Ch´u ´y rˇa ` ng trong v´ı du . n`ay, luˆo ` ng ra kho ˙’ i d¯ı ˙’ nh s l`a f sb + f sd bˇa ` ng luˆo ` ng d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh t : f ct + f et v`a bˇa ` ng 5. Thˆa . t vˆa . y, ta c´o D - i . nh l´y 7.2.6 Gia ˙’ su . ˙’ F l`a luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G := (V, E). Khi d¯´o luˆo ` ng ra kho ˙’ i d¯ı ˙’ nh s bˇa ` ng luˆo ` ng d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh t; t´u . c l`a  i f si =  i f it . Ch´u . ng minh. Ta c´o  j∈V   i∈V f ij  =  j∈V   i∈V f ji  do mˆo ˜ i vˆe ´ bˇa ` ng  e∈E f e . V`ı vˆa . y 0 =  j∈V (  i∈V f ij −  i∈V f ji ) = (  i∈V f it −  i∈V f ti ) + (  i∈V f is −  i∈V f si ) +  j∈V,j=s,t (  i∈V f ij −  i∈V f ji ) =  i∈V f it −  i∈V f si do f ti = 0 = f is v´o . i mo . i v i ∈ V, v`a (7.1). D - i . nh ngh˜ıa 7.2.7 Gia ˙’ su . ˙’ F l`a luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G. D - a . i lu . o . . ng  i f si =  i f it go . i l`a gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng F. B`ai to´an trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G c´o thˆe ˙’ ph´at biˆe ˙’ u: B`ai to´an 7.2.8 T`ım mˆo . t luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c l´o . n nhˆa ´ t trˆen d¯ˆo ` thi . G; t´u . c l`a trong sˆo ´ tˆa ´ t ca ˙’ c´ac luˆo ` ng trˆen G, t`ım luˆo ` ng F c´o gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t. Thuˆa . t to´an g´an nh˜an cu ˙’ a Ford v`a Fulkerson [27] gia ˙’ i b`ai to´an n`ay du . . a trˆen D - i . nh l´y 7.2.10. Tru . ´o . c hˆe ´ t ta c´o mˆo . t sˆo ´ kh´ai niˆe . m 177 D - i . nh ngh˜ıa 7.2.9 Nˆe ´ u c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G = (V, E) d¯u . o . . c phˆan hoa . ch th`anh hai tˆa . p con V 0 v`a ˜ V 0 (trong d¯´o V 0 ⊂ V v`a ˜ V 0 l`a phˆa ` n b`u cu ˙’ a V 0 trong V ), th`ı tˆa . p c´ac cung cu ˙’ a G v´o . i d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at thuˆo . c V 0 v`a d¯ı ˙’ nh kˆe ´ t th´uc thuˆo . c ˜ V 0 go . i l`a thiˆe ´ t diˆe . n cu ˙’ a G. Tˆa . p c´ac cung cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n thu . `o . ng d¯u . o . . c k´y hiˆe . u bo . ˙’ i (V 0 → ˜ V 0 ). Gia ˙’ su . ˙’ G l`a ma . ng vˆa . n ta ˙’ i. Thiˆe ´ t diˆe . n (V 0 → ˜ V 0 ) t´ach s kho ˙’ i t nˆe ´ u s ∈ V 0 v`a t ∈ ˜ V 0 . Kha ˙’ nˇang thˆong qua hay gi´a tri . cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n l`a tˆo ˙’ ng cu ˙’ a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac kha ˙’ nˇang cu ˙’ a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung cu ˙’ a G v´o . i d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at thuˆo . c V 0 v`a d¯ı ˙’ nh kˆe ´ t th´uc thuˆo . c ˜ V 0 ; t´u . c l`a v(V 0 → ˜ V 0 ) :=  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) q ij . Thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t l`a thiˆe ´ t diˆe . n c´o kha ˙’ nˇang thˆong qua nho ˙’ nhˆa ´ t. D - i . nh l´y 7.2.10 (D - i . nh l ´y thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t-luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t) Gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t bˇa ` ng kha ˙’ nˇang thˆong qua cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t (V m → ˜ V m ) t´ach s kho ˙’ i t. Ch´u . ng minh. Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng, luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t khˆong thˆe ˙’ l´o . n ho . n v(V m → ˜ V m ) do tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t d¯ˆe ` u su . ˙’ du . ng ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t cung cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n n`ay. Do d¯´o chı ˙’ cˆa ` n ch´u . ng minh rˇa ` ng tˆo ` n ta . i mˆo . t luˆo ` ng d¯a . t gi´a tri . n`ay. Ta xem luˆo ` ng d¯˜a cho F tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t vector m chiˆe ` u v`a d¯i . nh ngh˜ıa thiˆe ´ t diˆe . n (V 0 → ˜ V 0 ) bˇa ` ng d¯ˆe . quy theo thu ˙’ tu . c sau: 1. Kho . ˙’ i ta . o, d¯ˇa . t V 0 = {s}. 2. Nˆe ´ u v i ∈ V 0 , v`a hoˇa . c f ij < q ij hoˇa . c f ij > 0 th`ı d¯ˇa . t v j v`ao trong tˆa . p V 0 . 3. Lˇa . p la . i Bu . ´o . c 2 cho d¯ˆe ´ n khi khˆong thˆe ˙’ thˆem d¯ı ˙’ nh n`ao v`ao V 0 . C´o hai tru . `o . ng ho . . p xa ˙’ y ra: hoˇa . c t ∈ V 0 hoˇa . c t /∈ V 0 . Tru . `o . ng ho . . p 1. t ∈ V 0 . Theo Bu . ´o . c 2 trˆen, tˆo ` n ta . i mˆo . t dˆay chuyˆe ` n t`u . s d¯ˆe ´ n t sao cho mo . i cung ( v i , v j ) d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng bo . ˙’ i dˆay chuyˆe ` n theo hu . ´o . ng thuˆa . n (c´ac cung d¯i . nh hu . ´o . ng thuˆa . n) thoa ˙’ f ij < q ij v`a c´ac cung (v k , v l ) d¯u . o . . c d¯i . nh hu . ´o . ng ngu . o . . c, t´u . c l`a hu . ´o . ng t`u . v l d¯ˆe ´ n v k thoa ˙’ f lk > 0. Dˆay chuyˆe ` n n`ay go . i l`a dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh. D - ˇa . t δ f = min (v i ,v j ) [q ij − f ij ]; (v i , v j ) thuˆa . n hu . ´o . ng, δ b = min (v k ,v i ) [f kl ]; (v k , v l ) ngu . o . . c hu . ´o . ng 178 v`a δ = min[δ f , δ b ]. Nˆe ´ u ta cˆo . ng thˆem δ v`ao luˆo ` ng trˆen tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung d¯i . nh hu . ´o . ng thuˆa . n v`a tr`u . d¯i δ trˆen tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung d¯i . nh hu . ´o . ng ngu . o . . c trong dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh th`ı luˆo ` ng thu d¯u . o . . c vˆa ` n l`a luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c c´o gi´a tri . nho ˙’ ho . n luˆo ` ng ban d¯ˆa ` u mˆo . t lu . o . . ng δ. D - iˆe ` u n`ay l`a hiˆe ˙’ n nhiˆen v`ı thˆem mˆo . t lu . o . . ng δ v`ao c´ac cung theo chiˆe ` u thuˆa . n khˆong vu . o . . t qu´a kha ˙’ nˇang cu ˙’ a c´ac cung n`ay (do δ < δ f ) v`a tr`u . d¯i mˆo . t lu . o . . ng δ v`ao c´ac cung theo chiˆe ` u ngu . o . . c th`ı luˆo ` ng vˆa ˜ n khˆong ˆam (do δ < δ b ). ´ Ap du . ng la . i v´o . i luˆo ` ng m´o . i theo c´ac Bu . ´o . c 1-3 trˆen ta la . i thu d¯u . o . . c mˆo . t thiˆe ´ t diˆe . n m´o . i (V 0 → ˜ V 0 ). Tru . `o . ng ho . . p 2. t /∈ V 0 . Theo Bu . ´o . c 2, f ij = q ij v´o . i mo . i cung (v i , v j ) ∈ (V 0 → ˜ V 0 ) v`a f kl = 0 v´o . i mo . i cung (v k , v l ) ∈ ( ˜ V 0 → V 0 ). Do d¯´o  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) f ij =  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) q ij v`a  (v k ,v l )∈( ˜ V 0 →V 0 ) f kl = 0; t´u . c l`a gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng bˇa ` ng  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) f ij −  (v k ,v l )∈( ˜ V 0 →V 0 ) f kl v`a bˇa ` ng kha ˙’ nˇang thˆong qua cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n (V 0 → ˜ V 0 ). Do Tru . `o . ng ho . . p 1, luˆo ` ng tˇang ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t d¯o . n vi . , nˆen nˆe ´ u gia ˙’ thiˆe ´ t tˆa ´ t ca ˙’ c´ac kha ˙’ nˇang q ij l`a nh˜u . ng sˆo ´ nguyˆen th`ı luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ nhˆa . n d¯u . o . . c sau mˆo . t sˆo ´ h˜u . u ha . n bu . ´o . c khi Tru . `o . ng ho . . p 2 xa ˙’ y ra. Luˆo ` ng n`ay c´o gi´a tri . bˇa ` ng kha ˙’ nˇang thˆong qua cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n hiˆe . n h`anh (V 0 → ˜ V 0 ) nˆen l`a luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t v`a thiˆe ´ t diˆe . n tu . o . ng ´u . ng c´o kha ˙’ nˇang thˆong qua nho ˙’ nhˆa ´ t.  Phu . o . ng ph´ap xˆay du . . ng d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ ch´u . ng minh d¯i . nh l´y trˆen cho ch´ung ta thuˆa . t to´an d¯ˆe ˙’ t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t. Thuˆa . t to´an n`ay s˜e d¯u . o . . c tr`ınh b`ay du . ´o . i d¯ˆay. Xuˆa ´ t ph´at t`u . luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c tu`y ´y (c´o thˆe ˙’ su . ˙’ du . ng luˆo ` ng c´o gi´a tri . bˇa ` ng khˆong) v`a sau d¯´o tˇang luˆo ` ng bˇa ` ng c´ach t`ım c´ac dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n t. Viˆe . c t`ım 179 mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng d¯u . o . . c thu . . c hiˆe . n bˇa ` ng c´ach g´an nh˜an. Khi t`ım d¯u . o . . c mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng, ta s˜e tˇang gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng. Sau d¯´o xo´a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac nh˜an v`a luˆo ` ng m´o . i d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ g´an nh˜an la . i. Nˆe ´ u khˆong tˆo ` n ta . i dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng th`ı thuˆa . t to´an kˆe ´ t th´uc, luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c l`a l´o . n nhˆa ´ t. Thuˆa . t to´an cu . thˆe ˙’ nhu . sau: 7.2.1 Thuˆa . t to´an g´an nh˜an d¯ˆe ˙’ t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t A. Qu´a tr`ınh g´an nh˜an Mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh chı ˙’ c´o thˆe ˙’ c´o mˆo . t trong ba kha ˙’ nˇang: 1. d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra (t´u . c l`a n´o d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh liˆen thuˆo . c v´o . i n´o d¯˜a d¯u . o . . c xu . ˙’ l´y); hoˇa . c 2. d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra (t´u . c l`a n´o d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a tˆo ` n ta . i d¯ı ˙’ nh liˆen thuˆo . c v´o . i n´o chu . a d¯u . o . . c xu . ˙’ l´y); hoˇa . c 3. chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an. Nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v i gˆo ` m hai th`anh phˆa ` n v`a c´o mˆo . t trong hai da . ng hoˇa . c (+v j , δ) hoˇa . c (−v j , δ). Trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆa ` u, c´o thˆe ˙’ tˇang luˆo ` ng do . c theo cung (v i , v j ); trong tru . `o . ng ho . . p th´u . hai, c´o thˆe ˙’ gia ˙’ m luˆo ` ng do . c theo cung ( v i , v j ). D - a . i lu . o . . ng δ trong ca ˙’ hai tru . `o . ng ho . . p l`a lu . o . . ng h`ang nhiˆe ` u nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ thˆem hoˇa . c b´o . t gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng trˆen c´ac cung thuˆo . c dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh (trong qu´a tr`ınh xˆay du . . ng) t`u . s d¯ˆe ´ n v i . Nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v i cho ph´ep x´ac d¯i . nh dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n v i . Kho . ˙’ i ta . o tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a f ij = 0 v´o . i mo . i cung (v i , v j ) ∈ E. 1. G´an nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh s l`a (+s, δ(s) = ∞). D - ı ˙’ nh s d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra; tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh kh´ac chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an. 2. Cho . n d¯ı ˙’ nh v i ∈ V d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra. Nˆe ´ u khˆong tˆo ` n ta . i, thuˆa . t to´an d`u . ng, luˆo ` ng F = (f ij ) l`a l´o . n nhˆa ´ t. Ngu . o . . c la . i, gia ˙’ su . ˙’ (±v k , δ(v i )) l`a nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v i . • G´an nh˜an (+v i , δ(v j )) cho tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh v j ∈ Γ(v i ) chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an sao cho f ij < q ij , trong d¯´o δ(v j ) := min{δ(v i ), q ij − f ij }. 180 • G´an nh˜an (−v i , δ(v j )) cho tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh v j ∈ Γ −1 (v i ) chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an sao cho f ji > 0, trong d¯´o δ(v j ) := min{δ(v i ), f ji }. (D - ı ˙’ nh v i d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a d¯˜a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra; c´ac d¯ı ˙’ nh v j x´ac d¯i . nh trˆen d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra). 3. Nˆe ´ u d¯ı ˙’ nh t d¯u . o . . c g´an nh˜an, chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 4; ngu . o . . c la . i chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 2. Cˆa ` n ch´u ´y rˇa ` ng, nˆe ´ u V 0 l`a tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a ˜ V 0 l`a tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an th`ı (V 0 → ˜ V 0 ) l`a thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t. B. Qu´a tr`ınh tˇang luˆo ` ng 4. D - ˇa . t c = t v`a chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 5. • Nˆe ´ u nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh c c´o da . ng (+z, δ(c)) th`ı thay luˆo ` ng trˆen cung (z, c) l`a f zc bo . ˙’ i f zc + δ(t); • Nˆe ´ u nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh c c´o da . ng (−z, δ(c)) th`ı thay luˆo ` ng trˆen cung (x, z) l`a f cz bo . ˙’ i f cz − δ(t); 5. Nˆe ´ u z = s th`ı xo´a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac nh˜an t`u . c´ac d¯ı ˙’ nh v`a chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 1; ngu . o . . c la . i (t´u . c l`a z = c) d¯ˇa . t c = z v`a tro . ˙’ la . i Bu . ´o . c 5. 7.2.2 D - ˆo ` thi . d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng Qu´a tr`ınh t`ım mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯ˆe ˙’ tˇang gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng F trong d¯ˆo ` thi . G = (V, E) c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` t`ım mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t trˆen d¯ˆo ` thi . d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng G µ (F ) = (V µ , E µ ), V µ = V, E µ = E µ 1 ∪ E µ 2 , trong d¯´o E µ 1 := {(v µ i , v µ j ) | f ij < q ij , (v i , v j ) ∈ E}, v´o . i kha ˙’ nˇang cu ˙’ a mˆo ˜ i cung (v µ i , v µ j ) ∈ E µ 1 l`a q µ ij = q ij − f ij , v`a E µ 2 := {(v µ j , v µ i ) | f ij > 0, (v i , v j ) ∈ E} v´o . i kha ˙’ nˇang cu ˙’ a mˆo ˜ i cung (v µ j , v µ i ) ∈ E µ 2 l`a q µ ji = f ij . Khi d¯´o thu ˙’ tu . c g´an nh˜an cu ˙’ a thuˆa . t to´an t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t trong Phˆa ` n 7.2.1 ch´ınh l`a thuˆa . t to´an x´ac d¯i . nh tˆa . p pha . m vi R(s) trong d¯ˆo ` thi . d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng G µ (F ). Nˆe ´ u t ∈ R(s), t´u . c l`a nˆe ´ u d¯ı ˙’ nh t d¯u . o . . c g´an nh˜an, th`ı c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t trong d¯ˆo ` thi . G µ (F ). Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay, dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng cu ˙’ a G l`a d¯u . `o . ng d¯i P m`a c´ac cung cu ˙’ a P thuˆo . c E µ 1 tu . o . ng ´u . ng cung d¯i . nh hu . ´o . ng thuˆa . n v`a c´ac cung cu ˙’ a P thuˆo . c E µ 2 d¯u . o . . c d¯i . nh hu . ´o . ng ngu . o . . c. 181 7.2.3 Phˆan t´ıch luˆo ` ng Trong mˆo . t sˆo ´ tru . `o . ng ho . . p ta muˆo ´ n phˆan t´ıch mˆo . t luˆo ` ng ph´u . c ta . p th`anh tˆo ˙’ ng cu ˙’ a nh˜u . ng luˆo ` ng d¯o . n gia ˙’ n ho . n. D - iˆe ` u n`ay khˆong nh˜u . ng c´o ´y ngh˜ıa thu . . c tiˆe ˜ n m`a c`on g´op phˆa ` n hiˆe ˙’ u tˆo ´ t ho . n ba ˙’ n chˆa ´ t cu ˙’ a luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i, v`a ngo`ai ra phu . c vu . mˆo . t sˆo ´ thuˆa . t to´an vˆe ` luˆo ` ng. K´y hiˆe . u h ◦ (S) l`a luˆo ` ng trong d¯ˆo ` thi . G m`a c´ac cung (v i , v j ) ∈ S c´o f ij = h v`a c´ac cung (v i , v j ) /∈ S c´o f ij = 0. Ch´u ´y rˇa ` ng h ◦ (S) khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t l`a mˆo . t luˆo ` ng v´o . i tˆa . p S tu`y ´y. Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng h ◦ (S) l`a mˆo . t luˆo ` ng th`ı tˆa . p S c´ac cung hoˇa . c ta . o th`anh mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t hoˇa . c l`a mˆo . t ma . ch trong G. V´o . i hai luˆo ` ng F v`a H ta k´y hiˆe . u F + H l`a luˆo ` ng m`a luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ) l`a f ij + h ij . D - i . nh l´y 7.2.11 Nˆe ´ u F l`a luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n t c´o gi´a tri . nguyˆen v trong G th`ı F c´o thˆe ˙’ phˆan t´ıch th`anh F = 1 ◦ (P 1 ) + 1 ◦ (P 2 ) + · · · + 1 ◦ (P v ) + 1 ◦ (Φ 1 ) + 1 ◦ (Φ 2 ) + · · · + 1 ◦ (Φ κ ), trong d¯´o P 1 , P 2 , P v l`a c´ac d¯u . `o . ng d¯i so . cˆa ´ p t`u . s d¯ˆe ´ n t v`a Φ 1 , Φ 2 , . . . , Φ κ l`a c´ac ma . ch so . cˆa ´ p cu ˙’ a G. (P i v`a Φ i khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t phˆan biˆe . t). Ch´u . ng minh. T`u . G = (V, E) v´o . i luˆo ` ng F cho tru . ´o . c ta xˆay du . . ng d¯ˆo ` thi . unitary G e = (V e , E e ) nhu . sau: Tˆa . p V e c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G e ch´ınh l`a tˆa . p V c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G. Nˆe ´ u f ij l`a luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ) cu ˙’ a G th`ı ta thay bˇa ` ng f ij cung song song gi˜u . a c´ac d¯ı ˙’ nh tu . o . ng ´u . ng v e i v`a v e j cu ˙’ a G e . Nˆe ´ u f ij = 0 th`ı khˆong c´o cung n`ao d¯u . o . . c d¯ˇa . t gi˜u . a v e i v`a v e j . Ta d¯u . o . . c G e l`a d¯a d¯ˆo ` thi . trong d¯´o mˆo ˜ i cung cu ˙’ a n´o tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t d¯o . n vi . luˆo ` ng trˆen cung tu . o . ng ´u . ng trong G; n´oi c´ach kh´ac, G e biˆe ˙’ u diˆe ˜ n luˆo ` ng F trong G. T`u . d¯iˆe ` u kiˆe . n vˆe ` luˆo ` ng F suy ra c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G e cˆa ` n thoa ˙’ m˜an d + (v e i ) = d − (v e i ), v´o . i mo . i v e i = s e hoˇa . c t e , d + (s e ) = d − ( e ) = v. Suy ra nˆe ´ u ta tra ˙’ la . i v cung d¯u . o . . c thˆem v`ao G e t`u . d¯ı ˙’ nh t e d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh s e th`ı d¯ˆo ` thi . G e s˜e c´o mˆo . t ma . ch Euler (xem Phˆa ` n 5.1). Loa . i bo ˙’ v cung n`ay kho ˙’ i ma . ch Euler, ta d¯u . o . . c v d¯u . `o . ng d¯i t`u . s e d¯ˆe ´ n t e qua mˆo ˜ i cung cu ˙’ a G e d¯´ung mˆo . t lˆa ` n. K´y hiˆe . u c´ac d¯u . `o . ng d¯i n`ay l`a P  1 , P  2 , . . . , P  v . C´ac d¯u . `o . ng d¯i P  i khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t so . cˆa ´ p (mˇa . c d `u ch´ung l`a d¯o . n gia ˙’ n). Tuy nhiˆen, mˆo ˜ i d¯u . `o . ng d¯i khˆong so . cˆa ´ p c´o thˆe ˙’ xem nhu . tˆo ˙’ ng cu ˙’ a mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i so . cˆa ´ p t`u . s e d¯ˆe ´ n t e v`a mˆo . t sˆo ´ c´ac ma . ch so . cˆa ´ p r`o . i nhau. Do vˆa . y, F = 1 ◦ (P 1 ) + 1 ◦ (P 2 ) + · · · + 1 ◦ (P v ) + 1 ◦ (Φ 1 ) + 1 ◦ (Φ 2 ) + · · · + 1 ◦ (Φ κ ), 182 trong d¯´o P i l`a c´ac d¯u . `o . ng d¯i so . cˆa ´ p t`u . s e d¯ˆe ´ n t e v`a Φ i l`a c´ac ma . ch so . cˆa ´ p.  N´oi chung, c´ac d¯u . `o . ng d¯i v`a c´ac chu tr`ınh c´o thˆe ˙’ tr`ung nhau. Nˆe ´ u chı ˙’ c´o v  d¯u . `o . ng d¯i v`a κ  ma . ch d¯ˆa ` u tiˆen kh´ac nhau, v´o . i d¯u . `o . ng d¯i P i xuˆa ´ t hiˆe . n h i lˆa ` n trong danh s´ach P 1 , P 2 , . . . , P v v`a ma . ch Φ i xuˆa ´ t hiˆe . n l i lˆa ` n trong danh s´ach Φ 1 , Φ 2 , . . . , Φ κ th`ı F c´o thˆe ˙’ viˆe ´ t du . ´o . i da . ng F = v   i=1 h i ◦ (P i ) + κ   i=1 l i ◦ (Φ i ). N´oi chung hai luˆo ` ng F v`a H l`a th´ıch ´u . ng nˆe ´ n f ij .h ij = 0 v´o . i mo . i cung (v i , v j ). V´ı du . 7.2.12 Luˆo ` ng F trong H`ınh 7.3 d¯u . o . . c phˆan t´ıch th`anh c´ac d¯u . `o . ng d¯i (t`u . s d¯ˆe ´ n t) v`a c´ac ma . ch so . cˆa ´ p: F = 2 ◦ P 1 + 1 ◦ P 2 + 1 ◦ Φ 1 + 1 ◦ Φ 2 + 1 ◦ Φ 3 , trong d¯´o P 1 = {s, v 2 , v 4 , t}, P 2 = {s, v 1 , v 3 , v 2 , v 4 , t}, Φ 1 = {v 1 , v 3 , v 2 , v 1 }, Φ 2 = {v 2 , v 4 , v 5 , v 6 , v 2 }, Φ 3 = {v 5 , v 6 , v 7 , v 5 }. 7.3 C´ac ca ˙’ i biˆen d¯o . n gia ˙’ n cu ˙’ a b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t Phˆa ` n n`ay ch´ung ta nˆeu mˆo . t sˆo ´ kˆe ´ t qua ˙’ nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t. 7.3.1 C´ac d¯ˆo ` thi . c´o nhiˆe ` u nguˆo ` n v`a nhiˆe ` u d¯´ıch X´et d¯ˆo ` thi . v´o . i n s d¯ı ˙’ nh v`ao v`a n t d¯ı ˙’ nh ra v`a gia ˙’ su . ˙’ luˆo ` ng c´o thˆe ˙’ chuyˆe ˙’ n t`u . nguˆo ` n d¯ˆe ´ n d¯´ıch tu`y ´y. B`ai to´an t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . tˆa ´ t ca ˙’ c´ac nguˆo ` n d¯ˆe ´ n tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯´ıch c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t bˇa ` ng c´ach thˆem mˆo . t d¯ı ˙’ nh nguˆo ` n nhˆan ta . o s v`a mˆo . t d¯ı ˙’ nh ra nhˆan ta . o t v´o . i c´ac cung d¯u . o . . c thˆem t`u . s d¯ˆe ´ n c´ac d¯ı ˙’ nh v`ao ban d¯ˆa ` u v`a t`u . c´ac d¯ı ˙’ nh ra thu . . c tˆe ´ d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh t. Kha ˙’ nˇang cu ˙’ a c´ac cung thˆem v`ao t`u . s d¯ˆe ´ n c´ac nguˆo ` n c´o thˆe ˙’ d¯ˇa . t bˇa ` ng vˆo c`ung, hoˇa . c trong tru . `o . ng ho . . p lu . o . . ng h`ang cung cˆa ´ p ta . i mˆo . t nguˆo ` n s k tˆo ´ i d¯a l`a a k th`ı kha ˙’ nˇang cu ˙’ a cung 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • s t • v 1 • v 2 • v 3 • v 6 • v 7 • v 5 • v 4 • H`ınh 7.3: Luˆo ` ng F. (s, s k ) c´o thˆe ˙’ d¯ˇa . t bˇa ` ng gi´a tri . n`ay. Tu . o . ng tu . . , kha ˙’ nˇang cu ˙’ a c´ac cung dˆa ˜ n t´o . i d¯ı ˙’ nh ra t c´o thˆe ˙’ d¯ˇa . t bˇa ` ng nhu cˆa ` u ta . i c´ac d¯ı ˙’ nh ra t k hoˇa . c bˇa ` ng vˆo ha . n nˆe ´ u c´o nhu cˆa ` u l`a vˆo ha . n. Nˆe ´ u b`ai to´an d¯ˇa . t ra o . ˙’ d¯´o c´o d¯ı ˙’ nh ra chı ˙’ d¯u . o . . c cung cˆa ´ p bo . ˙’ i nh˜u . ng nguˆo ` n n`ao d¯´o v`a ngu . o . . c la . i, th`ı b`ai to´an khˆong pha ˙’ i l`a ca ˙’ i biˆen d¯o . n gia ˙’ n cu ˙’ a b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t m`a c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` b`ai to´an d¯a luˆo ` ng nhu . d¯˜a d¯ˆe ` cˆa . p trong phˆa ` n mo . ˙’ d¯ˆa ` u. 7.3.2 C´ac d¯ˆo ` thi . v´o . i r`ang buˆo . c ta . i c´ac cung v`a d¯ı ˙’ nh Nˆe ´ u ngo`ai kha ˙’ nˇang q ij cu ˙’ a c´ac cung, ta thˆem kha ˙’ nˇang cu ˙’ a c´ac d¯ı ˙’ nh w j , j = 1, 2, . . . , n, sao cho tˆo ˙’ ng sˆo ´ lu . o . . ng h`ang d¯i d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh v j nho ˙’ ho . n w j , t´u . c l`a  v i ∈Γ −1 (v j ) f ij ≤ w ij v´o . i mo . i v j . Ta cˆa ` n t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t v´o . i gia ˙’ thiˆe ´ t thˆem ta . i c´ac d¯ı ˙’ nh. X´et d¯ˆo ` thi . G 0 sao cho mo . i d¯ı ˙’ nh v j cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G tu . o . ng ´u . ng hai d¯ı ˙’ nh v + j v`a v − j trong d¯ˆo ` thi . G 0 sao cho mo . i cung (v i , v j ) cu ˙’ a G d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh v j tu . o . ng ´u . ng mˆo . t cung (v − i , v + j ) d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh v + j , v`a mo . i cung (v j , v k ) cu ˙’ a G xuˆa ´ t ph´at t`u . v j tu . o . ng ´u . ng mˆo . t cung (v − j , v + k ) cu ˙’ a G 0 xuˆa ´ t ph´at t`u . v − j . Ngo`ai ra ta thˆem mˆo . t cung gi˜u . a v + j v`a v − j v´o . i kha ˙’ nˇang thˆong qua w j , t´u . c l`a bˇa ` ng kha ˙’ nˇang cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v j . V`ı tˆo ˙’ ng sˆo ´ lu . o . . ng h`ang d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh v + j pha ˙’ i d¯u . o . . c chuyˆe ˙’ n do . c theo cung (v + j , v − j ) v´o . i kha ˙’ 184 nˇang thˆong qua w j nˆen luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t trong d¯ˆo ` thi . G v´o . i r`ang buˆo . c ta . i c´ac d¯ı ˙’ nh bˇa ` ng luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t trong d¯ˆo ` thi . G 0 v´o . i r`ang buˆo . c chı ˙’ ta . i c´ac cung. Cˆa ` n ch´u ´y rˇa ` ng nˆe ´ u thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t cu ˙’ a G 0 khˆong ch´u . a c´ac cung da . ng (v + j , v − j ) th`ı r`ang buˆo . c ta . i d¯ı ˙’ nh v j tng ng trong G khˆong “t´ıch cu . . c” v`a tro . ˙’ th`anh vˆo du . ng; nˆe ´ u ngu . o . . c la . i, thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t cu ˙’ a G 0 ch´u . a c´ac cung loa . i n`ay th`ı c´ac d¯ı ˙’ nh tu . o . ng ´u . ng cu ˙’ a G l`a ba ˙’ o ho`a bo . ˙’ i luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t. 7.3.3 C´ac d¯ˆo ` thi . c´o cˆa . n trˆen v`a cˆa . n du . ´o . i vˆe ` luˆo ` ng X´et d¯ˆo ` thi . G trong d¯´o c´ac cung (v i , v j ) ngo`ai cˆa . n trˆen q ij c`on c´o cˆa . n du . ´o . i vˆe ` luˆo ` ng l`a r ij . Gia ˙’ su . ˙’ ta muˆo ´ n biˆe ´ t c´o tˆo ` n ta . i mˆo . t luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n gi˜u . a s v`a t sao cho r ij ≤ f ij ≤ q ij v´o . i mo . i cung (v i , v j ). T`u . G, ta thˆem mˆo . t d¯ı ˙’ nh v`ao nhˆan ta . o s a v`a d¯ı ˙’ nh ra nhˆan ta . o t a d¯ˆe ˙’ nhˆa . n d¯u . o . . c G a . Mˆo ˜ i cung (v i , v j ) m`a r ij = 0 ta thˆem mˆo . t cung (s a , v j ) v´o . i kha ˙’ nˇang r ij v`a cˆa . n du . ´o . i bˇa ` ng khˆong, v`a c˜ung thˆem cung th´u . hai (v i , t a ) v´o . i kha ˙’ nˇang r ij v`a cˆa . n du . ´o . i bˇa ` ng khˆong. Thay q ij bo . ˙’ i q ij − r ij v`a r ij bˇa ` ng 0. Ngo`ai ra thˆem cung (t, s) v´o . i q ts = ∞, r ts = 0. Bˆay gi`o . ta t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s a d¯ˆe ´ n t a trong d¯ˆo ` thi . G a . Nˆe ´ u gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t bˇa ` ng  r ij =0 r ij (t´u . c l`a, nˆe ´ u tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung d¯i ra t`u . s a v`a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung d¯i d¯ˆe ´ n t a ba ˙’ o ho`a) v`a k´y hiˆe . u lu . o . . ng h`ang trˆen cung (t, s) l`a f ts th`ı tˆo ` n ta . i luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c v´o . i gia tri . f ts trong d¯ˆo ` thi . ban d¯ˆa ` u. Thˆa . t vˆa . y, nˆe ´ u ta tr`u . r ij lu . o . . ng h`ang trˆen c´ac cung (v i , t a ) v`a (s a , v j ) v`a cˆo . ng thˆem r ij v`ao lu . o . . ng h`ang trˆen cung (v i , v j ) th`ı tˆo ˙’ ng lu . o . . ng h`ang t`u . s a d¯ˆe ´ n t a gia ˙’ m mˆo . t lu . o . . ng l`a r ij , luˆo ` ng trˆen c´ac cung (v i , t a ) v`a (s a , v j ) gia ˙’ m xuˆo ´ ng khˆong, c`on luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ) l`a f ij ∈ [r ij , q ij ]. (Gi´a tri . cuˆo ´ i cu ˙’ a f ij bˇa ` ng r ij nˆe ´ u gi´a tri . ban d¯ˆa ` u cu ˙’ a f ij tu . o . ng ´u . ng luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t bˇa ` ng khˆong, v`a gi´a tri . cuˆo ´ i cu ˙’ a f ij bˇa ` ng q ij nˆe ´ u gi´a tri . ban d¯ˆa ` u cu ˙’ a f ij bˇa ` ng q ij − r ij ). Bu . ´o . c tr`u . luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t ngu . o . . c v´o . i bu . ´o . c d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng trong thuˆa . t to´an t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t. V`ı ta gia ˙’ thiˆe ´ t gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t bˇa ` ng  r ij =0 r ij nˆen cuˆo ´ i c`ung, tiˆe ´ n tr`ınh tr`u . luˆo ` ng s˜e cho luˆo ` ng t`u . s a d¯ˆe ´ n t a c´o gi´a tri . bˇa ` ng khˆong (do d¯´o s˜e khiˆe ´ n hai d¯ı ˙’ nh nhˆan ta . o v`a c´ac cung liˆen thuˆo . c ch´ung tro . ˙’ th`anh vˆo du . ng), v`a luˆo ` ng trˆen tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung v´o . i r ij = 0 s˜e thay d¯ˆo ˙’ i trong pha . m vi [r ij , q ij ]. Kˆe ´ t qua ˙’ l`a ta c´o mˆo . t luˆo ` ng “lu . u thˆong” trong d¯ˆo ` thi . v´o . i gi´a tri . bˇa ` ng f ts . Mˇa . t kh´ac ta c´o D - i . nh l´y 7.3.1 Nˆe ´ u gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s a d¯ˆe ´ n t a trong d¯ˆo ` thi . G a kh´ac  r ij =0 r ij th`ı khˆong tˆo ` n ta . i luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c trong G. Ch´u . ng minh. B`ai tˆa . p.  185 7.4 Luˆo ` ng v´o . i chi ph´ı nho ˙’ nhˆa ´ t Trong Phˆa ` n 7.2 ch´ung ta d¯˜a x´et b`ai to´an t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t m`a khˆong d¯ˆe ` cˆa . p d¯ˆe ´ n chi ph´ı d¯u . o . . c gˇa ´ n trˆen mˆo ˜ i cung. Phˆa ` n n`ay kha ˙’ o s´at b`ai to´an t`ım luˆo ` ng v´o . i gi´a tri . v cho tru . ´o . c t`u . s d¯ˆe ´ n t sao cho chi ph´ı cu ˙’ a luˆo ` ng l`a nho ˙’ nhˆa ´ t. Cu . thˆe ˙’ l`a: B`ai to´an 7.4.1 Cho ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G := (V, E) v´o . i d¯ı ˙’ nh v`ao s, d¯ı ˙’ nh ra t, kha ˙’ nˇang thˆong qua cu ˙’ a cung (i, j) ∈ E l`a q ij . Gia ˙’ su . ˙’ c ij l`a chi ph´ı vˆa . n chuyˆe ˙’ n mˆo . t d¯o . n vi . h`ang trˆen cung (i, j) ∈ E. T`ım luˆo ` ng F := (f ij ) c´o gi´a tri . v trˆen G v´o . i chi ph´ı nho ˙’ nhˆa ´ t; t´u . c l`a gia ˙’ i b`ai to´an  (v i ,v j )∈E f ij c ij → min v´o . i d¯iˆe ` u kiˆe . n   (v i ,v j )∈E f ij = v, 0 ≤ f ij ≤ q ij . Hiˆe ˙’ n nhiˆen, b`ai to´an khˆong c´o l`o . i gia ˙’ i nˆe ´ u v l´o . n ho . n gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t cu ˙’ a luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n t. Tuy nhiˆen, nˆe ´ u v nho ˙’ ho . n hoˇa . c bˇa ` ng gi´a tri . n`ay th`ı s˜e c´o mˆo . t sˆo ´ luˆo ` ng c´o gi´a tri . v v`a b`ai to´an c´o l`o . i gia ˙’ i. Ford v`a Fulkerson [27] d¯˜a xˆay du . . ng mˆo . t thuˆa . t to´an “khˆong c´o th´u . tu . . ” d¯ˆe ˙’ t`ım luˆo ` ng v´o . i chi ph´ı nho ˙’ nhˆa ´ t. C´ac thuˆa . t to´an tr`ınh b`ay du . ´o . i d¯ˆay du . . a theo nh˜u . ng kˆe ´ t qua ˙’ cu ˙’ a Klein [38], Busacker v`a Gowen [10]. C´ac thuˆa . t to´an n`ay d¯o . n gia ˙’ n ho . n phu . o . ng ph´ap cu ˙’ a Ford-Fulkerson v`a su . ˙’ du . ng nh˜u . ng k˜y thuˆa . t d¯˜a gi´o . i thiˆe . u trˆen. 7.4.1 Thuˆa . t to´an Klein, Busacker, Gowen Thuˆa . t to´an n`ay du . . a v`ao viˆe . c x´ac d¯i . nh ma . ch c´o d¯ˆo . d`ai ˆam. Ch´ung ta h˜ay gia ˙’ thiˆe ´ t rˇa ` ng tˆo ` n ta . i luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c F v´o . i gi´a tri . v v`a F d¯˜a d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh. Luˆo ` ng n`ay c´o thˆe ˙’ nhˆa . n d¯u . o . . c bˇa ` ng c´ach ´ap du . ng thuˆa . t to´an t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t v`a ch´ung ta tˇang luˆo ` ng cho d¯ˆe ´ n khi nhˆa . n d¯u . o . . c luˆo ` ng c´o gi´a tri . v. V´o . i luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n n`ay, ta d¯i . nh ngh˜ıa d¯ˆo ` thi . G µ (F ) := (V µ , E µ ) nhu . d¯˜a gia ˙’ i th´ıch trong Phˆa ` n 7.2 v`a c´o chi ph´ı trˆen c´ac cung nhu . sau: • v´o . i mˆo ˜ i cung (v µ i , v µ j ) ∈ E µ 1 , d¯ˇa . t c µ ij := c ij . • v´o . i mˆo ˜ i cung (v µ j , v µ i ) ∈ E µ 2 , d¯ˇa . t c µ ji := −c ij . Thuˆa . t to´an du . . a trˆen d¯i . nh l´y sau: 186 [...]... a 194 ´ ´ S = {v1 , v2 , , vk } ⊂ V1 Khi d ´ c´ km canh xuˆ t ph´t t` S Nˆu l := #Γ(S) th` Γ(S) ¯o o a a u e ı S Do d ´ ` ´ ´ ¯o nhˆn nhiˆu nhˆ t lm canh dˆn t` a e a ¯e u km ≤ lm Nˆn e #S = k ≤ l = #Γ(S) - ˙ ˜ ` a ˙ ’ o o e a a o e e o a ınh o Theo Dinh l´ d am cu.´.i Hall, tˆn tai cˇp gh´p ho`n hao Vˆy c´ thˆ’ gh´p mˆ i m´y t´ v´.i y ¯´ o.ng th´ mˆt ˆ’ d˜ tu o o ¯ıa ıch ˙ 195 196 `... sau: ’ a ˙ c´ thˆ o e e e m z= cj xj → min j=1 sao cho m j=1 bij xj ≥ 1, i = 1, 2, , n, xj ∈ {0, 1}, ˙ ’ trong d o xj = 1 (hoˇc 0) phu thuˆc v`o ej c´ thuˆc phu E ∗ hay khˆng ¯´ a o a o o o 190 v3 • v5 • ... c´c ` ´ ` ´ ` a ´ ˙ ’ hai phˆn trong mˆi liˆn hˆ v´ a a o e e o a o o a e a a e a `.ng ho.p tˆ’ng qu´t c´ thˆ’ xem t`i liˆu dˆn [14], [30] ˙ ˙ ˜ a o e a e a b`i to´n cˇp gh´p trong tru o a a a e o 191 • • • • • • • • • ... ınh vi l` (s, vi ) Do d o fsi = 1 Suy ra u o ¯´ o ¯e ¯˙ a ¯´ ` ` ` ´ ’ ` ˙ ¯˙ ’ ’ luˆng dˆn d ınh vi bˇ ng 1 Do luˆng ra khoi d ınh vi bˇ ng 1 nˆn c´ d ung mˆt cung c´ dang o ¯e ¯ ˙ a o a e o ¯´ o o 192 ’ (vi , x) c´ fix = 1 l` (vi , vj ) Tu.o.ng tu chı c´ mˆt cung dang (x, vj ) c´ fxj = 1 l` (vi , vj ) Vˆy o a o a a ˙ o o ´ ´ ` nˆu M l` tˆp c´c cung (vi , vj ) sao cho fij = 1 th` hai canh bˆ t... nˇng cua thiˆt diˆn n`y bˇ ng n1 th` luˆng l´.n nhˆ t c´ gi´ tri bˇ ng n1 Cˇp a e a ı ` o o a o a ` a a o.ng u.ng v´.i luˆng l´.n nhˆ t s˜ l` cˇp gh´p ho`n hao ´ ˙ ’ gh´p tu e ´ o ` o o a e a a e a 193 ` ´ e ´ ˙ ’ ˙ ˙ ’ ’ ˙ a ’ ˙ ’ ˙ ’ a Ch´.ng minh bˇ ng phan ch´.ng Gia su ngu.o.c lai, kha nˇng cua thiˆt diˆn nho nhˆ t u a u e n n Nhˆn x´t rˇ ng kha nˇng cua thiˆt diˆn n`y bˇ ng sˆ c´c canh trong... moi d ınh vi ∈ V o ¯˙ v` a n δi ˜ chˇn a i=1 - ` ˙ ` ´ ´ ` o a ’ ’ e u ınh a Diˆu kiˆn sau suy tru.c tiˆp t` t´ chˆ t: tˆ’ng c´c bˆc cua c´c d ınh bˇ ng hai lˆn sˆ c´c e e o a a ˙ a ¯˙ a a ´ canh 1 89 ´ ´ ` Tˆp con M ⊂ E goi l` mˆt cˇp gh´p nˆu hai canh bˆ t k` trong M khˆng kˆ nhau a e e a y o e a o a i ’ ’ Chi ph´ cua cˇp gh´p M d nh ngh˜ bo ı ˙ a e ¯i ıa ˙ c(M ) = cj ej ∈M Ta c´ b`i to´n... *****/ #define #define #define #define #define #define TRUE 1 FALSE 0 INFTY 32767 MAXEDGES 50 // So cuc dai cac canh MAXVERTICES 25 // So cuc dai cac \dd\ir nh MAXSTRINGS 16 // Chieu dai cuc dai xau ky tu 197 /****** Phan dinh nghia cac kieu du lieu *****/ typedef unsigned char byte; typedef byte Boolean; typedef char DataType[MAXSTRINGS+1]; // Them mot ma ket thuc chuoi /*******************************... HeadPointer ArrayOfPointer[MAXVERTICES]; typedef struct QueueType *QueueNode; struct QueueType { byte Vertex; QueueNode Next; }; typedef struct { QueueNode Head, Tail; } Queue; typedef byte Path[MAXVERTICES]; 198 . Vˆa . y c´o thˆe ˙’ gh´ep mˆo ˜ i m´ay t´ınh v´o . i mˆo . t ˆo ˙’ d¯˜ıa tu . o . ng th´ıch. 195 196 . c´ach t`ım c´ac dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n t. Viˆe . c t`ım 1 79 mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng d¯u . o . . c thu . . c hiˆe . n bˇa ` ng. chˆa ´ t: tˆo ˙’ ng c´ac bˆa . c cu ˙’ a c´ac d¯ı ˙’ nh bˇa ` ng hai lˆa ` n sˆo ´ c´ac ca . nh. 1 89 Tˆa . p con M ⊂ E go . i l`a mˆo . t cˇa . p gh´ep nˆe ´ u hai ca . nh bˆa ´ t k`y trong M khˆong