c¸c tËp hîp sè 39 4) Nếu A là một vành con của X thì f(A) là một vành con của Y. 5) Nếu B là một vành con của Y thì f –1 (B) là một vành con của X. Chứng minh: Các tính chất 1), 2) và 3) có được do f là một đồng cấu từ nhóm cộng X đến nhóm cộng Y. Bây giờ ta chứng minh tính chất 4) và 5). 4) Giả sử A là một vành con của vành X. Khi đó OX ∈ A và OY = f(OX) ∈ f(A). Nếu y 1 và y 2 là hai phần tử thuộc f(A) thì tồn tại a 1 , a 2 thuộc A sao cho y 1 = f(a 1 ), y 2 = f(a 2 ). Suy ra y 1 – y 2 = f(a 1 ) – f(a 2 ) = f(a 1 – a 2 ) ∈ f(A). và y 1 y 2 = f(a 1 )f(a 2 ) = f(a 1 a 2 ) ∈ A. Vậy f(A) là một vành con của Y. 5) Giả sử B là một vành con của vành Y. Khi đó f(OX) = OY ∈ B nên OX ∈ f –1 (B). Giả sử x 1 , x 2 là hai phần tử thuộc f –1 (B) khi đó f(x 1 ) ∈ B và f(x 2 ) ∈ B. Từ đó suy ra f(x 1 – x 2 ) = f(x 1 ) – f(x 2 ) ∈ B và f(x 1 x 2 ) = f(x 1 )f(x 2 ) ∈ B. Nghĩa là x 1 – x 2 ∈ f –1 (B) và x 1 x 2 ∈ f –1 (B). Vậy f –1 (B) là một vành con của vành X. Định lí 3.5. Cho f: X → Y và g: Y → Z là hai đồng cấu vành. Khi đó gf là một đồng cấu từ vành X đến vành Z. Chứng minh: Giả sử f: X → Y và g: Y → Z là hai đồng cấu, với mọi a, b thuộc X ta có: gf(a+b) = g(f(a+b)) = g(f(a) + f(b)) = g(f(a)) + g(f(b)) = gf(a) + gf(b). gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = gf(a)gf(b). Nhận xét. Cũng như đối với đồng cấu nhóm. Nếu f, g là hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì gf cũng là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu). 1.3.4. Vành, trường sắp thứ tự 1.3.4.1. Định nghĩa Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị. Nếu trên X có một quan hệ thứ tự toàn phần ≤ sao cho: (i) Với mọi a, b, c thuộc X, a ≤ b kéo theo a + c ≤ b + c; (ii) Với mọi a, b, c thuộc X, nếu a ≤ b và 0 ≤ c thì ac ≤ bc thì ta gọi X là vành sắp thứ tự. c¸c tËp hîp sè 40 Cho (X, +, . , ≤) là một vành sắp thứ tự. Nếu x ≥ 0 và x ≠ 0 thì ta nói x > 0. Đặt P = {x ∈ X | x > 0}. P được gọi là tập các phần tử dương của X. –P = {x ∈ X | – x ∈ P}. –P được gọi là tập các phần tử âm của X. Khi đó ta có các tính chất sau: 1) Nếu a, b thuộc P thì a + b ∈ P. 2) ∀x ∈ X, x ∈ P ⇔ – x ∈ P. 3) P ∪ {0} ∪ (–P) = X; P ∩ (–P) = ∅ . Định nghĩa 3.4. Vành X được gọi là một vành sắp thứ tự Acsimet nếu với mọi a, b thuộc X, a > 0, tồn tại số tự nhiên n sao cho na > b. Đối với trường ta có định nghĩa tương tự. Ví dụ 3.6: 1 0 ) Vành số nguyên Z là một vành sắp thứ tự Acsimet. Thật vậy. Trên Z ta định nghĩa quan hệ ≤ như sau: Với mọi a, b thuộc Z, a ≤ b khi và chỉ khi tồn tại số nguyên không âm c sao cho a + c = b. Rõ ràng ≤ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên Z. Mặt khác, với mọi a, b, c ∈ Z ta có: i) a ≤ b suy ra tồn tại d không âm sao cho a + d = b, cộng cả hai vế với c ta được a + d + c = b + c hay (a + c) + d = b + c. Vậy a + c ≤ b + c. ii) Giả sử 0 ≤ c và a ≤ b, suy ra a + d = b với d là số không âm. Nhân cả hai vế với c ta được ac + dc = bc. Vì c và d đều là hai số không âm nên dc cũng không âm. Vậy ac ≤ bc. Vậy Z, với quan hệ ≤ là một vành sắp thứ tự. Bây giờ ta chứng minh vành số nguyên Z là một vành sắp thứ tự Acsimet. Thật vậy, giả sử a, b thuộc Z, 0 < a. +) Nếu b ≤ 0 thì ta có b < a = 1.a. Trong trường hợp này n = 1. +) Nếu 0 < b thì ta có b + 1 > b và do đó b < ( b + 1)a. Trong trường hợp này n = b + 1. 2 0 ) Trường số hữu tỉ Q là một trường sắp thứ tự Acsimet. Hoạt động. Tìm hiểu vành, miền nguyên và trường Nhiệm vụ Giáo viên tổ chức cho sinh viên đọc phần thông tin cơ bản và thực hiện các nhiệm vụ sau. Nhiệm vụ 1: c¸c tËp hîp sè 41 Định nghĩa vành, miền nguyên và trường. Xõy d?ng cỏc vớ d? minh h?a. Nhiệm vụ 2: Phát biểu và chứng minh các tính chất của vành, miền nguyên và trường. Nhiệm vụ 3: Định nghĩa vành con, trường con. Các điều kiện tương đương với vành con, trường con. Nhiệm vụ 4: Định nghĩa đồng cấu, đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu. Các tính chất của đồng cấu, đẳng cấu. Nhiệm vụ 5: Th?c hành ch?ng minh một tập hợp với phép toán đã cho là một vành, một miền nguyên, một trường, một vành con, trường con. Nhiệm vụ 6: Cách chứng minh một ánh x ạ đã cho là một đồng cấu, đơn cấu, đẳng cấu. Nhiệm vụ 7: Định nghĩa vành, trường sắp thứ tự Acsimet. Xõy d?ng cỏc vớ d? minh h?a. Đánh giá Hãy trả lời các câu hỏi sau đây: 1. Định nghĩa vành, miền nguyên. Cho ví dụ về vành và miền nguyên. 2. Phát biểu và chứng minh các tính chất của vành và miền nguyên. 3. Định nghĩa và cho ví dụ về trường. 4. Phát biểu và chứng minh các tính chất của trường. 5. Định nghĩa vành con, trường con. Cho ví dụ về vành con. 6. Phát biểu và chứng minh các tính chất đặc trưng của vành con và trường con. 7. Định nghĩa đồng cấu vành, cho ví dụ về đồng cấu vành. 8. Phát biểu và chứng minh các tính chất của đồng cấu vành. 9. Định nghĩa vành, trường sắp thứ tự. Cho ví dụ về vành, trường sắp thứ tự. 10. Định nghĩa vành, trường sắp thứ tự Acsimet. Cho ví dụ về vành, trường sắp thứ tự Acsimet. Giải các bài tập sau đây: c¸c tËp hîp sè 42 1. Gọi X và Y là tập các số nguyên chia hết cho 3 và 5. Chứng minh rằng X và Y cùng với phép cộng và phép nhân thông thường đều là những vành giao hoán. Các vành này có đơn vị không? 2. Đặt C 100 = { a ∈Z: a chẵn, } 100a ≤ và B 100 = { a ∈ Z: } 100a ≤ . Các tập C 100 và B 100 cùng với phép cộng và phép nhân thông thường có lập thành một vành không? Giải thích tại sao? 3. Cho (R, +, . ) là một vành, với a, b ∈ R ta định nghĩa a × a = ab – ba. Chứng minh rằng phép toán × thoả mãn tính chất sau: i) a × a = 0 ii) a × b = (–b) × a iii) [(a × b) × c] + [(b × c) × a] + [(c × a) × b] = 0 4. Chứng minh rằng nếu vành R thoả mãn a 2 = 0 với mọi a ∈ R thì ab = – ba với mọi a, b ∈ R. 5. Cho k là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng (Zk,, ⊕ ⊗) là một vành giao hoán có đơn vị, trong đó Zk và các phép toán ⊕, ⊗ được cho bởi các quy tắc sau: Zk = { 0,1, ,k 1− } và abc⊕= với c là dư của phép chia a + b cho k; abd⊗= với d là dư của phép chia ab cho k. 6. a) Cho (R, +, . ) là một vành giao hoán. Chứng minh rằng phần tử a ∈ R khác 0 là ước của 0 khi và chỉ khi a không phải là phần tử chính quy đối với phép nhân. b) Tìm các ước của 0 trong vành ( Z 6 ,, ⊕ ⊗) và trong vành (Z 15 ,, ⊕ ⊗). 7. Chứng minh rằng ánh xạ f: Z → Z là tự đồng cấu vành ⇔ f(a) = 0 hoặc f(a) = a với mọi a∈ Z. 8. Chứng minh rằng 0 và 1 là phần tử trung lập và đơn vị của vành sắp thứ tự thì 0 < 1. 9. Chứng tỏ rằng vành (Zk, ,⊕⊗) với k ≥ 2 không thể sắp thứ tự. 10. Chứng minh rằng (Zk, ,⊕⊗) là một trường khi và chỉ khi k là một số nguyên tố. 11. Cho: X = { ab2+ a,b∈ Q}. Chứng minh rằng X cùng với phép cộng và phép nhân thông thường là một trường. 12. Hãy tìm các tự đồng cấu của trường số hữu tỉ Q. 13. Cho (R, +, . ) là một vành. Tìm giá trị chân lí của các mệnh đề sau (có giải thích): i) Phép cộng có tính chất giao hoán. ii) Phép nhân có tính chất giao hoán. iii) Phép cộng có phần tử trung hòa và phép nhân có phần tử đơn vị. c¸c tËp hîp sè 43 iv) Tập R có nhiều hơn một phần tử. v) Tập R có vô số phần tử. 14. Cho T = {a, b, c}. Hãy xây dựng hai phép toán để với hai phép toán đó T là một trường. Trường T có thể sắp thứ tự được không? Tại sao? c¸c tËp hîp sè 44 Thông tin phản hồi cho chủ đề 1 Tiểu chủ đề 1.1 1. a) – Phép cộng và phép nhân là phép toán hai ngôi trên cả 4 tập N, Z, Q, Q + . – Phép trừ là phép toán hai ngôi trên tập Z và Q. – Phép chia là phép toán hai ngôi trên Q + . b) – Đối với phép cộng: các tập N, Z, Q có phần tử trung lập là số không (0). Phép cộng có tính chất giao hoán. – Đối với phép nhân: các tập N, Z, Q, Q + có phần tử trung lập là 1, phép nhân có tính chất giao hoán. – Đối với phép trừ: các tập Z, Q không có phần tử trung lập và phép trừ không có tính chất giao hoán. – Phép chia các số hữu tỉ dương không có tính chất giao hoán và không có phần tử trung lập. 2. Phép ⊕ có tính chất giao hoán và kết hợp, có phần tử trung lập là 0; phần tử đối xứng của 0 là 0; phần tử đối xứng của 1 là 2; phần tử đối xứng của 2 là 1. 3. Phép toán ∗ chỉ có tính chất kết hợp. Y không có phần tử trung lập. 4. Phép toán T: aTb = ab trên tập các số tự nhiên N * không có tính chất kết hợp, cũng không có tính chất giao hoán. N * không có phần tử trung lập. 5. a) Phép toán ∗ có tính chất giao hoán và kết hợp. b) Phép toán ⊗ không có tính chất giao hoán, không có tính chất kết hợp. c) Phép ⊕ có các tính chất giao hoán và kết hợp. 6. a) Tập các số chẵn A ổn định đối với phép cộng các số nguyên. b) Tập các số nguyên chẵn A và tập các số nguyên lẻ đều ổn định đối với phép nhân các số nguyên. 7. Đặt mZ = { mk ⎜k ∈ Z} là tập các số nguyên là bội của m. Khi đó với mọi a = mk, b = ml thuộc mZ, ta có: a + b = mk + ml = m(k + l) ∈ mZ. 8. a) Tập A = {–1, 1} không ổn định đối với phép cộng vì –1 + 1 = 0 ∉A. b) Tập B = { a b ⎢a, b ∈ Z, a lẻ, b ≠ 0} không ổn định đối với phép cộng vì 1 5 ∈ B nhưng 1 5 + 1 5 = 2 5 ∉ B. c) Tập C = { a b ⎢ a b là phân số thập phân} ổn định đối với phép cộng vì: c¸c tËp hîp sè 45 Nếu u = m a 10 , v = n b 10 là hai phân số thập phân (m ≤ n) thì u + v = () nm n 10 a b 10 − + ∈ C. 9. a) Tập A = {–1, 1} ổn định đối với phép nhân thể hiện trong bảng sau: ⋅ 1 –1 1 1 –1 –1 –1 1 b) Tập B ổn định đối với phép nhân vì: a b ∈ B, c d ∈ B, a và c là số lẻ nên ac là số lẻ do đó a b c d = ac b d ∈ B. c) Tập C các phân số thập phân ổn định đối với phép nhân vì m a 10 , n b 10 ∈ C ta có: m a 10 n b 10 = mn ab 10 + ∈ C. Tiểu chủ đề 1.2 1. a) Đặt 5Z = {5k ⎢k ∈ Z} là tập các số nguyên chia hết cho 5. Khi đó: a = 5k, b = 5l ∈ 5Z ta có a + b = 5k + 5 l = 5(k + l) ∈ 5Z. Vậy phép cộng là một phép toán hai ngôi trên 5 Z. Vì phép cộng các số nguyên có tính chất kết hợp nên phép cộng trong 5 Z cũng có tính chất kết hợp. Ta có: 0 = 5.0 ∈ 5 Z. Vậy 5 Z là một vị nhóm đối với phép cộng. b) 5 Z là một nửa nhóm với phép nhân vì: với mọi a = 5k, b = 5l ∈ 5Z ta có: ab = (5k)(5l) = 5(5kl) ∈ 5 Z. Hơn nữa phép nhân các số nguyên có tính chất kết hợp. Nhưng 5Z không là một vị nhóm vì 1 ∉ 5 Z. 2. a) 2 ⊗ 1 = 2 + 1 – 1 = 2; 4 ⊗ 5 = 4 + 5 – 1 = 8; 5 ⊗ 5 = 5 + 5 – 1 = 9. b) Rõ ràng nếu a, b ∈ N * thì a ⊗ b = a + b – 1 ∈ N * vậy ⊗ là một phép toán hai ngôi trên N * . Phép ⊗ có tính chất kết hợp vì với mọi a, b, c ∈ N * (a ⊗ b) ⊗ c = (a + b – 1) ⊗ c = [ a + (b –1 + c)] –1 = a + [(b + c) – 1] – 1 = a ⊗ (b + c –1) = a ⊗ (b ⊗ c). Trong N * có phần tử trung lập là 1 vì a ⊗ 1 = a + 1 – 1 = a với mọi a ∈ N * . Hơn nữa phép toán ⊗ còn có tính chất giao hoán vì với mọi a, b ∈ N * c¸c tËp hîp sè 46 a ⊗ b = a + b – 1 = b + a –1 = b ⊗ a. Vậy ( N * , ⊗) là một vị nhóm giao hoán. 3. Đặt X là tập các số lẻ. Khi đó: X = {2k + 1 ⎢k ∈ Z} Rõ ràng 1 ∈ X. Hơn nữa nếu a = 2k + 1, b = 2 l + 1 ∈ X thì ab = (2k + 1)(2 l + 1) = 2(2kl + k + l) + 1 ∈ X. Vậy X là vị nhóm con của vị nhóm nhân các số nguyên. X không là nửa nhóm con của nửa nhóm cộng các số nguyên vì X không ổn định đối với phép cộng. Ta có 3 và 5 là hai số thuộc X nhưng 3 + 5 = 8 ∉ X 4. Rõ ràng phép toán ∗: a ∗ b = a có tính chất kết hợp vì với mọi a, b, c thuộc X ta có: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ c = a; a ∗ (b ∗ c) = a ∗ b = a Vậy a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c. Nếu X có nhiều hơn một phần tử thì phép toán ∗ không giao hoán vì giả sử a, b là hai phần tử khác nhau thuộc X, ta có a ∗ b = a; b ∗ a = b. Như vậy a ∗ b ≠ b ∗ a. X cũng không có đơn vị vì giả sử e ∈ X là đơn vị của X, và a ∈ X, a ≠ e ta có a ∗ e = a; e ∗ a = e. Như vậy a ∗ e ≠ e ∗ a. Mâu thuẫn. 5. Cho X = {a, b} để X là một nhóm, trước hết ta chọn một phần tử làm phần tử trung lập. Vì trong một nhóm có luật giản ước cho nên các kết quả tính trong mỗi dòng và mỗi cột phải khác nhau. Cuối cùng ta có: ∗ a b a a b b b a Tương tự, Y = {a, b, c} ta có ∗ a b c a a b c b b c a c c a b Chú ý: Các kết quả tính, trong mỗi dòng, mỗi cột phải khác nhau chỉ là điều kiện cần để ta có một nhóm. Vì vậy sau khi lập xong bảng toán cần chỉ rõ phần tử đối xứng của mỗi phần tử của tập đang xét là gì. Cần chứng minh tính chất kết hợp của phép toán vừa nêu. c¸c tËp hîp sè 47 6. i) – iv) Các kết quả này được suy ra từ các tính chất của phép cộng thông thường các số. v) Đặt mZ = {mk ⎢k ∈ Z} là tập các số nguyên là bội của m. Ta có thể chỉ cần chứng minh mZ là nhóm con của nhóm cộng các số nguyên Z. Rõ ràng 0 = m0 ∈ Z. Giả sử a = mk, b = ml ∈ mZ. Khi đó: a – b = mk – ml = m(k – l) ∈ mZ. Vậy mZ là một nhóm con của Z. viii) Đặt X = {a + b 3 ⎜a, b ∈ Z}. Khi đó X là tập con của tập các số thực R. Để chứng minh X là một nhóm với phép cộng, ta chỉ cần chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực. Rõ ràng với mọi a ∈ Z, a = a + 0 3 ∈ X. Giả sử α = a + b 3 và β = c + d 3 là hai phần tử bất kì thuộc X. Khi đó a, b, c, d là những số nguyên, do đó a – c và b – d cũng là những số nguyên. Vậy α – β = (a + b 3) – (c + d 3 ) = (a – c) + (b – d) 3 ∈ X ix) Đặt Y = {a + b 3 ⎢a, b ∈ Q, a 2 + b 2 ≠ 0}. Khi đó Y là tập con của tập các số thực khác 0. Ta sẽ chứng minh Y là nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0. Ta có 1 = 1 + 0 3 ∈ Y. Giả sử α = a + b 3 ∈ Y, β = c + d 3 ∈ Y như vậy α và β là hai số thực khác 0 và ta có: α . β –1 = a + b 3 c + d 3 = () ( ) 22 a + b 3 c - d 3 c - 3d = 22 ac - 3bd c3d − + 22 bc - ad 3 c3d − ∈ Y. Vậy Y là nhóm nhân các số thực khác 0. Do đó nó là một nhóm với phép nhân. 7. Nhìn vào bảng toán ta thấy: – Phép ⊕ có tính chất giao hoán (nó đối xứng qua đường chéo chính). – Phần tử trung lập là 0. – Phần tử đối xứng của 0 là 0. – Phần tử đối xứng của 1 là 2. – Phần tử đối xứng của 2 là 1. Theo quy tắc phép toán ⊕ ta thấy ∀a, b ∈ A, a ⊕ b = c với c là dư của phép chia a + b cho 3. Vì phép cộng các số nguyên có tính chất kết hợp nên suy ra phép ⊕ ở đây cũng có tính chất kết hợp. c¸c tËp hîp sè 48 Vậy (A, ⊕) là một nhóm Aben. 8. Rõ ràng nếu a, b ∈ Z thì a ⊗ b = a + b – 1 ∈ Z Vậy ⊗ là một phép toán hai ngôi trên Z. Phép toán ⊗ có tính chất kết hợp vì: ∀a, b, c ∈ Z, (a ⊗ b) ⊗ c = (a + b – 1) ⊗ c = a + b –1 + c – 1 = a + b + c – 2; a ⊗ (b ⊗ c) = a ⊗ (b + c – 1) = a + b + c – 1 – 1 = a + b + c – 2 hay (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c). Phép toán ⊗ có tính chất giao hoán vì: a ⊗ b = a + b – 1 = b + a – 1 = b ⊗ a. Phần tử trung lập đối với phép ⊗ là 1 vì a ⊗ 1 = a + 1 – 1 = a ∀a ∈ Z. Với mỗi a ∈ Z ta có –a + 2 ∈ Z và a ⊗ (–a + 2) = a + (–a + 2) – 1 = 1. Vậy ( Z, ⊗) là một nhóm Aben. 9. Hiển nhiên. 10. Với mọi x, y thuộc X ta có: (xy) 2 = x 2 y 2 suy ra (xy)(xy) = x 2 y 2 hay x(yx)y = x(xy)y Giản ước bên phải cho y và bên trái cho x từ đẳng thức trên suy ra yx = xy. Vậy X là một nhóm Aben. 11. Giả sử ab = ba khi đó ta chứng minh quy nạp theo n rằng (ab) n = an bn với n ≥ 2. Với n = 2 ta có (ab) 2 = (ab)(ab) = a(ba)b = a(ab)b = (aa)(bb) = a 2 b 2 . Vậy tính chất này đúng với n = 2. Giả sử tính chất này đúng với n = k ≥ 2, tức là (ab) k = akbk. Ta cần chứng minh tính chất này đúng với n = k + 1. Thật vậy (ab) k + 1 = (ab) k (ab) = (akbk)(ab) (theo giả thiết quy nạp) = ak(bka)b = ak(abk)b = (aka)(bk b) = ak + 1 bk + 1 . 12. Giả sử A = mZ. Khi đó theo bài 6.v), A là một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên Z. Bây giờ giả sử A là một nhóm con của Z. [...]... r = a – mq ∈ mZ Điều này chứng tỏ r = 0 Do đó a = mq ∈ mZ Vậy A = mZ 13 Ta có bảng toán cho 3 như sau: 1∆ R R2 D1 D2 D3 1∆ 1∆ R R2 D1 D2 D3 R R R2 1∆ D3 D1 D2 R2 R2 1∆ R D2 D3 D1 D1 D1 D2 D3 1∆ R R2 D2 D2 D3 D1 R2 1∆ R D3 D3 D1 D2 R R2 1∆ Nếu đặt tương ứng ϕ: 3 → S3 1∆ a (1); R a (1 2 3) ; R2 a (1 3 2); D1 a (2 3) ; D2 a (1 3) ; D3 a (1 2) thì ϕ là một ánh xạ đẳng cấu 14 a) ánh xạ f: N → N, n a 5n là... Tức là X là một nhóm Aben Tiểu chủ đề 1 .3 1 Ta có X = {3n ⎢n ∈ Z} Khi đó X là một tập con của tập các số nguyên Z Để chứng minh X là một vành ta chỉ cần chứng minh X là vành con của vành số nguyên Z Thật vậy, ta có 0 = 3. 0 ∈ 3Z Giả sử a = 3m, b = 3n, khi đó a – b = 3( m – n) ∈ 3Z, ab = 3( 3mn) ∈ 3Z Đối với tập Y = {5n ⎢n ∈ Z} làm tương tự Ta có thể thay các số 3 hoặc 5 bởi một số nguyên m bất kì cũng... mà b ≠ c nhưng ab = ac, từ đó suy ra ab – ac = 0 hay a(b – c) = 0 Chứng tỏ a là ước của 0 b) Trong vành Z6 có các ước của không là 2 , 3 , 4 vì 2 ⊗ 3 = 0 ; 3 ⊗ 4 = 0 Trong vành Z15 có các ước của không là 3 , 5 , 6 , 9 , 10 , 12 vì: 3 ⊗ 5 = 0 ; 5 ⊗ 6 = 0 ; 5 ⊗ 9 = 0 ; 3 ⊗ 10 = 0 ; 5 ⊗ 12 = 0 7 Rõ ràng nếu f là một ánh xạ từ Z đến Z, sao cho f(a) = 0 ∀a ∈ Z hoặc f(a) = a ∀a ∈ Z thì f là một đồng cấu vành... và nhân thông thường các số 2 Các tập B100 và C100 đều không là những vành với phép cộng và nhân thông thường vì chẳng hạn ta có: a = 98, b = 4, a + b = 102 > 100, ab = 39 2 > 100 các tập này không ổn định đối với phép cộng và nhân 3 Chỉ cần thử trực tiếp (i) a × a = aa – aa = 0 (ii) a × b = ab – ba (– b) × a = (– b)a – a(– b) = – ba + ab = ab – ba (iii) (a × b) × c 50 = (ab – ba) × c = (ab – ba)c –... nhiên, trên cơ sở đó giúp cho họ giảng dạy tốt hơn môn Toán ở các lớp dưới của bậc Tiểu học D Giới thiệu chủ đề 2 STT Tên tiểu chủ đề Trang 1 Bản số của tập hợp 57 2 Số tự nhiên 65 3 Lí thuyết chia hết trong tập các số tự nhiên 73 4 Hệ ghi số 87 5 Nội dung và cơ sở toán học của việc dạy học một số vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học 99 Mối liên hệ giữa các tiểu chủ đề Toàn bộ 4 tiểu chủ đề đầu tiên cung cấp... c a b c a a a a b c a c b Có phần tử không là a, đơn vị là b, nghịch đảo của c là c Không có quan hệ thứ tự nào để cho T trở thành một trường sắp thứ tự vì một trường sắp thứ tự phải có vô số phần tử 53 các tập hợp số Chủ đề 2 Số tự nhiên Mục tiêu A Kiến thức Trang bị cho người học những kiến thức về: – Tập hợp tương đương và bản số của tập hợp – Xây dựng tập các số tự nhiên bằng lí thuyết tập hợp –... 1 1 ) = nf( ) suy ra f( ) = n n n n m m 1 1 m ∈ Q, f( ) = mf( ) = m = n n n n n Tức là f = 1Q Vậy chỉ có hai tự đồng cấu của trường số hữu tỉ Q là ánh xạ đồng nhất và ánh xạ không 52 c¸c tËp hîp sè 13 Mệnh đề (i) có giá trị chân lí là 1 Các mệnh đề còn lại đều có giá trị chân lí là 0 14 Ta có bảng cộng và bảng nhân sau đây để T là một trường: Bảng cộng: Bảng nhân: + a b c a b c a b c b c a c a b ⋅... điểm của cạnh AB; [AC] là tập các điểm của cạnh AC Ta có song ánh f: [AB] → [AC] xác định bởi f(A) = A; f(B) = C và nếu x ∈ [AB] mà x ≠ A, x ≠ B thì f(x) = x', trong đó x' ∈ [AC] mà xx' // BC x B x' C 3) Tập các điểm của đoạn thẳng AB tương đương với tập các điểm của nửa đường tròn đường kính AB Đặt AB là tập các điểm của nửa đường tròn đường kính AB [AB] là tập hợp các điểm của đoạn thẳng AB ánh xạ... idA: A → A là một song ánh, nên ta có A ~ A 2) Cho hai tập hợp A và B, nếu A ~ B tức là có một song ánh f: A → B Khi đó, ánh xạ ngược f–1: B → A cũng là một song ánh nên suy ra B ~ A 57 các tập hợp số 3) Cho ba tập hợp A, B, C, nếu A ~ B và B ~ C, tức là ta có các song ánh f: A → B và g: B → C Khi đó, gf: A → C cũng là một song ánh, suy ra A ~ C Vậy quan hệ ~ có ba tính chất phản xạ, đối xứng và bắc... kì, bao giờ cũng xảy ra một trong hai trường hợp sau: 1) A tương đương với một tập con của B 2) B tương đương với một tập con của A Nếu cả hai trường hợp trên cùng xảy ra thì A tương đương với B 2.1.1 .3 Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn Định nghĩa 1.1 Tập hợp A được gọi là tập hợp hữu hạn nếu A không tương đương với bất kì tập con thực sự nào của A Một tập không phải là tập hợp hữu hạn được gọi là tập . a + b 3 ∈ Y, β = c + d 3 ∈ Y như vậy α và β là hai số thực khác 0 và ta có: α . β –1 = a + b 3 c + d 3 = () ( ) 22 a + b 3 c - d 3 c - 3d = 22 ac - 3bd c3d − + 22 bc - ad 3 c3d − . D 2 D 2 D 3 D 1 R 2 1 ∆ R D 3 D 3 D 1 D 2 R R 2 1 ∆ Nếu đặt tương ứng ϕ: ∆ 3 → S 3 1 ∆ a (1); R a (1 2 3) ; R 2 a (1 3 2); D 1 a (2 3) ; D 2 a (1 3) ; D 3 a (1. Thật vậy, ta có 0 = 3. 0 ∈ 3Z. Giả sử a = 3m, b = 3n, khi đó a – b = 3( m – n) ∈ 3Z, ab = 3( 3mn) ∈ 3Z. Đối với tập Y = {5n ⎢n ∈ Z} làm tương tự. Ta có thể thay các số 3 hoặc 5 bởi một số nguyên