c¸c tËp hîp sè 20 nm n ii j i1 i1 jm1 aa a ===+ =+ ∑∑∑ với mọi m, 1 ≤ m < n. Nhận xét. Trong nửa nhóm nhân (hoặc cộng) khi thực hiện phép nhân (phép cộng) đối với nhiều phần tử thì ta có thể nhóm các nhân tử (hạng tử) theo mọi cách mà chỉ cần giữ nguyên thứ tự. Hệ quả. Cho a 1 , a 2 , . . . , an là những phần tử của nửa nhóm nhân X. Khi đó ta có: nkmn iiie i1 i1 jk1 em1 aa.aa ===+=+ ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ ∏∏∏∏ = kmn ije i1 jk1 em1 aa.a ==+=+ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∏∏∏ với mọi k, m, 1 ≤ k < m < n. Chứng minh: Đẳng thức thứ hai suy ra từ tính chất kết hợp của phép nhân trong nửa nhóm X. Theo định lí 2.1 ta có nmn iie i1 i1 em1 aa.a ===+ = ∏∏∏ 1 ≤ m < n. (1) Ta lại có mkm iij i1 i1 jk1 aa.a ===+ = ∏∏∏ 1 ≤ k < m. (2) Thay (2) vào (1) ta được: nkmn iije i1 i1 jk1 em1 aa.a.a ===+=+ ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ ∏∏∏∏ . Định lí 2.2. Cho a 1 , a 2 , . . . , an (n ≥ 2) là những phần tử của nửa nhóm giao hoán X. Khi đó, với mọi hoán vị (j 1 , j 2 , . . . , jn) của {1, 2, . . . , n} ta có: . . 12 n n ijjj i1 aaaa = = ∏ Chứng minh: Với n = 2, tính chất này đúng vì a 1 a 2 = a 2 a 1 . Giả sử tính chất này đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có 12 k k ijjj i1 a a .a a = = ∏ với (j 1 , j 2 , . . . , jk) là một hoán vị bất kì của {1, 2, . . . , k}. Với n = k + 1, gọi (j 1 , j 2 , . . . , jk +1 ) là một hoán vị bất kì của {1, 2, . . . , k, k + 1}. c¸c tËp hîp sè 21 Nếu jk +1 = k + 1 thì: 12 kk1 12 k jj jj jj j k1 k ik1 i1 k1 i i1 a a a a (a a a )a a .a (Theo gi¶ thiÕt quy n¹ p) a. + + + = + = = = = ∏ ∏ Nếu jk +1 < k + 1, giả sử jr +1 = k + 1 ta có: )].a a(a[)a aa(a aa a 1k2rr211k1rr1 jj1kjjjjjjj ++++ + = = ++ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦1k r r2 k1 j jj j j k1 (a a a ) (a a )a = ++ + 12 r r2 k1 j jjj j k1 (a a a a a )a . Theo giả thiết quy nạp: 12 kr2 k1 k jj jj j i i1 a a a a a a ++ = = ∏ Vậy + + + == == ∏∏ 12 k1 kk1 j jj ik1 i i1 i1 a a a a .a a . áp dụng. Ta xét bài toán sau: Tìm kết quả sau bằng cách tính nhanh nhất A = 21 + 79 + 35 + 65 + 47 + 53; B = 4 × 25 × 7 × 8 × 125 × 20 × 5; C = 21 + 53 + 35 + 79 + 47 + 65; D = 125 × 5 × 25 × 20 × 8 × 4 × 7. Giải: A = (21 + 79) + (35 + 65) + (47 + 53) = 300. 100 100 100 B = (4 × 25) × [7 × (4 × 125)] × 20 × 5. = 100 × (7 × 1000) × 100 = 70 000 000. C = 21 + 53 + 35 + 79 + 47 + 65 = (21 + 79) + (53 + 47) + (35 + 65) = 300. D = 125 × 5 × 25 × 20 × 8 × 4 × 7 = (125 × 8) × (5 × 20) × (25 × 4) × 7 = 70 000 000. 1.2.1.3. Nửa nhóm con c¸c tËp hîp sè 22 Định nghĩa 2.3. Cho (X, T) là một nửa nhóm. A là một tập con khác rỗng của X và ổn định đối với phép toán T. Khi đó A cũng là một nửa nhóm và được gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X. Nếu X là một vị nhóm và A là một nửa nhóm con của X mà A chứa phần tử trung lập của X thì A cựng v?i phộp toỏn c?m sinh b?i T được gọi là vị nhóm con của vị nhóm X. Ví dụ 2.2: 1) Cho X là một nửa nhóm (vị nhóm) bất kì. Khi đó X là một nửa nhóm con (vị nhóm con) của chính nó. 2) Cho X là một vị nhóm với phần tử trung lập e, khi đó {e} là một vị nhóm con của X. 3) Tập A các số tự nhiên chẵn là một vị nhóm con của vị nhóm cộng các số tự nhiên N. 4) Tập B các số tự nhiên lẻ là một vị nhóm con của vị nhóm nhân các số tự nhiên N. 5) Cho m là một số tự nhiên. Tập mZ tất cả các số nguyên là bội số của m là một vị nhóm con của vị nhóm cộng các số nguyên. 1.2.2. Nhóm 1.2.2.1. Định nghĩa Ta gọi là nhóm một tập X cùng với phép toán hai ngôi T thoả mãn các tiên đề sau đây: (i) (X, T) là một nửa nhóm, tức là ∀ a, b, c ∈ X, (aTb)Tc = aT(bTc). (ii) Trong X tồn tại phần tử trung lập e đối với phép toán T. Nghĩa là ∃e ∈ X sao cho eTa = aTe = a với mọi a ∈ X. (iii) Mọi phần tử x thuộc X đều có phần tử đối xứng, nghĩa là tồn tại x' ∈ X sao cho x'Tx = xTx' = e. Nếu phép toán T có tính chất giao hoán thì nhóm X được gọi là một nhóm giao hoán hay nhóm Aben. Nếu X là tập hữu hạn, có n phần tử thì X được gọi là một nhóm có cấp là n. Nếu X là một tập vô hạn thì X được gọi là một nhóm có cấp vô hạn. Nhận xét. Một nhóm X là một vị nhóm mà mọi phần tử thuộc X đều có đối xứng trong X. Ví dụ 2.3: 1) Tập các số nguyên Z với phép cộng là một nhóm Aben. 2) Tập các số hữu tỉ Q với phép cộng là một nhóm Aben. 3) Tập Q * các số hữu tỉ khác 0, với phép nhân là một nhóm Aben. 4) Tập S(X) tất cả các song ánh từ X đến X là một nhóm với phép nhân ánh xạ. 1.2.2.2. Tính chất Cho X là một nhóm với phép toán là phép nhân, khi đó ta có: c¸c tËp hîp sè 23 1) Vì một nhóm là một vị nhóm nên nó có đầy đủ các tính chất của một vị nhóm mà chúng ta không cần phải nhắc lại. 2) ∀a, b, c ∈ X, ab = ac ⇒ b = c (luật giản ước bên trái) và ba = ca ⇒ b = c (luật giản ước bên phải). Thật vậy, giả sử ab = ac ⇒ a –1 (ab) = a –1 (ac) ⇒ (a –1 a)b = (a –1 a)c ⇒ eb = ec ⇒ b = c. Tương tự ta có: ba = ca ⇒ b = c. 3) Với mọi a, b thuộc X, các phương trình ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất trong X. Thật vậy, xét phương trình ax = b (1) Đặt x 0 = a –1 b ∈ X, khi đó ax 0 = a(a –1 b) = (aa –1 )b = eb = b. Vậy x 0 là nghiệm của (1). Giả sử x 1 và x 2 là hai nghiệm của (1), khi đó ta có các đẳng thức: ax 1 = b; ax 2 = b. Từ đó suy ra (theo tính chất 2) x 1 = x 2 . Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x 0 = a –1 b. Tương tự phương trình ya = b có nghiệm duy nhất là ba –1 ∈ X. Tính chất 3) trên đây không chỉ là điều kiện cần mà còn là điều kiện đủ để một nửa nhóm là một nhóm. Ta có định lí sau: Đinh lí 2.3. Cho X là một nửa nhóm nhân. X là một nhóm khi và chỉ khi với mọi a, b thuộc X các phương trình ax = b và ya = b có nghiệm trong X. Chứng minh: Điều kiện cần: Đã chứng minh trong tính chất 3). Điều kiện đủ: Vì X là nửa nhóm nên X ≠ ∅, do đó tồn tại a 0 ∈ X. Ta xét phương trình xa 0 = a 0 . Theo giả thiết phương trình này có nghiệm là e ∈ X. Với phần tử a bất kì thuộc X, xét phương trình a 0 y = a. Phương trình này có nghiệm là y 0 ∈ X. Tức là a 0 y 0 = a. Từ đó suy ra ea = e(a 0 y 0 ) = (ea 0 )y 0 = a 0 y 0 = a. Tương tự ta có ae = a với mọi a ∈ X. Vậy trong X có phần tử trung lập là e. c¸c tËp hîp sè 24 Bây giờ với mỗi a ∈ X, xét phương trình xa = e. Phương trình này có nghiệm trong X. Nghĩa là trong X tồn tại phần tử a' sao cho a'a = e. Vì phương trình ay = e có nghiệm trong X nên tồn tại a'' ∈ X sao cho aa'' = e, ta suy ra a' = a'' là phần tử đối xứng của a. Vậy X là một nhóm. 1.2.3. Nhóm con 1.2.3.1. Định nghĩa Định nghĩa 2.4. Cho X là một nhóm. A là một tập con của X ổn định đối với phép toán trong X. Nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm thì A được gọi là nhóm con của X. Chú ý. Nếu e là phần tử trung lập của nhóm X và A là một nhóm con của X thì e ∈ A và cũng là phần tử trung lập của A. Định lí sau đây cho ta một tiêu chuẩn để nhận biết một tập con của một nhóm có là nhóm con của nó hay không. Định lí 2.4. Cho A là một tập con của nhóm nhân X. Khi đó ba tính chất sau tương đương với nhau: (i) A là nhóm con của X. (ii) Phần tử trung lập e ∈ A, và với mọi a, b thuộc A, ta có ab ∈ A và a –1 ∈ A. (iii) Phần tử trung lập e ∈ A, và với mọi a, b thuộc A ta có ab –1 ∈ A. Chứng minh: (i) ⇒ (ii). Hiển nhiên. (ii) ⇒ (i). Theo giả thiết A là tập con của X và a, b ∈ A kéo theo ab ∈ A. Vậy A là tập con của X ổn định đối với phép nhân. Vì phép nhân trong X có tính chất kết hợp nên phép toán cảm sinh trên A cũng có tính chất kết hợp. e ∈ A nên A là một vị nhóm. Mặt khác với mọi a ∈ A, ∃a –1 ∈ A thoả mãn a –1 a = e, aa –1 = e. Vậy A là một nhóm với phép toán cảm sinh, nên nó là nhóm con của X. (ii) ⇒ (iii) Giả sử a, b thuộc A, theo (ii) a và b –1 ∈ A, lại theo (ii) ab –1 ∈ A. (iii) ⇒ (ii) Giả sử a, b là hai phần tử thuộc A. Vì e ∈ A nên a –1 = ea –1 ∈ A, tương tự, b −1 ∈ A. Mặt khác a, b –1 ∈ A suy ra ab = a(b –1 ) –1 ∈ A. Ví dụ 2.4: 1) Nhóm cộng các số nguyên Z là một nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỉ Q. 2) Tập các số nguyên chẵn 2 Z là một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên. Thật vậy, ta có 0 = 2.0 ∈ 2Z. Giả sử a = 2k, b = 2l là hai số chẵn khi đó a – b = 2k – 2l = 2(k – l) ∈ 2Z. Vậy theo định lí 2.4, 2Z là một nhóm con của Z. 3) Tập các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên. Thật vậy, đặt mZ = {mk | k ∈Z} ta có 0 = m0 ∈ mZ. a = mk, b = ml là hai phần tử thuộc mZ. c¸c tËp hîp sè 25 Khi đó a – b = m(k – l) ∈ mZ. 4) Tập A = {1, –1} là một nhóm con của nhóm nhân các số hữu tỉ khác không. 5) Với mỗi nhóm X bất kì đều có hai nhóm con đó là X và {e}, trong đó e là phần tử trung lập của nhóm X. 1.2.4. Đồng cấu 1.2.4.1. Định nghĩa Cho X là một nhóm với phép toán T và Y là một nhóm với phép toán ⊥. f: X → Y là một ánh xạ từ tập X đến tập Y. f được gọi là một đồng cấu nhóm, nếu và chỉ nếu với mọi a, b thuộc X ta có: f(aTb) = f(a) ⊥f(b). – Nếu X = Y thì đồng cấu f: X → X được gọi là một tự đồng cấu của nhóm X. – Nếu f là một đơn ánh thì đồng cấu f được gọi là một đơn cấu. – Nếu f là một toàn ánh thì đồng cấu f được gọi là một toàn cấu. – Nếu f là một song ánh thì đồng cấu f được gọi là một đẳng cấu. – Nếu có một ánh xạ đẳng cấu f từ nhóm X đến nhóm Y thì ta nói rằng hai nhóm X và Y đẳng cấu với nhau và kí hiệu là X ≅ Y. Đối với nửa nhóm ta có định nghĩa tương tự. Ví dụ 2.5: 1) Cho X là một nhóm khi đó ánh xạ đồng nhất idX: X → X là một tự đẳng cấu của nhóm X. 2) Cho X và Y là hai nhóm bất kì, eY là phần tử trung lập của nhóm Y. Khi đó ánh xạ ε: X → Y x a eY là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Nói chung ε không là đơn cấu cũng không là toàn cấu. 3) Cho ( R, +) là nhóm cộng các số thực. (R + , .) là nhóm nhân các số thực dương. ánh xạ m: R → R + x a 10 x là một ánh xạ đẳng cấu từ nhóm cộng các số thực đến nhóm nhân các số thực dương. 4) Cho A là một nhóm con của nhóm X. ánh xạ j: A → X a a a là một đơn cấu. j được gọi là phép nhúng tự nhiên hay đơn cấu chính tắc từ nhóm con A vào nhóm X. 4) Cho ( N, +) là vị nhóm cộng các số tự nhiên. ánh xạ c¸c tËp hîp sè 26 g: N → N n a 2n là một đơn cấu. 1.2.4.2. Tính chất Định lí 2.5. Cho f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm nhân X vào nhóm nhân Y. ex, ey theo thứ tự là đơn vị của nhóm X và nhóm Y. Khi đó ta có: 1) f(ex) = ey. 2) Với mọi a ∈ X, f (a –1 ) = [f(a)] –1 . 3) () nn ii i1 i1 f afa == ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ ∏∏ với a 1 , a 2 , . . . , an ∈ X, n ≥ 2. Chứng minh: 1) Với mọi x ∈ X ta có x = exx. Suy ra f(x) = f(exx) = f(ex)f(x) hay eyf(x) = f(ex)f(x). Vì trong nhóm có luật giản ước nên ey = f(ex). 2) Ta có f(a)f(a –1 ) = f(aa –1 ) = ey; tương tự f(a –1 )f(a) = f(a –1 a) = f(ex) = ey. Vậy f(a –1 ) = [f(a)] –1 . 3) Chứng minh quy nạp theo n. Với n = 2. Theo định nghĩa của đồng cấu ta có: f(a 1 a 2 ) = f(a 1 )f(a 2 ). Vậy tính chất này đúng với n = 2. Giả sử tính chất này đúng với n (n ≥ 2) tức là ta có: ∏∏ == = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n 1i i n 1i i )a(faf . Với n + 1 phần tử a 1 , a 2 , . . . an +1 của X ta có: n1 n n1 ii i1 i1 aa.a + + == = ∏∏ nên ).a(fafa.afaf 1n n 1i i n 1i 1ni 1n 1i i + == + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∏∏∏ () ∏ = + = n 1i 1ni af.)a(f (theo giả thiết quy nạp) ∏ + = = 1n 1i i ).a(f Vậy tính chất này đúng với n + 1. Định lí 2.6. Cho f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. A là một nhóm con của X. B là một nhóm con của Y. Khi đó f(A) là một nhóm con của Y và f –1 (B) là một nhóm con của X. . c¸c tËp hîp sè 27 Chứng minh: Giả sử A là một nhóm con của nhóm X. Khi đó đơn vị ex thuộc A nên ey = f(ex) ∈ f(A). Giả sử y 1 , y 2 là hai phần tử thuộc f(A). Khi đó tồn tại a 1 , a 2 thuộc A sao cho y 1 = f(a 1 ), y 2 = f(a 2 ). Suy ra y 1 y 2 –1 = f(a 1 )[f(a 2 )] –1 = f(a 1 )f(a 2 –1 ) = f(a 1 a 2 –1 ) ∈ f(A). Vậy f(A) là một nhóm con của Y. Giả sử B là một nhóm con của Y. Vì f(ex) = ey ∈ B nên ex ∈ f –1 (B). Nếu x 1 , x 2 là hai phần tử thuộc f –1 (B) thì f(x 1 ) ∈ B và f(x 2 ) ∈ B. Suy ra f(x 1 1 2 x − ) = f(x 1 )[f(x 2 )] –1 ∈ B. Do đó x 1 1 2 x − ∈ f –1 (B). Vậy f –1 (B) là một nhóm con của X. Định nghĩa 2.5. Cho f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Theo định lí 2.6, f(X) là một nhóm con của Y. f(X) được gọi là ảnh của đồng cấu f và kí hiệu là Imf. f –1 (ey) là một nhóm con của X và f –1 (ey) được gọi là hạt nhân của đồng cấu f và kí hiệu là Kerf. Định lí 2.7. Cho f là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf = Y. f là một đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {ex}. Chứng minh: Theo định nghĩa của toàn ánh ta có ngay f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = f(X) = Y. Giả sử f là đơn cấu. Vì f(ex) = ey nên ex ∈ Kerf. Nếu x ∈ Kerf tức là f(x) = ey. Mặt khác f(ex) = ey. Do f là đơn ánh nên x = ex. Vậy Kerf = {ex}. Đảo lại, giả sử Kerf = {ex}. Nếu x 1 , x 2 là hai phần tử thuộc X sao cho f(x 1 ) = f(x 2 ). Suy ra ey = f(x 1 )[f(x 2 )] –1 = f(x 1 x 2 –1 ) hay x 1 x 2 –1 ∈ Kerf, tức là x 1 x 2 –1 = ex hay x 1 = x 2 . Vậy f là một đơn ánh do đó nó là một đơn cấu. Định lí 2.8. Nếu f là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y và g là một đồng cấu từ nhóm Y đến nhóm Z thì gf là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Z. Chứng minh: Giả sử f: X → Y và g: Y → Z là hai đồng cấu nhóm. Với mọi a, b thuộc X ta có: gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) = g(f(a))g(f(b))= gf(a)gf(b). Vậy gf là một đồng cấu. Chú ý. Vì hợp thành của hai song ánh là một song ánh nên trong định lí 2.8, nếu f và g là hai ánh xạ đẳng cấu thì gf cũng là một ánh xạ đẳng cấu. Từ đó suy ra rằng quan hệ đẳng cấu giữa các nhóm có tính chất bắc cầu. Nghĩa là cho X, Y, Z là ba nhóm. c¸c tËp hîp sè 28 Nếu X ≅ Y và Y ≅ Z thì X ≅ Z. 1.2.5. Đối xứng hóa 1.2.5.1. Định nghĩa Cho X là một nửa nhóm giao hoán. Phần tử a ∈ X được gọi là phần tử chính quy nếu với mọi b, c ∈ X, ab = ac kéo theo b = c. Nửa nhóm X được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của nó đều là chính quy. Ví dụ 2.6: 1) Trong nửa nhóm cộng các số tự nhiên N, mọi phần tử đều là chính quy. 2) Trong nửa nhóm nhân các số tự nhiên N, mọi phần tử khác 0 đều là chính quy. 1.2.5.2. Định lí Cho X là một vị nhóm nhân giao hoán, chính quy. Khi đó tồn tại một nhóm X và đơn cấu ϕ : X → X từ nửa nhóm X vào X sao cho với mọi α thuộc X , α có thể viết được dưới dạng α = ϕ (a)[ ϕ (b)] –1 với a, b thuộc X. Chứng minh: Đặt Y = X × X = {(a; b) | a, b ∈ X} Trong tập Y ta có quan hệ hai ngôi R được xác định như sau: Với mọi (a; b), (c; d) thuộc Y, (a; b)R(c; d) ⇔ ad = bc. R là một quan hệ tương đương vì: – Với mọi (a; b) thuộc Y, ab = ba nên (a; b)R(a; b) (R có tính chất phản xạ). – Với mọi (a; b), (c; d) thuộc Y, nếu (a; b)R(c; d) thì ad = bc hay cb = da, suy ra (c; d)R(a; b) (R có tính chất đối xứng). – Với mọi (a; b), (c; d), (e; g) thuộc Y, nếu (a; b)R(c; d) và (c; d)R(e; g) thì ad = bc và cg = de. Từ đó suy ra adg = bcg và bcg = bde. Suy ra (ag)d = (be)d. Do X là nửa nhóm chính quy nên ta có ag = be, vậy (a; b)R(e; g). (R có tính chất bắc cầu). Đặt X = Y/ R là tập thương của Y theo quan hệ tương tương R. Ta có X = {( a; b ) | a, b ∈ X}. Với ( a; b ) = {(x; y) ∈ Y | (x; y)R(a; b)}, ( a; b ) = (c; d) ⇔ ad = bc. Trên tập X ta định nghĩa phép toán sau: Với mọi ( a; b ), (c; d) thuộc X , ( a; b ) (c; d) = (ac; bd) . Phép toán này không phụ thuộc vào việc lựa chọn đại diện của mỗi lớp. Vì nếu: ( a; b ) = (a'; b') , (c; d) = (c'; d') c¸c tËp hîp sè 29 thì có ab' = ba' và cd' = dc'. Suy ra acb'd' = bda'c'. Vậy (ac;bd) (a'c';b'd') hay (a;b)(c;d) (a';b')(c';d').== Cùng với phép toán này X là một nhóm giao hoán vì: – Tính chất giao hoán và kết hợp của phép toán trong X được suy ra từ tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân trong X. Phần tử trung lập của X đối với phép toán này là ( e; e) trong đó e là phần tử trung lập của vị nhóm X. Dễ thấy (e; e) (x; x)= với mọi x thuộc X. – Với mỗi lớp (a; b) thuộc X , ta có (b; a) cũng thuộc X và (a; b)(b; a) (ab; ba) (ab; ab) (e; e)===. Vậy (a; b) có phần tử đối xứng là ( b ;a ). Bây giờ xét ánh xạ ϕ: X → X xác định bởi với mọi a ∈ X ϕ(a) = (a,e) . ϕ là một đồng cấu vì với mọi a, b thuộc X (ab) (ab; e) (a; e)(b; e) (a) (b). ϕ == = ϕϕ ϕ là đơn ánh vì nếu ϕ(a) = ϕ(b) thì (a; e) = (b; e) suy ra ae = eb hay a = b. Vậy ϕ là một đơn cấu từ X vào X . Giả sử α = (a; b) là một phần tử bất kì thuộc X . Ta có 11 (a;e)(e;b) (a;e)[(b;e)] (a)[ (b)] . − − α= = = ϕϕ Định lí được chứng minh. Chú ý. Do có đơn cấu ϕ từ X vào X nên có thể coi X như một vị nhóm con của X bằng cách đồng nhất mỗi phần tử a ∈ X với ϕ(a) = ( a; e )∈ X . Như vậy mỗi α = (a; b) ∈ X , α có thể viết dưới dạng α = ab –1 với a, b thuộc X. Đặt a b = ab –1 . Ta có X = a |a,b X b ⎧⎫ ⎪⎪ ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ ∈ . Khi đó ac b d =⇔ ad = bc và ac ac b dbd = – Nếu X là một vị nhóm cộng giao hoán, chính quy thì ta có: { } Xab|a,bX=− ∈ [...]... đơn vị 2) Tập các số hữu tỉ Q cùng với phép cộng và nhân thông thường là một vành giao hoán, có đơn vị 3) Tập các số thực R với phép cộng và nhân thông thường là một vành giao hoán, có đơn vị 4) Tập X = ⎧0, 1, 2, 3⎫ cùng hai phép toán cộng và nhân cho trong các bảng sau là một vành ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ giao hoán, có đơn vị + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 × 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3... nhóm nhân các phần tử khác không của trường X Ví dụ 3.3: 1) Vành số hữu tỉ Q, vành số thực R là những trường { } 2) Tập X = 0, 1, 2 với hai phép toán sau là một trường + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 × 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1 3) Vành số nguyên Z không phải là một trường Định lí 3 .2 Mọi trường đều là miền nguyên Chứng minh: Giả sử X là một trường Khi đó nó là một vành giao hoán, có đơn vị khác... nhân viii) Tập hợp các số thực có dạng a + b 3 , a, b ∈ Z với phép cộng ix) Tập hợp các số thực có dạng a + b 3 , a, b ∈ Q, a2 + b2 ≠ 0 với phép nhân 7 Cho tập hợp A = {0, 1, 2} Chứng minh rằng A là một nhóm Aben với phép toán ⊕ cho trong bảng sau: ⊕ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 8 Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên Z là một nhóm Aben với phép toán sau: a ⊗ b = a + b – 1 với mọi a, b thuộc Z 9 Chứng... → X là một tự đẳng cấu của vành X 2) Cho X và Y là hai vành tùy ý OY là phần tử không của vành Y ánh xạ θ: X → Y x a OY là một đồng cấu 3) ánh xạ f: Q( 2 ) → Q( 2 ) a+b 2 a a–b 2 là một tự đẳng cấu của trường Q( 2 ) 1.3.3 .2 Tính chất Cho f: X → Y là một đồng cấu từ vành X đến vành Y Khi đó: 1) f(OX) = OY, OX và OY theo thứ tự là phần tử không của vành X và vành Y 2) f(–a) = –f(a) với mọi a thuộc X... có dạng A = mZ, m ∈ Z 13 Kí hiệu ∆ 3 là nhóm đối xứng của một tam giác đều ∆ 3 = {1∆,R, R2, D1, D2, D3} Trong đó R là phép quay tâm O, góc quay 120 o, Di là phép đối xứng qua đường cao đi qua đỉnh i (i = 1, 2, 3) Hãy lập bảng toán cho ∆ 3 và suy ra rằng ∆ 3 ≅ S3 (S3 là nhóm các phép thế của {1, 2, 3}) 1 H2 H3 H1 3 2 14 Cho ánh xạ f: N → N, n a 5n a) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của nửa nhóm cộng... cộng các số nguyên 10 Cho X là một nhóm với đơn vị là e Chứng minh rằng nếu x2 = e với mọi x ∈ X thì X là một nhóm Aben 11 Giả sử a và b là hai phần tử của một nhóm X sao cho ab = ba Chứng minh (ab)n = anbn với mọi số tự nhiên n >1 33 c¸c tËp hîp sè Nếu a và b là hai phần tử sao cho (ab )2 = a2b2 thì có suy ra ab = ba hay không? 12 Chứng minh rằng trong nhóm cộng các số nguyên Z, một bộ phận A của Z là...c¸c tËp hîp sè Trong đó: a – b = c – d ⇔ a + d = b + c (a – b) + (c – d) = (a + c) – (b + d) 1 .2. 6 Nửa nhóm sắp thứ tự 1 .2. 6.1 Nhắc lại về quan hệ thứ tự Định nghĩa 2. 6 Cho tập hợp X và R là một quan hệ hai ngôi trên X R được gọi là một quan hệ thứ tự nếu R có các tính chất sau: – Tính chất phản xạ: Với mọi a ∈ X, aRa – Tính chất... 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 × 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 1.3.1 .2 Tính chất Cho X là một vành Theo định nghĩa (X, +) là một nhóm Aben nên nó có đầy đủ các tính chất của một nhóm cộng giao hoán Cụ thể là: 1) Phần tử không của nhóm X là duy nhất Ta kí hiệu nó là 0 và cũng gọi là phần tử không của vành X 2) Mỗi phần tử a thuộc X có một phần tử đối duy nhất là –a 3) Với mọi a, b thuộc... (i) Giả sử ab = 0 và a ≠ 0 ⇒ ab = a0 mà a ≠ 0 theo (iii) suy ra b = 0 1.3.1.3 Miền nguyên Định nghĩa 3 .2 Một vành giao hoán, có đơn vị khác 0 và thoả mãn một trong ba điều kiện tương đương trong định lí 3.1 được gọi là một miền nguyên Ví dụ 3 .2: 36 c¸c tËp hîp sè 1) Vành số nguyên Z là một miền nguyên 2) Vành X trong ví dụ 3.1 không phải là miền nguyên 1.3.1.4 Trường Định nghĩa 3.3 Một vành giao hoán,... nghĩa 2. 7 Cho X là một nửa nhóm giao hoán với phép toán T Nếu trên X có một quan hệ thứ tự toàn phần ≤ tương thích với phép toán T, nghĩa là với mọi a, b, c thuộc X, quan hệ a ≤ b kéo theo aTc ≤ bTc, thì X được gọi là một nửa nhóm sắp thứ tự Bằng cách tương tự, ta định nghĩa vị nhóm sắp thứ tự, nhóm sắp thứ tự Dưới đây, ta sẽ kí hiệu phép toán trong nửa nhóm sắp thứ tự bởi phép cộng (+) 1 .2. 6 .2 Tính . R là những trường. 2) Tập X = { } 0, 1, 2 với hai phép toán sau là một trường. + 0 1 2 × 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 1 2 2 2 0 1 2 0 2 1 3) Vành số nguyên. 000 000. C = 21 + 53 + 35 + 79 + 47 + 65 = (21 + 79) + (53 + 47) + (35 + 65) = 300. D = 125 × 5 × 25 × 20 × 8 × 4 × 7 = ( 125 × 8) × (5 × 20 ) × (25 × 4) × 7 = 70 000 000. 1 .2. 1.3. Nửa. nguyên. Thật vậy, ta có 0 = 2. 0 ∈ 2Z. Giả sử a = 2k, b = 2l là hai số chẵn khi đó a – b = 2k – 2l = 2( k – l) ∈ 2Z. Vậy theo định lí 2. 4, 2Z là một nhóm con của Z. 3) Tập các số nguyên là