BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CƠ KHÍ BÀI TẬP CHƯƠNG MÔN : DAO ĐỘNG KỸ THUẬT GIÁO VIÊN GIẢNG DẠY : TS. PHẠM THỊ MINH HUỆ SINH VIÊN THỰC HIỆN : NGUYỄN THÀNH CHIẾN MÃ SỐ SINH VIÊN : 0741020019 KHÓA HỌC : KHÓA 7 Tháng 4/2014 Phần I : Lý thuyết Câu 1: Hãy trình bày các ví dụ về cách thiết lập phương trình vi phân dao động tự do không cản ? -Phương trình vi phân dao động tự do không cản được thiết lập cơ bản dựa theo các bước sau: ◦ Thiết lập các hàm động năng và thế năng của hệ ◦ Thay các hàm trên vào phương trình Lagrăng loại II ◦ Thực hiện các phép biến đổi theo phương trình ta thu được phương trình vi phân dao động của hệ. -Ta xét các ví dụ cụ thể: ◦ Ví dụ 1: Thiết lập phương trình vi phân dao động của vật nặng m treo vào lò xo ( (hình 1) Hàm động năng: T= 1 2 m 2 x & Hàm thế năng : ∏ = 1 2 c 2 x Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai : d T T dt x x x ∏ ∂ ∂ ∂   − = −  ÷ ∂ ∂ ∂   & 0 xmx c ⇒ = − − && ta nhận được phương trình vi phân dao động của hệ là : x 0mx c + = && ◦ Ví dụ 2: Thiết lập phương trình vi phân dao động của con lắc toán học sau : c m Hình 1. x Vị trí cân bằng Q y L ϕ x P Gọi tọa độ của chất điểm là x,y Từ hình vẽ , ta được : x= lsin ϕ , y=lcos ϕ Hàm động năng : T= 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 2 m x y ml ϕ + = & & & Hàm thế năng : ∏ = -mgy = -mgl cos ϕ Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai d T T dt x x x ∏ ∂ ∂ ∂   − = −  ÷ ∂ ∂ ∂   & ta được 2 m mg sinl l ϕ ϕ + && = 0 ⇒ g φ+ sin =0 l ϕ && khi ϕ ≪ → sin ϕ ≈ ϕ Vậy phương trình vi phân dao động là : 0 g l ϕ ϕ + = && Câu 2: Hãy nêu cách tính toán dao động tự do không cản ? Cho ví dụ minh họa - Cách tính toán : Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ một bậc tự do không cản có dạng sau : mq+cq=0 && (1) hay 0 q + ω q =0 && với 2 0 c ω = m , 0 ω là tần số dao động riêng Điều kiện đầu 0 t 0 = , q( 0 t ) = 0 q , 0 0 q(t ) =q & & Hình2 m Do không cản : Tần số dao động : 0 c ω = m ( -1 s ) Chu kì dao động : 0 2 T= π ω (s) Nghiệm của phương trình vi phân (1) có dạng : 1 0 2 0 q = C cos t + C sin t ω ω (2) ( 1 2 C ,C :const xác định từ điều kiện đầu) Cho nghiệm (2) thỏa mãn điều kiện đầu ,ta được 1 0 c q = , 0 2 0 q c ω = & 0 0 0 0 0 q q = q cos t + sin t ω ω ω ⇒ & Biên độ dao động : 2 2 1 2 A= c c + Pha dao động : 0 t ω α + Pha ban đầu α được xác định từ 0 1 0 2 0 q c tanα = =ω c q & Tùy theo yêu cầu của bài toán mà ta biến đổi các biểu thức trên sao cho phù hợp. Ví dụ : Trọng lượng vật treo là P , lò xo có độ dài tự nhiên l,độ cứng c, trọng lượng 0 P .Tìm chu kì dao động của vật s Biến dạng của lò xo tại vị trí s : l ( ) ( ) x s x s x s x s l l = → = ta được: ( ) s x s x l = & & , 2 2 2 2 ( ) s x s x l = & & Động năng của lò xo : 1 2 x 0 1 ( ) 2 l T v s dm= ∫ , 0 s P dm d gl = Động năng của hệ : 0 2 1 2 2 2 0 2 0 3 s 2 2 2 P P P x P s T x d x g gl l g + = + = ∫ & & & m c Hình 3 P x Thế năng của lò xo đối với vị trí cân bằng tĩnh của vật : 2 2 c x ∏= Thế vào phương trình Lagrange loại hai : d T T dt x x x ∏ ∂ ∂ ∂   − = −  ÷ ∂ ∂ ∂   & Phương trình vi phân dao động của hệ : 0 3 x 0 P P x c g + + = && Chu kỳ dao động của vật : 0 3 T = 2 P P cg π + (s) Câu 3: Trình bày cách xác định các tham số độ cứng của hệ dao động ?Cho ví dụ minh họa . 1. Các phần tử đàn hồi trong các hệ dao động hữu hạn bậc tự do thường được giả thiết bỏ qua khối lượng. Đại lượng đặc trưng cho phần tử đàn hồi có độ cứng là kí hiệu là c. Phần tử đàn hồi có nhiều hình dạng và kết cấu tùy theo sử dụng và cách chịu lực của chúng. Dưới đây là cách xác định tham số độ cứng dao động. a. Tính toán hệ số cứng quy đổi của thanh đàn hồi Nếu lò xo là các thanh đàn hồi không trọng lượng ,ta có thể tính toán hệ số cứng quy đổi tương đối đơn giản . Trong trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) chịu kéo nén (hình 4) ta có : l l∆ A Fl l E ∆ = Trong đó E là môđun đàn hồi ,A là diện tích mặt cắt ngang. Từ đó suy ra : AE F l c l l = ∆ = ∆ Vậy độ cứng quy đổi được xác định bởi công thức : AE c l = Hình 4 Trong trường hợp thanh đàn hồi lò xo chịu xoắn (hình 5) x p M l GI ϕ ∆ = Vậy độ cứng quy đổi trong trường hợp thanh xoắn có dạng p GI c l = Trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) bị uốn , hệ số cứng quy đổi c còn phụ thuộc vào các điều kiện biên . Điển hình là dầm chịu uốn như hình 6 Vậy độ cứng quy đổi c được tính bởi công thức 3 E 3 I c l = b. Tính toán lò xo thay thế tương đương của các hệ lò xo mắc song song và mắc nối tiếp Đối với hệ có hai lò xo mắc song song như hình 7 , ta có thể thay thế tương đương bằng hệ có một lò xo. Từ biểu thức lực đàn hồi của lò xo ,ta suy ra công thức tính hệ số độ cứng lò xo tương đương * 1 2 F c x c x c x = + = * 1 2 c c c → = + l Hình 5 Trong đó G là môđun trượt , p I là momen quán tính của mặt cắt ngang Từ công thức trên ta suy ra p x GI M c l ϕ ϕ = ∆ = ∆ l F f 3 1 3 Fl f EI = Trong đó EI là độ cứng chống uốn . Ta được 3 3EI F f cf l = = Hình 6 x M Nếu hệ có n lò xo mắc song song , tính toán tương tự ta có * 1 n j j c c = = ∑ Đối với hệ có hai lò xo mắc nối tiếp như hình 8 , nếu ở hệ thay thế lò xo dãn ra một đoạn x bằng tổng hai độ dãn 1 x và 2 x của hệ ban đầu thì ta có : 1 1 2 2 F c x c x = = , 1 2 x x x + = , *F c x = Từ đó suy ra * 1 2 F F F x c c c = + = * 1 2 1 1 1 c c c → = + Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp thì thì công thức tính hệ số cứng lò xo thay thế có dạng * 1 1 1 n i j c c = = ∑ Ngoài ra ta có thể sử dụng các công thức xác định các hệ số cứng tương đương trong các trường hợp đặc biệt theo bảng sau : 2 c 1 c 2 c * c 1 c * c m m m m Hình 7 Hình 8 Số thứ tự Sơđồ Hệ số c 1 D 4 3 d 8 D G n d- Đường kính thiết diện D- Đường kính lò xo G- Mô đun trượt n- Số vòng lò xo 2 1 2 c c + 3 1 2 1 2 c c c c + 4 l 1 c 2 c 2 c 1 c 1 c 2 c 5 a b 6 a b 7 a b 8 l b 9 l b 10 Y l x N 2 EI lch sh l α α α α − x N EI α = 11 Y l x N 2 ( ) EIch l I lch sh l α α α α α − x N EI α = 2. Ví dụ minh họa Độ cứng tương đương của lò xo 1 c , 2 c mắc song song 12 1 2 c c c = + Độ cứng tương đương của lò xo 3 c , 4 c mắc song song 34 3 4 c c c= + Độ cứng tương đương của hệ : * 12 34 1 2 3 4 c c c c c c c = + = + + + Tần số dao động riêng của hệ : * 1 2 3 4 0 c c c c c m m ω + + + = = Ví dụ 2: Xác định độ cứng tương đương và tần số dao động riêng của hệ sau 1 c 3 c 4 c 2 c m 2 c 4 c 5 c m Ví dụ 1: Cho hệ dao động gồm khối lượng và các lò xo mắc như hình 9. Hãy tính tần số riêng của hệ . Hình 9 1 c Hình10 [...]... = c4 + c13 = 200 + 240 = 440 Tần số dao động riêng của hệ : c* g 440.9,81 ω0 = = = 4, 64 m 20.10 c2 c1 Hình 11 II Phần hai : Bài tập Câu 1 Hãy thiết lập phương trình dao động của hệ dao động cưỡng bức chịu kích động bởi lực kích động động học như hình 12 m y b c Hình 12 u(t) Gọi y là độ dịch chuyển của khối lượng m khỏi vị trí cân bằng tĩnh Các biểu thức : ◦ Hàm động năng : T = 1 & my 2 2 ◦ Hàm thế... Vậy dao động tự do của hệ hai con lắc lò xo có dạng : ϕ1 (t ) = ϕ0 ω + ω2 ω − ω2 (cosω1t + cosω2t ) = ϕ0cos( 1 t )cos( 1 t) 2 2 2 ϕ 2 (t ) = ϕ0 ω + ω2 ω − ω2 (cosω1t − cosω2t ) = ϕ0sin( 1 t )sin( 1 t) 2 2 2 Câu 5 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự do như hình 17 Các khối lượng chỉ có thể dao động theo phương thẳng đứng a Hãy thiết lập phương trình vi phân dao động của cơ hệ ? b Xác định tần số dao. .. + 40 = 47, 636 (N/m) Tần số dao động riêng của hệ : C* 47, 636 ω0 = = = 2,183 m 10 (rad/s) Câu 3: Con lắc là chất điểm khối lượng m được gắn một đầu vào thanh cứng tuyệt đối dài L Thanh được giữ ở vị trí cân bằng bởi một lò xo và bộ giảm chấn thủy lực với hệ số cản nhớt b như hình 14 1.Lập phương trình vi phân dao động của con lắc có khối lượng m? 2.Xác định tần số dao động riêng và độ tắt lôga Biết... (1) Khi dao động nhỏ ⇒ sin ϕ ≈ ϕ , cosϕ ≈ 1 Nên ta có phương trình (1) trở thành : & & & mL2ϕ + ba 2ϕ + ϕ (ca 2 − mgL) = 0 & & ⇒ϕ + ba 2 ca 2 g & ϕ( 2 − ) = 0 ϕ+ mL2 mL L (2) Vậy phương trình (2) là phương trình vi phân dao động của hệ ba 2 ca 2 g 2 Đặt 2δ = , ω0 = − , thay vào phương trình (2) ta được phương trình vi mL2 mL2 L phân dạng tổng quát của hệ : &+ & ϕ& 2δϕ + ω02ϕ = 0 2 Tần số dao động riêng... 2 0 ⇒ ω0 = 350 ≈ 18, 7 (s −1 ) Lực cản : ba 2 3.102.(0, 6) 2 δ= = = 5, 4 (s −1 ) 2 2mL 2.10.1 Tần số dao động riêng của hệ : ω= (ω 2 0 ) − δ 2 = 350 − (5.4) 2 = 17,91 (s −1 ) Chu kỳ dao động tự do có cản : T= 2π 2π = = 0,35 (s) ω 17,91 Độ tắt loga Λ = δ T = 5, 4.0,35 = 1,89 Câu 4 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự do như hình ví dụ sau : Ví dụ : Một hệ hai con lắc có chiều dài mỗi thanh là l... − ω 21 p1 = 0 & p ⇔ 1 2 &  & + ω 2 p2 = 0  p2 (**) Vậy hệ phương trình (**) là hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính Nghiệm của hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính có dạng  p1 (t ) = c1 sin(ω1t + α1 )   p2 (t ) = c2 sin(ω2t + α 2 ) Thay p1 (t ) , p2 (t ) vào (*) ta được các dạng dao động chính của hệ : ϕ1 (t ) = c1 sin(ω1t + α1 ) + c2 sin(ω2t + α 2 )  ϕ2 (t ) = c1 sin(ω1t + α1... = và ω0 = , h1 = , h2 = m m m m & ⇔ &+ y Đặt (1) Thay vào (1) ta được lập phương trình vi phân dao động của hệ : &+ 2δ y + ω0 2 y = h1 sin Ωt + h2 cosΩt & & y Nghiệm của phương trình có dạng : y* (t ) = A sin(Ωt + ϕ ) Câu 2 : Cho hệ dao động như hình 13 , tìm độ cứng tương đương của hệ lò xo và tần số dao động riêng của hệ ? Biết C1 = C2 = C3 = C4 = C5 = C = 20 N / m , C6 = C7 = 0,5C , C8 = C9 = 1,5C... mgl (cosϕ1 + cosϕ 2 ) 2 Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai : d  ∂T  ∂T ∂Π =−  ÷− & dt  ∂ϕi  ∂ϕi ∂ϕi ⇒ hệ phương trình dao động của hệ : & & ml 2ϕ1 + cd 2ϕ1 − mgl sin ϕ1 − cd 2ϕ 2 = 0 (1) & & ml ϕ2 + cd ϕ2 − mgl sin ϕ2 − cd ϕ1 = 0 2 2 2 Khi dao động nhỏ ⇒ sin ϕ ≈ ϕ , cosϕ ≈ 1 ⇒ hệ (1) tương ứng & & ml 2ϕ1 + (cd 2 − mgl )ϕ1 − cd 2ϕ 2 = 0 (2) & & ml ϕ 2 − cd ϕ1 + (cd − mgl )ϕ 2 = 0... c34 = 3 4 c3 + c4 (kg / s 2 , N / m) (kg / s 2 , N / m) Độ cứng tương đương của hệ : c* = c12 + c34 = c1 + c2 + c3c4 c3 + c4 (kg / s 2 , N / m) Tần số dao động riêng của hệ : ω0 = * c = m c1 + c2 + c3c4 c3 + c4 (rad/s) m Ví dụ 3 : Xác định tần số dao động riêng của hệ sau : c1 = c4 = c = 0, 2kN / m , c3 = c2 = 2c , m = 200 N c4 Độ cứng tương đương của lò xo c1 , c2 mắc song song c12 = c1 + c2 = 200+400=... O a O Hình 14 Hình 15 1 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ,khi hệ dao động có dạng như hình 15 Gọi ϕ là độ dịch chuyển của khối lượng m khỏi vị trí cân bằng Từ hình vẽ mô phỏng chuyển động của hệ , ta được : & & & & x = L sin ϕ ⇒ x = Lϕ cosϕ , y = Lcosϕ ⇒ y = − Lϕ sinϕ & & h = L − Lcosϕ = L(1 − cos ϕ ) , xc = a sin ϕ ⇒ xc = aϕ cos ϕ Hàm động năng : 1 1 & & & T = ( x 2 + y 2 ) = L2ϕ 2 2 2 Hàm thế năng . Tần số dao động riêng của hệ : * 0 . 440.9,81 4,64 20.10 c g m ω = = = Hình 11 II. Phần hai : Bài tập Câu 1. Hãy thiết lập phương trình dao động của hệ dao động cưỡng bức chịu kích động bởi. , 0 ω là tần số dao động riêng Điều kiện đầu 0 t 0 = , q( 0 t ) = 0 q , 0 0 q(t ) =q & & Hình2 m Do không cản : Tần số dao động : 0 c ω = m ( -1 s ) Chu kì dao động : 0 2 T= π ω . trình vi phân dao động của hệ : 0 3 x 0 P P x c g + + = && Chu kỳ dao động của vật : 0 3 T = 2 P P cg π + (s) Câu 3: Trình bày cách xác định các tham số độ cứng của hệ dao động ?Cho ví