TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 13 |A| =   .A 11 +  .A 12 +   .A 13 Như vậy, A 11 là phần bù đại số của   , A 12 là phần bù đại số của   , A 13 là phần bù đại số của   , tức A ik là phần bù đại số của a ik . Để các bạn dễ hiểu thì chúng ta lấy ví dụ như sau: Cho ma trận: A = , tính |A| Ta có: |A| =     a 11 = 1, a 12 = 2, a 13 = 3. Định thức con bù của a 11 là M 11 =       ( ma trận A bỏ dòng 1 và cột 1 ) Định thức con bù của a 12 là M 12 =      ( ma trận A bỏ dòng 1 và cột 2 ) Định thức con bù của a 13 là M 13 =       ( ma trận A bỏ dòng 1 và cột 3 ) Phần bù đại số của a 11 là A 11 = (-1) 1+1 .      , ( các bạn chú ý mũ của -1 là ( 1 + 1) lấy ở đâu ra ? Xin thưa rằng đó là số thứ tự của dòng 1 và cột 1 ta bỏ đi ). Hãy chú ý điều này. Phần bù đại số của a 12 là A 12 = (-1) 1+2 .      ( mũ của -1 là ( 1 + 2 ) đó là số thứ tự của dòng 1 và cột 2 ta bỏ đi ). Phần bù đại số của a 13 là A 13 = (-1) 1+3 .       ( mũ của -1 là ( 1 + 3 ) đó là số thứ tự của dòng 1 và cột 3 ta bỏ đi ). Như vậy, ta sẽ tính được định thức |A| như sau: |A| =   .A 11 +  .A 12 +   .A 13 TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 14 |A| = 1.(-1) 1+1 .       + 2.(-1) 1+2 .      + 3.(-1) 1+3 .       |A| = 1.1.(5.9 – 6.8 ) + 2.(-1).(4.8 – 6.7 ) + 3.1(4.8 – 5.7 ) |A| = 0 Quá dễ dàng phải không các bạn? Tuy hơi rắc rối một tí, như các bạn tập làm vài lần là quen ngay đó. Hic hic! Các bạn chú ý: cách làm trên cũng được hiểu là triển khai định thức theo một dòng ( cột ), như vậy với ví dụ trên, chúng ta khai triển định thức theo dòng thứ nhất và tính các phần bù đại số tương ứng. Vậy câu hỏi đặt ra là: chúng ta có thể khai triển theo dòng khác được không? Vâng, xin thưa với các bạn rằng được, và chúng ta cũng có thể khai triển theo 1 cột nào đó bất kỳ, các khai triển đó kết quả cuối cùng là như nhau. Thế à? Uhm…vậy các bạn hãy tự khai triển theo dòng 2 hay theo dòng 3 xem. Nếu khai triển theo cột 1 hay cột 2, hay cột 3 thì như thế nào? Xin mời các bạn hãy viết lên giấy nháp và tính toán thử xem kết quả có cho ra là |A| = 0 hay không? Bây giờ chúng ta hãy lấy thử một ví dụ với ma trận cấp 4 và khai triển theo dòng xem như thế nào? Cho ma trận A = , tính |A| * Nếu tính |A| bằng cách khai triển theo dòng thứ 2 thì ta nhận thấy chỉ có a 22 = 3 khác không, các phần tử còn lại a 21 = a 23 = a 24 đều bằng 0, như vậy nếu các phần tử bằng không đó nhân với phần bù đại số của nó tương ứng thì a 21 .A 21 = a 23 A 23 = a 24 .A 24 = 0 ( một số bằng không nhân với bất kỳ số nào khác không thì thích của 2 số hạng đó đều bằng 0 ). Các bạn chú ý ở đây, khi tính định thức thì ta nên chọn dòng nào hay cột nào có nhiều số không nhất để khai triển theo dòng hay cột đó. Khai triển theo dòng thứ 2, ta có: |A| = a 21 .A 21 + a 22 .A 22 + a 23 A 23 + a 24 .A 24 Mà a 21 .A 21 = a 23 A 23 = a 24 .A 24 = 0 Vậy: |A| = a 22 .A 22 Với a 22 = 3 Định thức con bù của a 22 là M 22 =      ( ma trận A bỏ dòng 2 và cột 2 ) TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 15 Phần bù đại số của a 22 là A 22 = (-1) 2 + 2 .      Vậy |A| = 3. (-1) 2 + 2 .      = 3.     , tại đây ta tính      theo quy tắc đường chéo, hoặc khai triển theo dòng thứ 3. Nếu khai triển theo dòng thứ 3, thì: |A| = 3.1.(-1) 3 +  3 .      = 3.1.1.( 1.4 – 3.3 ) = -15. Vậy định thức của ma trận A đã cho là |A| = -15. 3. CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC KHAI TRIỂN THEO K DÒNG ( CỘT ). Chúng ta đã đi qua một số cách thực dụng nhất để tính định thức cấp 3 và cấp 4. Trong phần này chúng ta xem thêm một cách tính định thức khác đó là sử dụng ít nhất 2 dòng ( cột ) để lập các định thức con và các phần bù đại số tương ứng của từng định thức con đó. Để tránh mất thời gian, chúng ta xem xét một ví dụ sau đây Cho ma trận A = , tính |A| Ta chọn dòng thứ 2 và dòng thứ 4, từ hai dòng đó ta thiết lập các định thức con cấp 2 tuần tự như sau: δ 1 =      , δ 2 =      , δ 3 =      , δ 4 =      , δ 5 =      , δ 6 =       Phần bù đại số của các định thức con cấp 2 như sau: Δ 1 = (-1) 2 + 4 + 1 + 2 .      Δ 2 = (-1) 2 + 4 + 1 + 3 .      Δ 3 = (-1) 2 + 4 + 1 + 4 .      Δ 4 = (-1) 2 + 4 + 2 + 3 .      Δ 5 = (-1) 2 + 4 + 2 + 4 .      Δ 6 = (-1) 2 + 4 + 3 + 4 .      TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 16 Các bạn chú ý một điều đó là số mũ của (-1) đó là số thứ tự dòng và cột mà chúng ta che đi. Sau khi lập được định thức con và phần bù đại số thì định thức của ma trận A được tính như sau: |A| = δ 1 . Δ 1 + δ 2 . Δ 2 + δ 3 . Δ 3 + δ 4 . Δ 4 + δ 5 . Δ 5 + δ 6 . Δ 6 Dễ thấy tích của đinh thức con với phần bù đại số tương ứng của nó đều bằng 0, ngoại trừ δ 5 . Δ 5 , vậy: |A| = δ 5 . Δ 5 =      . (-1) 2 + 4 + 2 + 4 .      = -15 4. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC.  Khi nhân một số thực α vào một dòng hay cột nào đó thì định thức cũng được nhân cho số thực α đó ( giá trị của định thức được nhân thêm α ).  Nếu ma trận đã cho có 1 dòng hay 1 cột bằng 0 thì định thức của ma trận đó bằng 0.  Nếu ma trận đã cho có 2 dòng hay 2 cột bằng nhau thì định thức của ma trận đó bằng 0.  Nếu ma trận đã cho có 2 dòng hay 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của ma trận đó bằng 0.  Định thức không đổi nếu ta cộng vào một dòng ( cột ) nào đó một dòng ( cột ) khác đã được nhân cho một số thực α.  Định thức đổi dấu nếu ta đổi vị trí 2 dòng ( hay 2 cột ).  Nếu ma trận có dạng tam giác thì định thức của nó bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Ví dụ áp dụng tính chất thứ 2,3,4 ở trên. Tìm x với:                   = 0 Chúng ta có đáp số, x = 1, x = 0, x = 3. Các bạn hãy giải theo các phương pháp hướng dẫn và so sánh đáp số nhé. 5. TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO. Như đã trình bày ở phần 1 ma trận thì chúng ta có cách tìm ma trận nghịch đảo thông qua các phép biến đổi sơ cấp. Tại phần 2 này, chúng ta đã biết cách tính toán được định thức. Thông qua định thức ta sẽ có công thức của ma trận nghịch đảo. Cho ma trận vuông A, có định thức khác 0 thì ma trận nghịch đảo của ma trận A được tính bởi công thức như sau: A -1 =   .P A TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 17 Trong đó P A là ma trận phụ hợp của ma trận A. Công thức được viết rõ hơn như sau: A -1 =   .P A =    . Ta thấy A 11 là phần bù đại số của a 11 A 12 là phần bù đại số của a 12 …… A nn là phần bù đại số của a nn Khi ta lập ma trận phụ hợp của A qua các phần bù đại số thì ta phải sắp xếp theo cột ( vào theo cột ). Như vậy, để tìm ma trận nghịch đảo thông qua định thức và ma trận phụ hợp thì ma trận đã cho phải là ma trận vuông và có định thức khác 0 ( tại sao khác không? Đơn giản là các bạn hãy nhìn vào công thức phía trên   có nghĩa khi |A| # 0. Lấy ví dụ cho các bạn dễ hiểu. Cho ma trận như sau: A = , tìm ma trận nghịch đảo A -1 Ta thấy A là ma trận vuông cấp 3 và có |A| = 1.1.1 = 1 # 0. ( tính chất của định thức, các bạn xem lại định thức của ma trận có dạng tam giác ), vậy tồn tại ma trận nghịch đảo A -1 . Ta có: A -1 =   .P A Với P A = , tìm ma trận phụ hợp thông qua các phần bù đại số. A 11 = (-1) 1 + 1 .       = 1 A 12 = (-1) 1 + 2 .       = 0 A 13 = (-1) 1 + 3 .       = 0 A 21 = (-1) 2 + 1 .       = -1 A 22 = (-1) 2 + 2 .       = 1 A 23 = (-1) 2 + 3 .       = 0 A 31 = (-1) 3 + 1 .       = 1 A 32 = (-1) 3 + 2 .       = -2 TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 18 A 33 = (-1) 3 + 3 .       = 1 Như vậy, ta tìm được ma trận phụ hợp của ma trận A như sau ( vào các phần bù đại số theo cột ) P A = Vậy A -1 =   . P A =   . suy ra ma trận nghịch đảo của ma trận A đã cho là A -1 = Đến đây các bạn có thể tìm ma trận nghịch đảo thật dễ dàng phải không? Chú ý rằng các bạn phải tính toán rất cẩn thận từng bước một, thật kỹ càng để không bị sai sót đáng có. Các bạn sẽ được thấy một số tài liệu ghi công thức của P A hơi khác một chút so với chúng ta thấy ở trên. P A = Tại sao lại là ma trận chuyển vị? Vâng, các bạn chú ý rằng nếu ghi như trên ( theo cách của ma trận chuyển vị thì các bạn phải đưa các phần bù đại số theo dòng, sau đó dùng tính chất của ma trận chuyển vị chuyển dòng thành cột, lúc này nó sẽ ra như ma trận phụ hợp mà chúng ta thấy ở phần trình bày phía trên. Do vậy, để giảm bớt lượng kiến thức không cần thiết ( giảm bớt nhưng 100% vẫn đúng ) thì các bạn nên trình bày theo cách ở trên, tức là vào các phần bù đại số theo dòng. Như vậy sẽ dễ dàng hơn và nhanh hơn. Các bạn cần nhớ và nắm rõ điều này, nếu không có thể nhầm lẫn tai hại. Như vậy, chúng ta đã đi qua những điều cơ bản nhất của định thức: định thức là gì? cách tính? tính chất của định thức? cách tính ma trận nghịch đảo thông qua định thức của nó và ma trận phụ hợp. Sau đây chúng ta nên xem xét những vẫn đề cần phải nắm rõ và hiểu qua chủ đề 2 định thức, xin mời xem tiếp ở trang sau: T TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 19 MỘT SỐ ĐIỂM CẦN CHÚ Ý VỀ ĐỊNH THỨC 01. Kỹ thuật tính định thức cấp 3 rất quan trọng.                                   Các bạn hãy nhớ lại mối quan hệ giữa tích các phần tử trong các đường chéo từ trái qua với tích các phần tử trong các đường chéo từ phải qua là như thế nào? Các bạn hãy viết ra công thức tổng quát để tính định thức cấp 3 và so sánh lại tài liệu chúng ta có những gì? ( đúng hay sai ). Nếu tính định thức cấp 4 sẽ như thế nào? 02. A ik là phần bù đại số của a ik A 11 là phần bù đại số của a 11 A 12 là phần bù đại số của a 12 …… A nn là phần bù đại số của a nn Vậy a ik là gì? A ik được tính bằng công thức nào? 03. Định thức con bù của a ik là gì? bạn miêu tả nó theo cách của bạn như thế nào? 04. Công thức tính định thức dưới đây có gây khó khăn cho bạn ở điểm nào không? |A| = a 21 .A 21 + a 22 .A 22 + a 23 A 23 + a 24 .A 24 05. Khi trển khai công thức tính định thức theo 1 dòng( cột ) có khác gì so với việc triển khai theo 2 dòng ( cột ) hay không? hãy so sánh và ngâm cứu. 06. Chúng ta có 07 tính chất rất quan trọng của định thức. Vậy theo bạn tính chất nào là quan trọng nhất mà bạn có thể mắc sai lầm? Bạn sẽ khắc phục nó như thế nào? 07. Nếu có thể, bạn hãy so sánh tính chất của ma trận và tính chất của định thức. Nếu bạn không vững lắm về ma trận và định thức thì những tính chất đó bạn có hay nhầm lẫn giữa ma trận và định thức với nhau không? Nếu có thì xin vui lòng hãy viết lên và suy nghĩ xem tại sao bạn hay nhầm lẫn? 08. Chúng tôi cần phải nói với bạn rằng để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A thì 02 điều kiện mà ma trận A phải đáp ứng đó là: nó phải là một ma trận vuông và đồng thời có định thức khác không. 09. Như vậy, chúng ta đã nắm trong tay 02 cách để tìm ma trận nghịch đảo: biến đổi sơ cấp từ ma trận mở rộng (A|I), và cách khác là tính định thức và tìm ma trận phụ hợp của nó ( chú ý quan trọng cách này phải vào các phần bù đại số theo cột ). 10. Các bạn hãy đọc kỹ và rút ra cho mình một số vấn đề chủ chốt. Tuy nhiên, việc tính toán chúng tôi xin nhắc lại phải cẩn thận và từng bước, tránh sai sót dẫn đến hậu quả nghiêm trọng. Hihi. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 20 PHẦN A: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. ĐỊNH NGHĨA. Hệ phương trình tuyến tính ( đặt là (I) ) là một hệ gồm m dòng và n cột có dạng như sau.                                                      Trong đó a ij là hệ số của ẩn x j trong phương trình thứ i. Và b 1 , b 2 , …, b m là các hệ số tự do. Ta có ma trận hệ số ( m dòng, n cột ) của (I) có dạng: Ma trận ẩn số ( m dòng, 1 cột ) của (I) có dạng: , Đặt Khi đó ta có hệ phương trình (I) <=> A.X = B ( các bạn thử lấy ma trận A nhân với ma trận X xem nó có ra được như phần bên tay trái của hệ phương trình (I) hay không? Hãy làm phép tính nhân đi nào ). Ma trận mở rộng của (I) là ký hiệu (A|B) = Ma trận mở rộng có m dòng và ( n + 1 ) cột. Để các bạn dễ hiểu hơn chúng ta xét một ví dụ sau đây: Cho hệ phương trình tuyến tính ( I ) . = (-1 ) 2 + 1 .       = -1 A 22 = (-1 ) 2 + 2 .       = 1 A 23 = (-1 ) 2 + 3 .       = 0 A 31 = (-1 ) 3 + 1 .       = 1 A 32 = (-1 ) 3 + 2 .       = -2 TOÁN. sau: A -1 =   .P A TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T. + 3 .      Δ 5 = (-1 ) 2 + 4 + 2 + 4 .      Δ 6 = (-1 ) 2 + 4 + 3 + 4 .      TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO]