Đang tải... (xem toàn văn)
BẤT ĐẲNG THỨC MINIMAX KY FAN VÀ ỨNG DỤNG. Dựa vào Nguyên lý ánh xạ KKM, Ky Fan đã thiết lập một bất đẳng thức như là cầu nối của Lý thuyết KKM với bài toán về sự tồn tại nghiệm của điểm cân bằng (người ta gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Ky Fan). Bất đẳng thức này nhận được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học và đã đạt được rất nhiều công trình sâu sắc về nó
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRỊNH THỊ HIỆP BẤT ĐẲNG THỨC MINIMAX KY FAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRỊNH THỊ HIỆP BẤT ĐẲNG THỨC MINIMAX KY FAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.NGUYỄN XUÂN TẤN Hà Nội - 2011 Lời nói đầu Bài toán điểm cân bằng được hình thành từ khái niệm hữu hiệu mà Edgeworth và Pareto đề xướng từ cuối thế kỷ XIX. Sau đó nó được nhiều nhà toán học như Debreu, Nash, sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế mà trong những năm cuối của thế kỷ XX, nhiều nhà kinh tế trên thế giới quan tâm khai thác. Để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng của mô hình kinh tế, đầu tiên người ta sử dụng định lý điểm bất động kiểu Brouwer [6], Kakutani[13], Ky Fan[10], Browder[7], Trong đó Nguyên lý điểm bất động Brouwer được mở rộng theo hai giai đoạn. Ban đầu, người ta mở rộng kết quả này trên các lớp không gian tổng quát như là: định lý Schauder (1930, [22]) trong không gian định chuẩn, định lý Tikhonov (1935, [25]) trong không gian lồi địa phương, Sau đó là sự mở rộng đến ánh xạ đa trị nửa liên tục, mở đầu là kết quả của Kakutani (1941, [13]) và đặc biệt là kết quả của Ky Fan (1952, [10]). Một điều thú vị là vào năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kuartowski và Mazurkiewicz, dựa trên một kết quả về tổ hợp của Sperner đã đưa ra Bổ đề KKM. Bổ đề này mang lại một cách chứng minh đơn giản cho Nguyên lý điểm bất động Brouwer mà trước đó Brouwer đã phải chứng minh khá phức tạp, dựa vào một công cụ tôpô tinh tế là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục. Hơn nữa, Bổ đề KKM tương đương với Nguyên lý Brouwer. Sự xuất hiện của Bổ đề KKM mở ra một hướng nghiên cứu mới là Lý thuyết KKM. Ky Fan (1961) đã tạo ra một bước ngoặt trong sự phát triển của Lý thuyết KKM khi chứng minh một dạng tương tự của Bổ đề i Lời nói đầu KKM cho không gian vô hạn chiều, gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM, đây được xem như trung tâm của Lý thuyết KKM. Dựa vào Nguyên lý ánh xạ KKM, Ky Fan đã thiết lập một bất đẳng thức như là cầu nối của Lý thuyết KKM với bài toán về sự tồn tại nghiệm của điểm cân bằng (người ta gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Ky Fan). Bất đẳng thức này nhận được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học và đã đạt được rất nhiều công trình sâu sắc về nó. Nó đã được thiết lập trong các lớp không gian phi tuyến như không gian nửa giàn tôpô, không gian metric siêu lồi Các giả thiết về ánh xạ cũng được giảm nhẹ cũng như mở rộng sang hàm đa trị. Đặc biệt, gần đây bất đẳng thức Ky Fan được nghiên cứu cho ánh xạ trong không gian véctơ tôpô có thứ tự bộ phận và thu được một số định lý quan trọng. Trước hết ta hãy nhắc lại bất đẳng thức Ky Fan dạng cổ điển mở ra nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến và tối ưu hóa. Định lý 2.2.1 (Bất đẳng thức Ky Fan, 1972). Cho K là tập con lồi, compact, khác rỗng của không gian định chuẩn X và ϕ : K ×K → R là hàm số thoả mãn: (i) ∀y ∈ K, hàm ϕ(., y) nửa liên tục trên trên K; (ii) ∀x ∈ K, hàm ϕ(x, .) tựa lồi trên K; (iii) ∀y ∈ K, hàm ϕ(y, y) ≥ 0. Khi đó, tồn tại x ∈ K sao cho ϕ(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ K. Sau đó, C. L. Yen tổng quát hóa kết quả của Ky Fan cho trường hợp hai hàm số và giảm nhẹ một số điều kiện như sau: Định lý 2.2.6 (Yen). Cho C là tập con lồi trong không gian véctơ tôpô tách X. Giả sử rằng f, g là hai hàm số xác định trên C × C thỏa mãn (i) f(x, y) ≤ g(x, y) với mọi x, y ∈ C; (ii) Với mỗi y ∈ C, g(x, y) là tựa lõm theo x; (iii) Với mỗi A ∈ F(C), f nửa liên tục dưới chuyển dịch theo y trên coA; (iv) Với mỗi A ∈ F(C), x, y ∈ coA và dãy (y α ) trong C hội tụ tới y ii Lời nói đầu thì f(tx + (1 − t)y, y α ) ≤ λ, ∀t ∈ [0, 1] suy ra f(x, y) ≤ λ , với λ = g x∈C (x, x) < ∞; (v) Tồn tại một tập con compact B của C và x 0 ∈ C ∩ B sao cho f(x 0 , y) > λ; ∀y ∈ C\B. Khi đó ta có bất đẳng thức inf y∈B sup x∈C f(x, y) ≤ sup x∈C g(x, x) = λ. Năm 1957, Sion đã chứng minh định lý minimax mở ra những ứng dụng mới trong lý thuyết tối ưu. Định lý 2.3.2 (Sion, 1957). Cho X, Y là hai tập hợp lồi, compact trong không gian véctơ tôpô tách, f : X ×Y → R là hàm số thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Với mỗi x ∈ X, hàm f(x, .) tựa lồi và nửa liên tục dưới theo y; (ii) Với mỗi y ∈ Y , hàm f(., y) tựa lõm và nửa liên tục trên theo x. Khi đó, ta có min x∈X max y∈Y f(x, y) = max y∈Y min x∈X f(x, y). Tiếp theo người ta còn mở rộng định lý Ky Fan cho trường hợp hàm đa trị: Định lý 3.2.1. Cho K là tập con lồi compact của không gian véctơ tôpô tách X và hàm đa trị F : K ×K → 2 R thỏa mãn (i) Với mọi y ∈ K, F (x, y) nửa liên tục dưới theo x trên K; (ii) Với mọi x ∈ K, F (x, y) là hàm lồi theo y trên K; (iii) Với mọi y ∈ K, F (y, y) ⊆ R + . Khi đó, tồn tại x ∈ K sao cho F (x, y) ⊆ R + , ∀y ∈ K. iii Lời nói đầu Tương tự, người ta còn mở rộng các kết quả về bài toán minimax cho hàm véctơ. Ta biết rằng, trong R có thứ tự toàn phần nên các giá trị của hàm số so sánh được với nhau. Do đó ta có các bài toán tối ưu. Trong không gian tôpô bất kỳ để có khái niệm về bài toán tối ưu với hàm nhận giá trị véctơ người ta phải dựa vào quan hệ thứ tự từng phần bằng cách đưa vào khái niệm nón. Định lý 4.2.1. Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô, C là nón lồi, nhọn, đóng với phần trong intC = ∅, A là tập con lồi, compact của X và ánh xạ f : A × A → Y là ánh xạ liên tục thỏa mãn: ∀z ∈ (max w ) t∈A f(t, t), x ∈ A, tập {y ∈ A : f (x, y) ∈ z + intC} lồi. Khi đó (max w ) t∈A f(t, t) ⊂ min x∈A max w y∈A f(x, y) + Y \(−intC). Định lý 4.2.3. Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô, C là nón lồi, nhọn, đóng với phần trong intC = ∅, A là tập con lồi, compact của X và ánh xạ f : A ×A → Y là ánh xạ liên tục và với mọi x ∈ A, f(x, y) có tính chất C− tựa lõm theo y. Khi đó min w x∈A max w y∈A f(x, y) ⊂ max t∈A f(t, t) + Y \intC. Do nhu cầu của thực tế ngày nay rất nhiều các nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu những bài toán tối ưu liên quan tới hàm véctơ và đa trị, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "Bất đẳng thức minimax Ky Fan và ứng dụng". Nhằm hệ thống lại những kết quả gần đây liên quan tới các kết quả của Ky Fan cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng. Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu bất đẳng thức Ky Fan với các điều kiện giảm nhẹ so với toán tử đơn điệu và mở rộng bất đẳng thức Ky Fan sang ánh xạ đa trị, với ánh xạ giá trị véctơ và thứ tự sinh bởi nón. Cấu trúc của luận văn gồm phần mở đầu, 4 chương chính (chương 1 - 4), kết luận và tài liệu tham khảo. Nội dung chính được tóm tắt như sau: Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị. Trong phần đầu của chương iv Lời nói đầu này, chúng tôi nhắc lại một số không gian thường dùng trong các bài toán tối ưu véctơ. Đó là các không gian metric, không gian Banach, không gian véctơ, không gian định chuẩn, không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. Phần tiếp theo của chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về ánh xạ đa trị: tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới; tính lồi, tính lõm; tính C− lồi, tính C− lõm; định nghĩa hàm số đơn điệu, tựa đơn điệu; một số khái niệm về ánh xạ, hàm với nón trong không gian véctơ. Phần còn lại chúng tôi trình bày khái niệm và một số kết quả chính về điểm bất động của ánh xạ đa trị: định lý điểm bất động của Browder- Fan (1968) và Ky Fan (1952). Chương 2 giới thiệu một số kết quả về bất đẳng thức minimax Ky Fan với các điều kiện giảm nhẹ so với toán tử đơn điệu. Ngoài ra, chúng tôi còn đề cập đến ứng dụng của nó trong bài toán cân bằng cổ điển. Chương 3 dành cho việc trình bày các kết quả mở rộng bất đẳng thức Ky Fan sang hàm đa trị. Chương 4 dành cho việc trình bày một số kết quả bất đẳng thức minimax Ky Fan với ánh xạ giá trị véctơ và thứ tự sinh bởi nón. Luận văn được viết dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tôi. Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc kỹ bản thảo luận văn và chỉ dẫn cho tôi nhiều ý kiến quý báu. Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Toán học- Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Trung tâm Đào tạo sau đại học, các thầy cô chuyên ngành toán giải tích và ứng dụng đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủ tục hành chính để tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu Trường Cao đẳng nghề Cơ điện và Thủy lợi cùng đoàn thể các bạn đồng nghiệp trong trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. v Lời nói đầu Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người thân về những lời khích lệ, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, để tôi có thể vượt qua mọi khó khăn và đạt kết quả như ngày hôm nay. Do điều kiện thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi hy vọng được tiếp tục nghiên cứu đề tài trên trong thời gian tới. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2011 Học viên Trịnh Thị Hiệp vi Bảng ký hiệu N Tập các số tự nhiên. N ∗ Tập các số tự nhiên khác 0 R Tập các số thực R + Tập các số thực không âm R − Tập các số thực không dương R ∗ + Tập các số thực dương R ∗ − Tập các số thực âm cl c (A) Bao đóng của tập A trong C A Bao đóng của tập A trong không gian tôpô intA Phần trong của tập A co(M) Bao lồi của tập M A × B Tích đề các của hai tập A và B i∈I X i Không gian tích của họ các không gian X i vii Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa và một số tính chất cơ bản . . . . . . 1 1.1.2 Không gian đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Không gian véctơ, không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . 10 1.4 Ánh xạ đa trị và một số khái niệm về hàm đa trị . . . . 13 1.4.1 Một số khái niệm về ánh xạ đa trị . . . . . . . . . 14 1.4.2 Tính liên tục và lồi theo nón của ánh xạ đa trị . . 22 1.5 Điểm bất động của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.1 Định lý điểm bất động của Ky Fan (1952) . . . . 29 1.5.2 Định lý điểm bất động Browder - Fan (1968) . . . 30 2 Bất đẳng thức Ky Fan và bài toán cân bằng cổ điển 33 2.1 Nguyên lý ánh xạ KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Bất đẳng thức minimax Ky Fan và bài toán cân bằng cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Bài toán cân bằng với điều kiện đơn điệu . . . . . . . . . 45 viii [...]...MỤC LỤC 3 Bao 3.1 3.2 3.3 hàm thức Ky Fan và bài toán Bài toán Một số định lý tồn tại nghiệm Các bài toán liên quan 4 Bao 4.1 4.2 4.3 hàm thức Ky Fan trong không gian nón Một số khái niệm liên quan tới nón trong không gian véctơ Bao hàm thức Ky Fan Bao hàm thức Ky Fan yếu Tài liệu tham khảo cân bằng ... 1.4.2 Tính liên tục và lồi theo nón của ánh xạ đa trị Gần đây bất đẳng thức minimax Ky Fan được nghiên cứu cho ánh xạ đa trị với giá trị véctơ và thứ tự sinh bởi nón trong không gian véctơ tôpô thay cho thứ tự trong tập các số thực thông thường Trước khi đề cập đến kết quả quan trọng được trình bày trong chương 4 chúng tôi nhắc lại khái niệm nón trong không gian tuyến tính và một số kiến thức liên quan... với hợp của một họ tập mở ta cũng chứng minh tương tự Định lý 1.1.5 Hợp của một số hữu hạn tập đóng cũng là đóng Giao của một họ bất kỳ những tập đóng cũng là đóng Chứng minh Cho tập đóng Fi (i = 1, , n) và F c = n Fic mà mỗi Fic i=1 c là mở nên theo định lý trên F cũng là mở và do đó F đóng Đối với giao của một họ tập đóng ta cũng chứng minh tương tự 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị (5) Cho trước một tập... y ∈ X và với mọi số α: (1) x > 0 nếu x = 0; x = 0 nếu x = 0, (2) αx = |α| x (tính thuần nhất của chuẩn), (3) x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác) Ví dụ 1.2.2 Các không gian véctơ Rk , C[a,b] , CL kể trên đều là không [a,b] k L gian định chuẩn nếu mỗi x ∈ R (C[a,b] , C[a,b] tương ứng) ta định nghĩa: k k ξi2 R : x = i=1 C[a,b] : x = max |x(t)| a≤t≤b b CL : x = [a,b] |x(t)|dt a 9 Chương 1 Kiến thức chuẩn... Kiến thức chuẩn bị Định lý 1.1.7 (Hausdorff) Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị chặn Ngược lại, một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong không gian metric đủ thì compact Chứng minh Ta công nhận định lý này Định lý 1.1.8 (Heine - Borel) Một tập M là compact khi và chỉ khi mọi tập mở {Gα } phủ lên M : ∪Gα ⊃ M , đều có một họ con hữu hạn: α Gα1 , Gα2 , , Gαm vẫn phủ được M : m Gαi ⊃ M i=1 Chứng minh... Mặt khác e ∈ C, r − he,a (z) ≥ 0 và C là nón nên (r − he,a (z))e ∈ C Suy ra [(r − he,a (z))e + C] ⊂ C + C = C Vậy z ∈ a + re − [(r − he,a (z))e + C] ⊂ a + re − C Giả sử z ∈ a + re − C Từ định nghĩa he,a , suy ra he,a (z) ≤ r Tương tự ta chứng minh được ge,a (z) ≥ r ⇔ z ∈ a + re + C (iii) và (iv) được suy ra từ (i) và (ii) (v) Ta chứng minh he,a là hàm lồi Lấy z1 , z2 ∈ Z và t ∈ [0, 1] Đặt zt = tz1 + (1... 61 64 69 74 ix Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Đằng sau mỗi bài toán có một cấu trúc không gian trừu tượng (tức là một tập trong đó có cho những quan hệ giữa các phần tử và những qui tắc tổ hợp các phần tử) và một phép biến đổi (ánh xạ, toán tử) trong không gian ấy, hoặc tổng quát hơn, từ không gian ấy vào một không gian khác Do đó xây dựng lý thuyết các không gian trừu tượng và các hàm số trong không gian... các bài toán bao gồm bài toán trong thực tế và trong khoa học Chính vì vậy, phần đầu của chương này ta nhắc lại khái niệm một số không gian thường dùng trong các bài toán tối ưu véctơ Phần tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa ánh xạ đa trị, tính liên tục và lồi theo nón của ánh xạ đa trị Phần còn lại ta nhắc lại định nghĩa điểm bất động và một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị cần dùng trong chương... Định lý 1.1.7 và 1.1.8 đều áp dụng cho không gian compact Ngoài ra từ Định lý 1.1.8 ta có hệ quả sau đây Hệ quả 1.1.10 Một không gian metric X là compact khi và chỉ khi mọi họ tập đóng, {Fα }, trong X mà có giao rỗng: ∩Fα = ∅, thì đều có chứa α một dãy con hữu hạn: Fα1 , Fα2 , , Fαm cũng có giao rỗng: m Fαi = ∅ i=1 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian véctơ, không gian định chuẩn và không gian... X; ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y (tính đồng nhất) (2) ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X (tính đối xứng) (3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Hàm ρ được gọi là metric trên X Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của không gian metric (X, ρ) Ví dụ 1.1.1 (1) Tập hợp các số thực R và tập hợp các số phức C là những không gian metric, với metric ρ(x, y) = |x − y|, với mọi