TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 21             Ma trận hệ số: A= , ma trận ẩn số X = , và B = Phƣơng trình A.X = B <=> . = . 2. PHƢƠNG PHÁP GAUSS - GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. Phƣơng pháp Gauss là phƣơng pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ( các bạn xem lại các phép biến đổi sơ cấp trên dòng là gì? ) của ma trận mở rộng (I) tức là (A|B) về ma trận bậc thang và sau đó giải hệ phƣơng trình tƣơng ứng của ma trận bậc thang đó từ dƣới lên. Nhƣ đã trình bày ở phần 1 ma trận, ứng dụng của hạng ma trận là để giải hệ phƣơng trình tuyến tính. Giả sử biến đổi ma trận mở rộng (A|B) về dạng ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’) thì: o Hạng của A bằng hạng của A’ o Hạng của B bằng hạng của B’ o Đặc biệt hạng của ma trận mở rộng (A|B) bằng hạng của ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’) ( các bạn xem lại tính chất hạng của ma trận không đổi khi dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ). Nhƣ vậy việc xem xét hạng của ma trận A và hạng của ma trận mở rộng (A|B) rất dễ dàng thông qua việc xét hạng của ma trận A’ và hạng của ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’). Sau khi biến đổi và tìm hạng của ma trận A’ ( tƣơng ứng với hạng của ma trận A ) và ma trận (A’|B’) ( tƣơng ứng với hạng của ma trận (A|B) ), thì số nghiệm của phƣơng trình A.X = B nhƣ sau:  Nếu R (A|B) # R A thì hệ vô nghiệm.  Nếu R (A|B) = R A = R thì hệ có nghiệm nhƣ sau: o Nếu R (A|B) = R A = số ẩn n thì hệ có 01 nghiệm duy nhất. o Nếu R (A|B) = R A < số ẩn n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào (n –R) tham số. Chú ý rằng nếu chúng ta nên dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, bởi vì nếu chúng ta biến đổi trên cột sẽ dẫn đến thứ tự các biến số (x,y,z) thay đổi theo. Mục đích trong tài liệu này chúng ta lúc nào cũng dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng chứ không thực hiện biến TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 22 đổi trên cột là nhƣ thế. Các bạn thử chiêm nghiệm lại xem việc biến đổi sơ cấp trên cột có phải là nhƣ thế không? Sẽ làm thay đổi trật tự của biến dẫn đến khó khăn khi biện luận phƣơng trình! Các bạn đã nắm đƣợc cách giải, bây giờ chúng ta lấy ví dụ để các bạn có thể hiểu rõ hơn về cách giải. Ví dụ 1: cho hệ phƣơng trình sau:           Tìm x,y,z. Ta có ma trận mở rộng (A|B) = Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đƣa ma trận (A|B) về dạng bậc thang. Bƣớc 1: o Dòng 2: dòng 2 trừ 2 lần dòng 1. o Dòng 3: dòng 3 trừ 4 lần dòng 1. Bƣớc 2: o Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 2. Nhƣ vậy, thông qua 2 bƣớc biến đổi sơ cấp nhƣ trên, ta đƣợc ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’) nhƣ sau: (A’|B’) = Hạng của ma trận (A’|B’) cũng là hạng của ma trận (A|B), hạng của ma trận A cũng là hạng của ma trận A’ Ta có R (A|B) = R A = 3 = số ẩn của hệ ( 03 ẩn x,y,z ). Nhƣ vậy, hệ phƣơng trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất. Ta giải hệ phƣơng trình A’.X = B’ để tìm nghiệm. Hệ A’.X = B’ có dạng nhƣ sau:       Giải ngƣợc từ dƣới lên thì đƣợc nghiệm z = 2, y = -2, x = -1 Ví dụ 2: cho hệ phƣơng trình sau: TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 23          Tìm x,y,z. Ta có ma trận mở rộng (A|B): (A|B) = Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đƣa ma trận mở rộng (A|B) về dạng bậc thang. Chú ý: các bạn có nhìn thấy phần tử a 11 = -2 không? Để tiện giải chúng ta phải đƣa làm sao cho a 11 là số 1. Với bất kỳ bài toán nào giải hệ phƣơng trình thì phải đƣa a 11 trở thành số 1 nếu nó là một số khác ( đặc biệt quan trọng ). Vậy ta làm nhƣ sau: ( ở đây chúng tôi chỉ ghi các bƣớc làm, các bạn phải tự mình thực hành viết ra giấy nháp để thấy rõ hơn, các bạn hãy làm thay chúng tôi, Please !!!). Bƣớc 1: o Dòng 1: thay chỗ của dòng 1 và dòng 2 với nhau. Bƣớc 2: o Dòng 2: dòng 2 cộng 2 lần dòng 1. o Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 1. Bƣớc 3: o Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 2. Sau khi thực hiện các phép biến đổi nhƣ trên, chúng ta thu đƣợc một ma trận bậc thang mở rộng nhƣ sau: (A’|B’) = , R (A|B) = 3 # R A = 2 do vậy hệ phƣơng trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3: cho hệ phƣơng trình sau:           Tìm x,y,z. Ta có ma trận mở rộng (A|B) TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 24 (A|B) = Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận mở rộng (A|B) để đƣa về dạng ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’). Bƣớc 1: o Dòng 2: dòng 2 trừ 2 lần dòng 1. o Dòng 3: dòng 3 trừ 3 lần dòng 1. Bƣớc 2: o Dòng 3: dòng 3 trừ 2 lần dòng 2. Ta đƣợc ma trận bậc thang mở rộng sau: (A’|B’) = ( Chú ý, những bƣớc thực hiện biến đổi ma trận nhƣ trên phải thực hiện bằng bảng, tức là phải ghi rõ ràng ra sự biến đổi đó bằng các thay đổi của ma trận, trong bài làm các bạn phải viết ra, chúng tôi chỉ hƣớng dẫn các bạn các phép biến đổi, do vậy các bạn phải ghi ra giấy đàng hoàng ). Ta thấy R (A|B) = R A = 2 # số ẩn ( hệ phƣơng trình đã cho có 3 ẩn ). Do đó, hệ phƣơng trình đã cho có vô số nghiệm. Ta có hệ sau khi biến đổi:      Nghiệm của hệ đã cho là:       Nhƣ vậy với mỗi một giá trị của z  thì ta có một bộ nghiệm của hệ ( điều đó nói lên rằng hệ có vô số nghiệm ). 3. PHƢƠNG PHÁP CRAMER – GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHI ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN A KHÁC KHÔNG. Cho hệ phƣơng trình tuyến tính (I): A.X = B có n ẩn số. Hệ (I) gọi là hệ cramer khi và chỉ khi A là ma trận vuông và |A| # 0. Và lúc này hệ (I) có 1 nghiệm duy nhất. Nghiệm duy nhất đó đƣợc xác định nhƣ sau:                      Với |A| là định thức của ma trận A. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 25 |A 1 | là định thức của ma trận A bỏ đi cột 1 thay vào ngay vị trí đó là cột của ma trận B. |A 2 | là định thức của ma trận A bỏ đi cột 2 thay vào ngay vị trí đó là cột của ma trận B. |A n | là định thức của ma trận A bỏ đị cột n thay vào ngay vị trí đó là cột của ma trận B. ( các bạn xem cột của ma trận B là gì? Ma trận B có mấy cột ? các bạn nghiên cứu xem thay vào đó tức là nhƣ thế nào ? ). Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau:        Ta có ma trận A = và ma trận B = Định thức của ma trận A: |A| =      = 2 |A 1 | là định thức của ma trận A bỏ đi cột 1 thay vào ngay vị trí đó là cột của ma trận B. |A 1 | =      = 2 |A 2 | là định thức của ma trận A bỏ đi cột 2 thay vào ngay vị trí đó là cột của ma trận B. |A 2 | =      = 0 |A 3 | là định thức của ma trận A bỏ đi cột 3 thay vào ngay vị trí đó là cột của ma trận B. |A 3 |=      = 4 Nhƣ vậy, bằng cách nhƣ trên ta tìm đƣợc nghiệm duy nhất của hệ phƣơng trình đã cho:                 4. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. Giải và biện luận nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính dựa vào tham số và hàng của ma trận. Với những trình bày ở phía trên, chúng ta có thể giải và tìm nghiệm của hệ phƣơng trình, điều đó là quá dễ. Tuy nhiên, mức độ khó hơn của việc giải hệ phƣơng trình TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 26 đó là chúng ta phải biện luận theo tham số nào đó ( tham số này chỉ là 1 ký tự ví dụ nhƣ đề bài cho tham số có thể là m, có thể là a…điều đó là tùy ). Các bƣớc làm nhƣ sau: ( ví dụ tham số đề bài cho là m ). Bƣớc 1: Viết ma trận mở rộng (A|B). Bƣớc 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ( cột ) để đƣa ma trận về dạng ma trận bậc thang (A’|B’). Bƣớc 3: Dựa vào tham số m biện luận hạng của ma trận (A|B) với ma trận A. Kết luận các giá trị của tham số m nhƣ thế nào để hạng của ma trận nhƣ thế nào? Bƣớc 4: Tìm nghiệm theo yêu cầu, hoặc biện luận theo các trƣờng hợp: + Giá trị tham số của m là bao nhiêu thì hệ có 1 nghiệm ( 1 nghiệm thì có nghĩa là với giá trị nào của tham số m thì hạng R (A|B) = R A = số ẩn n ) + Giá trị của tham số m là bao nhiêu thì hệ có vô số nghiệm ( vô nghiệm có nghĩa là với giá trị nào của tham số m thì hạng R (A|B) = R A < số ẩn n). + Giá trị của tham số m là bao nhiêu thì hệ vô nghiệm ( vô nghiệm có nghĩa là với giá trị nào của tham số m thì hạng R (A|B) # R A ). Để các bạn dễ hiểu hơn, ta lấy một số ví dụ nhƣ sau: Ví dụ: giải và biện luận nghiệm của hệ phƣơng trình sau theo tham số m.            Ta có ma trận mở rộng: (A|B) =                     Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đƣa ma trận mở rộng (A|B) về dạng ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’) Bƣớc 1: thay đổi vị trí của dòng 1 cho dòng 3. ( tại sao lại phải thay đổi vị trí dòng 1 cho dòng 3? Vì nhƣ chúng ta đã trình bày là tại a 11 chúng ta phải đƣa nó về số 1 ở mọi bài toán để dễ dàng tính các bƣớc kế tiếp ). Bƣớc 2: Dòng 2: dòng 2 trừ đi dòng 1. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 27 Dòng 3: dòng 3 trừ đi m lần dòng 1 Bƣớc 3: Dòng 3: dòng 3 cộng dòng 2. Các trình tự biến đổi nhƣ sau: (A|B) =                                                                                                               Chú ý: nhắc lại một số công thức toán học cơ bản. a 2 – b 2 = (a - b)(a + b): 1 – m 2 +(1 – m) = 1 2 – m 2 + (1 – m) = (1 – m)(1 + m) + (1 – m) = (1 – m)( 1 + m + 1) = (1 – m)(2 + m) a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + a.b + b 2 ): (1 3 – m 3 ) + (m –m 2 ) = (1 – m)(1 + m + m 2 ) + (1 – m ).m = (1 – m)( 1 + m + m 2 + m) = (1 – m)( 1 + 2m + m 2 ) = (1 – m)(1 + m) 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2.a.b + b 2 Nhƣ vậy ta đƣợc ma trận A’ và ma trận bậc thang mở rộng (A’|B). Cho tất cả các phần tử nằm trên đƣờng chéo chính khác không. Ta có:              <=>      Với m # 1 và m # -2 thì R (A|B) = R A = 3 = số ẩn ( ta có 3 ẩn x,y,z ). Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất, ta có hệ tƣơng đƣơng.                                  Nhƣ vậy, nghiệm duy nhất: x = -   ; y =   ; z =    Cho tất cả các phần tử nằm trên đƣờng chéo chính khác không. Ta có:  Với m = -2, ma trận mở rông có dạng: . bày là tại a 11 chúng ta phải đƣa nó về số 1 ở mọi bài toán để dễ dàng tính các bƣớc kế tiếp ). Bƣớc 2: Dòng 2: dòng 2 trừ đi dòng 1. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN. lại một số công thức toán học cơ bản. a 2 – b 2 = (a - b)(a + b): 1 – m 2 + (1 – m) = 1 2 – m 2 + (1 – m) = (1 – m) (1 + m) + (1 – m) = (1 – m)( 1 + m + 1) = (1 – m)(2 + m) a 3 . liệu này chúng ta lúc nào cũng dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng chứ không thực hiện biến TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n