TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 6 = C Ví dụ: đƣa các ma trận sau về dạng bậc thang rút gọn. A= , B= Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ma trận A: A= Nhƣ vậy, bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta đƣa ma trận A đã cho về ma trận bậc thang rút gọn. Ma trận B: B= Đƣa các phần tử ở cột 2 phía dƣới dòng 2 thành 0, và không làm thay đổi dòng 1. Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 2. Dòng 4: dòng 4 trừ 2 lần dòng 2. Đổi chỗ dòng 3 và dòng 4 cho nhau. Ta tìm đƣợc ma trận bậc thang. Dòng 2: dòng 2 trừ 2 lần dòng 1. Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 1. Dòng 3: nhân dòng 3 cho trừ 1. Đổi chỗ dòng 3 cho dòng 2. Dòng 2: dòng 2 cộng dòng 3. Dòng 1: dòng 1 nhân   Dòng 2: dòng 2 nhân   TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 7 Nhƣ vậy, với các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta lại đƣa đƣợc ma trận B về dạng bậc thang rút gọn. Sử dụng kỹ thuật trên để đƣa ma trận về dạng bậc thang rút gọn gọi là phƣơng pháp Gauss – Jordan. 7. HẠNG CỦA MA TRẬN ( R ). Chúng ta không cần biết định nghĩa hạng của ma trận là gì. Chúng ta chỉ quan tâm tại sao lại cần phải biết hạng của ma trận, dùng nó vào việc gì? Và làm sao để tìm đƣợc hạng của ma trận. - Hạng của ma trận dùng để áp dụng khi giải và biện luận hệ phƣơng trình tuyến tính. - Sau khi dùng biến đổi ma trận về dạng bậc thang, thì số dòng khác không của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận bậc thang đó và là hạng của ma trận ban đầu đã cho. Ký hiệu của hạng ma trận là R(A) hay R A Ví dụ ma trận: A= B = Dòng 1: dòng 1 trừ 2 lần dòng 3. Dòng 2: dòng 2 trừ   dòng 3. Dòng 1: dòng 1 trừ   dòng 2. Số dòng khác không của ma trận là 3. Vậy R(A) = 3. Số dòng khác không của ma trận là 3. Vậy R(B) = 3. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 8 8. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO. 8.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo. Nhƣ đã trình bày ở mục 2 về dạng tổng quát của ma trận đơn vị ( I n ). Chúng ta có định nghĩa nhƣ sau về ma trận đơn vị: ma trận vuông I cấp n đƣợc gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A với mọi ma trận vuông A cấp n. Định nghĩa về ma trận nghịch đảo: Một ma trận vuông B cấp n gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A cấp n, nếu A.B = B.A = I. Khi đó ta nói ma trận A khả đảo. Ký hiệu của ma trận nghịch đảo là A -1 . Nếu thay B = A -1 thì công thức trên đƣợc viết lại. A. A -1 = A -1 .A = I Chú ý: Không phải ma trận nào cũng khả đảo. Nếu tốn tại ma trận nghịch đảo thì nó là duy nhất. Tinh ý một chút các bạn có thể thấy rằng muốn xét ma trận đó có ma trận nghịch đảo hay không thì trƣớc tiên chính ma trận đó phải là ma trận vuông, nếu không vuông thì không xét làm gì, vì không tồn tại ma trận nghịch đảo. Tại sao chúng ta phải nghiên cứu ma trận nghịch đảo? Ma trận nghịch đảo có mấy cách tính cơ bản nhất? Vâng, điều này sẽ đƣợc trình bày trong tập tài liệu này. Và các bạn chú ý rằng, đây là tập tài liệu thực dụng dùng để luyện “gà” nên có rất nhiều vấn đề ở các nội dung chúng ta không cần quan tâm, muốn tìm hiểu sâu thì các bạn có thể mua sách về tự đọc. 8.2 Tìm ma trận nghịch đảo thông qua phép biến đổi sơ cấp. Cách tìm ma trận nghịch đảo thông qua phép biến đổi sơ cấp. Cho một ma trận A, tìm ma trận nghịch đảo của nó, ta viết một ma trận đơn vị I liền kề bên phải ma trận A, ta đƣợc ma trận mở rộng (A|I). Sau đó ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận mở rộng (A|I) sao cho A trở thành I, lúc đó I sẽ trở thành A -1 . Ta có cái nhìn tổng quát nhƣ sau. (A|I) (I|A -1 ) Trong quá trình biến đổi nếu xuất hiện một dòng ( cột ) bằng 0 thì ma trận đã cho không khả đảo, không có ma trận nghịch đảo. Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau. A= Cách giải: - Viết ma trận mở rộng (A|I). - Với I là ma trận đơn vị cấp 3 ( vì ma trận A là ma trận vuông cấp 3 ) - Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đƣa (A|I) thành (I|A -1 ). TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 9 Ta có ma trận mở rộng nhƣ sau: (A|I) = Dòng 2: dòng 2 trừ 2 lần dòng 1. Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 1. Dòng 3: dòng 3 nhân với -1. Sau đó đổi chỗ dòng 3 cho dòng 2. Dòng 2: dòng 2 cộng dòng 3. Dòng 1: dòng 1 trừ dòng 2. Nhƣ vậy ma trận mở rộng (A|I) trở thành (I|A -1 ) Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là: A -1 = Nhƣ vậy thông qua 09 trang giấy trình bày phần ma trận, ắt hẳn các bạn đã nắm bắt đƣợc những điều căn bản nhất và thực dụng nhất để chuẩn bị cho các chủ đề kế tiếp. Để hiểu rõ hơn các bạn sẽ đƣợc làm những bài tập để nhuần nhuyễn các kiến thức này. Nhƣng trƣớc khi làm bài tập, các bạn sẽ phải hiểu và chú ý các vấn đề sau. Xin vui lòng xem tiếp trang kế. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 10 MỘT SỐ ĐIỂM CẦN CHÚ Ý VỀ MA TRẬN 01. Ghi nhớ 03 phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ( cột ). 02. Khi nhân một số thực với một ma trận thì phải nhân số thực đó với toàn bộ các phần tử nằm trong ma trận. Do vậy, khi muốn lấy thừa số chung ra ngoài ma trận thì phải lấy thừa số chung cho tất cả các phần tử. 03. Mọi ma trận đều có thể đƣa về dạng bậc thang rút gọn nhờ các phép biến đổi sơ cấp với hàng ( cột ): dùng phép biến đổi đƣa các phần tử chính thành 1 ( xem lại phần tử chính là gì? ), sau đó làm cho các phần tử ở cùng cột với phần tử chính ( và ở trên phần tử chính ) bằng 0. Quá trình trên đi từ phần tử chính cuối cùng. 04. Khi nhân 2 ma trận với nhau A.B thì số cột của ma trận A phải bằng số dòng của ma trận B. A m.n xB n. p Chú ý đến thứ tự trƣớc sau của 2 ma trận, nếu ma trận A nhân ma trận B tồn tại thì chƣa chắc là ma trận B nhân ma trận A tồn tại. Ví dụ ma trận A 3.2 nhân ma trận B 2.4 là tồn tại tức A.B tồn tại. Nhƣng nếu lấy ma trận B nhân ma trận A thì không tồn tại tức B.A không tồn tại vì số cột của B là 4 và số dòng của A là 3. 05. Để xét một ma trận nghịch đảo hay không thì điều kiện ban đầu là ma trận đã cho phải là ma trận vuông cấp n 06. Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng phép biến đổi sơ cấp thông qua ma trận mở rộng thì A phải là ma trận vuông cấp n và nó phải tƣơng đƣơng hàng với ma trận đơn vị cùng cấp ( tƣơng đƣơng hàng có nghĩa là ma trận A có thể biến thành ma trận I nhờ các phép biến đổi sơ cấp ). Trong quá trình biến đổi nếu xuất hiện một dòng ( cột ) bằng 0 thì ma trận đã cho không khả đảo, không có ma trận nghịch đảo. Tuy nhiên, việc dùng cách này để tìm ma trận nghịch đảo sẽ không thực dụng trong chƣơng trình luyện thi cao học. Sẽ có cách tìm khác khi chúng ta xem xét đến phần định thức. 07. Hạng của ma trận là số dòng khác không của nó sau khi biến đổi về dạng bâc thang ( các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận ban đầu, cho nên hạng của ma trận bậc thang sau khi biến đổi bằng hạng của ma trận ban đầu đã cho ). 08. Khi thực hiện tính toán các bạn phải chú ý và tập trung thật tốt vì nếu sai chỉ một lỗi nhỏ các bạn có thể làm sai hoàn toàn bài toán. Tính toán và biến đổi ma trận không khó, nhƣng nếu sai 1 ly đi 1 dặm. 09. Khi làm bài, các bạn nên viết bài giải lên giấy nháp từng bƣớc cụ thể. Vì khi nếu thấy sai thì có thể nhìn ra ngay chỗ sai để chỉnh sửa. Chúng tôi khuyên không nên viết tắt bỏ bƣớc. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 11 PHẦN A: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHỦ ĐỀ 2: ĐỊNH THỨC 1. ĐỊNH NGHĨA. Cho ma trận vuông A = (a ij ) cấp n, định thức của A ký hiệu |A| hay Det(A) đƣợc tính nhƣ sau: Det(A) = a 11 A 11 + a 12 A 12 + … + a 1n A 1n Với A ik = (-1) i + k . det(M ik ) và M ik là ma trận vuông cấp (n-1) cho bởi ma trận A bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k . A ik là phần bù đại số của a ik . Tổng quát về cách tính định thức của ma trận vuông cấp 1, cấp 2, cấp 3. Cấp 1 ( n = 1 ): |A| = |  | =   Cấp 2 ( n = 2 ): |A| =           =         Cấp 3 ( n = 3 ): |A| =                   =       +                               Chú ý rằng: dấu | | trong định thức không phải là trị tuyệt đối. Việc tính định thức từ cấp 3 trở lên các bạn có thể bị rối mắt, cho nên cách khắc phục tốt nhất là các bạn ghi ra nháp liền kề ma trận A thêm 2 cột thứ 1 và cột thứ 2. Hãy xem hình sau:                                    Các bạn hãy lấy tích của các phần tử nằm trên mỗi đƣờng chéo màu xanh ( các đƣờng chéo từ trái qua ) cộng lại rồi đem TRỪ tích của các phần tử nằm trên mỗi đƣờng chéo màu đỏ ( các đƣờng chéo từ phải qua ). Nhƣ vậy, sẽ dễ dàng để nhìn ra công thức: |A| =       +                               Các bạn hãy xem các ví dụ sau: TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 12 Ví dụ: tính định thức của các ma trận sau: A= , B = , và tìm giá trị x trong |C| =    = 6 Dễ dàng tính đƣợc: * |A| =       = 44.67 – (-31).92 = 5800 * |B| = -3, cách làm viết thêm 2 cột thứ 1 và thứ 2 liền kề ma trận B, sau đó dòng quy tắc tính của đƣờng chéo để tính, ta đƣợc: |B| = 1.1.0 + 2.(-1).1 + 3.2.0 – 3.1.1 – (-1).2.1 – 0.0.2 = -3. * |C| = 6, tìm x. Cách làm cũng viết thêm 2 cột thứ 1 và thứ 2 liền kề ma trận C, sau đó dùng quy tắc đƣờng chéo để tính, ta đƣợc: |C| = 6 = 11 -5x, với phƣơng trình 11 – 5x = 6 thì suy ra x = 1 2. CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG PHẦN BÙ ĐẠI SỐ. Ta có A ik = (-1) i + k . det(M ik ) và M ik là ma trận vuông cấp (n-1) cho bởi ma trận A bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k . A ik là phần bù đại số của a ik . Xem xét định thức: |A| =                   =       +                               =              +       -       +             =       –     ) +       -     ) +             =                                      Nhƣ vậy, định thức A cấp 3 đƣợc biểu diễn theo định thức cấp 2. Trong đó:           = M 11 là định thức con bù của   ,           = M 12 là định thức con bù của   ,           = M 13 là định thức con bù của   . Đặt A ik = (-1) i + k . M ik thì ta có công thức tính định thức của ma trận A nhƣ sau: . ma trận đơn vị cấp 3 ( vì ma trận A là ma trận vuông cấp 3 ) - Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đƣa (A|I) thành (I|A -1 ). TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN. cộng dòng 3. Dòng 1: dòng 1 nhân   Dòng 2: dòng 2 nhân   TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t. 3. Vậy R(A) = 3. Số dòng khác không của ma trận là 3. Vậy R(B) = 3. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t