1 C. V ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. ĐỊNH NGHĨA: a. Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ E, F trên K. Một ánh xạ : f EF   được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu có các tính chất sau: i. ,()()() x xEfxx fx fx      ii. () () x EK fxfx        Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian vectơ.  Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu là (,) H om E F hay (,) E F L .  Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính từ E đến E được gọi là phép biến đổi tuyến tính của E. Ta ghi () H om E thay cho (,) H om E E .  Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu.  Một ánh xạ tuyến tính toàn ánh được gọi là toàn cấu  Một ánh xạ tuyến tính song ánh được gọi là đẳng cấu. b. Thí dụ:  Td1: Ánh xạ đồng nhất : E Id E E   là 1 phép biến đổi tuyến tính của E.  Td2: Ánh xạ không 0: 0 F E F x    Td3: Ánh xạ | 23 : (, ) ( ,2, 3) g x yxyxxy      là một phép biến đổi tuyến tính của 3  . 2 Vì:  2 (, ), ( , )uxyvxy     ( ) [( , ) ( , )] [( , )] g uv g x y x yg xx yy          = ( ) ( ), 2( ), ( ) 3( ) x xyyxxxx yy       (,2,3)( ,2,3) xy xx y x y xx y         () () g u g v  2 (, )uxy     () [(, )]( ,2, 3) g u g x y x y xx y          (,2,3) () x yxx y gu     2. TÍNH CHẤT a. Mệnh đề 1 : Cho (,) f Hom E F , khi đó: i) (0) 0 f  vì () (0) 0() f O f O f OO  ) ii) () () f xfx iii) 11 11 ,, ,, () () nn nn ii i i ii x xE K fx fx          b. Mệnh đề 2: Cho (,) f Hom E F . Nếu f là 1 đẳng cấu thì 1 f  cũng là đẳng cấu (từ F vào E). c. Mệnh đề 3: Cho hai không gian vectơ E, F trên K. Giả sử 1 , , n aa là 1 cơ sở của E, và 1 , , n bb là n vectơ nào đó của F. Khi đó, có một ánh xạ tuyến tính duy nhất f từ E vào F thỏa () 1, , ii f ab in      3 Chứng minh:  1 n ii i x Ex ta     , đặt 1 () n ii i f xtb    . Dễ thấy (, ) f Hom E F  .  Nếu có (,) g Hom E F thỏa () 1, , ii ga b in      thì : 1 11 1 , () ( ) ( ) () n ii i nn n ii i i ii ii i xEx ta gx g ta tga tb f x          Vậy gf  . d. Mệnh đề 4: Nếu (, ) f Hom E F và (,)gHomFG  thì (,)gf HomEG  . Thí dụ: Trong không gian vectơ 3  , cho các vectơ (1,1, 0), (1, 0, 1), (0,1, 2)ab c và (1, 1,0), ( 1,0,0)uv  . a) Chứng minh a,b,c là cơ sở của 3  . b) Gọi f là phép biến đổi tuyến tính của 3  mà () , () , () f av f buv f cu. Tính (, ,) f x y z . Bài làm: a) ta có 110 110 101 0 11 10 012012 D   nên a, b, c độc lập tuyến tính. Mà 3 dim 3 , nên a, b, c là cơ sở của 3  . 4 b) 3 (,,)uxyz  (2)(22)( )ux y za x y zb x y zc        nên (, ,) (( 2 ) (2 2 ) ( )) f x y z f x y za x y zb x y zc (2)( (2 2 ) ) )()()( x yz x yz x f fczaby f         (2)(22)[]( ) x yzv x yzuv xyzu         (2 3 2 , 3 3 3 ,0) xy zx y z 3. ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. a. Ảnh của ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính (, ) f Hom E F  . Tập hợp () {()/ } f EfxxE được gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f. Ký hiệu: Im f Thí dụ: Im0 {0} 0, Im E Id E   Mệnh đề 5: Im f là một không gian con của F.  Mệnh đề 6: Cho (, ) f Hom E F . Nếu 1 , , n aa là một họ sinh của E thì 1 ( ), , ( ) n f afa là một họ sinh của Im f . Chứng minh: Hiển nhiên 1 (), ,( )Im n f afa f  . Ngoài ra, Im ( ) yf xE yf x   Vì x E nên 1 n ii i x a     , suy ra 1 () ( ) n ii i yfx fa     . Vậy 1 ( ), , ( ) n f afa là một họ sinh của Im f . 5 NHẬN XÉT: f toàn ánh  Im f F  Thí dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính 33 :f  (, ,) ( 2, , ) xy zx yy zx y z   Tìm một cơ sở của Im f . Giải: Vì cơ sở tự nhiên 123 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)ee e là 1 họ sinh của 3  nên 12 3 ( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)fe fe fe là một họ sinh của Im f . Do đó, một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của 12 3 ( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)fe fe fe sẽ là 1 cơ sở của Im f . Ta có: 1 2 3 () 1 0 1 101 1 01 () 21 1 011 011 ()0 1 1 011 000 fe fe fe        , suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của 12 3 (),( ), () f efe fe là 12 (),( ) f efe. Đây là 1 cơ sở của Im f .  HẠNG CỦA AXTT: Cho (, ) f Hom E F . Số chiều của Im f được gọi là hạng của f. Ký hiệu rank( ) f . Tóm lại: rank( ) dimIm ff  b. Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính (, ) f Hom E F  . 6 Tập hợp {/()0} x E f x được gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f. Ký hiệu: ker f Thí dụ: i) ker0 E  , ker 0 E Id  ii) Cho ánh xạ tuyến tính 32 : (, ,) ( , ) x yz x y z y      (0,0,0) (0,0) 0 (0,0,0) ker    (1,1,1) (0,0,0) (1,1,1) ker       Mệnh đề 7: ker f là một không gian con của E.  Mệnh đề 8: Cho ánh xạ tuyến tính (,) f Hom E F  . f đơn ánh ker 0 f . Chứng minh: ( ):  0ker f   ker ( ) 0 (0) 0 x ffx f x     . Suy ra ker 0 f  ( ) ,()()()0 x x E fx fx fx x      ker 0 0 x xf xx xx     .  Hệ quả 9: Cho (, ) f Hom E F là một đơn cấu. Nếu 1 , , n aaE độc lập tuyến tính thì 1 ( ), , ( ) n f afa độc lập tuyến tính. Chứng minh: Xét 1 ()0 n ii i fa     , suy ra 11 ()0 ker0 nn ii ii ii fa a f       1 00 n ii i i ai     . 7 Vậy 1 ( ), , ( ) n f afa độc lập tuyến tính.  Mệnh đề 10: Cho (, ) f Hom E F  và dim E n  . Ta có: Imdi kermdim dim f f E  Chứng minh: Giả sử dimker f pn và gọi 1 , , p aa là một cơ sở của ker f . Bổ sung 1 , , p aa đến một cơ sở 11 , , , , , p pn aab b  của E. Ta cần chứng minh 1 ( ), , ( ) pn f bfb  là cơ sở của Im f . Thật vậy:  Vì 11 , , , , , p pn aab b  là họ sinh của E nên ảnh của chúng: 11 ( ), , ( ), ( ), , ( ) pp n f afafb fb  là họ sinh của Im f , nhưng vì 1 () ( )0 p fa fa  nên 1 ( ), , ( ) pn f bfb  sinh Im f .  Nếu 11 0() ()() pp nni f bfbK     thì 11 0( ) p pnn f bb    . Suy ra 11 11 11 ker pp nn pp nn pp bbf bbaa          11 1 1 0 pp p p nn aa b b         11 0 pp n         Do đó dimIm dimker dim ff nppn E    . Mệnh đề 11: Cho (,) f Hom E F và dim dim E Fn   . Khi đó, 3 điều sau tương đương: i) f đơn cấu ii) f toàn cấu iii) f đẳng cấu. 8 Chứng minh: Ta biết dimIm dim dimker f Ef , do đó: o Nếu f đơn cấu thì dimker 0 f  dimIm dim Im f E f F, vậy f toàn ánh. o Nếu f toàn ánh thì Im f F dimIm dim f Edimker 0 f  , vậy f đơn ánh. Thí dụ: Tìm cơ sở của ker  với 32 : (, ,) ( , ) x yz x y z y       Giải: 3 (,,)uxyz  ker ( , , ) 0uxyz     0 0 xy yz         (,,), xy yuyyyy zy            Suy ra một cơ sở của ker  là 1 ( 1,1,1)u   . 4. KHÔNG GIAN VECTƠ ĐẲNG CẤU a. ĐỊNH NGHĨA: Không gian vectơ E gọi là đẳng cấu không gian vectơ F nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ E đến F. Ký hiệu: E F b. TÍNH CHẤT: E E EF FE E FFG EG    9 c. Mệnh đề 12: Cho 2 không gian vectơ E và F. dim dim E FEF  . 5. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. a. Định nghĩa: Cho (,) f EF L . Giả sử 1 ( ) : , , n aa a là một cơ sở của E. 1 ( ) : , , m bb b là một cơ sở của F. Giả sử 1 () 1, , m j ij i i f atb jn          Khi đó, ma trận 11 12 1 21 22 2 12 n n mm mn tt t tt t A tt t            được gọi là ma trận của f đối với cơ sở () a và cơ sở () b . Ký hiệu (,(),()) Mf ab. b. Thí dụ : Cho ánh xạ tuyến tính 32 : (,,) ( , ) f x yz x y zx y      Viết ma trận của f đối với cơ sở 12 3 (1,1,0), (0,2,2), (2,0,2)aa a  của 3  và cơ sở 12 (1,1), (1, 1)bb của 2  . Bài làm: Ta có : 12 3 ( ) (2,0), ( ) (4, 2), ( ) (4,2)fa fa fa    Và 10 112 212 312 () () 3 ()3 f abb f abb f abb    Nên 113 (,( ),( )) 131 ij Mf a b        c. GHI AXTT BẰNG MA TRẬN Cho (,) f EF L và 1 ( ) : , , n aa a là một cơ sở của E, 1 ( ) : , , m bb b là một cơ sở của F. Giả sử ma trận của f đối với cơ sở ()a và cơ sở ()b là 11 12 1 21 22 2 12 n n mm mn tt t tt t A tt t            Cho x E  và giả sử tọa độ của x đối với cơ sở ()a là 1 n x X x             Cho yF có tọa độ đối với cơ sở ()b là 1 m y Y y             Khi đó ta có : Mệnh đề 13 : ()yfx YAX Chứng minh : [...]...   2 0  2    20 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1 Cho E và F là các không gian vectơ trên trường K và ánh xạ f : E  F  Chứng minh 3 mệnh đề sau tương đương: a f là ánh xạ tuyến tính b x, x  E  ,   K f ( x   x)   f ( x)   f ( x) c x, x  E   K f ( x  x)   f ( x)  f ( x) 2 Chứng minh các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính: a f : 3   2  ( x, y, z ) | ...   c  d  Trong các ánh xạ trên, cái nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu? 3 Cho các vectơ a1  (1,1,1), a2  (2, 1,1), a3  (0,3,1), a4  (0,1,1) và các vectơ b1  (2,1,1), b2  (5,2,0), b3  (1,0,2), b4  (1,2,0) trong 3 Chứng minh có một phép biến đổi tuyến tính duy nhất f của 3 mà: f (ai )  bi , i  1, 2,3, 4 4 Tìm hạng của các ánh xạ tuyến tính ở câu 2) 5 Cho ánh xạ f : 3  3  ( x,... E , F )  Mat K (m, n)  f  M ( f ,(a),(b)) Dễ thấy  là ánh xạ   là ánh xạ tuyến tính vì M ( f   g ,(a),(b))   M ( f ,(a),(b))   M ( g ,(a ),(b)) 14  A  tij   Mat K (m, n)   m Đặt u j   tij bi , j  1, , n i 1 Khi đó ! f  L ( E , F ) f (a j )  u j , j , Hiển nhiên M ( f ,(a),(b))  A , nên  ( f )  A Vậy  song ánh Do đó L ( E , F )  Mat K (m, n) 7 VECTƠ RIÊNG – GIÁ TRỊ... y, x) b) c) Họ vectơ f (e1 )  (1, 2,1) f (e2 )  (0,1,0) f (e3 )  (1,0,0) là họ sinh của Im f Và vì f (e1), f (e2 ), f (e3 ) độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của Im f d THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH KHI ĐỔI CƠ SỞ Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ E Xét 2 cơ sở ( ) : a1, , an và (  ) : b1, , bn của E Giả sử : o ma trận chuyển từ ( ) sang (  ) là T o ma...  (0,1, 1) 22 8 Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ 3 mà ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 là  1 3 1 A   3 5 1    3 3 1    1 Tính f ( x, y, z ) 2 Chứng minh f là một đẳng cấu 3 Viết ma trận của f đối với cơ sở a  (1,1,1), b  (1,1,0), c  (1,0, 3) Có nhận xét gì về các vectơ a, b, c ? 9 Cho 2 phép biến đổi tuyến tính f và g của không gian vectơ E thỏa... Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính của 3 b Tìm một cơ sở của Imf và kerf c Cho u  ( x, y, z )  3 Tìm điều kiện cần và đủ đối với x,y,z để u  Im f Tìm điều kiện cần và đủ đối với x,y,z để u  ker f d Viết ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 e Viết ma trận của f đối với cơ sở a1  (1,1,0), a2  (0, 1,1), a3  (1,0,1) của 3 6 Cho phép biến đổi tuyến tính f của  4 Biết f biến... tij bi     x j tij  bi  j 1 i 1 i 1 j 1   n  yi  n m m n  x j tij , i  1, , m  Y  AX j 1 Thí dụ : Cho phép biến đổi tuyến tính f của 3 có ma trận đối với cơ sở chính tắc của 3 là : 1 0 1 A  2 1 0    1 0 0    a) Tính f (2,3,1) b) Xác định f ( x, y, z ) c) Tìm 1 cơ sở của Im f Bài làm : 2 a) Tọa độ của u đối với cơ sở chính tắc là X   3    1    Suy ra tọa... Tìm hạng của f b Cho u  ( x, y, z , t )   4 Hãy xác định f (u ) theo x, y, z , t c Tìm cơ sở của Im f và ker f d Cho u  ( x, y, z , t )   4 Tìm điều kiện cần và đủ đối với x, y, z , t để u  Im f , u  ker f e Viết ma trận của f đối với cơ sở a1  (1,1,0,0), a2  (0, 1,1,0), a3  (1,0,1,0), của  4 a4  (1,1,0,1) 7 Cho phép biến đổi tuyến tính f : 3  3 ( x  y  z , x  my  z , x... :  Tìm giá trị riêng : o Tính đa thức đặc trưng P( )  det( A   I n ) của A o Giải phương trình P ( )  0 tìm nghiệm thực (nếu có), đó là các giá trị riêng cần tìm  Tìm vectơ riêng : o Giả sử  là giá trị riêng của A o Giải hệ thuần nhất ( A   I n )U  0 Nghiệm khác 0 của hệ này là vectơ riêng của A Tất nhiên, ta chỉ cần xác định họ nghiệm cơ bản của hệ là đủ để xác định tất cả vectơ riêng... 1 2 1 A  1   2   2  1       1 2 1       MỆNH ĐỀ 17: Nếu u1, , uk là các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng khác nhau đôi một 1, , k thì u1, , uk độc lập tuyến tính c ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA MA TRẬN VUÔNG  Cho ma trận vuông A cấp n Khi đó : Đa thức P ( )  det( A   I n ) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A 16 Thí dụ : 1 Đa thức đặc trưng của A  . tuyến tính của E. Ta ghi () H om E thay cho (,) H om E E .  Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu.  Một ánh xạ tuyến tính toàn ánh được gọi là toàn cấu  Một ánh xạ tuyến tính. VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. a. Ảnh của ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính (, ) f Hom E F  . Tập hợp () {()/ } f EfxxE được gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f. Ký hiệu:.  Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian vectơ.  Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu là (,) H om E F hay (,) E F L .  Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính