XÊMINA TOÁN SƠ CẤP Chủ đề 1. Giới thiệu một số dạng toán bất đẳng thức và phương pháp giải mới, một số sách bất đẳng thức, sự phát triển của toán bất đẳng thức trong thời gian gần đây. 2. Cân bằng các số khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy. 3. Giải một dạng toán tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số. 4. Bàn về bài toán hay, cuốn sách hay, các cách ra đề toán. Người báo cáo: Lưu Văn Thám Thời gian: 18h 20h, ngày 30 11 2008 Tại VP 40 Mạc Đĩnh Chi, Q.1 Xeâmina Toaùn sô caáp trang 2 Löu Vaên Thaùm Xêmina Toán sơ cấp trang 3 Lưu Văn Thám §1. Giới thiệu một số dạng toán bất đẳng thức và phương pháp giải mới, một số sách bất đẳng thức, sự phát triển của toán bất đẳng thức trong thời gian gần đây. Thế giới Toán học nói chung và vương quốc Toán bất đẳng thức nói riêng khó có thể diễn đạt hết vẻ đẹp kiêu sa huyền bí, sự sáng tạo tinh tế, bất ngờ của nó. Khi đã biết thả mình vào vương quốc này cũng như người biết đứng trên tấm ván lướt trên các ngọn sóng của biển cả, vui đùa, chinh phục và mỉm cười nhưng chẳng ai có ý đònh đi đến điểm tận cùng của thế giới huyền bí này. Trong suốt lòch sử phát triển , Toán bất đẳng thức đã làm mê mẩn tâm hồn biết bao người yêu Toán, từ học sinh trung học cơ sở tới các nhà Toán học đã thành danh và nhiều nhà Toán học được lưu truyền tên tuổi cũng nhờ toán bất đẳng thức. Rất tiếc rằng phần đông học sinh phổ thông không tiếp cận được vẻ đẹp kiêu sa huyền bí và đầy trí tuệ của Toán bất đẳng thức. Nhưng cũng rất mừng vẫn có những học sinh, giới trẻ yêu toán không những biết thưởng thức mà còn góp phần đưa toán bất đẳng thức phát triển lên tầm cao mới. Điển hình trong số đó là Sinh viên Phạm Kim Hùng (người Việt Nam) tác giả cuốn sách SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC (bản tiếng Anh là SERECTS IN INEQUALITIES) được N.X.B GIL nổi tiếng của Xêmina Toán sơ cấp trang 4 Lưu Văn Thám Mỹ mua bản quyền phát hành tại Mỹ và nhiều nước trên Thế giới (ta sẽ trở lại nội dung cuốn sách này ở phần sau). Mảnh đất Toán sơ cấp đã được cày xới quá nhiều, sách tham khảo về toán bất đẳng thức ngoài thò trường cũng như sách tham khảo Toán sơ cấp khác cũng cũng tràn ngập, ngay cả các giáo viên Toán cũng không dễ mua được cuốn sách Toán tham khảo có chất lượng, có thể tìm thấy nhiều điều cần sưu tầm, học hỏi. Thường sách trên thò trường các tác giả chỉ sưu tầm các bài Toán + lời giải, sắp xếp theo chương mục rồi phát hành. Thực ra cách viết sách như vậy cũng đáp ứng được số đông học sinh phổ thông nhưng đối với giáo viên ‚đã có nghề‛ thì loại sách này không đáp ứng được yêu cầu tìm tòi cái mới. Tất nhiên mỗi cuốn sách ít nhiều cũng thể hiện phong cách riêng của tác giả hay một vài điểm sáng trong bài toán cụ thể náo đó nhưng số bài tác giả tự ra, tự giải thường chiếm tỉ lệ rất ít, những phương pháp giải toán mới mà tác giả tự nghiên cứu phát minh ra thừơng không có và nếu có cũng chỉ có thể áp dụng trong phạm vi hạn hẹp. Trong tầm hiểu biết của mình, xêmina này tôi xin giới thệu một số dạng toán bất đẳng thức mới phát triển trong thời gian gần đây và ba đầu sách toán bất đẳng thức tiêu biểu: ‚Bất đẳng thức suy luận và khám phá ‚ của Phạm Văn Thuận và Lê Vó ‚Sáng tạo bất đẳng thức‛ của Phạm Kim Hùng ‚Những viên kim cương trong Toán bất đẳng thức‛ của Trần Phương (sắp xuất bản). Xêmina Toán sơ cấp trang 5 Lưu Văn Thám I. Một số dạng toán và phương pháp chứng minh bất đẳng thức mới phát triển trong thời gian gần đây. Mục lục trong một cuốn sách bất đẳng thức đại số thông thường: Chương I: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (CAUCHY) VÀ PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG. Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI ( B.C.S) VÀ PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG. Chương IV: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TỶ SỐ, BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC. Chương V: ĐÁNH GIÁ , TỔNG, TÍCH HỮU HẠN, PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI, ĐÁNH GIÁ ĐẠI DIỆN. Chương VI: GIỚI THIỆU MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG: BERNOULLI , TCHEBYCHEV, HOLDER, MINCÔPKI VÀ VÍ DỤ ÁP DỤNG. Chương VII: PHẢN CHỨNG VÀ QUY NẠP TOÁN HỌC Chương VIII: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ (KHẢO SÁT HÀM SỐ, TÍCH PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN) Chương IX: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Chương X: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC, PHƯƠNG PHÁP LƯNG GIÁC. BÀI TẬP TỔNG HP, CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Xêmina Toán sơ cấp trang 6 Lưu Văn Thám 1. Bất đẳng thức có các số hạng bậc thuần nhất và phương pháp chuẩn hóa. Ta hãy xem một bài toán cùng đáp án trong kỳ thi học sinh giỏi liên bang Mỹ: 33rd USAMO 2003 Problem B2 Prove that for any positive reals x, y, z we have (2x+y+z) 2 /(2x 2 + (y+z) 2 ) + (2y+z+x) 2 / (2y 2 + (z+x) 2 ) + (2z+x+y) 2 / (2z 2 + (x+y) 2 ) ≤ 8 Solution If the inequality holds for x, y, z, then it also holds for kx, ky, kz, so it is sufficient to prove the result for x+y+z=3. The first term becomes (x+3) 2 /(2x 2 +(3-x) 2 ) = (1/3) (x 2 +6x+9)/(x 2 -2x+3) = (1/3) (1 + (8x+6)/(2+(x-1) 2 ) ≤ (1/3) (1 + (8x+6)/2) = 4/3 + 4x/3. Similarly for the other terms, so the whole expression ≤ (4/3 + 4x/3) + (4/3 + 4y/3) + (4/3 + 4z/3) = 8. Tạm dòch Đề: Chứng minh rằng với x, y, z là các số thực dương ta luôn có: 222 2 2 2 2 2 2 (2x y z) (2y z x) (2z x y) 8 2x (y z) 2y (z x) 2z (x y) (1) Giải: Nếu ta thay x, y, z lần lượt bằng kx, ky, kz (k ≠0) thì bài toán không đổi nên ta giải bài toán với x + y + z = 3 là đủ. Khi đó biểu thức thứ nhất bằng: 22 2 2 2 2 (x 3) 1 x 6x 9 1 8x 6 1 2x (3 x) 3 x 2x 3 3 2 (x 1) 1 8x 6 4 4x 1 3 2 3 3 Xêmina Toán sơ cấp trang 7 Lưu Văn Thám Tương tự cho hai biểu thức còn lại và cộng lại ta có VT(1) 4 4x 4 4y 4 4x 4 4 (x y z) 8 3 3 3 3 3 3 3 Suy ra đpcm Tại sao thay x, y, z lần lượt bằng kx, ky, kz bài toán không đổi nên ta giải bài toán với x + y + z = 3 là đủ ? Bản chất là ta thực hiện phép đổi biến sau: Đặt x=ka, y=kb, z=kc với k = x y z 3 a+b+c = 3 thay vào (1) bài toán trở thành: 222 2 2 2 2 2 2 (2a b c) (2b c a) (2c a b) 8 2a (b c) 2b (c a) 2c (a b) Như vậy qua phép đổi biến trên bài toán không thay đổi nhưng ta có thêm điều kiện a+b+c=3. Phép đổi biến như trên còn gọi là phép chuẩn hóa cho a+b+c=3. Tương tự ta có thể chuẩn hóa cho a+b+c=1 (chọn k=x+y+z) Chuẩn hóa cho abc = 1 (chọn k = 3 xyz ) Chuẩn hóa cho a 2 +b 2 +c 2 =1 (chọn k= 2 2 2 x y z ) Chuẩn hóa cho ab+bc+ca=1 (chọn k= xy yx zx ) Những bài toán nào ta có thể áp dụng ph.pháp chuẩn hóa ? Tất cả các bài toán mà các số hạng của nó có bậc đồng nhất thì ta đều có thể áp dụng phương pháp này. Thực tế những bài toán có thể áp dụng thì nhiều nhưng những bài toán cần áp dụng thì chưa nhiều. Xêmina Toán sơ cấp trang 8 Lưu Văn Thám Trình chiếu và bình phần đầu chương 4 cuốn “Bất đẳng thức suy luận và khám phá “ của Phạm Văn Thuận và Lê Vó Phương pháp này có từ bao giờ? Tại sao phương pháp này lại phát triển mạnh trong thời gan gần đây : “Thi gì học nấy”, “ học gì viết nấy”! 2. Bất đẳng thức Schur và phương pháp p,q,r (còn gọi là phương pháp A,B,C) Trình chiếu và bình bài viết về vấn đề trên của 1 HS lớp lớp 11 Chuyên Toán Quay lại cuốn sách của Phạm Văn Thuận và Lê Vó ta sẽ thấy vấn đề này được viết bài bản hơn, tổng quát hơn. Trình chiếu thêm bài giảng về bất đẳng thức của Hojoo Lee (người cũng gây được tiếng vang trong cư dân Toán trên mạng qua các bài giảng này) Trình chiếu bản thảo cuốn sách bất đẳng thứccủa Trần Phương đã được Bộ GD làm quà tặng cho HS thi IMO 2007 Tại VN Xêmina Toán sơ cấp trang 9 Lưu Văn Thám 3. Cuốn sách của một sinh viên Việt nam gây được tiếng vang lớn cho cư dân Toán sơ cấp trên thế giới. Người báo cáo sẽ giới thiệu sơ về Phạm Kim Hùng, sự ra đời cuốn ‚sáng tạo bất đẳng thức. Cuốn sách này bản tiếng Anh là Serects in Inequalities được N.X.B GIL nổi tiếng của Mỹ mua bản quyền và chia thành 2 volumes, volume 1 là Basic Inequalities. Volume 2 là Advance Inequalities phát hành tại Mỹ và nhiều nước trên Thế giới với giá mỗi volumes là 30USD. Trong nước cũng có hai NXB phát hành là NXB Tri Thức và NXB Hà Nội (trong tay người viết bài này có 1 cuốn của NXB Hà Nội ai muốn photo xin liên hệ nhà sách TRẮC LAN số 65F Nguyện Thái Học Q.1) Trình chiếu về mục lục cuốn sách. Gới thiệu qua về phương pháp dồn biến Giới thiệu phương pháp phân tách bình phương S.O.S Xêmina Toán sơ cấp trang 10 Lưu Văn Thám 4.“Những viên kim cương trong bất đẳng thức” một đại từ điển về toán bất đẳng thức. Khi Phạm Kim Hùng viết xong bản thảo ‚Sáng tạo bất đẳng thức‛, qua mai mối Hùng tìm tới một ‚đại sư phụ‛ về toán bất đẳng thức nhờ xem giúp. Xem song, Sư phụ đánh giá rất cao tài năng của Hùng đặc biệt là phương pháp dồn biến và SOS. Nhưng sau đó Sư phụ lôi ra bộ bản thảo đồ sộ viết bằng tiếng Anh tựa đề Collections of topics, methods and techniques in algebraic inequality demonstration (tuyển tập các chuyên đề, phương pháp và kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức) dày 2222 trang đã được hoàn tất vào tháng 1 năm 2005 và chỉ ra rằng ý tưởng chính của hai phương pháp đó đã được sư phụ trình bày rất tường minh trong bản thảo này (ở đẳng cấp cao hơn). Mến phục tài năng của người trẻ tuổi như Hùng, Sư phụ và Hùng cùng nhau ký một hợp đồng đặc biệt công nhận bản quyền trí tuệ của nhau, công nhận những phương pháp này do hai người độc lập phát minh ra. Sư phụ vẽ bìa giới thiệu bản thảo cuốn sách của Hùng cho NXB Trí thức phát hành. Sư phụ đó là Trần Phương. Nhà giáo Trần Phương gây ‘sốc‛ cho dư luận toàn Quốc vào kỳ thi Đại học năm 2007 qua việc đưa 5 học sinh lớp 6 của mình đến Tòa soạn Báo Tiền Phong cho giới báo chí chứng kiến tận mắt các đệ tử nhí của mình giải đề thi Đại Học môn Toán như thế nào. Kết quả học sinh thấp nhất đạt 7.75 điểm và cao nhất là 8,25 điểm. Trần Phương hiện là Giám đốc Trung tâm hỗ trợ nghiên cứu phát triển các sản phẩm trí tuệ Việt nam, là người đa tài, hát hay, đàn giỏi, nhảy như vũ công, sáng tác nhạc như nhạc só chuyên nghiệp. Bản nhạc chính thức của kỳ thi Toán Quốc Tế tổ chức tại Việt Nam năm 2007 do Trần Phương sáng tác, bản [...]... đề toán: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A= x2+y2+xy 3x 3y+2003 (HSG Q.1 năm 2003) Đề toán trên không dễ, nhưng ra đề như vậy thì học sinh lớp 8 bình thường cũng có thể ra đề và viết đáp án cho kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Riêng tôi, tôi rất khó chụi khi gặp loại đề thi như thế này Bắt học sinh lảm bài toán này chẳng khác gì bắt các em mở một chiếc khóa số, học sinh mở được khóa chưa hẳn là học sinh. .. giải tổng quát nhưng cho ta hướng giải rất tích cực cho các bài giải được ở dạng này Khi ra đề toán cho các trường hợp riêng dạng này ta chỉ cần chọn trước các giá trò thỏa (*) sao cho khá đẹp mắt là ta có bài toán đủ hay, đủ khó cho học sinh bậc phổ thông Xêmina Toán sơ cấp trang 20 Lưu Văn Thám §4 Bàn về bài toán hay, cuốn sách hay, cách ra đề toán bất đẳng thức Ta hãy xét cách chế đề toán theo cách... ngắn gọn đẹp mắt dành cho những học sinh thông minh đặc biệt, nhưng cũng có đường đi dài hơn, cơ bản hơn cho học sinh khác Tuy nhiên vấn đề sử dụng loại bài tóan cơ bản nào và sự ‚bòt đường đi‛ ở mức nào còn phụ thuộc vào đối tượng mà ta ra đề Thế nào là cuốn sách (cụ thể là cuốn bất đẳng thức) hay ? Sách hay phụ thuộc rất nhiều vào chủ quan của người đọc Có cuốn có rất nhiều điều cần học hỏi với người... những bài toán bất đẳng thức… Nhưng ngày nay những bài toán sơ cấp mới và hay cho học sinh THPT xuất phát từ cuộc thực tế rất khó kiếm, đa số đều sinh ra từ trong đầu trong óc những người yêu toán Vậy nó được sinh ra như thế nào? Khó có thể kể hết các cách người ta sáng tạo ra đề toán, ở đây tôi chỉ ra 5 phương pháp ra đề toán thường dùng 1 Từ kết quả hiển nhiên đúng đã biết, khai triển rút gọn, thêm... Thám Cho x 2x 2 2x 1 x x2 (0,1), tìm GTNN của: P = x x2 2x 2 2x 1 Bài toán gốc ít học sinh nghó đến phương pháp hàm số thì bài toán này đa số học sinh sẽ nghó đến phướng pháp này mặc dù nó dài hơn: Đặt t = 2x 2 2x 1 với phương pháp tìm miền giá trò hoặc x x2 khảo sát hàm suy ra x (0;1) thì t Khi đó P = f(t) = t Pmin = f(2) = [2; + ) 1 , chứng minh f(t) đồng biến suy ra t 5 2 Tuy nhiên những học sinh. .. (đề thi HSG Q.1 năm 2003), tôi không bình thêm về phương pháp này Phương pháp 2 quá kinh điển, giáo viên và học sinh vẫn thường làm Phần trên tôi đã trình bày 1 bài toán được tạo ra từ phương pháp này Xêmina Toán sơ cấp trang 23 Lưu Văn Thám Phương pháp 5 ngoài khả năng của tôi, chỉ các đại cao thủ mới làm được việc này Tôi xin lấy ví dụ cho phương pháp 3 và 4 VD cho phương pháp 3 : Với VD đã nêu: Cho. .. Tuyển tập các chuyên đề hệ thức lượng giác, Tuyển tập các chuyên đề tích phân, Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán , đặc biệt cuốn ‚Phương pháp mới giải đề thi ĐH môn Toán‛ được 3 nhà xuất bản tái bản tới 15 lần ‚Những viên kim cương trong bất đẳng thức‛ bản rút gọn bằng tiếng Anh đã được Bộ Giáo Dục in làm quà tặng cho các học sinh dự thi Toán quốc Tế (IMO) tại Việt Nam năm 2007 Bản tiếng... rất đơn giản, học sinh lớp 8, lớp 9 yêu Toán đã lãnh hội hầu hết luật chơi và có thể bút chiến sằng phẳng với các ‚lão tiền bối‛ Sân chơi này xưa kia đã khắc danh bao nhà toán học lẫy lừng như Cauchy, Bunhiacôpski, Abel, Vâyetstrat, Niutơn Macloranh, Jordana… ngày nay cũng bắt đầu phát hiện các nhân tố mới, điển hình là Hojoo Lee, Phạm Kim Hùng, Trần Phương… Xưa kia cũng là một học sinh chuyên toán,... là hàm đồng biến suy ra Pmin = f(2) Thực tế rất ít học sinh làm theo hướng này có lẽ với học sinh phổ thông khi gặp biểu thức 2, 3, biến ít khi nghó đến phương pháp hàm số hơn nữa cách này dài và không đẹp bằng cách trên Nhưng tại sao tách được như trên? Ta xét tiếp hai ví dụ nữa rồi trả lời câu hỏi này Xêmina Toán sơ cấp trang 12 Lưu Văn Thám VD2: Cho a, b là các số thực dương thỏa a+b ≤ 1 Chứng minh... Vậy P ≥ 1 y 1 1 1 x y z 1 z 1 x 2 1 y 1 z 2 2 80 = 18(x y z) 80 = 162 80(x+y+z)2 1 x 1 y 1 z 80 80 = 82 82 (đpcm) Chú ý bài toán có thể tổng quát cho n số Cho n số thực dương xi (i= 1, n ) thỏa n x i ≤ 1 i 1 CMR: n x2 i i 1 1 x2 i 3n 1 Đới với học sinh bậc THCS giải với n = 2 là đủ khó Nhận xét: Cả 3 ví dụ trên thấy ngay rằng mấu chốt thành công của lời giải là việc tách các sốâ trước khi áp dụng bất . yêu Toán, từ học sinh trung học cơ sở tới các nhà Toán học đã thành danh và nhiều nhà Toán học được lưu truyền tên tuổi cũng nhờ toán bất đẳng thức. Rất tiếc rằng phần đông học sinh phổ thông. các chuyên đề hàm số, Tuyển tập các chuyên đề hệ thức lượng giác, Tuyển tập các chuyên đề tích phân, Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán , đặc biệt cuốn ‚Phương pháp mới giải đề. cuốn sách của Hùng cho NXB Trí thức phát hành. Sư phụ đó là Trần Phương. Nhà giáo Trần Phương gây ‘sốc‛ cho dư luận toàn Quốc vào kỳ thi Đại học năm 2007 qua việc đưa 5 học sinh lớp 6 của mình