CÁCBÀITOÁNKHÓCHỌNLỌCTỪCÁC ĐỀTHI2010– 2011 Bài 5: (1,0 điểm) Gọi 1 2 x ,x là hai nghiệm của phương trình: 2 2 x 2(m 1)x 2m 9m 7 0       (m là tham số). Chứng minh rằng : 1 2 1 2 7(x x ) x x 18 2    Bài 5: PT : 2 2 x 2(m 1)x 2m 9m 7 0       (1) + / 2 2 2 m 2m 1 2m 9m 7 m 7m 6            + PT (1) có hai nghiệm 1 2 x ,x / 2 2 0 m 7m 6 0 m 7m 6 0               (m +1)(m + 6) 0 ; Lập bảng xét dấu 6 m 1      (*) +Với đ/k (*), áp dụng đ/l vi ét: 1 2 2 1 2 x x 2(m 1) x x 2m 9m 7           2 2 2 1 2 1 2 7(x x ) 14(m 1) x x (2m 9m 7) 7m 7 2m 9m 7 2m 16m 14 2 2                    2 2(m 8m 16) 14 32        2 18 2(m + 4) + Với 6 m 1     thì 2 18 2(m 4) 0    . Suy ra    2 2 18 2(m + 4) 18 2(m + 4) Vì 2 2(m 4) 0      2 18 2(m + 4) 18 . Dấu “=” xảy ra khi m 4 0 m 4      (tmđk (*)) Vậy : 1 2 1 2 7(x x ) x x 18 2    (đpcm) Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y >0 v x y 1 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 2 2 1 1 A x y xy Bi 5: V i a 0,b 0 ; Ta cú : 2 2 2 2 a b 2 a b 2ab (Bdt Cụ si) 2 2 2 a b 2ab 4ab (a b) 4ab (a b)(a b) a b 4 a a 4 1 1 4 4 (*) ab ab a b ab ab a b a b a b p dng BéT (*) v i a = 2 2 x y ; b = 2xy ; ta cú: 2 2 2 2 2 1 1 4 4 x y 2xy x y 2xy (x y) (1) Mt khỏc : 2 2 2 1 1 1 4 (x y) 4xy 4xy (x y) xy (x y) (2) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A . x y xy x y 2xy 2xy x y 2xy 2 xy 2 2 2 2 4 1 4 4 1 6 . . 1 (x y) 2 (x y) (x y) 2 (x y) 6 [Vỡ x, y >0 v 2 x y 1 0 (x y) 1 ]; minA = 6 khi 1 x = y = 2 d câu 4: (1,5điểm) Giả sử x và y là 2 số thoả mãn x > y và xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 22 yx yx . Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mãn: x + y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = xyyx 5011 22 Câu I : Tính giá trị của biểu thức: A = 53 1 + 75 1 + 97 1 + + 9997 1 B = 35 + 335 + 3335 + + 399 35 3333 số Câu 1 : 1) A = 53 1 + 75 1 + 97 1 + + 9997 1 = 2 1 ( 35 + 57 + 79 + + 9799 ) = 2 1 ( 399 ) 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 399 35 3333 số = =33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) = 198 + 3 1 ( 99+999+9999+ +999 99) 198 + 3 1 ( 10 2 -1 +10 3 - 1+10 4 - 1+ +10 100 1) = 198 33 + B = 27 1010 2101 +165 Câu 3 : Cho 1,1 yx Chứng minh. xy yx 1 2 1 1 1 1 22 Câu 3 : Chuyển vế quy đồng ta đợc. bđt 0 1111 22 xyy yxy xyx xyx 01 2 xyyx đúng vì 1 xy Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1 Hãy tính giá trị của: B = x xyz y zx z xy Câu 5: Biến đổi B = xyz 222 111 zyx = 2 2 . xyz xyz Bài 5 : Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 x 3 + y 4 . Chứng minh: x 3 + y 3 x 2 + y 2 x + y 2 Bài 5 (1đ): Ta có (y 2 - y) + 2 0 2y 3 y 4 + y 2 (x 3 + y 2 ) + (x 2 + y 3 ) (x 2 + y 2 ) + (y 4 + x 3 ) mà x 3 + y 4 x 2 + y 3 do đó x 3 + y 3 x 2 + y 2 (1) + Ta có: x(x - 1) 2 0: y(y + 1)(y - 1) 2 0 x(x - 1) 2 + y(y + 1)(y - 1) 2 0 x 3 - 2x 2 + x + y 4 - y 3 - y 2 + y 0 (x 2 + y 2 ) + (x 2 + y3) (x + y) + (x 3 + y 4 ) mà x 2 + y 3 x 3 + y 4 x 2 + y 2 x + y (2) và (x + 1)(x - 1) 0. (y - 1)(y 3 -1) 0 x 3 - x 2 - x + 1 + y 4 - y - y 3 + 1 0 (x + y) + (x 2 + y 3 ) 2 + (x 3 + y 4 ) mà x 2 + y 3 x 3 + y 4 x + y 2 Từ (1) (2) và (3) ta có: x 3 + y 3 x 2 + y 2 x + y 2 bài 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoã mãn phơng trình 3x 2 +10 xy + 8y 2 =96 b)tìm x, y biết / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3 Bài 3: a. Cho các số x, y, z dơng thoã mãn x 1 + y 1 + z 1 = 4 Chứng ming rằng: zyx 2 1 + zyx 2 1 + zyx 2 1 1 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2 2 20062 x xx (với x 0 ) Bài 2 a. 3x 2 + 10xy + 8y 2 = 96 < > 3x 2 + 4xy + 6xy + 8y 2 = 96 < > (3x 2 + 6xy) + (4xy + 8y 2 ) = 96 < > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 < > (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x + 4y > x + 2y 3 mà 96 = 2 5 . 3 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích 2 thừa số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12 Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y là số chẳn do đó 2443 62 yx yx Hệ PT này vô nghiệm Hoặc 1643 62 yx yx 1 4 y x Hoặc 1243 82 yx yx Hệ PT vô nghiệm Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm là (x, y) = (4, 1) b. ta có /A/ = /-A/ A A Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ 3/3//20082005/ xx (1) mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2) Kết hợp (1 và (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ 0 (3) (3) sảy ra khi và chỉ khi 2007 2006 0/2007/ 0/2006/ y x y x Bài 3 a. Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ b. Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có (*) 2 22 yx ba y b x a < >(a 2 y + b 2 x)(x + y) xyba 2 a 2 y 2 + a 2 xy + b 2 x 2 + b 2 xy a 2 xy + 2abxy + b 2 xy a 2 y 2 + b 2 x 2 2abxy a 2 y 2 2abxy + b 2 x 2 0 (ay - bx) 2 0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y > 0 Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay a b x y áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 x y z x y z x y x z x y x z 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 4 4 4 4 16 x y x z x y z Tơng tự 1 1 1 2 1 2 16 x y z x y z 1 1 1 1 2 2 16 x y z x y z Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 16 16 16 1 4 4 4 4 1 1 1 1 .4 1 16 16 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z Vì 1 1 1 4 x y z 2 2 2 2006 0 x x B x x Ta có: x xx B x xx B 2006 20062006.22006 20062 22 2 2 2006 2005 2006 2005200620052006 2 2 2 2 2 x x x xx B Vì (x - 2006) 2 0 với mọi x x 2 > 0 với mọi x khác 0 2 2 2006 2005 2005 0 2006 2006 2006 2006 x B B khix x Bài 5: (1đ) Cho ba số a, b , c khác 0 thoã mãn: 0 111 cba ; Hãy tính P = 222 b ac a bc c ac Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = 0 (vì 1/a = 1/b + 1/c = 0) x = -(y + z) x 3 + y 3 + z 3 3 xyz = -(y + z) 3 + y 3 3xyz -( y 3 + 3y 2 z +3 y 2 z 2 + z 3 ) + y 3 + z 3 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0 Từ x 3 + y 3 + z 3 3xyz = 0 x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz 1/ a 3 + 1/ b 3 + 1/ c 3 3 1/ a 3 .1/ b 3 .1/ c 3 = 3/abc Do đó P = ab/c 2 + bc/a 2 + ac/b 2 = abc (1/a 3 + 1/b 3 + 1/c 3 ) = abc.3/abc = 3 nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c 2 + bc/a 2 + ac/b 2 = 3 Bµi 5: Cho c¸c sè d¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 21        a c c c b b b a a Bµi 5:Ta cã: c b a a   < a b a  < c b a ca    (1) c b a b   < c b b  < c b a ab    (2) c b a c   < a c c  < c b a bc    (3) Céng tõng vÕ (1),(2),(3) : 1 < b a a  + c b b  + a c c  < 2 Bài 5: Các số   a,b,c 1;4   thoả mãn điều kiện a 2b 3c 4    chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 a 2b 3c 36    Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 5: Do -1 4,,   cba Nên a +1  0 a – 4  0 Suy ra : ( a+1)( a - 4)  0  a 2  3.a +4 Tương tự ta có : b 2  3b +4  2.b 2  6 b + 8 3.c 2  9c +12 Suy ra: a 2 +2.b 2 +3.c 2  3.a +4+6 b + 8+9c +12 a 2 +2.b 2 +3.c 2  36 ( vì a +2b+3c  4 ) MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ Với mọi số thực a, b, c, ta có : (a + b)(a + c) = a 2 + (ab + bc + ca) = a(a + b + c) + bc (*). Với tôi, (*) là hằng đẳng thức rất thú vị. Trước hết, từ (*) ta có ngay : Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thì a 2 + 1 = (a + b)(a + c). Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thì a + bc = (a + b)(a + c). Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả trên. Bài toán 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức : Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có a 2 + 1 = a 2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b 2 + 1 = b 2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ; c 2 + 1 = c 2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b). Suy ra Vì vậy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + bc + ca) = 2. Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức. Bài 5 : (2,0 điểm ) a) V ớ i b ộ s ố (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thứ c đ úng : . Hãy tìm t ấ t c ả các b ộ s ố (a ; b ; c) g ồ m các ch ữ số h ệ th ậ p phân a , b, c đ ôi m ột khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức đúng . b) Cho tam giác có s ố đ o m ộ t góc b ằ ng trung bình c ộ ng c ủ a s ố đ o hai góc còn l ại và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn: a + b - c = a + b - c . Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều . Hãy tìm t ấ t c ả các b ộ s ố (a ; b ; c) gồm các ch ữ s ố a , b, c khác nhau và khác 0 sao cho đẳ ng th ức: = ( 1) đúng. Viết l ại (1): (10a + b)c =(10c + a)b ⇔ 2.5.c(a – b) = b(a – c) . Suy ra: 5 là ước số củ a b(a – c) . Do 5 nguyên tố và 1 ≤ a, b , c ≤ 9; a ≠ c nên: 1) hoặc b = 5 2) hoặc a - c = 5 3) ho ặ c c - a = 5 + V ớ i b = 5: 2c(a - 5) = a - c ⇔ c = c = ⇔ 2 c =1 + . Suy ra: 2a - 9 = 3 ; 9 (a ≠ 5, do a ≠ c) Trường hợ p này tìm đượ c: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1) + Vớ i a = c + 5: 2c(c + 5 - b) = b ⇔ b = . Viế t l ạ i: 2b = 2 c + 9 - Suy ra: 2c + 1 = 3 ; 9 (c ≠ 0). Trường h ợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4) . + V ớ i c = a + 5: 2(a + 5)(a - b) = - b ⇔ b = . Viế t l ạ i : 2b = 2a +19 + . Suy ra: b > 9, không xét . + V ậy: Các bộ số thỏ a bài toán: (a ; b ; c) = (6 ; 5 ; 2), (9 ; 5 ; 1), (6; 4 ; 1), (9 ; 8 ; 4) . T ừ gi ả thi ế t s ố đ o m ộ t góc b ằ ng trung bình c ộ ng c ủ a số đ o hai góc còn l ạ i, suy ra tam giác đ ã cho có ít nh ấ t một góc b ằng 60 o . Ví dụ : Từ 2A = B + C suy ra 3A = A + B + C = 180 o . Do đó A = 60 o . T ừ a + b - c = a + b - c (*), suy ra tam giác đã cho là tam giác cân. Thậ t v ậ y, bình ph ươ ng các v ế c ủa (*): a + b - c = a + b + c + 2 ab - 2 cb - 2 ac ⇒ c c - a + b a - c = 0 [...]...⇒ a- c b- c =0 Vì vậy tam giác này có a = c hoặc b = c Tam giác đã cho là tam giác cân và có góc bằng 60o nên là tam giác đều 0,25 . 2 2 2 2006 0 x x B x x Ta có: x xx B x xx B 20 06 20 0 620 06 .22 006 20 0 62 22 2 2 20 06 20 05 20 06 20 0 520 0 620 0 520 06 2 2 2 2 2 x x x xx B Vì (x - 20 06) 2 0 với mọi x x 2 . b 2 x)(x + y) xyba 2 a 2 y 2 + a 2 xy + b 2 x 2 + b 2 xy a 2 xy + 2abxy + b 2 xy a 2 y 2 + b 2 x 2 2abxy a 2 y 2 2abxy + b 2 x 2 0 (ay - bx) 2 0 (**) bất đẳng. cú: 2 2 2 2 2 1 1 4 4 x y 2xy x y 2xy (x y) (1) Mt khỏc : 2 2 2 1 1 1 4 (x y) 4xy 4xy (x y) xy (x y) (2) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A . x y xy x y 2xy 2xy x y 2xy 2 xy