H×nh 2.10 Hμm cÊu tróc däc Bτ(l) lμ kú väng toán học bình phơng hiệu giá trị hình chiếu trờng vectơ đồng đẳng hớng ®iĨm N1(ρ1) vμ N2(ρ2) theo h−íng vect¬ N1N2 { } Bτ (l ) = M [ X (ρ ) − X (ρ1 )] (2.14.8) Hμm cÊu tróc ngang Bn(l) l kỳ vọng toán học bình phơng hiệu giá trị hình chiếu trờng điểm N1 v N2 mặt vuông góc với vectơ N1N2 { } Bn (l ) = M [Y (ρ ) − Y (ρ1 )] (2.14.9) Ch−¬ng 3: Phân tích điều ho trình ngẫu nhiên dừng v trờng đồng Đối với hm không ngẫu nhiên, phân tích điều ho đợc ứng dụng rộng rÃi Phân tích điều ho l biểu diễn hm tuần hon dới dạng chuỗi Fourier, hm không tuần hon đợc biểu diễn dới dạng tích phân Fourier Ta biÕt r»ng nÕu mét hμm tuÇn hoμn f(t) cã chu kỳ 2T thoả mÃn điều kiện Diricle, khai triển thnh chuỗi Fourier dạng phức: Ck e f (t ) = i πk t T , (3.0.1) k = hệ số Fourier Ck đợc xác định theo công thức: Ck = 2T T  f (t )e −i πk T t dt (3.0.2) −T C«ng thøc (3.0.1) cho phÐp biĨu diễn hm f(t) dới dạng tổng vô hạn dao ®éng ®iỊu hoμ víi tÇn sè ωk = πk T v biên độ Ck DÃy số phức Ck đợc gäi lμ d·y phỉ hay phỉ cđa hμm f(t) C¸c số phức Ck đợc biểu diễn dới dạng: Ck = Ck eiψ k (3.0.2) D·y sè thùc Ck đợc gọi l phổ biên độ hm f(t), cßn d·y sè ψ k lμ phỉ pha cđa nã 85 Phỉ chØ r»ng, hμm ®· cho cã dao động loại no, tức l cấu trúc bên Vì trờng hợp xét tần số nhận giá trị rời rạc k = k T , nên hm dạng (3.0.1) đợc gọi l hm có phổ rời rạc Tơng tự, hm không chu kỳ f(t) đợc cho ton trục số thực thoả mÃn điều kiện Diricle v khả tích tuyệt đối, tức l tích phân f (t )dt tồn tại, biểu diễn dới dạng tích phân Fourier: f (t ) = ∞  F (ω )e i ωt dω (3.0.3) đây: F ( ) = ∞  f (t )e −iωt dt (3.0.4) −∞ C¸c công thức (3.0.3) v (3.0.4) đợc gọi l công thức biến đổi Fourier Công thức (3.0.4) gọi l công thức biến đổi Fourier trực tiếp, (3.0.3) l công thức biến đổi Fourier ngợc Trong công thức (3.0.3), tổng (3.0.1) theo giá trị rời rạc tần số đợc thay tích phân theo tần số, hệ số không đổi Ck đợc thay hm F() đối số liên tục ý nghĩa hm F() đợc nhận thấy chỗ, hạng tử F()eitd tích phân (3.0.3) trùng với khoảng tần số nhỏ (, +d), tức F()d l biên độ tơng ứng với khoảng tần số đà cho Do đó, F() l mật độ biên độ Hm F() đợc gọi l mật độ phổ hm f(t), hm dạng (3.0.3) l hm cã phỉ liªn tơc Nh− vËy, chóng ta thÊy r»ng tơng ứng với hm có phổ rời rạc l dÃy phổ số phức Ck nó; tơng ứng với hm f(t) có phổ liên tục l hm khác, ®ã lμ mËt ®é phỉ F(ω) cđa nã Tõ c¸c c«ng thøc (3.0.1), (3.0.2) hay (3.0.3), (3.0.4) suy r»ng đà cho hm f(t) xác định cách phổ (mật độ phổ) nó, v ngợc lại, cho phổ (mật độ phổ) ta xác định hm f(t) Trong nhiều trờng hợp, ví dụ nh giải phơng trình vi phân tuyến tính, thuận tiện ngời ta sư dơng mËt ®é phỉ cđa hμm ®ang xÐt thay cho chÝnh hμm ®ã Ta h·y xÐt viƯc øng dụng công cụ khai triển phổ hm ngẫu nhiên dừng v trờng đồng v đẳng hớng 3.1 Các trình dừng có phổ rời rạc Giả sử biểu diễn trình ngẫu nhiên dừng X(t) khoảng [T, T] dới dạng chuỗi vô hạn dao động điều ho với tần số khác k = k T v biên ®é ngÉu nhiªn Xk X (t ) = ∞ X k =−∞ 86 k eiωk t (3.1.1) Ta sÏ xem rằng, kỳ vọng toán học trình ngẫu nhiên 0, mx=0 Nếu không nh ta xét trình ngẫu nhiên qui tâm Khi hiển nhiên rằng, kỳ vọng toán học tất đại lợng ngẫu nhiên Xk phải Ta hÃy lm sáng tỏ đại lợng ngẫu nhiên Xk cần thoả mÃn điều kiện no hm ngẫu nhiên X(t) cã d¹ng (3.1.1) lμ dõng theo nghÜa réng, tøc l hm tơng quan Rx(t+,t) phụ thuộc vo đối số v không phụ thuộc vo t Theo định nghĩa hm tơng quan mét hμm ngÉu nhiªn phøc (2.11.7) ta cã: Rx (t + τ , t ) = M [X (t + τ ) X * (t )] (3.1.2) Theo (3.1.1), cã thÓ viÕt: X (t + τ ) =  X k e iωk (t +τ ) (3.1.3) X * (t ) =  X *l e −iωlk t (3.1.4) k l Đặt (3.1.3) v (3.1.4) vo (3.1.1) ta nhận ®−ỵc:   Rx (t + τ , t ) = M  X k eiωk (t +τ )  X *l e −iωk t  = l k      = M  X k X *l e i[ω k (t + τ )− ω l t ]  =  M [X k X *l ]e i [ω (t +τ )−ω t ] (3.1.5) k l k l Để cho hm tơng quan Rx (t + τ , t ) kh«ng phơ thuéc vμo t, nhÊt thiÕt tæng kÐp k l i [ω (t +τ )−ω t ] l vÕ ph¶i (3.1.5) chứa số hạng biểu thức e k kh«ng phơ thc vμo t, tøc k=l Do đó, hm ngẫu nhiên X(t) l dừng điều kiện sau cần phải đợc thực hiện: M [ X k X *l ] = k≠ l (3.1.6) Điều kiện (3.1.6) có nghĩa l đại lợng ngẫu nhiên Xk phải đôi không tơng quan với Với điều kiện (3.1.6) công thức (3.1.5) đợc viÕt d−íi d¹ng: Rx (τ ) =  M [ X k X *k ]eik (3.1.7) k Các đại lợng M [ X k X *k ] l phơng sai đại lợng ngẫu nhiên X Ký hiệu chúng Dk, ta nhận đợc: Rx ( ) = ∞ D eω τ i k k (3.1.8) k = Để tồn hm tơng quan chuỗi (3.1.8) phải hội tụ, tức l chuỗi: Dk eiω kτ = k = −∞ héi tơ Ta gi¶ thiết rằng, khai triển trình ngẫu nhiên dừng thnh chuỗi (3.1.1) m không nói đến điều kiÖn khai 87 ∞ D k k = −∞ (3.1.9) triển ny Khi ta nhận đợc biên độ ngẫu nhiên Xk l đại lợng ngẫu nhiên không tơng quan với nhau, hm tơng quan đợc xác định dới dạng chuỗi (3.1.8) Hình 3.1 Nh toán học xô viết E E Sluskii đà chứng minh rằng, trình ngẫu nhiên dừng có hm tơng quan dạng (3.1.8) đợc biểu diễn dới dạng (3.1.1) v ngợc lại Đối với trình ngẫu nhiên dừng, phổ l phân bố phơng sai biên độ ngẫu nhiên theo tần số k Vì chuỗi (3.1.9) phải hội tụ, số hạng tổng quát phải dần đến 0, tức tăng tần số k giá trị phơng sai tơng ứng phải tiến đến Phổ trình ngẫu nhiên đợc biểu thị dới dạng đồ thị, với trục honh đặt giá trị biên độ, trục tung l phơng sai tơng ứng chúng (hình 3.1) Các hm ngẫu nhiên dừng dạng (3.1.1) đợc gọi l trình ngẫu nhiên có phổ rời rạc Phơng sai trình ngẫu nhiên Dx nhận đợc cách đặt =0 vμo c«ng thøc (3.1.8) Dx = Rx (0) = ∞ D (3.1.10) k k = Do đó, phơng sai hm ngẫu nhiên tổng chuỗi tạo thnh từ tất tung độ phổ Quá trình ngẫu nhiên dừng dạng (3.1.1) phức, thực Quá trình (3.1.1) l thực k tổng (3.1.1) tơng ứng với cặp hai số i τ − iω τ h¹ng phøc X k e k vμ X k e k Khi ®ã ∞ ( ) X (t ) =  X k eiω kτ + X k e − iω kτ (3.1.11) Ak B A B * − i k ,Xk = k + i k 2 2 (3.1.12) k =0 Nếu viết Xk dới dạng: Xk = ta nhận đợc: B  A X k eiωkτ + X k e −iωkτ =  k − i k (cos ω k t + i sin ωk t ) +   B  A +  k + i k (cos ω k t − i sin ωk t ) = Ak cos ω k t + Bk sin k t Đặt (3.1.13) vo (3.1.11) ta đợc trình ngẫu nhiên dừng thực: 88 (3.1.13) ∞ X (t ) =  ( Ak cos ω k t + Bk sin ωk t ) (3.1.14) k =0 Ak v Bk l đại lợng ngẫu nhiên thực có kỳ vọng toán học không Trờng hợp riêng, áp dụng điều kiện (3.1.6) cho hai hạng tử khác X k e * v X k e − iω k τ , ta nhËn ®−ỵc: [ ( ) ] = M [X * * M Xk Xk k Xk ]= iω k τ (3.1.15) Tõ ®ã ta cã:  Ak Bk   −i   = M [ X k X k ] = M       = M Ak2 − M Bk2 − 2iM [ Ak Bk ] = { [ ] [ ] (3.1.16) } Đồng không phần thực v phần ảo, ta nhận đợc: [ ] [ ] M Ak2 = M Bk2 = d k (3.1.17) M [Ak Bk ] = (3.1.18) tøc lμ đại lợng ngẫu nhiên Ak v Bk không tơng quan với v có phơng sai Từ đẳng thức (3.1.6) ta nhận đợc tính không tơng quan đôi đại lợng Ak, Al, Bk, Bl k ≠ l Ta biĨu diƠn Dk qua dk  A B  A B  Dk = M [X k X *k ] = M  k − i k  k − i k  =  2   d = M Ak2 + M Bk2 = k { [ ] [ ]} (3.1.19) Khi công thức hm tơng quan (3.1.8) đợc viết lại dới dạng: [ ] ∞ dk cos ωkτ k =0 Rx (τ ) =  Dk e iωkτ + e −iωkτ =  k =0 (3.1.20) tøc lμ ∞ Rx (τ ) =  d k cos ωkτ (3.1.21) k =0 Đối với trình ngẫu nhiên thực tần số k v k tơng ứng với biên độ Dk, vậy, phổ trình ngẫu nhiên thực đối xứng trục tung (hình 3.1) v cần xây dựng cho giá trị tần số dơng 3.2 Các trình dừng có phổ liên tục Không phải trình dừng l trình có phổ rời rạc Tuy nhiên trình dừng no đợc biểu diễn nh l giới hạn dÃy trình có phổ rời rạc dạng (3.1.1) Ta ®−a vμo xÐt hμm ngÉu nhiªn Φ(ω), xem r»ng khoảng tần số k = k k-1 số gia cña nã 89 ΔΦ(ω k ) = Φ (ω k ) − Φ (ω k −1 ) (3.2.1) b»ng tổng biên độ ngẫu nhiên Xk khoảng ny Một cách gần đúng, coi tần số khoảng k không đổi v k, sở (3.1.1) ta viết đẳng thức gần đúng: X (t ) ≈  e iωk t ΔΦ(ωk ), (3.2.2) k ë tổng đợc lấy theo khoảng tần số k, Bây ta tăng vô hạn số tần số k (3.2.2), giảm vô hạn hiệu chúng Lấy giới hạn ta nhận đợc X (t ) =  e iωt dΦ (ω ), (3.2.3) −∞ ®ã, vế phải l tích phân Fourier - Stiltex, v dới dấu tích phân l số gia đối sè nh− tÝch ph©n Riman, mμ lμ sè gia hm d() Biểu diễn trình ngẫu nhiên dừng X(t) dới dạng tích phân Stiltex theo công thức (3.2.3) đợc gọi l khai triển phổ Ta xác định hm tơng quan trình ngẫu nhiên biểu diễn theo công thức (3.2.3) Đối với trình ngẫu nhiên dừng (3.1.1), hm tơng quan đợc xác định công thøc (3.1.8) C«ng thøc nμy biĨu diƠn hμm kh«ng ngÉu nhiên Rx() dới dạng chuỗi Fourier Khi đó, khai triển (3.1.1) trình ngẫu nhiên X(t) đợc tiến hnh khoảng biến đổi [T, T] đối số t, khoảng biến đổi đối số = t2 t1 l đoạn [2T, 2T] Do đó, công thức (3.1.8) l khai triển hm tơng quan Rx() khoảng [2T, 2T] Khi đó, hệ số Fourier Dk khai triển ny đợc xác định theo công thøc: Dk = 4T 2T  R (τ )e −iωk t x dτ , ωk = − 2T Ký hiệu hiệu hai tần số lân cận l k Δωk = ωk − ωk −1 = πk 2T − π (k − 1) 2T πk (3.2.4) 2T = π 2T (3.2.5) Khi công thức (3.1.8) viÕt d−íi d¹ng: Rx (τ ) = ∞  2T 2π 2T k =−∞ π Dk eiωk t Δωk (3.2.6) Ta ®−a vμo hμm T S x (ω ) =  R (τ )e −iωk t x dτ (3.2.7) − 2T ChØ sè T nãi lªn r»ng, hμm phơ thc vμo kho¶ng T Theo (3.2.4) vμ (3.2.5) ta cã T S x (ω k ) = Dk k T Điều chứng tỏ S x (k ) l mật độ trung bình phơng sai đoạn k Thế (3.2.8) vo (3.2.6) ta đợc 90 (3.2.8) Rx (τ ) = ∞  S (ω )e ω T x i kt k Δωk (3.2.9) k = Nếu T , k lấy giới hạn tổng tích phân (3.2.9) trở thμnh tÝch ph©n ∞ Rx (τ ) =  S x (ω )e iωk t dω (3.2.10) −∞ C«ng thøc (3.2.10) l khai triển hm tơng quan thnh tích phân Fourier Khai triển nh thực đợc tích phân tuyệt đối hm Rx() thoả điều kiÖn ∞  R (τ ) dτ < ∞ (3.2.11) x Khi đó, chuyển qua giới hạn, công thức (3.2.7) sÏ cã d¹ng S x (ω ) = 2π ∞  R (τ )e x −iωt dτ (3.2.12) −∞ T Hμm Sx(ω) lμ giíi h¹n cđa mËt độ phơng sai trung bình S x (k ) k dần đến 0, tức l biểu thị mật độ phơng sai hm ngẫu nhiên X(t) cho trớc tần số Hm ny đợc gọi l mật độ phổ hm ngẫu nhiên dừng X(t) Mật độ phổ l hm không âm tần số Các công thức (3.2.10) vμ (3.2.12) chØ r»ng hμm t−¬ng quan Rx(τ) vμ mËt ®é phỉ Sx(ω) lμ biÕn ®ỉi Fourier lÉn Do đó, biến đổi Fourier hm tơng quan trình ngẫu nhiên dừng phải l hm không âm với giá trị tần số Năm 1934, A Ia Khintrin đà chứng minh rằng, hm l biến đổi ngợc Fourier từ hm không âm, l hm tơng quan trình ngẫu nhiên dừng no Khi đặt = vo công thức (3.2.10), ta nhận đợc biểu thức phơng sai hm ngẫu nhiên Dx = Rx (0) =  S x (ω )dω (3.2.13) −∞ Tõ thấy rằng, hm ngẫu nhiên X(t) có phơng sai hữu hạn, hm Sx() l khả tích Hm Fx (ω ) = ω  S (ω )dω x (3.2.14) đợc gọi l hm phổ hay phổ tích phân hm ngẫu nhiên dừng Tại giá trị no mật độ phổ trở nên vô hạn, nhng khả tích lân cận giá trị ny Từ công thức (3.2.10) v (3.2.12) ta thÊy r»ng, biÕt hμm t−¬ng quan cã thể tìm đợc mật độ phổ v ngợc lại Tuy nhiªn, nh− ta sÏ thÊy sau nμy, nhiỊu tr−êng hợp, sử dụng mật độ phổ thuận tiện Thay cho mËt ®é phỉ Sx(ω) ng−êi ta th−êng xÐt mËt ®é phỉ chn ho¸ sx(ω) 91 s x (ω ) = ∞ S x (ω )  S (ω )dω = S x (ω ) Dx (3.2.15) x −∞ Hm tơng quan chuẩn hoá v mật độ phổ chuẩn hoá l biến đổi Fourier lẫn v đợc xác định công thức: rx ( ) =  s x (ω )e iωt dω (3.2.16) −∞ 2π s x (ω ) = ∞  r (τ )e −iωt x dτ (3.2.17) −∞ Theo c«ng thøc (3.2.12) ta cã S x (− ω ) = 2π ∞  R (τ )e iωτ x dτ (3.2.18) Đối với trình ngẫu nhiên thực, cho = v để ý đến tính chẵn Rx(), ta nhận đợc S x ( ) = − 2π −∞ −iωτ '  Rx (− τ ')e dτ ' = +∞ 2π ∞  R (τ ')e x −iωτ ' dτ ' = S x (ω ) (3.2.19) −∞ Tõ ®ã thÊy r»ng, ®èi víi trình ngẫu nhiên thực Sx() l hm chẵn, tÝnh thùc cña nã suy tõ tÝnh thùc cña Rx() Do tính chẵn Rx() v Sx() trình ngẫu nhiên thực viết Rx (τ ) =  S x (ω ) cos ωτdω (3.2.20) S x (ω ) = π ∞  R (τ ) cos ωτdτ x (3.2.21) Ta viết công thức tơng tự hm tơng quan chuẩn hoá rx() v mật độ phổ chuẩn hoá sx() trình ngẫu nhiên thùc ∞ rx (τ ) =  s x (ω ) cos ωτdω (3.2.22) s x (ω ) = π ∞  r (τ ) cos ωτdτ x (3.2.23) Đối với trình ngẫu nhiên có phổ rời rạc, phổ gián đoạn phơng sai đợc thay phổ liên tục với mật độ phơng sai Sx() Hm Sx() đợc biểu diễn đồ thị (hình 3.2) Vì Dx = Rx (0 ) =  S x (ω )dω (3.2.24) nên phơng sai hai lần diện tích giới hạn đờng cong Sx() đợc xây dựng 0, diện tích giới hạn đờng cong Sx() đợc xây dựng ton khoảng (, +) 92 Nếu xây dựng đồ thị mật độ phổ chuẩn hoá th× diƯn tÝch n»m d−íi nã b»ng 1, v×: rx (0 ) = ∞  s (ω )dω = (3.2.25) x Hình 3.2 Đối với hệ trình ngẫu nhiên dừng v liên hệ dừng X1(t), X2(t), ,Xn(t), ngoi mật độ phổ trình S xi (), ngời ta xét mật độ phổ quan hƯ S xi x j (ω), lμ biÕn ®ỉi Fourier lẫn với hm tơng quan quan hệ tơng øng Rxi x j (τ) Rxi x j (τ ) = ∞ ωτ  S (ω )e dω i (3.2.26) xi x j −∞ S x x (ω ) = i j 2π ∞  R (τ )e −iωτ xi x j dτ (3.2.27) −∞ Ta sÏ x¸c định mật độ phổ trình ngẫu nhiên dừng đà xét mục 2.5 Giả sử trình ngẫu nhiên dừng X(t) có hm tơng quan chuÈn ho¸ Rx (τ ) = e −α τ ,α > (3.2.28) Theo (3.2.17), ®ã mËt ®é phổ chuẩn hoá đợc xác định dới dạng s x (ω ) = 2π ∞ e −α τ −∞ e −iωτ dτ = ∞   (α −iω )τ e dτ +  e −(α +iω )τ dτ  =  2π −∞  α    α − iω + α + iω  = π α + ω  Đây l hm chẵn, đạt giá trị cực đại tần số = a = 2π ( ) (3.2.29) Ta h·y xÐt sù phơ thc vμo tham sè α cđa hμm t−¬ng quan v mật độ phổ tơng ứng với Trên hình 3.3a,b đà dẫn đồ thị r() v s() tơng ứng với giá trị = 0,5; 1; Từ hình 3.3a thấy rằng, tăng tham số , hm tơng quan giảm nhanh hơn, tức l với khoảng , mối quan hệ tơng quan lát cắt X(t) v X(t+) hm 93 ngẫu nhiên giảm tăng Trong mục 2.6 ta gọi đại lợng T1 công thức (2.6.7) l thời gian tơng quan Đối với trờng hợp xét T1 (τ ) =  e −ατ dτ = (3.2.30) tức đại lợng 1/ l thời gian tơng quan, đặc trng cho tốc độ tắt dần mối liên hệ tơng quan Việc so sánh đờng cong hình 3.3b rằng, với giá trị bé, mật độ phổ giảm nhanh tăng tần số , tức l tần số nhỏ có giá trị chiếm u phổ trình ngẫu nhiên Khi tăng, mật độ phổ thay đổi đặn hơn, giảm chậm theo tần số tăng Đối với giá trị lớn, tăng , mật độ phổ giảm chậm, hầu nh không đổi v s(0) dải tần số lớn Quá trình ngẫu nhiên m mật độ phổ không đổi dải tần số sx() =sx(0)= const, đợc gọi l ồn trắng, tơng tự với ánh sáng trắng, m thnh phần phổ dờng nh đồng Về mặt vật lý, trình nh l thực, phơng sai Dx = S ( )d x trở thnh vô hạn Hình 3.3 Tuy nhiên, xét nh l trờng hợp tới hạn trình ngẫu nhiên thực có dạng xét cho dần tới vô hạn Thông thờng, cách gần đúng, trình ngẫu nhiên m mật độ phổ thay đổi dải tần số đủ lớn đợc xem nh ồn trắng bỏ qua tần số lớn r (τ ) = e −ατ , α > (3.2.31) Khi ®ã s (ω ) = 2π ∞ e −∞ −ατ −iωτ e ω2  iω  − 4α −α  τ + 2α  dτ = e ∞e   dτ 2π − (3.2.32) B»ng phÐp thay biÕn, tÝch ph©n cuèi đợc dẫn tích phân Poatxông, Tõ ®ã 94 s (ω ) = πα e (3.2.33) Trên hình 3.4 a,b dẫn đồ thị r() v s() = 0,5, vμ Tõ h×nh 3.4 thÊy r»ng, tÝnh chÊt phơ thc cđa r(τ) vμ s(ω) vỊ mỈt ®Þnh tÝnh cịng gièng nh− vÝ dơ tr−íc, chØ có dạng đờng cong bị thay đổi r ( ) = e −α τ cos βτ , α > (3.2.34) BiĨu diƠn cosβτ qua hμm mị theo c«ng thøc Euler cos βτ = ( iβτ e + e −iβτ ) (3.2.35) Khi ®ã   2π s (ω ) =  = 1   2π ∞ e −α τ ∞ e −α τ −∞ (e iβτ e −i (ω −β )τ dτ + −∞  + e −iβτ e −iωτ dτ  =  ) 2π ∞ e −∞ −α τ  e −i (ω + β )τ dτ   (3.2.36) T−¬ng tù nh− (3.2.29), ta nhận đợc s ( ) = = 1 + =  2  2 π α + (ω − β ) π α + (ω + β )  [ ] [ ] α α + β + ω2 α α + β + ω2 = π (ω − α − β )2 + 4α 2ω π (ω + α + β )2 − 4ω β H×nh 3.4 95 (3.2.37) H×nh 3.5 I) α=0,5, β=2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0,5 Trong trờng hợp ny hm tơng quan v mật độ phổ đợc xác định hai tham số v Tham số xác định mức độ suy giảm nhanh biên độ dao động hm tơng quan, tham số xác định chu kỳ trình dao động Ta lm sáng tỏ tính chất phụ thuộc hm tơng quan v mật độ phổ tơng ứng vo mối quan hệ tham số Trên hình 3.5 a,b dẫn đồ thị hm r() v s() cho trờng hợp: 1) α = 0,5, β = (®−êng cong I); 2) α = vμ β=1 (®−êng cong II); 3) =2, = 0,5 (đờng cong III) Từ hình 3.5 thấy rằng, giá trị tỷ số / bé (đờng cong I, /=0,25) đồ thị hm tơng quan gần với dao động điều ho tần số Trong trờng hợp ny mật độ phổ có cực đại biểu rõ =, phổ trình ngẫu nhiên có tần số chiếm u gần với tần số Việc tăng / lm đẩy nhanh tắt dần hm tơng quan, cực đại mật độ phổ trở nên rõ nét Với giá trị / lớn (đờng cong III, /=4), hm tơng quan thực tế khác trị số không lớn Trong trờng hợp ny, tăng tần số , mật độ phổ thay đổi chậm, gần với giá trị ban đầu s(0) dải tần số lớn r (τ ) = e −ατ cos βτ , α > (3.2.38) Thay cosβτ theo (3.2.35), ta cã s (ω ) = 1   2π ∞ −ατ e +i (ω − β )τ dτ + −∞ Sư dơng vÝ dơ 2, ta nhËn ®−ỵc 96 2π ∞ e −∞ −ατ −i (ω + β )τ  dt   (3.2.39) (ω + β )  − (ω −β ) − s (ω ) = e 4α + e 4α πα   2     (3.2.40) Trên hình 3.6 a,b đà dẫn đồ thị r() v s() với giá trị v nh hình 3.5 Tính chất phụ thuộc hm tơng quan v mật độ phổ vo tham số, định tính, giống nh ví dụ r (τ ) = e −α τ  α  cos βτ + sin β τ  β   ,α > 0, β > (3.2.41)   Khi thay sinβ τ b»ng hμm mị theo c«ng thøc Euler sin β τ = ( ) −α τ cos βτdτ + iβ τ −iβ τ e −e 2i (3.2.42) ta nhận đợc s ( ) = + 2i 1   2π ∞ e 2π ∞ e −∞ −i (ω −iβ ) τ −iωτ dτ − −∞ 2π ∞ e −i (ω +iβ ) τ −iωτ −∞  dτ   (3.2.43) H¹ng thø nhÊt lμ s() ví dụ 3, hạng ngoặc nhọn l s() ví dụ 1, nhận đợc thay tơng ứng i v +i Từ ta ®−ỵc s (ω ) = + α α + β + ω2 + π (ω + α + β )2 − 4ω β   α α + =  2 2 2πiβ ω + (α − iβ ) ω + (α + iβ )   2α  α2 + β2 =  2 2 2 π  ω + α − β + 4α ω  ( ) (3.2.44) Đồ thị hm r() v s() đợc dẫn hình 3.7 a,b giá trị , nh hình 3.5 1 − ≤ τ ≤ τ (3.2.45) r (τ ) =  τ  0τ ≥ Coi trình ngẫu nhiên l thực, ta tính mật độ phổ theo công thức (3.2.23) τ τ  0 s (ω ) =  1 −  cos ωτdτ  τ  π 0 (3.2.46) Sử dụng công thức tích phân theo phần, ta nhận đợc s ( ) = πω 2τ (1 − cos ωτ ) Giá trị s(0) cần đợc xét nh l giới hạn cđa s(ω) ω tiÕn dÇn tíi 97 (3.2.47) s (0) = lim ω →0 πω τ (1 − cos ωτ ) = τ (3.2.48) Trên hình 3.8 a,b dẫn đồ thị hm r() v s() với giá trị tham sè τ0 = 1, 2, Tõ h×nh 3.8 thÊy r»ng, sù thay ®ỉi cđa mËt ®é phỉ theo tần số l trình dao động: s() nhận giá trị cực tiểu s() = với = 2k , k = 1,2 v đạt giá trị cực đại giảm theo tăng tần số Khi tăng tham số giá trị cực đại tơng đối mật độ phổ tăng v thể u rõ nét phổ trình ngẫu nhiên tần số rời rạc riêng biệt, l tần số = Trong tất trờng hợp đà xét, mật độ phổ s() l hm không âm với giá trị tần số Do đó, theo định lý Khintrin, hm r(), biến đổi ngợc Fourier chúng, thật l hm tơng quan trình ngẫu nhiên dừng Hình 3.6 I) =0,5, =2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0,5 XÐt hμm:  τ2 1 − τ ≤ τ r (τ ) =  τ 0 τ > τ  (3.2.49) Ta sÏ lμm s¸ng tá xem nã l hm tơng quan trình ngẫu nhiên dừng no không Ta tìm mật độ phổ theo công thức (3.2.14) 0 τ  s (ω ) =  1 −  cos ωτdτ π  τ0  (3.2.50) Sử dụng hai lần công thức tích phân phần, ta đợc: s ( ) =   sin ωτ − τ cos ωτ  πω τ  ω  2 Đồ thị hm r() v s() dẫn hình 3.9 a,b 98 (3.2.51) Trong trờng hợp ny mật độ phổ l hm không âm với , r() l hm tơng quan trình ngẫu nhiên dừng Hình 3.7 Hình 3.8 I) α=0,5, β=2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0,5 Hình 3.9 3.3 Phân tích điều ho trờng ngẫu nhiên đồng Tơng tự nh trình ngẫu nhiên dừng, biểu diễn trờng ngẫu nhiên đồng U()=U(x,y,z) dới dạng tích phân Fourier-Stiltex U( ρ )= e i ( kρ ) dΦ ( k ) (3.3.1) sóng phẳng ei ( k ) đóng vai trò dao động điều ho, k l tích vô hớng   cđa vect¬ k vμ vect¬ ρ TÝch phân đợc trải ton không gian vectơ sóng k Giả thiết rằng, kỳ vọng toán học trờng không, hm tơng quan Ru( l ) giảm nhanh khoảng vô hạn cho 99    Ru (l ) dl < ∞ (3.3.2) v cách lập luận tơng tự nh đà xÐt mơc 3.2 cho tr−êng hỵp ba chiỊu, ta viết hm tơng quan dới dạng R u( l ) =  →   ei ( kl ) Su (k )dk  (3.3.3)  ®ã d k lμ u tè thĨ tÝch kh«ng gian sóng, hm Su( k ) đợc gọi l mật độ phổ ba chiều, phải l hm không âm Hm tơng quan l biến đổi ngợc Fourier ba chiỊu cđa mËt ®é phỉ Tõ ®ã, gièng nh− phÐp biến đổi Fourier hm tơng quan, xác định mật độ phổ theo công thức Su( k ) =  8π →   e −i ( kl ) Ru (l )dl  (3.3.4) Trong trờng hợp U( ) l trờng đồng đẳng hớng, hm tơng quan l hm ®èi sè v« h−íng l= ρ − ρ1 Khi dễ dng tính đợc tích phân công thức (3.3.4) chuyển toạ độ cầu Ta biểu diễn tích vô hớng k l dới dạng ^  k l = klcos( k l ) (3.3.5) Hớng hệ toạ độ cầu cho góc vectơ k v l trùng với toạ ®é cÇu − gãc θ Khi ®ã →    1 Su( k ) = e −i ( kl ) Ru (l )dl =  8π 8π ∞ 2π π  e −ikl cosθ Ru (l )l sin θdθdϕdl (3.3.6) 0 B»ng phÐp thay biÕn cosθ=t tÝch ph©n hai líp ta nhËn ®−ỵc 2π π e 0 −ikl cosθ π sin θdθdϕ = 2π  e −ikl cosθ sin θdθ = 2π  e −iklt dt = −1 4π sin(kl ) kl (3.3.7) Đặt (3.3.7) vo (3.3.6) ta ®−ỵc ∞  sin( kl ) S u (k ) = Ru (l )l dl  2π kl (3.3.8) Tõ ®ã thÊy r»ng, mËt ®é phỉ trờng đồng đẳng hớng l hm ®èi sè v« h−íng k S u (k ) = ∞ sin( kl ) Ru (l )l dl kl (3.3.9) Đối với trờng đồng đẳng hớng, sử dụng phơng pháp tơng tự để tính tích phân (3.3.3), ta nhận đợc sin( kl ) S u (k )k dk kl Ru (l ) = (3.3.10) Vì mật độ phổ phải l hm không âm, nên hm tơng quan Ru(l) trờng đồng đẳng hớng l hm cho tích phân (3.3.9) không âm với 100 k0 Đối với trờng đồng đẳng hớng mặt phẳng, công thức cho hm tơng quan Ru(l) v mật độ phổ Su(k) đợc biểu thị nh phép biến đổi Fourier lẫn theo công thức Ru (l ) = e i ( kl ) S u (k )dk Su (k ) =   (3.3.11) →  e −i ( kl ) Ru (l )dl  4π đây, d k v d l l yếu tố diện tích (3.3.12) Khi chuyển toạ độ cùc vμ h−íng trơc cùc theo vect¬ k , ta nhận đợc k l = klcos, (3.3.13) từ Su (k ) = 2π ∞ 4π e −ikl cosϕ Ru (l )ldldϕ (3.3.14) 0 V× 2π 2π e −ikl cosϕ dϕ = J o (kl ) (3.3.15) lμ hμm Bessel lo¹i I bËc 0, nên (3.3.14) đợc viết dới dạng Su (k ) = đây, l = J o (kl ) Ru (l )ldl (3.3.16) (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 T−¬ng tù, ta nhËn d−ỵc ∞ Ru (l ) = 2π  J o (kl ) S u (k )kdk (3.3.17) §Ĩ cho hμm Ru(l) lμ hμm t−¬ng quan cđa tr−êng đồng đẳng hớng mặt phẳng tích phân (3.3.16) cần phải không âm với k0 Ta hÃy xÐt mét vμi vÝ dơ tÝnh mËt ®é phỉ Giả sử hm tơng quan trờng đồng đẳng h−íng ba chiỊu cã d¹ng R(l) = σ e −α l ,α > (3.3.18) Khi ®ã mËt ®é phổ đợc xác định theo công thức (3.3.9) ∞ −αl S(k) = e l sin( kl )dl 2π k  (3.3.19) Ta xÐt tÝch ph©n ∞ J= e −αl l sin( kl )dl Sö dụng phơng pháp tích phân phần, ta đợc 101 (3.3.20) ∞ J= k −αl  e l sin(kl )dl + α ∞ e α −αl l cos(kl )dl (3.3.21) Sử dụng phơng pháp tơng tự cho tÝch ph©n ∞ J1 = e −αl l cos(kl )dl (3.3.22) ta cã ∞ e α J1 = −αl l cos(kl )dl − k ∞ e α l l sin( kl )dl (3.3.23) Đặt (3.3.23) vo (3.3.21) ta đợc J= e l sin( kl )dl + k2 α2 ∞ e −αl cos(kl )dl − k2 α2 J (3.3.24) Tõ ®ã J= ∞ α k +α 2 e −αl k   sin( kl ) + α cos(kl ) dl (3.3.25) Sử dụng hai lần phơng pháp tích phân phần cho (3.3.25), ta nhận đợc J= (k 2k (3.3.26) + 2) Đặt (3.3.26) vo (3.3.19) cuối ta đợc S(k) = (k + α ) (3.3.27) MËt ®é phỉ (3.3.27) không âm với giá trị k, ®ã hμm (3.3.18) cã thĨ lμ hμm t−¬ng quan cđa trờng ngẫu nhiên ba chiều Đồ thị mật độ phổ (3.3.27) đợc dẫn hình 3.10) Hình 3.10 102 2 R(l) = σ 2e −αl , α > (3.3.28) Mật độ phổ trờng hợp ny đợc xác định dới dạng k2 ∞ −αl σ2 S(k) = e l sin( kl )dl = e 4α 3/ 2π k  8(πα ) (3.3.29) Hμm (3.3.29) cịng lμ hμm kh«ng ©m víi mäi k, ®ã hμm (3.3.28) cã thĨ l hm tơng quan trờng ngẫu nhiên ba chiều Đồ thị mật độ phổ (3.3.29) đợc biểu diễn hình 3.11 Đối với hm R(l) = 2e −α l cos β l , α > 0, β > (3.3.30) mËt ®é phỉ b»ng S(k) = σ 2α k + 2k 2b + (2a − b )b σ ∞ −αl e cos βl sin( kl )ldl = π 2π k  (k + 2ak + b )2 (3.3.31) a=2-2, b=2+2 Đồ thị S(k) đợc biểu diễn hình 3.12 Hình 3.11 Hình 3.12 I) α=0.5, β=2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0.5 Trong tr−êng hợp ny, S(k)0 với k0 bất đẳng thức >32 hay > đợc thoả mÃn, v đó, > hμm Ru(l) míi cã thĨ lμ hμm t−¬ng quan cđa trờng ngẫu nhiên ba chiều Nh đà nêu mục 3.2, hμm R(τ)= σ e −α τ cos βτ víi mäi α>0 vμ β>0 cã thĨ lμ hμm t−¬ng quan trình ngẫu nhiên dừng (trờng đồng nhất) Hm tơng quan trờng ngẫu nhiên đồng đẳng h−íng ba chiỊu (hc hai chiỊu) R(l) thay thÕ l= luôn l hm tơng quan trình ngẫu nhiên dừng (trờng đồng chiều), tất điểm đờng thẳng y=z=0 trờng đồng đẳng hớng ba chiều l trờng đồng chiều Nh đà nêu ví dụ cuối cùng, điều ngợc lại không xảy ra, tức hm R() l hm tơng quan trờng đồng chiều suy đợc rằng, hm l hm khoảng cách điểm l hm tơng quan trờng hai ba chiÒu 103 ... tích phân phần cho (3. 3.25), ta nhận đợc J= (k 2k (3. 3.26) + 2) Đặt (3. 3.26) vo (3. 3.19) cuối ta đợc S(k) = (k + α ) (3. 3.27) MËt ®é phỉ (3. 3.27) không âm với giá trị k, hμm (3. 3.18) cã thĨ lμ... kl )dl (3. 3. 23) Đặt (3. 3. 23) vo (3. 3.21) ta đợc J= e l sin( kl )dl + k2 α2 ∞ e −αl cos(kl )dl − k2 α2 J (3. 3.24) Tõ ®ã J= ∞ α k +α 2 e −αl k   sin( kl ) + α cos(kl ) dl  (3. 3.25) Sử... )dl = e 4α 3/ 2π k  8(πα ) (3. 3.29) Hm (3. 3.29) l hm không âm víi mäi k, ®ã hμm (3. 3.28) cã thĨ lμ hm tơng quan trờng ngẫu nhiên ba chiều Đồ thị mật độ phổ (3. 3.29) đợc biểu diễn hình 3. 11 §èi