Bộ giáo dục đào tạo Dự án phát triển giáo viên tiểu học Trần Diên Hiển (Chủ biên) – Bùi Huy Hiền Giáo trình Các tập hợp số tài liệu đào tạo giáo viên Tiểu học trình độ cao đẳng đại học sư phạm Nhà xuất giáo dục nhà xuất đại học sư phạm c¸c tËp hỵp sè Chịu trách nhiệm xuất bản: Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc Ngô trần áI Giám đốc đinh ngọc bảo Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập nguyễn quý thao Tổng biên tập Lê a Biên tập nội dung: Lê văn tuấn Thiết kế sách Biên tập mĩ thuật: Phạm Việt Quang Trình bày bìa: Phạm Việt Quang 371 (v) 167/110-05 GD - 05 Mã s: tập hợp số Mc lc Trang Li núi đầu .5 Chủ đề Cấu trúc đại số (Biên soạn: TS Bùi Huy Hiền) Tiểu chủ đề 1.1 Phép tốn hai ngơi Tiểu chủ đề 1.2 Nửa nhóm nhóm 19 Tiểu chủ đề 1.3 Vành trường 36 Thông tin phản hồi cho chủ đề 45 Chủ đề Số tự nhiên 55 (Biên soạn: TS Bùi Huy Hiền – PGS TS Trần Diên Hiển) Tiểu chủ đề 2.1 Bản số tập hợp 57 Tiểu chủ đề 2.2 Số tự nhiên 65 Tiểu chủ đề 2.3 Lí thuyết chia hết tập số tự nhiên 73 Tiểu chủ đề 2.4 Hệ ghi số 87 Tiểu chủ đề 2.5 Nội dung sở toán học việc dạy học số vấn đề số tự nhiên Tiểu học 99 Thông tin phản hồi cho chủ đề 103 Chủ đề Tập số hữu tỉ tập số thực 113 (Biên soạn: PGS TS Trần Diên Hiển) Tiểu chủ đề 3.1 Xây dựng tập số hữu tỉ không âm 114 Tiểu chủ đề 3.2 Các phép toán tập số hữu tỉ không âm 120 Tiểu chủ đề 3.3 Quan hệ thứ tự tập số hữu tỉ không âm 129 Tiểu chủ đề 3.4 Tập số hữu tỉ không âm phân số chương trình mơn Tốn Tiểu học .133 Tiểu chủ đề 3.5 Tập số thập phân không âm .142 Tiểu chủ đề 3.6 Số thập phân chương trình mơn Tốn Tiểu học 152 Tiểu chủ đề 3.7 Tập số hữu tỉ .164 Tiểu chủ đề 3.8 Tập số thực .171 Thông tin phản hồi cho chủ đề 175 Tài liệu tham khảo 178 tập hợp số tập hợp số Li núi ããu gúp phần đổi công tác đào tạo bồi dưỡng giáo viên tiểu học, Dự án Phát triển giáo viên tiểu học tổ chức biên soạn môđun đào tạo theo chương trình Cao đẳng Sư phạm chương trình liên thơng từ Trung học Sư phạm lên Cao đẳng Sư phạm Biên soạn môđun nhằm nâng cao lực chuyên môn, nghiệp vụ, cập nhật đổi nội dung, phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá kết giáo dục tiểu học theo chương trình, sách giáo khoa tiểu học Điểm tài liệu viết theo môđun thiết kế hoạt động, nhằm tích cực hố hoạt động người học, kích thích óc sáng tạo khả giải vấn đề, tự giám sát đánh giá kết học tập người học; trọng sử dụng nhiều phương tiện truyền đạt khác (tài liệu in, băng hình, ) giúp cho người học dễ học, dễ hiểu gây hứng thú học tập Môđun Các tập hợp số nhóm tác giả trường Đại học Sư phạm Hà Nội biên soạn Môđun Các tập hợp số có thời lượng bốn đơn vị học trình, bao gồm chủ đề: Chủ đề 1: Cấu trúc đại số Chủ đề 2: Số tự nhiên Chủ đề 3: Tập số hữu tỉ tập số thực Lần đầu tiên, tài liệu biên soạn theo chương trình phương pháp mới, chắn không tránh khỏi thiếu sót định Ban điều phối Dự án mong nhận ý kiến đóng góp chân thành bạn đọc, đặc biệt đội ngũ giảng viên, sinh viên trường Sư phạm, giáo viên Tiểu học nước Xin trân trọng cảm ơn! DỰ ÁN PHT TRIN GIO VIấN TIU HC tập hợp sè CHỦ ĐỀ Cấu trúc đại số Mục tiêu A Kiến thức – Giúp cho người học nắm vững cấu trúc đại số cấu trúc nửa nhóm, nhóm, vành trường – Trên sở nắm vững cấu trúc trên, tiến tới hình thành ý tưởng để tiếp cận với toán học đại để biết cấu trúc tập hợp số Tiểu học – Giúp người học thấy phát triển không ngừng toán học theo quy luật phát triển từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng từ tư trừu tượng vận dụng vào thực tế B Kĩ – Kiểm tra "phép toán" cho có phép tốn hai ngơi khơng – Kiểm tra tập hợp với phép tốn có nửa nhóm, nhóm, vành, trường hay khơng – Kiểm tra tập cho có nửa nhóm con, nhóm con, vành con, trường hay không – Kiểm tra ánh xạ cho có đồng cấu, đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu hay khơng – Kiểm tra hai nhóm, vành, trường có đẳng cấu với hay khơng C Thái độ – Cần nắm vững định nghĩa xác khái niệm – Có liên hệ với thực tế chương trình Tốn Tiểu học D Giới thiệu chủ đề STT Tên tiểu chủ đề Trang Phép tốn hai ngơi Nửa nhóm nhóm 19 Vành trường 36 Mối quan hệ tiểu chủ đề tồn chủ đề: c¸c tËp hỵp sè + Tiểu chủ đề 1: Là phần chuẩn bị kiến thức phép toán hai ngơi tính chất chúng, dùng để xây dựng cấu trúc đại số tiểu chủ đề + Tiểu chủ đề 2: Giới thiệu hai cấu trúc đại số nửa nhóm nhóm, tập hợp trang bị phép tốn hai ngơi + Tiểu chủ đề 3: Xây dựng cấu trúc đại số tập hợp có trang bị hai phép tốn hai ngơi Những cấu trúc đại số đặc biệt so với cấu trúc đại số tiểu chủ đề Cả hai tiểu chủ đề có gắn kết chặt chẽ với nhau, có dàn giống nờn ngi c d theo dừi tập hợp sè Tiểu chủ đề 1.1 Phép tốn hai ngơi Thơng tin 1.1.1 Nhắc lại khái niệm ánh xạ 1.1.1.1 Định nghĩa f Cho hai tập hợp X Y Một ánh xạ từ X đến Y, kí hiệu f: X → Y X ⎯ ⎯→ Y , quy tắc đặt tương ứng phần tử x ∈ X phần tử y ∈ Y Phần tử y gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu y = f(x) Tập hợp X gọi tập nguồn hay tập xác định f; tập Y gọi tập đích f Chú ý Nhiều để rõ quy tắc ánh xạ f từ X đến Y ta cịn dùng kí hiệu sau đây: f: X → Y xa xa f(x) f(x) rõ quy tắc cho biết ảnh phần tử x qua ánh xạ f Cho f g hai ánh xạ từ tập X đến tập Y Ta nói ánh xạ f ánh xạ g, kí hiệu f = g, với x ∈ X f(x) = g(x) Ví dụ 1.1: Nhiều hàm số mà ta gặp chương trình tốn phổ thơng ánh xạ từ tập tập số thực R đến R Chẳng hạn: – Cho a, b hai số thực bất kì, a ≠ Tương quan hàm số bậc y = ax + b ánh xạ từ R đến R Nú đặt tương ứng x ∈ R s? y = ax + b ∈ R f: R → R xa f(x) = ax + b – Tương tự ta có ánh xạ sau: g: R → R xa g(x) = x2 + 2x + h: R → R xa 10x l: R+ → R, R+ tập số thực dương xa lgx 1.1.1.2 ảnh tạo ảnh Cho f: X → Y ánh xạ từ tập X đến tập Y A tập X B tập Y Tập f(A) = {y ∈ Y | ∃a ∈ A, f (a) = y} gọi ảnh tập A qua ánh xạ f tập hợp số Tp f1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} gọi tạo ảnh tập B qua ánh xạ f 1.1.1.3 ánh xạ mở rộng, ánh xạ thu hẹp Cho f: X → Y ánh xạ từ X đến Y A tập X, ta có ánh xạ g: A → Y xác định ∀a ∈ A, g(a) = f(a) g gọi ánh xạ thu hẹp f tập A, kí hiệu g = f A ; f gọi ánh xạ mở rộng g Nếu B tập Y cho với a ∈ A, f(a) ∈ B ta có ánh xạ f : A → B xác định ∀a ∈ A, f (a) = f(a) ∈ B f gọi ánh xạ cảm sinh ánh xạ f cách thu hẹp nguồn A đích B Ví dụ 1.2: Cho f: R → R x a x2 + 2x + Z tập số nguyên, ta có ánh xạ thu hẹp f Z là: f Z: Z → R xa x2 + 2x + ta có ánh xạ cảm sinh f: f : Z → Q, xa Q tập số hữu tỉ x2 + 2x + 1.1.1.4 Đơn ánh, toàn ánh song ánh Định nghĩa 1.1 Cho f ánh xạ từ tập X đến tập Y – f gọi đơn ánh với x1, x2 thuộc X, f(x1) = f(x2) kéo theo x1 = x2 – f gọi toàn ánh f(X) = Y, tức với y ∈ Y tồn x ∈ X cho f(x) = y – Nếu f vừa đơn ánh, vừa tồn ánh f gọi song ánh Nếu f song ánh từ X đến Y f có ánh xạ ngược từ Y đến X xác định bởi: f–1: Y → X ya x với y = f(x) 1.1.1.5 Hợp thành hai ánh xạ Định nghĩa 1.2 Cho f ánh xạ từ X đến Y g ánh xạ từ Y đến Z Khi ta có ánh xạ h từ X đến Z xác định quy tắc ∀x ∈ X, h(x) = g(f(x)) h gọi hợp thành f g; kí hiệu h = gf h = g.f (h gọi tích hai ánh xạ f g) Định lí 1.1 Cho hai ánh xạ f: X Y; g: Y Z tập hợp sè (i) Nếu f g hai đơn ánh gf đơn ánh; (ii) Nếu f g hai tồn ánh gf tồn ánh; (iii) Nếu f g hai song ánh gf song ánh Định lí 1.2 Cho ba ánh xạ f: X → Y, g: Y → Z, h: Z → W (hg)f = h(gf) 1.1.1.6 Tích Descartes hai tập hợp Cho X Y hai tập hợp Tập hợp tất cặp (x; y) x ∈ X, y ∈ Y gọi tích Descartes X Y, kí hiệu X × Y Chú ý hai cặp (x; y) (x'; y') x = x' y = y' Ví dụ 1.3: 1) Tập điểm mặt phẳng tọa độ Descartes tích Descartes tập số thực R R 2) Cho Z tập số nguyên, Z × Z = {(a; b) | a ∈ Z, b ∈ Z} T?p Z × Z cú th? coi tập điểm có tọa độ nguyên mặt phẳng tọa độ Descartes 1.1.2 Phép tốn hai ngơi 1.1.2.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Một phép tốn hai ngơi tập X ánh xạ T: X × X → X (a; b) a aTb Phần tử aTb ∈ X gọi hợp thành hay gọi kết phép toán T thực hai phần tử a b Như vậy, phép tốn hai ngơi T tập hợp X quy tắc đặt tương ứng cặp phần tử (a; b) thuộc X × X phần tử xác định aTb thuộc X Ví dụ 1.4: 1) Phép cộng thơng thường số phép tốn hai ngơi tập N số tự nhiên, tập Z số nguyên, tập Q số hữu tỉ tập R số thực 2) Phép nhân thông thường số phép tốn hai ngơi tập N số tự nhiên,… 3) Cho tập N* số tự nhiên khác ánh xạ *: N* × N* → N* (a; b) a a * b = ab phép tốn hai ngơi tập số tự nhiên khác 4) Cho tập Z số nguyên, phép trừ phép tốn hai ngơi Z, ta có ánh xạ T: Z × Z → Z (a; b) a a b 10 tập hợp sè Tuy nhiên, phép trừ khơng phải phép tốn hai ngơi tập số tự nhiên N, ta có thuộc N – ∉ N 5) Cho X tập P(X) tập tập X Các phép toán hợp, giao hiệu hai tập hợp phép tốn hai ngơi tập P(X) Cụ thể, A B hai tập X A ∪ B tập X, thuộc P(X), tức ta có ánh xạ: ∪: P(X) × P(X) → P(X) (A; B) a A ∪ B Tương tự, ta có ánh xạ: ∩: P(X) × P(X) → P(X) a A∩B (A; B) \: P(X) × P(X) → P(X) (A; B) a A \ B 6) Cho tập hợp X Hom(X, X) tập hợp ánh xạ từ X đến Phép lấy hợp thành hai ánh xạ phép tốn hai ngơi tập Hom(X, X) Thật vậy, với hai ánh xạ f, g từ X đến X, hợp thành fg ánh xạ từ X đến X Nên ta có ánh xạ: Hom(X, X) × Hom(X, X) → Hom(X, X) (f; g) a fg 7) Cho tập X = {0, 1, 2} ta có phép tốn hai ngơi xác định X sau: T: X × X → X (a; b) a r r dư phép chia a + b cho Có thể mơ tả phép toán T bảng sau: T 0 1 2 1.1.2.2 Tính chất thường gặp phép tốn hai Định nghĩa 1.3 Cho T phép tốn hai ngơi tập X Ta nói phép tốn T có tính chất giao hốn với a, b thuộc X, aTb = bTa Các phép tốn hai ngơi ví dụ 1), 2), 5), 7) ví dụ 1.4 phép toỏn cú tớnh cht giao hoỏn 11 tập hợp sè Các phép tốn hai ngơi ví dụ 3), 4) khơng có tính chất giao hốn; ví dụ 6) khơng có tính chất giao hốn tập X có nhiều phần tử Định nghĩa 1.4 Cho T phép tốn hai ngơi tập X Ta nói phép tốn T có tính chất kết hợp với a, b, c thuộc X, (aTb)Tc = aT(bTc) Các phép tốn hai ngơi ví dụ 1), 2), 5), 6) 7) có tính chất kết hợp Các phép tốn ví dụ 3), 4) khơng có tính chất kết hợp 1.1.2.3 Những phần tử đặc biệt Định nghĩa 1.5 Cho T phép tốn hai ngơi tập X Phần tử e ∈ X gọi phần tử trung lập phép toán T với a thuộc X, eTa = aTe = a Định lí 1.3 Nếu tập X có phần tử trung lập phép tốn T phần tử trung lập Chứng minh: Giả sử e e' hai phần tử trung lập phép tốn T Ta có eTe' = e' e phần tử trung lập eTe' = e e' phần tử trung lập Từ suy e = e' Ví dụ 1.5: 1) Số phần tử trung lập phép cộng thông thường số tự nhiên (cũng phép cộng thông thường số nguyên, số hữu tỉ số thực) 2) Số phần tử trung lập phép nhân thông thường số tự nhiên (cũng phép nhân thông thường số nguyên, số hữu tỉ số thực) 3) Tập rỗng ( ∅ ) phần tử trung lập phép lấy hợp tập hợp (∪) tập P(X) 4) Tập X phần tử trung lập phép toán giao (∩) tập P(X) 5) ánh xạ đồng idx: X → X xa x phần tử trung lập phép hợp thành ánh xạ tập Hom(X, X) Định nghĩa 1.6 Cho X tập hợp với phép toán hai T e phần tử trung lập X phép toán T; a ∈ X Phần tử b ∈ X gọi phần tử đối xứng a phép toán T bTa = aTb = e 12 tập hợp số nh lí 1.4 Cho X tập hợp với phép tốn hai ngơi T có tính chất kết hợp, có phần tử trung lập e Nếu b b' hai phần tử đối xứng a b' = b Chứng minh: Giả sử phần tử a ∈ X có hai phần tử đối xứng b b', ta có aTb' = e bTa = e Do T có tính chất kết hợp nên ta có (bTa)Tb' = bT(aTb') Suy eTb' = bTe hay b' = b Ví dụ 1.6: 1) Đối với phép cộng số tự nhiên có số có phần tử đối xứng phần tử đối xứng 2) Một cách tổng quát: Nếu e ∈ X phần tử trung lập phép tốn T e phần tử đối xứng 3) Đối với phép cộng số nguyên, số nguyên a có phần tử đối xứng – a ∈ Z 4) Đối với phép nhân số nguyên có –1 hai phần tử có đối xứng Z (Đối xứng 1, đối xứng –1 –1) 5) Đối với phép nhân số hữu tỉ số hữu tỉ q ∈ Q khác có phần tử đối xứng ∈ Q q 6) Đối với phép nhân ánh xạ tập Hom(X, X), song ánh f: X → X có phần tử đối xứng f–1: X → X (ánh xạ ngược f) Chú ý Trong thực tế, hai phép tốn hai ngơi thường gặp phép cộng (+) phép nhân ( × ) – Đối với phép cộng (+): Giả sử + phép tốn hai ngơi tập X hợp thành a + b gọi tổng a b Phần tử trung lập (nếu có) gọi phần tử khơng kí hiệu Nếu phép cộng có tính chất kết hợp phần tử a ∈ X có phần tử đối xứng b, b xác định nhất, gọi phần tử đối a kí hiệu – a – Đối với phép nhân (×): Giả sử × phép tốn hai ngơi tập X, hợp thành a × b (cịn viết ab a.b) gọi tích a b Phần tử trung lập (nếu có) gọi phần tử đơn vị kí hiệu e (hoặc khơng có nhầm lẫn với số) Nếu phép nhân có tính chất kết hợp phần tử a ∈ X có phần tử đối xứng b, b xác định gọi phần tử nghịch đảo a, kí hiệu b = a–1 1.1.2.4 Phép toán cảm sinh Định nghĩa 1.7 Cho T phép toán hai tập X A tập khác rỗng X A gọi tập ổn định phép toán T với a, b thuộc A, hợp thành aTb thuộc A Tc l: 13 tập hợp số (a)(b) [a, b ∈ A ⇒ aTb ∈ A] Ví dụ 1.7: 1) Tập hợp số tự nhiên chẵn tập ổn định tập số tự nhiên phép cộng 2) Tập số tự nhiên N tập ổn định tập số nguyên Z phép cộng phép nhân Nhưng khơng ổn định phép trừ 3) Tập số nguyên mà bội số nguyên m cho trước tập ổn định tập số nguyên phép cộng phép nhân 4) Tập số nguyên lẻ tập ổn định phép nhân số nguyên khơng ổn định phép cộng số nguyên 5) Tập S(X) song ánh từ X đến X tập ổn định Hom(X, X) phép nhân ánh xạ Định nghĩa 1.8 Cho X tập hợp với phép tốn hai ngơi T A tập ổn định phép tốn T X Khi ánh xạ T: X × X → X (a; b) a aTb cảm sinh ánh xạ T': A × A → A (a; b) a aTb Đó phép tốn hai ngơi tập A gọi phép tốn cảm sinh phép toán T tập hợp A Ví dụ 1.8: 1) Phép cộng số tự nhiên chẵn phép toán cảm sinh phép cộng số tự nhiên 2) Phép cộng số nguyên cảm sinh phép cộng số nguyên mà bội số nguyên m cho trước 3) Cho S(X) tập song ánh từ X đến X, phép hợp thành song ánh tập S(X) phép toán cảm sinh phép hợp thành ánh xạ Hom(X, X) hoạt động Tìm hiểu định nghĩa ánh xạ, toàn ánh, đơn ánh, song ánh; định nghĩa tính chất phép tốn hai ngơi 14 c¸c tËp hỵp sè Nhiệm vụ Sinh viên đọc thơng tin nguồn tài liệu tham khảo để thực nhiệm vụ Nhiệm vụ 1: Định nghĩa ánh xạ, toàn ánh, đơn ánh, song ánh Nhiệm vụ 2: Định nghĩa phép tốn hai ngơi ngơn ngữ ánh xạ, thấy ý nghĩa khái quát định nghĩa Đây định nghĩa khái quát hóa từ nhiều phép tốn hai ngơi cụ thể Nhiệm vụ 3: Nờu tính chất thường gặp phép tốn hai ngơi Xây dựng ví dụ minh họa Nhiệm vụ 4: Nêu định nghĩa phần tử đặc biệt phép tốn hai ngơi Xây dựng ví dụ minh họa Nhiệm vụ 5: é?nh nghia phép toán cảm sinh phép tốn hai ngơi Cho vớ d? minh họa Đánh giá Hãy trả lời câu hỏi sau đây: Định nghĩa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh Định nghĩa phép tốn hai ngơi tập hợp Định nghĩa phần tử trung lập phép tốn hai ngơi, phần tử đối xứng phần tử tập có phép tốn hai ngơi Nêu tính chất thường gặp phép tốn hai ngơi Trong mơn Tốn giảng dạy trường tiểu học ta gặp phép toán hai ngơi nào? Chúng có tính chất gì? Những phép toán ta dạy cho học sinh tiểu học khơng phải phép tốn hai ngơi? Hãy giải tập sau đây: Cho N tập số tự nhiên, Z tập số nguyên, Q tập số hữu tỉ, Q+ tập số hữu tỉ dương a) Phép toán bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia phép tốn hai ngơi tập số kể 15 c¸c tËp hỵp sè b) Trong trường hợp phép tốn hai ngơi, cho biết tính chất phần tử đặc biệt phép tốn Cho tập hợp X = {0, 1, 2} Phép toán ⊕ cho bảng sau: ⊕ 0 1 2 Hãy cho biết tính chất phép tốn ⊕ phần tử đặc biệt có Cho tập hợp Y = {a, b, c} Phép toán * cho bảng sau: * a b c a a b c b a b c c a b c Hãy cho biết tính chất phép toán * phần tử đặc biệt có Cho N* tập số tự nhiên khác 0, phép toán T xác định sau: T: N* × N* → N* (a; b) a ab Phép tốn T có tính chất giao hốn, kết hợp hay khơng? Trong N* có phần tử trung lập hay không? Chứng tỏ quy tắc cho tương ứng sau phép toán hai ngơi Hãy tính chất phép tốn a) x ∗ y = x + y + xy với x, y thuộc R; b) m ⊗ n = m + 2n với m, n thuộc N; c) a ⊕ b = a + b – ba với a, b thuộc Q \ {1} Cho A tập số nguyên chẵn, B tập số nguyên lẻ Các tập hai tập ổn định phép toán sau: a) Phép cộng số nguyên b) Phép nhân số nguyên Chứng minh tập số nguyên bội số nguyên tố m cho trước ổn định phép cộng phép nhân số nguyên Các tập hợp sau đây, tập hợp ổn định phép cộng phân số a) A = {1, 1} 16 tập hợp số ⎧a ⎫ b) B = ⎨ a, b ∈ Z , a số lẻ , b ⎩b ⎭ ⎧a c) C = ⎨ ⎩b a ⎫ phâ số thậ phâ n p n b ⎭ Cũng câu hỏi 8, thay phép cộng phép nhân phân số 17 c¸c tËp hỵp sè TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2 Nửa nhóm nhóm Thơng tin Cơ 1.2.1 Nửa nhóm 1.2.1.1 Định nghĩa Ta gọi nửa nhóm tập khác rỗng X với phép tốn hai ngơi T X có tính chất kết hợp Nếu nửa nhóm X có phần tử trung lập phép tốn T X gọi vị nhóm Nếu phép tốn T có tính chất giao hốn nửa nhóm X gọi nửa nhóm giao hốn Như vậy, nửa nhóm cấu trúc đại số bao gồm tập hợp có phép tốn hai ngơi T thoả mãn tiên đề: ∀a, b, c ∈T, (aTb)Tc = aT(bTc) Để nửa nhóm ta viết (X, T) X tập cấu trúc này, T kí hiệu phép tốn hai ngơi Trong nhiều trường hợp, khơng có nhầm lẫn, ta viết X thay cho (X, T) Ví dụ 2.1: 1) Tập số tự nhiên N với phép cộng thông thường vị nhóm giao hốn, phần tử trung lập Nó gọi vị nhóm cộng số tự nhiên 2) Vị nhóm cộng số nguyên (Z, +) Z tập số nguyên, + phép cộng thơng thường số Đó vị nhóm giao hốn 3) Vị nhóm nhân số tự nhiên (N, ) 4) Vị nhóm nhân số nguyên (Z, ) 5) Hom(X, X) tập ánh xạ từ tập X đến với phép hợp thành ánh xạ vị nhóm (Nếu X có nhiều phần tử vị nhóm khơng giao hốn) Nhận xét Nếu (X, T) nửa nhóm với a, b, c thuộc X ta có (aTb)Tc = aT(bTc) Khi ta viết phần tử aTbTc gọi "cái hợp thành" ba phần tử a, b, c nửa nhóm (X, T) Bằng quy nạp ta định nghĩa tổng (tích) n phần tử (n ≥ 3) nửa nhóm cộng (X, +) (nửa nhóm nhân (X, )) sau: Định nghĩa 2.1 Cho (X, +) nửa nhóm, a1, a2, , an n phần tử X (n ≥ 3) Tổng phần tử a1, a2, an kí hiệu a1 + a2 + + an n ∑a i =1 a1 + a2 + + an = (a1 + a2 + + an–1) + an hay n ∑a i =1 18 i = n −1 ∑a i =1 i + an i định nghĩa quy nạp theo n nh sau: tập hợp số Nu a1 = a2 = = an = a n ∑a i =1 viết na gọi bội n phần tử a i Định nghĩa 2.2 Cho (X, ) nửa nhóm nhân, a1, a2, , an n phần tử X (n ≥ 3) Tích phần tử a1, a2, , an kí hiệu a1a2 an hay n ∏a i =1 i định nghĩa quy nạp theo n sau: a1a2 an = (a1a2 an–1)an hay n ∏a i =1 i n−1 = ⎛∏ai ⎞ an ⎜ ⎟ ⎝ i =1 ⎠ Nếu a1 = a2 = = an = a n ∏a i =1 i viết an gọi luỹ thừa bậc n phần tử a 1.2.1.2 Tính chất Định lí 2.1 Cho (X, ) nửa nhóm nhân a1, a2, an (n ≥ 3) n phần tử X Khi với số tự nhiên m, 1≤ m < n ta có: n m i =1 i =1 ∏ =∏ n ∏a j j = m +1 Chứng minh: Với n = ta có a1a2a3 = (a1a2)a3 = a1(a2a3) công thức với n = Giả sử công thức với n = k (k ≥ 3) tức với k phần tử a1, a2, , ak thuộc X ta có ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∏ a = ⎛∏a ⎞ ⎜ ∏a ⎟ ⎝ ⎠ m k i =1 i i =1 k ⎝ j= m +1 ⎠ i j với m, ≤ m < k Ta cần chứng minh công thức với n = k + Thật với k + phần tử a1, a2, , ak+1 thuộc X ≤ m < k + ta có: k +1 – Khi m = k theo định nghĩa ∏a i =1 i ⎛ k ⎞ ⎛ m ⎞ = ⎜ ∏ a i ⎟ a k +1 = ⎜ ∏ a i ⎟ a m +1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ k ⎛ m ⎞ = ⎜ ∏ a i ∏ a i ⎟ a k +1 i =1 i =1 ⎝ i =1 i = m +1 ⎠ m k k +1 ⎛⎛ ⎞ m ⎞ = ∏ a i ⎜ ⎜ ∏ a j ⎟ a k +1 ⎟ = ∏ a i ∏ a j ⎜ j= m +1 ⎟ i =1 j= m +1 i =1 ⎠ ⎝⎝ ⎠ k +1 – Khi m < k k ∏ a = ∏ a a i i k +1 Chú ý Nếu (X, +) nửa nhóm cộng ta có cơng thức sau: 19 ... 2 .1 Cho (X, +) nửa nhóm, a1, a2, , an n phần tử X (n ≥ 3) Tổng phần tử a1, a2, an kí hiệu a1 + a2 + + an n ∑a i =1 a1 + a2 + + an = (a1 + a2 + + an? ?1) + an hay n ∑a i =1 18 i = n ? ?1 ∑a i =1. .. có: k +1 – Khi m = k theo định nghĩa ∏a i =1 i ⎛ k ⎞ ⎛ m ⎞ = ⎜ ∏ a i ⎟ a k +1 = ⎜ ∏ a i ⎟ a m +1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ k ⎛ m ⎞ = ⎜ ∏ a i ∏ a i ⎟ a k +1 i =1 i =1 ⎝ i =1 i = m +1 ⎠ m k k +1 ⎛⎛ ⎞... i =1 i định nghĩa quy nạp theo n sau: a1a2 an = (a1a2 an? ?1) an hay n ∏a i =1 i n? ?1 = ⎛∏ai ⎞ an ⎜ ⎟ ⎝ i =1 ⎠ Nếu a1 = a2 = = an = a n ∏a i =1 i viết an gọi luỹ thừa bậc n phần tử a 1. 2 .1. 2