vi vn tc v là i lng vô hng c kí hiu là T: 2 2 1 mvT  (1) ng nng ca h gm N cht m là i lng vô hng bng tng ng ng ca tt c các cht m ca h.   ) 2 1 ( 2 kk vmT (2) ng nng là i lng vt lí c trng cho nng lng c hc ca h khi chuyn ng. n v ca ng nng là Jun (J).  Các công thc tính ng nng ca vt rn chuyn ng:  Vt rn có khi lng m chuyn ng tnh tin, có vn tc khi tâm c v : 2 2 1 c mvT  (3)  Vt rn quay quanh trc  cnh vi vn tc góc  và có mô men quán tính i vi trc quay là  J : 2 2 1    JT (4)  Vt rn có khi lng m chuyn ng song phng, có vn tc khi tâm c v và n tc góc  : 222 2 1 2 1 2 1  pcc JJmvT  (5) Trong ó pc JJ , ln lt là mômen quán tính ca vt i vi khi tâm và tâm quay tc thi P.  Nu vt có dng dây, bng ti (vt bin dng) thì cn xem vt th gm vô s các cht m và s dng công thc (2)  tính ng nng. 1.2. CÔNG CA LC:  Công ca lc biu th nng lng mà lc ó ã cung cp thêm hoc làm hao n cho c h trong quá trình chuyn ng.  Công nguyên t ca lc F (tc là công ca lc trong khong thi gian vô cùng bé dt) là i lng vô hng. dsFdtvFrdFdA  cos Trong ó  là góc hp gia lc và phng tip tuyn ca quo.  Công ca các lc thng gp:  Công ca trng lc: PhA   Trong ó h là  cao di chuyn ca m t trng lc. Ly du cng hoc tr tùy thuc vào m t ca trng lc c h xung hoc nâng lên.  Công ca lc àn hi khi m t di chuyn theo phng tác dng ca lc: Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 2 - 1  r A C B r )( 2 1 2 2 2 1 xxkA   Công ca ngu lc có vec t mô men M tác dng lên vt quay quanh trc  :    MA Trong ó constM   là hình chiu ca vec t mô men ngu lc M trên trc quay  .  Công ca ngu lc ma sát ln trong di chuyn hu hn ca bánh xe (trng p phn lc pháp tuyn có tr s không i trong quá trình bánh xe ln).  kNA   1.3. CÁC VÍ D TÌM NG NNG CA C H VÀ CÔNG CA LC: Câu 1: Mt bng ti vt liu ang hot ng. Cho bit vt c ti A có khi lng m 1 , các trc quay B và C là các trc ng cht có cùng bán kính r và khi lng m 2 , bng ti là dây không dãn, ng cht có chiu dài l và khi lng m 3 c phân bu. B qua  trt gia vt A và bng, tính ng nng ca c h theo vn tc góc ca trc dn gn i ròng rc B. Gii: ng nng ca c hc tính nh sau: T = T A + T B + T C + T ng Trong ó T A , T B , T C , T ng ln lt là ng nng ca các vt A, B, C, và bng ti. Ta có : t A chuyn ng tnh tin thng: 2 1 2 1 AA vmT  Hai ròng rc B và C chuyn ng quanh các trc cnh : 2 11 2 1  JT B  ; 2 22 2 1  JT C  ng ti là vt bin dng  tính ng nng ca nó ta chia bng ti thành nhiu phn t, mi phn t xem nh là mt cht m có khi lng m k và có cùng vn tc v A (vì dây không giãn và gia vt A và bng không có s trt) nên: T ng = 2 3 22 2 1 2 1 2 1 AkAAk vmmvvm   t khác ta có: rrv A 21   Ngoài ra 21 , JJ ln lt là mô men quán tính ca các vt B và C i vi trc quay riêng ca chúng: 2 2 2 21 rm JJ  y biu thc ng nng ca c h là: 2 321 2 1 2 321 )( 2 1 )( 2 1 A vmmm rmmmT    Câu 2: Con ln hình tr tròn A ng cht có khi lng m 1 , ln không trt trên mt phng ngang, c qun dây vt qua ròng rc B có bán kính r và mô men quán tính i i trc quay là J 0 , u kia ca dây buc vt D có khi lng m 2 .B qua khi lng ca dây. Bit vt D chuyn ng vi vn tc v D , hãy tìm ng nng ca c h. Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 3 - A  v D D B A B  V C C R Gii:  h gm 3 vt con ln A chuyn ng song phng, ròng rc B chuyn ng quay và vt D chuyn ng tnh tin. ng nng ca hc tính nh sau: 2 2 2 0 22 1 2 1 2 1 ) 2 1 2 1 ( DBAccDBA vmJJvmTTTT   Trong ó: 2 1 2 1 ; 2 ; 2 ; RmJ v Rv R v r v c D Ac D A D B   Thay các giá tr này vào biu thc tính ng nng ta c: 2 2 0 21 ) 8 3 ( 2 1 D v r J mmT  Câu 3: C cu culit gm tay quay OC ng cht có chiu dài R và khi lng m 1 quay quanh trc cnh O, con trt A có khi lng m 2 có th di chuyn dc theo tay quay OC và truyn chuyn ng cho thanh AB có khi lng m 3 trt dc theo rãnh thng ng. Tìm ng nng ca c hó ti v trí tay quay có vn tc góc  và to góc  vi phng nm ngang. Cho bit khong cách t trc O n rãnh trt bng l. Gii:  h gm tay quay OC chuyn ng quanh O, con trt A c xem nh cht m, thanh AB chuyn ng tnh tin.  tìm liên h ca c cu culit ta phi phân tích chuyn ng phc hp ca con trt A vi hng là tay quay OC. Chuyn ng tng i ca A là chuyn ng thng dc theo OC, chuyn ng theo là chuyn ng quay O  C B A  l V a V e V r Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 4 - a hng OC quanh O, do ó phng vn tc theo e v vuông góc vi OC và có tr s là:    cos l OAv e  . Áp dng nh lý hp vn tc ta c: rea vvv     2 coscos l v v e a  n tc tnh tin ca thanh AB cng chính là vn tc ca con trt A, ta tìm c ng nng ca c h nh sau:   )(3cos cos6 cos )( 2 1 ) 3 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 32 242 1 4 2 2 2 32 22 1 2 3 2 2 2 0 mmlRm l mmRm vmvmJ TTTT AA ABAoc                      Câu 4: Con ln hình tr tròn có khi lng m 1 và bán kính r ln không trt trên mt phng ngang vi vn tc ti khi tâm O là V 0 . Thanh thng ng cht OB có khi ng m 2 và chiu dài l, quay u quanh trc O ca con ln A theo quy lut t    . Bán kính quán tính ca con ln A i vi trc O là  . Tìm ng nng ca c h. Gii:  h gm con ln A và thanh OB u chuyn ng song phng. ng nng ca  hc tính nh sau: ) 2 1 2 1 () 2 1 2 1 ( 22 2 2 0 2 01  ccA JvmJvmT  Trong ó  ; 0 r v A  là vn tc góc tng i ca thanh OB i vi h ta  ng Oxy tnh tin cùng khi tâm O và cng là vn tc góc ca thanh OB quay quanh khi tâm C. Vn tc tuyt i ca khi tâm C c tìm bng nh lý hp vn tc. rea vvv  P 2 A B x y  A  r V e V r O  C  Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 5 - i 0 ; 2 vv l v er   ; ta có:  cos2 222 ererc vvvvv  tvlv l v c   cos 4 0 2 0 22 2  Thay các giá tr tìm c  trên vào biu thc tính ng nng ta c:                                  2 00 22 2 2 2 2 01 22 2 2 00 22 2 2 0 2 1 2 01 cos 3 1 2 1 1 2 1 ) 12 1 ( 2 1 cos 42 1 ))(( 2 1 2 1 vtvllm r vm lmvtvl l m r v mvmT      Câu 5: Con ln A có trng lng P 1 , bán kính vành trong và vành ngoài là r và R, ln không trt trên mt phng nm ngang di tác dng ca mô men quay M = const. Vành trong ca cong ln c qun dây và vt qua ròng rc B ng cht, bán kính r 1 . u kia ca dây buc vt nng D có trng lng P 3 , có th trt trên mt phng nghiêng góc  vi phng nm ngang. H s ma sát ln gia con ln vi mt phng ngang là k.  s ma sát trt gia D vi mt phng nghiêng là f. Mô men cn ti trc quay O là M c = const. Tìm tng công ca các lc tác dng lên c h trong di chuyn mà vt D i c n ng S D . Gii:  h gm 3 vt, con ln A chuyn ng song phng, ròng rc B chuyn ng quay và vt nng D chuyn ng tnh tin. Khi vt D chuyn ng c n ng s D c mt phng nghiêng, vt B quay c góc B  , trc C ca con ln i c n ng s C và con ln A quay c góc A  . Tng công ca các lc tác dng lên c h trong di chuyn ó bng: DDBcAA sfNsPMkNMA 331 sin     tìm các di chuyn qua di chuyn s D , ta da vào liên h gia các vn tc: ACADBD RvrRvrv   ;)(; 1 Tích phân hai v ca các ng thc trên, ta tìm c liên h gia các di chuyn: ACADBD RsrRsrs   ;)(; 1 Hay: rR Rs s rR s r s D C D A D B     ;; 1  r 1 A B D M l r R M c M  s C C A  s D B  P 3 Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 6 - t khác ta li có:  cos; 3311 PNPN  Thay các giá tr tìm c vào biu thc tính công ca các lc ta c: D D c D sfP r s M rR s kPMA )cos(sin)( 3 1 1      2. CÁC NH LÝ BIN THIÊN NG NNG: 2.1. NH LÝ BIN THIÊN NG NNG DNG HU HN:  Bin thiên ng nng ca h trong di chuyn hu hn bng tng công ca tt  các lc tác dng lên c h trong di chuyn ó.   k ATT 0 Trong ó: T và T 0 ln lt là ng nng ca h ti thi m ang xét và thi m u.  k A là tng công hu hn ca các lc. 2.2. NH LÝ BIN THIÊN NG NNG DNG VI PHÂN:  Vi phân ng nng ca c h trong di chuyn vô cùng bé ca h bng tng công nguyên t ca các lc tác dng lên c h trong di chuyn ó.   k dAdT Hay:   k W dt dT Trong ó: T là ng nng ca c h ti thi m bt k,  k dA và  k W là tng công nguyên t và tng công sut ca các lc. 2.3. CÁC VÍ D ÁP DNG: Câu 1: Vt A có khi lng m 1 c t trên mt phng ngang nhn, gn bn l ti O i thanh ng cht OB có khi lng m 2 và chiu dài l. H bt u chuyn ng t trng thái tnh, khi ó thanh OB nm ngang. B qua ma sát ti bn l O. Tìm vn tc a vt A ti thi m khi thanh OB  v trí thng ng. Gii: Xét c h gm vt a chuyn ng tnh tin và thanh OB chuyn ng song phng. Áp dng nh lý bin thiên ng nng dng hu hn:   ATT 0 Ban u hng yên, do ó T 0 = 0. Ti v trí thanh OB thng ng, vt A có vn c A v còn thanh OB có vn tc góc  , ng nng ca h ti v trí ó bng: ) 2 1 2 1 ( 2 1 22 2 2 1  ccA JvmvmT  (1) A 0 B 0 l O P 1 x x 1 y 1 O 1 v e y A 0 A O B P 2 v r v A  C N Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 7 - P A B Q M R n tc tuyt i ca khi tâm C ca thanh OB i vi h ta  cnh O 1 x 1 y 1 ng tng ca vec t vn tc tng i 2  l v r  i vi h ta ng Oxy, chuyn ng tnh tin cùng vi vt A, và vec t vn tc theo v e = v A ; ta có: 2  l vv Ac  Thay giá tr này vào (1) vi lu ý 2 2 12 1 lmJ c  ta c: 22 2 2 2 2 1 ) 12 1 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 2 1   lm l vmvmT AA  (2)  tìm vn tc góc  là vn tc góc tng i ca thanh OB i vi h ta  ng Oxy ng thi cng là vn tc góc tuyt i i vi h cnh O 1 x 1 y 1 , ta chú ý ngoi lc P 1 , P 2 , N tác dng lên h luôn vuông gc vi trc O 1 x 1 , do ó ng lng ca c bo toàn theo trc O 1 x 1 . Ban u hng yên, do ó ti v trí thng ng ng ng ca h bng: lm vmm l vvm A AA 2 21 1 )(2 0) 2 (      Thay giá tr vn tc góc vào biu thc (2) ta tìm c ng nng ca h nh sau: 2 2 2121 6 )4)(( A v m mmmm T   Trong di chuyn ca h ch có trng lc P 2 sinh công và bng:   2 2 l gmA y vn tc ca vt A khi thanh OB  v trí thng ng là: )4)(( 3 2121 2 mmmm gl mv A   Câu 2: Mt vt A có trng lng P c kéo lên t trng thái ng yên nh ròng rc B là a tròn ng cht có bán kính R, trng lng Q và chu tác dng ngu lc có mô men M không i. Tìm vn tc ca vt A khi nó c kéo lên mt n bng h, tìm gia c vt A. Gii:  h gm vt A chuyn ng tnh tin, ròng rc B quay quanh trc cnh. Áp dng nh lý bin thiên ng nng dng hu hn:   ATT 0 Ta có T 0 = 0, vì ban u hng yên. ng nng ca h khi vt A chuyn ng c mt h là: 22 2 ) 2 1 ( 2 1 2  R g Q g Pv TTT A BA  Ngoài ra ta có:  Rv A  y ng nng ca h bng: g vQP T A 4 )2( 2   (1) ng công ca các lc: Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 8 -   PhMA  Trong ó  là góc quay c ca ròng rc khi vt A c nâng lên mt n h.:  Rh  y: hP R M A         (2) t hp (1) và (2) ta c: hP R M g vQP A         4 )2( 2 h QPR PRM gv A )2( )( 4     tìm gia tc ca vt A ta áp dng nh lý bin thiên ng nng dng vi phân nó c vit nh sau: const QPR PRM ga vP R M av g QP A AAA             )2( 2 2 )2( Câu 3: Mt tm nng có khi lng m, c t nm ngang trên hai con ln, mi con n là mt khi tr tròn xoay ng cht có bán kính r và khi lng m 1 . Tác dng vào m mt lc F nm ngang có  ln không i. H s ma sát ln gia con ln vi mt n là k. Các con ln ln không trt trên nn và tm nng không trt i vi các con n. Tìm gia tc ca tm và tìm lc ma sát trt tng cng do mt nn tác dng lên các con ln. B qua ma sát ln gia tm và các con ln. Gii:  gm tm nng chuyn ng tnh tin, các con ln chuyn ng song phng. Các lc tác dng lên h sinh công gm có lc F , các ngu lc ma sát ln do nn tác ng lên các con ln, chúng có mô men ln lt là: M l1 = kN 1 , M l2 = kN 2 .  tìm gia tc ca tm nng ta có th áp dng nh lý bin thiên ng nng dng o hàm nh sau:   W dt dT ng nng ca h gm ng nng ca tm nng và hai con ln:          22 2 2 1 2 1 2 11 2  Jvm mvT Vì không có hin tng trt gia con ln và nn, gia con ln và tm nên: r v r v v v 2 ; 2 1 1   v 1 v v 1 M l1 M l2 F Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 9 - Trong ó v là vn tc ca tm nng, v 1 và  là vn tc và vn tc góc ca các con ln. y ng nng ca h : 2 4 34 2 1 v mm T   Bây gi ta tính tng công sut ca lc F và ca các ngu lc ma sát ln. vPPP r k FPPPkFv NNkFvMMFvW ll          )()( )()( 2121 2121   nh lý bin thiên ng nng dng o hàm cho ta: 1 1 1 21 21 1 34 )2( 4 34 )( 4 )( 4 34 mm gmm r k F mm PPP r k F a vPPP r k Fva mm                tìm lc ma sát tng cng do nn tác dng lên các con ln ta vit phng trình chuyn ng khi tâm cho h:     kkms NPFFamam 11 2 Khi chiu phng trình vec t nhn c lên trc nm ngang ta c:   ms FFamma 11 2 Chú ý rng: 1 2aa  ta tìm c: ammFF ms )( 1   (vi a c tính nh trên). Câu 4: Mt thanh ng cht AB có chiu dài 2a, quay c quanh trc A cnh còn u B ta trên sàn. Truyn cho thanh vn tc góc ban u 0  và khi thanh  v trí nm ngang liên kt ti A b mt. Tip theo thanh chuyn ng t do trong mt phng thng ng di tác dng ca trng lc. Tìm giá tr ca vn tc góc u 0  ca thanh  khi thanh ri chm vào sàn thanh  v trí thng ng. Gii: Chuyn ng ca thanh gm hai giai n: giai n u thanh t v trí thng ng c truyn vn tc gc 0  , quay quanh trc cnh qua A và kt thúc khi thanh m  v trí nm ngang và liên kt  A b mt; giai n th hai liên kt  A b mt và thanh chuyn ng song phng. u kin u  giai n hai là u kin cui ca giai n u.  tìm u kin cui ca giai n u chúng ta áp dng nh lý bin thiên ng nng dng hu hn: 0  1  A B B ’ [...]... c n, xác nh gia t c góc a tay quay A M O r1 - 11 - r2 Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th Gi i: g m: tay quay OA quay quanh tr c c nh qua O, bánh 2 chuy n ng song ph ng D dàng nh n th y r ng ch có ng u l c sinh công, các tr ng l c không sinh công vì c c u d t trong m t ph ng ngang tìm gia t c góc c a tay quay ta áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng: dT dt W ng n ng c a h b ng t ng ng n ng tay quay và hai... v n t c xe t ng; n ba m hai n a vành tròn k t h p AID và BIIC chuy n ng song ph ng(nh hình v ) - 10 - Nguy n Anh V n xác Lý K32 nh công su t trung bình c a ng c ta áp d ng công th c: A W t Trong ó A là t ng công c a các l c th c hi n quãng ng nào ó trong th i gian t t khác theo nh lý ng n ng ta có: T Mà T0 = 0 vì ban i H c C n Th T0 u xe c khi xe t ng i A ng yên, v y ta có: T t W Bây gi ta ch c n tính... ta có: Thay các il (1 2 ng v a tính r1 ) r2 c vào bi u th c 1 2Q 9 P (r1 r2 ) 2 T 2 6g dT 2Q 9 P (r1 dàng tính c: 6g dt ng n ng ta c: 2 r2 ) 2 d dt Vì ch có ng u l c sinh công nên ta có: W y M nh lý bi n thiên ng n ng cho ta: 2Q 9 P (r1 6g r2 ) 2 d dt M y ta có gia t c góc c a tay quay là: d dt 6Mg (2Q 9 P)(r1 r2 ) 2 const y tay quay OA quay nhanh d n u Câu 7: V t n ng A có tr ng l ng P1 c bu c vào... các tr c quay c a ròng r c - 12 - Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th và c a tang, dây không giãn T i th i m u h ng im Tìm v n t c c a v t A ph thu c vào cao h mà nó kéo lên Gi i: Xét c h g m v t A chuy n ng t nh ti n, ròng r c B và tang quay C chuy n ng quay C h ch u tác d ng c a momen quay M ph thu c vào góc quay c a C, do ó ta ph i áp d ng nh lí bi n thiên ng n ng d ng vi phân dT dA ng n ng c a c h... = const N u xe ang chuy n ng v i v n t c v0 thì ng i A không p n a, tìm n ng mà t lúc ó xe i c cho n lúc d ng l i - 14 - Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th Gi i: h g m ng i A và khung xe chuy n ng t nh ti n, hai bánh xe B1, B2 chuy n ng song ph ng Áp d ng nh lí bi n thiên ng n ng d ng h u h n: T1 T0 A (1) i v trí cu i c a chuy n ng xe d ng l i do ó T1 = 0 i v trí u ng n ng c a h b ng: 1P 2 v0 2g T0... v n t c c a xích t i th i m khi u B c a xích chuy n ng n m O, xích b t u n m hoàn toàn trên m t - 16 - Nguy n Anh V n Lý K32 i H c C n Th nghiêng H s ma sát f ph i th a mãn u ki n gì xích có th tr t xu ng d c theo t nghiêng nh v y Gi i: Xét h là n dây xích AB, ta áp d ng nh lí bi n thiên ng n ng d ng vi phân: dT dA i v trí b t kì c a h c b ng v, kí hi u P là tr ng l c xác nh b i t a OA = x, m i m t... ng không Công c a các ngo i l c tác d ng lên h b ng: A (sin f cos ) P2 s ng n ng c a c h T TA TB dT dt a s R c tính theo công th c: TC 1 P1 2 v 2 g Áp d ng P1 s M C 1 P1 2 v 2 g 1 P2 2 v 2 g nh lí bi n thiên dA dt dv g P1 dt P2 (sin 1 P2 2 v 2 g 1 J 2 1 1 P3 2 v 2 R 2 2 g R2 ng d ng f cos ) 2 1 v2 P1 2 g o hàm ta tìm MC R P2 P3 2 c gia t c c a v t A: 1 P1 P2 P3 2 Câu 9: Ng i A i xe p trên ng th ng ngang...Nguy n Anh V n Lý K32 T Qua tính toán ta Trong ó 1 T0 A 1 J A( 2 c: 2 1 2 0 Pa 4 ma 2 T 3 i v i tr c qua A: J A 2 1 0; ma yc ma xc mg ; J c Ta có các u ki n u: x0 c Khi tích phân ta nh n c: a; y c a 1t g c: (1) ng song... i m kh i tr tách kh i bàn, góc C 0 BC có giá tr nào ó B qua ma sát l n và l c c n không khí Tìm giá tr c a góc và v n t c c c a kh i tr t i th i m nó tách kh i bàn - 15 - Nguy n Anh V n Gi i: Áp d ng Lý K32 nh lu t II Newton cho kh i tr : P ng i th i n gi n: i H c C n Th N Fms ma c m kh i tr tách kh i bàn, thì N = 0, do ó ph P Fms ng trình trên ch còn ma c Chi u lên tr c pháp tuy n Cn c a qu P cos... ra: g cos C Fms C0 vc P t B n Kh i tr chuy n ng song ph ng, ban d u có v n t c r t nh nên ta có th xem T0 = 0, ng n ng c a kh i tr t i v trí tách ra kh i bàn b ng: T Áp d ng 1 2 mvc 2 1 Jc 2 nh lí bi n thiên T T0 3 2 2 mr 4 3 g cos 4 c góc cos 1 m( r ) 2 2 1 1 2 mr 2 2 2 3 2 mr 4 2 ng n ng d ng h u h n: A Th các giá tr tính toán ây ta tìm tách kh i bàn: 2 4 ; 7 trên vào ta c: mgr (1 cos ) g (1 cos ) . Chuyên đề " Định lý biến thiên động năng " Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 1 - CHUYÊN : NH LÝ BIN THIÊN NG NNG. I. C S LÝ THUYT: . D D c D sfP r s M rR s kPMA )cos(sin)( 3 1 1      2. CÁC NH LÝ BIN THIÊN NG NNG: 2.1. NH LÝ BIN THIÊN NG NNG DNG HU HN:  Bin thiên ng nng ca h trong di chuyn hu hn bng tng. tìm u kin cui ca giai n u chúng ta áp dng nh lý bin thiên ng nng dng hu hn: 0  1  A B B ’ Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th - 10 -   ATT 0 Qua tính